精品解析：四川省内江市资中第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

资中二中高2028届高二上10月月考 数学试卷 本试卷共2页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】因为平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，所以， 所以，解得：,，所以 4. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线的斜率为，由，得直线的斜率存在，且， 解得，则，即， 所以这两条平行直线之间的距离为． 6. 已知，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则，依题意，直线与有公共点， 因此，解得，所以的取值范围是. 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量加法法则得到，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律建立方程求解即可. 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 8. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离参数法求得直线恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系建立方程，解得，判断BC选项，整理直线方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D选项. 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C. 公共弦的长为 D. 圆上存在三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得公共弦所在直线方程判断选项A；求得到直线距离的最大值判断选项B；求得公共弦的长判断选项C；求得圆心到直线的距离进而可判断选项D. 【详解】圆的圆心，半径 选项A：由和两式怍差得 则公共弦所在直线方程为.判断正确； 选项B：圆心到直线的距离为 则圆上动点到直线距离的最大值为.判断正确； 选项C：公共弦的长.判断错误； 选项D：圆心到直线的距离为 又圆的半径， 则圆上存在三个点到直线的距离为.判断正确. 故选：ABD 11. 在棱长为2的正方体 中，点是侧面(含边界)上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若与所成的角为 ，则点的轨迹长度为 D. 若以为球心， 为半径的球面与侧面的交线长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当与重合时，可证明；对于B，先证明平面平面，可得到点位于线段上，即可判断；对于C，点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可判断；对于D，可得到球面与平面交线为圆，求出圆的半径，从而得到侧面的交线，就可判断. 【详解】对于A，当与重合时， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B， 如图，易知，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以当点位于线段上时，平面， 故点的轨迹长度为 ，故B错误； 对于C， 因为平面，又平面， 所以， 因为与所成的角为 ，， 所以与所成的角为 ，即， 在中，， 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 故点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，到平面的距离为， 则以为球心， 为半径的球面与平面的交线为以为圆心，以为半径的圆弧， 因为，所以点的轨迹为如图所示的， 在中，，，所以，同理， 所以，故的长为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆C的圆心为，且经过原点，则圆C的方程为____________. 【答案】 【解析】 【详解】由于圆C的圆心为，且经过原点，所以圆的半径, 所以圆C的方程为. 13. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点 （1）若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. （2）若直线l与直线垂直，求直线l的方程. （3）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】第一小问用截距式代入点求解即可；第二小问直接设垂直的直线系方程再代入求解；第三小问也用截距式代入点求解. 【小问1详解】 设直线方程为，因为直线l过点且在x轴上的截距为1，所以，解得， 所以直线方程为，即 【小问2详解】 设直线方程为，因为直线l过点，所以，解得， 所以直线方程为. 【小问3详解】 当直线过原点时，直线方程为. 当直线不过原点时设直线方程为， 因为直线l过点且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，所以，解得， 所以直线方程为，即. 16. 已知圆 直线 （1）求证：直线l恒过定点； （2）若直线l与圆C 相切，求m 的值； （3）若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）整理直线的方程为，进而求证即可； （2）应用结合点到直线距离公式计算求解； （3）设圆心到直线的距离为，可得，最后应用求解. 【小问1详解】 证明:由直线， 令，解得， 所以直线恒过定点. 【小问2详解】 直线l与圆C 相切，则圆心到直线的距离为， 则， 则，解得. 【小问3详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 则， 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； 【小问2详解】 因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； 【小问3详解】 因为， 所以 . 18. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）； （3）存在一点，使得二面角的正切值为；． 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； 【小问3详解】 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 19. 已知点，，动点满足，的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：在轴上存在一点，使得. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ） 设，， 联立，消去得：， ，即， 由韦达定理：， 设，则， 化简得：， 展开得：， 即，由于， 即， 解得：， 即在轴上存在一点，使得 【解析】 【分析】（1）设动点，根据条件化简即可求解； （2）设直线的方程为：， （ⅰ）利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式结合基本不等式即可求解； （ⅱ）设，，，联立，由韦达定理得，化简即可证明结论. 【小问1详解】 设动点，由于点，，动点满足， 则； 化简得：， 经检验方程上所有点都满足； 即曲线的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其方程为 【小问2详解】 显然直线的斜率不为，则设直线的方程为：， （ⅰ）点到直线的距离，解得：， 则弦长， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号； 所以，即面积的最大值为； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资中二中高2028届高二上10月月考 数学试卷 本试卷共2页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 5. 已知直线与平行，则这两条平行直线之间的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 10. 圆和圆的交点为，，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C. 公共弦的长为 D. 圆上存在三个点到直线的距离为 11. 在棱长为2的正方体 中，点是侧面(含边界)上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若平面，则点的轨迹长度为 C. 若与所成的角为 ，则点的轨迹长度为 D. 若以为球心， 为半径的球面与侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆C的圆心为，且经过原点，则圆C的方程为____________. 13. 已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 14. 在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l过点 （1）若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. （2）若直线l与直线垂直，求直线l的方程. （3）它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 16. 已知圆 直线 （1）求证：直线l恒过定点； （2）若直线l与圆C 相切，求m 的值； （3）若，直线l与圆C相交于A， B 两点，求|AB|的值. 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求. 18. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知点，，动点满足，的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于，两点，为坐标原点. （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）证明：在轴上存在一点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $