专题04 期中选填压轴题汇总20种题型92题（第10～12章，期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 期中选填压轴题汇总20种题型92题 （第10~12章） 题型1 单项式与多项式的概念辨析 题型2 同类项与合并同类项 题型3 整体代入求值（条件变形＋整体代换） 题型4“不含某项”与“与某字母无关”型 题型5 数式规律探究 题型6 幂的运算逆用——比较大小 题型7 幂的运算求参数 题型8 整式乘法与恒等求参 题型9 乘法公式的识别与选用 题型10 完全平方公式“知二求一” 题型11 乘法公式与几何面积 题型12 整式的除法求参 题型13 新定义运算与程序框图 题型14 因式分解概念辨析 题型15 提取公因式法（系数、符号、整体） 题型16 公式法（平方差、完全平方、符号处理） 题型17 十字相乘法（二次项系数非1、含参） 题型18 因式分解与求值（降次、整体代换） 题型19 因式分解与整数整除（质因数、整除性） 题型20 因式分解方法综合判定 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单项式与多项式的概念辨析（系数、次数、项数）（共3小题） 【模型】给定几个整式，判断单项式/多项式的系数、次数、项数，或判断某说法是否正确。压轴点在于“系数”与“次数”定义中的易混处：单项式的次数是所有字母指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数；系数含符号与系数中的数字因数，不含字母。 【步骤】① 先化到最简：合并同类项后再谈次数与系数；② 单项式系数=数字因数（含符号），次数=各字母指数和；③ 多项式次数=次数最高的项的次数，常数项次数为0；④ 注意区分中系数为-4、次数为1（仅x）。 【易错】① 把“次数”误作所有系数的和；② 漏掉负号或把字母指数1忽略；③ 多项式的次数看“项”而不是看“字母个数”；④ 常数项次数写成0还是1混淆。 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（ ） A．不是整式 B．的系数是6，次数是3 C．是六次三项式 D．1是单项式，是多项式 【答案】D 【详解】解：A、 是单项式，属于整式，故A错误，不符合题意； B、 的系数是，次数是3，故B错误，不符合题意； C、 的最高次项是，次数为4，因此是四次三项式，故C错误，不符合题意； D、1是单独的数，是单项式；是多项式，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．是二次三项式 C．的常数项是3 D．的一次项是 【答案】B 【详解】解：∵ 选项A: 的次数为，故错误； ∵ 选项B: 的最高次项为2次, 且有三项，是二次三项式，故正确； ∵ 选项C: ，常数项为，故错误； ∵ 选项D: 的一次项为，故错误． 故选：B． 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【答案】D 【详解】解：A、是多项式，该说法错误； B、合并同类项得，是三次三项式，该说法错误； C、，各项系数为和，该说法错误； D、的常数项是，该说法正确． 题型2 同类项与合并同类项（含整体同类项、含参确定）（共3小题） 【模型】给出两个单项式或多项式，判断是否为同类项；或已知两项是同类项，反求字母取值。同类项判定只看“所含字母相同且相同字母的指数分别相同”，与系数、字母顺序无关。 【步骤】① 逐一对字母及其指数；② 指数相等列方程求参数；③ 合并时系数相加、字母部分不变；④ 常数项也是同类项，可合并。 【易错】① 把同底数幂乘法（指数相加）与合并同类项（系数相加）混淆；② 忽略字母顺序不影响同类项（如ab与ba是同类项）；③ 系数为负数时合并符号出错。 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果与的和是单项式，那么________． 【答案】 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 【答案】1 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 6．已知与是同类项，则______． 【答案】3或 【详解】解：∵与是同类项， ∴ 解得：或， ∴或者， 故答案为：3或． 题型3 整体代入求值（条件变形＋整体代换）（共5小题） 【模型】不给x、y的具体值，只给如“x-y=2”或“x²+x=1”这类条件，求含x、y的代数式值。核心是把目标式变形为用已知条件整体表示的式子。 【步骤】① 先把目标式化简（去括号、合并同类项）至最简；② 观察目标式与条件式的倍数、倍数差、符号关系；③ 将条件整体代入。 【易错】① 化简不彻底就代，导致对应不上；② 符号处理：去括号遇负号漏变号；③ 条件式需要“倍乘”或“加减”时计算错。 7．若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 将，代入得，， 故选：． 8．已知，则代数式__________________． 【答案】 【详解】解：， 将代入得到，原式． 9．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，且当时，，那么当时，y的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，且当时，， ∴，即， ∴当时，． 故答案为． 10．若实数x满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：实数x满足， ， ， 故答案为：． 11．如果和互为相反数，那么多项式的值是______． 【答案】11 【详解】解： 和互为相反数， ， 原式， 故答案为11． 题型4 “不含某项”与“与某字母无关”型（待定系数）（共4小题） 【模型】多项式合并后要求“不含x项”“与x无关”，或“多项式的值与x无关”，据此反求参数。其本质是该字母对应项的系数合并后为0。 【步骤】① 先合并同类项，写出x各次幂的系数（含参数的代数式）；② “不含x项”→x一次项系数为0；③ “与x无关”→x所有含x项的系数为0；④ 列方程求参数。 【易错】① 漏看某次项（如含x、x²多项需要两类系数分别归零）；② “与x无关”误以为整式恒为0，实际是含x项系数为0；③ 去括号时符号。 12．多项式化简后不含项，则的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， 多项式化简后不含项， ， 解得， 故答案为：． 13．若关于的多项式中不含一次项，则的值是_____． 【答案】 【详解】解：， ∵多项式中不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 14．若多项式与多项式相加后不含二次项，则的值为_______． 【答案】3． 【详解】解：， 结果不含二次项，则， 解得，， 故答案为：3． 15．若多项式与多项式相加后不含二次项，则m的值为______． 【答案】4 【详解】解： ， 不含二次项，则二次项系数为零，即， 解得：． 故答案为：4． 题型5 数式规律探究（共6小题） 【模型】给出若干图形或算式，找第n个的规律。压轴点在于把“图形个数”“周长”“面积”等转化为关于n的整式，往往与合并同类项、整式加减结合。 【步骤】① 枚举前几项，写出第1、2、3、…项对应的数；② 找相邻差是否为常数（一次规律）或差成等差（二次规律）；③ 归纳通项，用含n的整式表示；④ 代入验证n=1、2、3是否吻合。 【易错】① 起始项对应n从1还是0开始弄错；② 漏看“图形叠加重复部分”重复计数；③ 通项归纳后不代回验证。 16．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数表可知 令，， 则 ． 故选：A． 17．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【详解】解：找规律发现的第三项系数为1； 的第五项系数为； 的第五项系数为； 的第五项系数为； ∴第五项系数为． 故选：D． 18.观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 19．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数的差，若，则 __________________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 这一列数是、、、、、、循环出现的，并且每三个数一循环， ， 是第个循环中的第个数据， ． 故答案为： ． 20．（23-24七年级上·上海静安·期中）观察下列等式，并填空： ； ； ； ______； ； ______； ； 请你把发现的规律用字母表示出来：____________________． 【答案】 【详解】解：∵； ； ； ； ； ； …… ． 故答案为：；；． 21．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： ；它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项；系数分别为，，，； 根据以上规律，展开式各项系数的和等于_______． 【答案】 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ∴， 故答案为：． 题型6 幂的运算逆用——比较大小（化同底/化同指数）（共4小题） 【模型】给定若干幂（如），比较大小。直接计算太大，需用幂的运算法则逆用：化同底或化同指数。 【步骤】① 观察各幂的底数、指数能否化成公因数；② 法一：化同底——把指数取公约数，底数都化成同底的幂；③ 法二：化同指数——把指数化为最小公倍数，比较底数大小；④ 注意负底数与奇偶次方的符号。 【易错】① 幂的乘方逆用错：aᵐⁿ 的底数aⁿ、指数m要对应正确；② 负数底、奇数指数比较时符号；③ 只比较了底数忽略指数不同。 22．已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 即． 故选项：A． 23．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 24．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． 【答案】 【详解】解： ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型7 幂的运算求参数（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）（共4小题） 【模型】给出含字母指数的等式（如·=2⁵），求字母。需要逆用同底数幂乘法（指数相加）、除法（指数相减）、幂的乘方（指数相乘）。 【步骤】① 把等式两边都化成同底数幂；② 令指数相等，列方程（组）；③ 求解；④ 若两边是整式乘除形式，先化简。 【易错】① 同底数幂乘法误把指数相乘；② 幂的乘方误把指数相加；③ 符号：(-a)ⁿ与-aⁿ的差别。 26．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 【答案】72 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ， ∴ ． 故答案为：72． 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ______．（请用含有，的代数式表示） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，则______． 【答案】25 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：25． 题型8 整式乘法与恒等求参（单乘多、多乘多、待定系数）（共5小题） 【模型】已知多项式相乘的展开式中某项系数、或“不含某项”，反求参数。多项式乘多项式的关键是逐项相乘并合并同类项。 【步骤】① 用分配律逐项相乘（单乘多：单×多各项；多乘多：第一个的每一项×第二个的每一项）；② 合并同类项；③ 由“某项系数”或“不含某项”列方程求参数。 【易错】① 多乘多漏项（尤其二次项、一次项交叉项）；② 符号处理：负号相乘；③ 合并后次数降写错。 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：A． 31．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段检测）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， 即， 、为整数，， ，或，或，或，或，或，， 或或或或或， 即的值为，，，不可能为， 故选：B． 32．（24-25七年级上·上海·阶段检测），则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为： 33．（24-25七年级上·上海·阶段检测）设，则______． 【答案】 【详解】解：令，则①； 令，则②； 得：， ∴， 故答案为：． 34．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 【答案】9 【详解】解：∵， ， ∴， 则，， ∵为整数 ∴ ， 或35或或16或或9或或5或0，共9个， 故答案为：9 题型9 乘法公式的识别与选用（平方差、完全平方）（共6小题） 【模型】判断给定多项式能否用平方差公式/完全平方公式，或选用公式化简。平方差：两数的和乘差；完全平方：(a±b)²。压轴考“识别变形”，如先提负号、先拆项、利用(-a)²=a²。 【步骤】① 看是否符合公式结构（平方差需“相同项+相反项”；完全平方需首尾两项是平方）；② 不能直接套用时先提公因式、换元或调整符号；③ 套公式并化简合并。 【易错】① 把(a+b)²误当作a²+b²；② 平方差中“相同项/相反项”辨认错；③ 完全平方中间项2ab的符号与系数。 35．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； B选项：∵ ，∴ 可以用平方差公式计算； C选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； D选项：∵项不匹配，无相同和相反项，∴ 不能用平方差公式计算. 故选：B. 36．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：完全平方公式适用于两个相同二项式相乘的形式． A选项：，可用完全平方公式计算． B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算． C选项：，可用完全平方公式计算． D选项：，可用完全平方公式计算． 37．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：． 38．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列等式中，成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故该选项等式不成立； B．，故该选项等式不成立； C．，故该选项等式不成立； D．，等式成立． 39．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式中，与之积等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：C． 40．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：2． 题型10 完全平方公式“知二求一”（共7小题） 【模型】已知a±b与ab（或a²+b²）中的部分，求另一。利用两组恒等式：a²+b²=(a±b)²∓2ab；(a-b)²=(a+b)²-4ab。 【步骤】① 把已知条件分别代入恒等式；② 解出目标量；③ 若求“完全平方式”补项，令中间项为2ab确定待求项。 【易错】① 符号：a²+b²=(a+b)²-2ab，与(a-b)²差4ab；② 求“完全平方式中缺的项”时，中间项系数的一半平方，注意±。 41．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，展开得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，那么的值为_____． 【答案】65 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：65． 43．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，，，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：先对代数式整理变形： ， 根据已知条件计算两两之差： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 将差值代入变形后的代数式计算： ． 44．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 【答案】 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则_______． 【答案】4050 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 46．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 _______． 【答案】6 【详解】解：由题得， ， ∵，， ∴，（当且仅当，时取等号）， 经验证：，满足， 综上，的最小值为6． 故答案为：6． 47．（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是________． 【答案】52 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 题型11 乘法公式与几何面积（共6小题） 【模型】以图形（正方形、长方形拼图、阴影面积）为背景，用乘法公式求面积或边长。如(a+b)(a-b)对应两个长方形面积差、(a±b)²对应大正方形扣四角。 【步骤】① 用代数式表示图形各边长与面积；② 阴影面积=大图形面积−各空白部分面积；③ 用乘法公式展开/因式分解表示；④ 代入数值或由面积关系列式。 【易错】① 边长的代数式设错（如把大正方形边长误作a+b的平方）；② 面积相减时重叠部分重复扣；③ 公式符号。 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 49．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片Ⅰ、Ⅱ，从纸片Ⅰ的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片Ⅱ的四个顶点处．图2中已标出裁剪后Ⅰ、Ⅱ纸片尺寸，并且裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（   ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】B 【详解】解：设四个小正方形的边长为， 根据题意，得， 解得：， ， ， ， ∴小海错误、乐乐正确， 故选：B． 50．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意． 51．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为2.5． 故答案为：． 52．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 53．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______． 【答案】19 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b， 根据题意可得：， ， ， ， 是得中点， ， ，， ． 故答案为：19． 题型12 整式的除法求参（多项式除以单项式、同底数幂除法）（共5小题） 【模型】已知除法算式或其商，反求参数；或同底数幂除法（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ）求指数。 【步骤】① 多项式÷单项式：用单项式分别去除每一项，系数相除、同底数幂指数相减；② 按“商=被除式÷除式”或给定商列等式；③ 待定系数法解。 【易错】① 除法时漏掉被除式中某些项；② 指数相减算错；③ 除式系数为负时符号。 54．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么______． 【答案】 【详解】解：， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． 【答案】27 【详解】解：由同底数幂的除法的逆运算得，代入已知，得． 又因为，所以， 代入得，解得． 故答案为：27． 56．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，则_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案是：． 57．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【详解】， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 58．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 【答案】或 【详解】解：， ①∴， 解得： ∴． ②∴， 解得：， ∴． 故答案为：或． 题型13 新定义运算与程序框图（共5小题） 【模型】定义一个新运算（如a※b=2a+b），或给出程序框图（输入→运算→输出），按规则代入整式运算。压轴点在于“多步复合”与“含参数整体”。 【步骤】① 读懂新定义/程序图，写出运算式；② 按顺序代入（先内后外）；③ 涉及整式时先化简合并；④ 求参数时由输出值反推。 【易错】① 运算顺序（先算括号内）；② 新定义中的字母与变量混淆；③ 复合运算漏一步。 59．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 【答案】 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 60．（24-25七年级上·上海·期中）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为_______． 【答案】 【详解】由题知， ； ； 所以． 因为， 所以，， 则，， 所以． 故答案为：． 61．（23-24七年级下·上海·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 【答案】②③④ 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴，故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 62．（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有___________个“孤立数” 【答案】50 【详解】根据题意，“孤立数”可以为：2，6，10，14，18，， 因此，a为孤立数当且仅当（为整数） 绝对值小于100的整数中，要满足（为整数），最小可取，最大可取， 故绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 故答案为：50． 63．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 【答案】 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型14 因式分解概念辨析（与整式乘法区分、是否分解到底）（共4小题） 【模型】判断某变形是否属于因式分解，或判断分解是否彻底。因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，且必须是整式、积的形式、分解到底。 【步骤】① 看结果是否为“几个整式的积”（关键：是否含加减运算在“积”内部）；② 检查每个因式是否还能继续分解（有无公因式、能否用公式、二次三项式能否十字相乘）；③ 系数与符号是否处理完整。 【易错】① 把“整式乘法”误判为因式分解（方向相反）；② 只提出部分公因式，没提尽；③ 没分解到底（如x⁴-1只分解成(x²-1)(x²+1)）。 64．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的积， 选项A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法，不符合因式分解的定义； 选项B：左边为多项式，右边为，是积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：左边含分式，不是多项式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边为多项式，右边为积的形式，但仅提取数字，不符合因式分解的定义； 故选：B． 65．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 66．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 67．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1），不是因式分解； （2），不是因式分解； （3），不是因式分解； （4），不是因式分解； （5），是因式分解； （6），是因式分解； 故是因式分解的有2个． 题型15 提取公因式法（系数、符号、整体）（共4小题） 【模型】多项式各项有公共因式（数字系数最大公约数＋相同字母最低次幂），提出来写成积。压轴点：系数的最大公约数、字母的最低次幂、符号（提负号变号）、把多项式作为整体公因式。 【步骤】① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各公共字母的最低次幂；③ 提出公因式后，剩余部分合并成整式；④ 若各项首项为负，可先提负号并各项变号。 【易错】① 系数漏提最大公约数；② 字母指数取错（应取最低次幂）；③ 提公因式后某括号内余“1”或“-1”漏写；④ 整体公因式（如x-y）提出后符号处理。 68．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 69．分解因式：=___________ 【答案】 【详解】 70．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 71．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型16 公式法（平方差、完全平方、符号处理）（共3小题） 【模型】多项式能写成两个平方差，或符合完全平方式，用公式分解。平方差：a²-b²=(a+b)(a-b)；完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²。 【步骤】① 先提公因式（能提先提）；② 观察是否两平方之差→用平方差；③ 观察首尾平方、中间±2ab→用完全平方；④ 多项式符号统一后再套公式（如先提负号）。 【易错】① 忘记“先提公因式”导致没分解到底；② 平方差识别时把(x²-y²)漏掉中间项；③ 完全平方中间项2ab的系数算错；④ 符号：先提负号忘记各项变号。 72．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： 73．分解因式：________ 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 74．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 题型17 十字相乘法（二次项系数非1、含参、先提再十字）（共4小题） 【模型】二次三项式ax²+bx+c，用十字相乘分解成两个一次因式的积。压轴点：二次项系数非1、含字母参数（含“−”或分数系数）、先提公因式再十字。 【步骤】① 先提公因式（若有）；② 把二次项系数a与常数项c分别分解成两因数，尝试交叉相乘之和等于一次项系数b；③ 写成(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)形式，验证交叉项；④ 必要时调整因数符号。 【易错】① 二次项系数非1时交叉组合漏试；② 常数项符号（正负）与交叉项符号匹配错；③ 忘了先提公因式；④ 两个因式次序写反不影响，但交叉验证必须等于一次项系数。 75．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 76．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 77．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 78．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：设，则原多项式可化为： 用十字相乘法分解：寻找两个数，使其积为，和为，这两个数为和， 故： 将代回，得： 故答案为：． 题型18 因式分解与求值（降次、整体代换）（共6小题） 【模型】先因式分解，再把条件式整体代入求值。压轴点：利用分解后的乘积为零、或把高次式降次（如x²=x+1代入化简x³等）。 【步骤】① 先对目标式因式分解；② 把已知条件整体代入分解结果；③ 若需降次，反复用“x²=x+1”类关系替换高次幂；④ 化简得值。 【易错】① 不先分解直接代，计算量爆炸；② 降次时漏项、符号；③ 乘积为0的条件（某个因式=0）漏讨论。 79．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 80．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 81．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么________ 【答案】 【详解】解：，，， 故答案为：． 82．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 【答案】 【详解】解：因式分解形式为， 故，， 由于为整数，且， 则、为整数， 的整数解有：，或，或，或，， 对应： 当，时； 当，时； 当，时； 当，时， 故整数的值为或， 故答案为：． 83．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 【答案】或 【详解】解：∵可以因式分解为，且， ∴， ∵均为整数， ∴或或或或或或或， 当或时，； 当或时，； 当或时，； 当或时，； 综上所述，满足条件的的值是或． 84．（25-26七年级上·上海虹口·期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 【答案】44 【详解】解：第2斜列上第1个数记为，第2个数记为，第3个数记，第个数记为，即； 第3斜列上第1个数，第2个数，第3个数，第4个数，，那么第个数为， ∴由题意得，， ∴， 整理得，， 左边因式分解得，， 由有理数乘法可得，或或， 当时，解得（不符合题意，舍）； 当时，解得； 当时，方程组无解， ∴的值为44， 故答案为：44． 题型19 因式分解与整数整除（质因数、整除性）（共4小题） 【模型】把某个整数多项式因式分解，利用分解结果判断整除性、平方差性质、最值。如n²-n=n(n-1)为连续两整数之积。 【步骤】① 对整数表达式因式分解；② 根据因式的整数性质（连续整数、平方数、质数）判断整除/最值；③ 验证边界取值。 【易错】① 误用平方差但符号；② 连续整数性质未与分解结果对应；③ 忽略n为整数、正负的取值约束。 85．对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 【答案】307 【详解】解：，都是“月圆数”， ，，，均为的整数）， ，， ，， 是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数， ，， ， 与的和能被11整除， ， 解得， ， ， ， ， ． 故答案为：307． 86．如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：．∵，∴是“中积数”：又如：，∵，∴不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 【答案】 【详解】解：∵是“中积数” ∴ 解得： ∴这个数为； ∵对一个“中积数”， 又 ∴这个“中积数”为， ∵它的后三个数字组成的三位数， ∴① ∴这个“中积数”为， 又∵是“中积数”，则②， ∴由①②可得，，则， ∴，则 ∴ ∴， ∴ ∵能被17整除， ∴能被整除， ∵要求最小“中积数” 当，而，，不合题意； 当时，，则能被整除， ∵且为正整数，都不能被整除 ∴时，不合题意 当时，，则能被整除， ∵且为正整数， 当时， ∴ ∴ ∴∴最小的 “中积数”为 故答案为：，． 87．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______． 【答案】 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 88．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 【答案】、 【详解】解： ， ∵无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除， 能被整除，即能被整除， ， 或或，满足能被整除，即能被整除， ∵， 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，，则， ， ∴两位数， ∵，且是四位数， 当时，即，若，则，得； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，得，不满足数字各不相同的条件，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 当时，即，若，则，舍去； 综上所述，符合题意的“间倍数”为、， 故答案为：、． 题型20 因式分解方法综合判定（先提→再公式→再十字）（共4小题） 【模型】给定较复杂多项式，需按“一提二套三十字四检查”的流程选择并实施方法。是第12章选填压轴综合题。 【步骤】① 一提：先提公因式（含整体公因式）；② 二套：看能否套平方差、完全平方公式；③ 三十字：二次三项式用十字相乘；④ 四检查：每个因式是否还含公因式、能否再分解，直到不可再分为止。 【易错】① 跳过“提公因式”直接套公式导致不彻底；② 用公式后括号内又含公因式未继续提；③ 两个方法叠加时漏一步。 89．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： = = = = 故答案为：． 90．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式：______． 【答案】 【详解】解： ． 91.如果因式分解的结果为_________． 【答案】 【详解】原式 故答案为：． 92.分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 期中选填压轴题汇总20种题型92题 （第10~12章） 题型1 单项式与多项式的概念辨析 题型2 同类项与合并同类项 题型3 整体代入求值（条件变形＋整体代换） 题型4“不含某项”与“与某字母无关”型 题型5 数式规律探究 题型6 幂的运算逆用——比较大小 题型7 幂的运算求参数 题型8 整式乘法与恒等求参 题型9 乘法公式的识别与选用 题型10 完全平方公式“知二求一” 题型11 乘法公式与几何面积 题型12 整式的除法求参 题型13 新定义运算与程序框图 题型14 因式分解概念辨析 题型15 提取公因式法（系数、符号、整体） 题型16 公式法（平方差、完全平方、符号处理） 题型17 十字相乘法（二次项系数非1、含参） 题型18 因式分解与求值（降次、整体代换） 题型19 因式分解与整数整除（质因数、整除性） 题型20 因式分解方法综合判定 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 单项式与多项式的概念辨析（系数、次数、项数）（共3小题） 【模型】给定几个整式，判断单项式/多项式的系数、次数、项数，或判断某说法是否正确。压轴点在于“系数”与“次数”定义中的易混处：单项式的次数是所有字母指数之和；多项式的次数是次数最高项的次数；系数含符号与系数中的数字因数，不含字母。 【步骤】① 先化到最简：合并同类项后再谈次数与系数；② 单项式系数=数字因数（含符号），次数=各字母指数和；③ 多项式次数=次数最高的项的次数，常数项次数为0；④ 注意区分中系数为-4、次数为1（仅x）。 【易错】① 把“次数”误作所有系数的和；② 漏掉负号或把字母指数1忽略；③ 多项式的次数看“项”而不是看“字母个数”；④ 常数项次数写成0还是1混淆。 1．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列说法正确的是（ ） A．不是整式 B．的系数是6，次数是3 C．是六次三项式 D．1是单项式，是多项式 2．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列说法正确的是（    ） A．的次数是2 B．是二次三项式 C．的常数项是3 D．的一次项是 3．（26-27七年级上·上海·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 题型2 同类项与合并同类项（含整体同类项、含参确定）（共3小题） 【模型】给出两个单项式或多项式，判断是否为同类项；或已知两项是同类项，反求字母取值。同类项判定只看“所含字母相同且相同字母的指数分别相同”，与系数、字母顺序无关。 【步骤】① 逐一对字母及其指数；② 指数相等列方程求参数；③ 合并时系数相加、字母部分不变；④ 常数项也是同类项，可合并。 【易错】① 把同底数幂乘法（指数相加）与合并同类项（系数相加）混淆；② 忽略字母顺序不影响同类项（如ab与ba是同类项）；③ 系数为负数时合并符号出错。 4．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果与的和是单项式，那么________． 5．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知与是同类项，则__________． 6．已知与是同类项，则______． 题型3 整体代入求值（条件变形＋整体代换）（共5小题） 【模型】不给x、y的具体值，只给如“x-y=2”或“x²+x=1”这类条件，求含x、y的代数式值。核心是把目标式变形为用已知条件整体表示的式子。 【步骤】① 先把目标式化简（去括号、合并同类项）至最简；② 观察目标式与条件式的倍数、倍数差、符号关系；③ 将条件整体代入。 【易错】① 化简不彻底就代，导致对应不上；② 符号处理：去括号遇负号漏变号；③ 条件式需要“倍乘”或“加减”时计算错。 7．若，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式__________________． 9．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，且当时，，那么当时，y的值为______． 10．若实数x满足，则的值为______． 11．如果和互为相反数，那么多项式的值是______． 题型4 “不含某项”与“与某字母无关”型（待定系数）（共4小题） 【模型】多项式合并后要求“不含x项”“与x无关”，或“多项式的值与x无关”，据此反求参数。其本质是该字母对应项的系数合并后为0。 【步骤】① 先合并同类项，写出x各次幂的系数（含参数的代数式）；② “不含x项”→x一次项系数为0；③ “与x无关”→x所有含x项的系数为0；④ 列方程求参数。 【易错】① 漏看某次项（如含x、x²多项需要两类系数分别归零）；② “与x无关”误以为整式恒为0，实际是含x项系数为0；③ 去括号时符号。 12．多项式化简后不含项，则的值为__________． 13．若关于的多项式中不含一次项，则的值是_____． 14．若多项式与多项式相加后不含二次项，则的值为_______． 15．若多项式与多项式相加后不含二次项，则m的值为______． 题型5 数式规律探究（共6小题） 【模型】给出若干图形或算式，找第n个的规律。压轴点在于把“图形个数”“周长”“面积”等转化为关于n的整式，往往与合并同类项、整式加减结合。 【步骤】① 枚举前几项，写出第1、2、3、…项对应的数；② 找相邻差是否为常数（一次规律）或差成等差（二次规律）；③ 归纳通项，用含n的整式表示；④ 代入验证n=1、2、3是否吻合。 【易错】① 起始项对应n从1还是0开始弄错；② 漏看“图形叠加重复部分”重复计数；③ 通项归纳后不代回验证。 16．（25-26七年级上·上海松江·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们展开式的各项系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数，恰好对应展开式中各项的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：（      ）． A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 18.观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）有一列数，，，，，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数的差，若，则 __________________． 20．（23-24七年级上·上海静安·期中）观察下列等式，并填空： ； ； ； ______； ； ______； ； 请你把发现的规律用字母表示出来：____________________． 21．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算术》中提出下表，此表揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如： ；它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项；系数分别为，，，； 根据以上规律，展开式各项系数的和等于_______． 题型6 幂的运算逆用——比较大小（化同底/化同指数）（共4小题） 【模型】给定若干幂（如），比较大小。直接计算太大，需用幂的运算法则逆用：化同底或化同指数。 【步骤】① 观察各幂的底数、指数能否化成公因数；② 法一：化同底——把指数取公约数，底数都化成同底的幂；③ 法二：化同指数——把指数化为最小公倍数，比较底数大小；④ 注意负底数与奇偶次方的符号。 【易错】① 幂的乘方逆用错：aᵐⁿ 的底数aⁿ、指数m要对应正确；② 负数底、奇数指数比较时符号；③ 只比较了底数忽略指数不同。 22．已知，，，那么，，从小到大的顺序是（   ） A． B． C． D． 23．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 24．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下三个数：，，最大的数为___________． 题型7 幂的运算求参数（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方）（共4小题） 【模型】给出含字母指数的等式（如·=2⁵），求字母。需要逆用同底数幂乘法（指数相加）、除法（指数相减）、幂的乘方（指数相乘）。 【步骤】① 把等式两边都化成同底数幂；② 令指数相等，列方程（组）；③ 求解；④ 若两边是整式乘除形式，先化简。 【易错】① 同底数幂乘法误把指数相乘；② 幂的乘方误把指数相加；③ 符号：(-a)ⁿ与-aⁿ的差别。 26．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知，，那么__________（用含和的式子表示） 27．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）已知，则的值为___________________． 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）已知，，则 ______．（请用含有，的代数式表示） 29．（24-25七年级上·上海·阶段检测）已知，，则______． 题型8 整式乘法与恒等求参（单乘多、多乘多、待定系数）（共5小题） 【模型】已知多项式相乘的展开式中某项系数、或“不含某项”，反求参数。多项式乘多项式的关键是逐项相乘并合并同类项。 【步骤】① 用分配律逐项相乘（单乘多：单×多各项；多乘多：第一个的每一项×第二个的每一项）；② 合并同类项；③ 由“某项系数”或“不含某项”列方程求参数。 【易错】① 多乘多漏项（尤其二次项、一次项交叉项）；② 符号处理：负号相乘；③ 合并后次数降写错。 30．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如果，那么p、q的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 31．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段检测）若、为整数，且，则不可能是（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·上海·阶段检测），则______． 33．（24-25七年级上·上海·阶段检测）设，则______． 34．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）若，则m可取的整数值有______个． 题型9 乘法公式的识别与选用（平方差、完全平方）（共6小题） 【模型】判断给定多项式能否用平方差公式/完全平方公式，或选用公式化简。平方差：两数的和乘差；完全平方：(a±b)²。压轴考“识别变形”，如先提负号、先拆项、利用(-a)²=a²。 【步骤】① 看是否符合公式结构（平方差需“相同项+相反项”；完全平方需首尾两项是平方）；② 不能直接套用时先提公因式、换元或调整符号；③ 套公式并化简合并。 【易错】① 把(a+b)²误当作a²+b²；② 平方差中“相同项/相反项”辨认错；③ 完全平方中间项2ab的符号与系数。 35．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 36．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级上·上海宝山·期中）计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列等式中，成立的是（     ） A． B． C． D． 39．（24-25七年级上·上海闵行·期中）下列各式中，与之积等于的是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26七年级上·上海崇明·期中）阅读材料：计算： 运用上述方法求__________． 题型10 完全平方公式“知二求一”（共7小题） 【模型】已知a±b与ab（或a²+b²）中的部分，求另一。利用两组恒等式：a²+b²=(a±b)²∓2ab；(a-b)²=(a+b)²-4ab。 【步骤】① 把已知条件分别代入恒等式；② 解出目标量；③ 若求“完全平方式”补项，令中间项为2ab确定待求项。 【易错】① 符号：a²+b²=(a+b)²-2ab，与(a-b)²差4ab；② 求“完全平方式中缺的项”时，中间项系数的一半平方，注意±。 41．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 42．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知，那么的值为_____． 43．（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知，，，则代数式的值为__________． 44．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是_______． 45．（24-25七年级上·上海·期中）已知，则_______． 46．（24-25七年级上·上海·期中）若a，b为有理数且满足，，则S的最小值为 _______． 47．（25-26七年级上·上海·期中）已知数x、y、z满足，则的最大值是________． 题型11 乘法公式与几何面积（共6小题） 【模型】以图形（正方形、长方形拼图、阴影面积）为背景，用乘法公式求面积或边长。如(a+b)(a-b)对应两个长方形面积差、(a±b)²对应大正方形扣四角。 【步骤】① 用代数式表示图形各边长与面积；② 阴影面积=大图形面积−各空白部分面积；③ 用乘法公式展开/因式分解表示；④ 代入数值或由面积关系列式。 【易错】① 边长的代数式设错（如把大正方形边长误作a+b的平方）；② 面积相减时重叠部分重复扣；③ 公式符号。 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 49．（25-26七年级上·上海普陀·阶段检测）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片Ⅰ、Ⅱ，从纸片Ⅰ的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片Ⅱ的四个顶点处．图2中已标出裁剪后Ⅰ、Ⅱ纸片尺寸，并且裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（   ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 50．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 51．（25-26七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积差是5，则阴影部分的面积是________． 52．（25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 53．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为______． 题型12 整式的除法求参（多项式除以单项式、同底数幂除法）（共5小题） 【模型】已知除法算式或其商，反求参数；或同底数幂除法（aᵐ÷aⁿ=aᵐ⁻ⁿ）求指数。 【步骤】① 多项式÷单项式：用单项式分别去除每一项，系数相除、同底数幂指数相减；② 按“商=被除式÷除式”或给定商列等式；③ 待定系数法解。 【易错】① 除法时漏掉被除式中某些项；② 指数相减算错；③ 除式系数为负时符号。 54．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么______． 55．（25-26七年级上·上海普陀·期中）已知，，那么________． 56．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，则_____． 57．（25-26七年级上·上海·期中）若整数a，b，c满足，则______． 58．（25-26七年级上·上海·期中）已知，其中是正整数，那么_____． 题型13 新定义运算与程序框图（共5小题） 【模型】定义一个新运算（如a※b=2a+b），或给出程序框图（输入→运算→输出），按规则代入整式运算。压轴点在于“多步复合”与“含参数整体”。 【步骤】① 读懂新定义/程序图，写出运算式；② 按顺序代入（先内后外）；③ 涉及整式时先化简合并；④ 求参数时由输出值反推。 【易错】① 运算顺序（先算括号内）；② 新定义中的字母与变量混淆；③ 复合运算漏一步。 59．（25-26七年级上·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为______． 60．（24-25七年级上·上海·期中）我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，例如：在图1中，即，若满足，则图2中y的值为_______． 61．（23-24七年级下·上海·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论： ①，②，③，④，⑤ 其中正确的结论有________． 62．（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有___________个“孤立数” 63．（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则______ 题型14 因式分解概念辨析（与整式乘法区分、是否分解到底）（共4小题） 【模型】判断某变形是否属于因式分解，或判断分解是否彻底。因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，且必须是整式、积的形式、分解到底。 【步骤】① 看结果是否为“几个整式的积”（关键：是否含加减运算在“积”内部）；② 检查每个因式是否还能继续分解（有无公因式、能否用公式、二次三项式能否十字相乘）；③ 系数与符号是否处理完整。 【易错】① 把“整式乘法”误判为因式分解（方向相反）；② 只提出部分公因式，没提尽；③ 没分解到底（如x⁴-1只分解成(x²-1)(x²+1)）。 64．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 65．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 66．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 67．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型15 提取公因式法（系数、符号、整体）（共4小题） 【模型】多项式各项有公共因式（数字系数最大公约数＋相同字母最低次幂），提出来写成积。压轴点：系数的最大公约数、字母的最低次幂、符号（提负号变号）、把多项式作为整体公因式。 【步骤】① 系数：取各项系数的最大公约数；② 字母：取各公共字母的最低次幂；③ 提出公因式后，剩余部分合并成整式；④ 若各项首项为负，可先提负号并各项变号。 【易错】① 系数漏提最大公约数；② 字母指数取错（应取最低次幂）；③ 提公因式后某括号内余“1”或“-1”漏写；④ 整体公因式（如x-y）提出后符号处理。 68．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式： ______． 69．分解因式：=___________ 70．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 71．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：（n是正整数）______． 题型16 公式法（平方差、完全平方、符号处理）（共3小题） 【模型】多项式能写成两个平方差，或符合完全平方式，用公式分解。平方差：a²-b²=(a+b)(a-b)；完全平方：a²±2ab+b²=(a±b)²。 【步骤】① 先提公因式（能提先提）；② 观察是否两平方之差→用平方差；③ 观察首尾平方、中间±2ab→用完全平方；④ 多项式符号统一后再套公式（如先提负号）。 【易错】① 忘记“先提公因式”导致没分解到底；② 平方差识别时把(x²-y²)漏掉中间项；③ 完全平方中间项2ab的系数算错；④ 符号：先提负号忘记各项变号。 72．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）因式分解：_____． 73．分解因式：________ 74．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）因式分解：_____． 题型17 十字相乘法（二次项系数非1、含参、先提再十字）（共4小题） 【模型】二次三项式ax²+bx+c，用十字相乘分解成两个一次因式的积。压轴点：二次项系数非1、含字母参数（含“−”或分数系数）、先提公因式再十字。 【步骤】① 先提公因式（若有）；② 把二次项系数a与常数项c分别分解成两因数，尝试交叉相乘之和等于一次项系数b；③ 写成(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)形式，验证交叉项；④ 必要时调整因数符号。 【易错】① 二次项系数非1时交叉组合漏试；② 常数项符号（正负）与交叉项符号匹配错；③ 忘了先提公因式；④ 两个因式次序写反不影响，但交叉验证必须等于一次项系数。 75．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 76．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 77．（24-25七年级上·上海·期末）因式分解：_______． 78．（24-25七年级上·上海·阶段检测）因式分解：______． 题型18 因式分解与求值（降次、整体代换）（共6小题） 【模型】先因式分解，再把条件式整体代入求值。压轴点：利用分解后的乘积为零、或把高次式降次（如x²=x+1代入化简x³等）。 【步骤】① 先对目标式因式分解；② 把已知条件整体代入分解结果；③ 若需降次，反复用“x²=x+1”类关系替换高次幂；④ 化简得值。 【易错】① 不先分解直接代，计算量爆炸；② 降次时漏项、符号；③ 乘积为0的条件（某个因式=0）漏讨论。 79．（25-26七年级上·上海黄浦·阶段检测）已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 80．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是________． 81．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么________ 82．（25-26七年级上·上海松江·期末）若关于的整式可以在有理数范围内因式分解，则整数的值是_____． 83．（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）如果关于的整式可以因式分解为，其中均为整数，那么满足条件的的值是_____． 84．（25-26七年级上·上海虹口·期末）1261年，我国南宋数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》中给出了一个“开方作本源图”（图1），并指明：“开方作法本源图出自《释锁算书》，贾宪用此术，”这幅被后人称为“贾宪三角”．这个“三角形”的两条斜的“边”都是由数字1组成，下其他数等于它“肩上”的两个数的和．在图2的“贾宪三角”中，第2斜列上的数依次为：1，2，3，4，5，，我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为．第3斜列上的数依次为：，把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，第个数记为，若，则的值为_____． 题型19 因式分解与整数整除（质因数、整除性）（共4小题） 【模型】把某个整数多项式因式分解，利用分解结果判断整除性、平方差性质、最值。如n²-n=n(n-1)为连续两整数之积。 【步骤】① 对整数表达式因式分解；② 根据因式的整数性质（连续整数、平方数、质数）判断整除/最值；③ 验证边界取值。 【易错】① 误用平方差但符号；② 连续整数性质未与分解结果对应；③ 忽略n为整数、正负的取值约束。 85．对于一个三位正整数，如果满足：百位数字、十位数字与个位数字之和等于15，那称这个数为“月圆数”，例如：，，是“月圆数”； ，，不是“月圆数”．若，都是“月圆数”， ，，，均为的整数），规定，若是去掉百位数字后剩余部分组成的一个两位数，是去掉其百位数字后剩余部分组成的一个两位数，若与的和能被11整除，则的值为________． 86．如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：．∵，∴是“中积数”：又如：，∵，∴不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 87．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示______，当能被20整除时，k的所有取值之积为______． 88．（25-26七年级上·上海金山·期中）一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如满足，，则是“间倍数”．已知“间倍数”，且均为整数，若无论两位数是什么数，“间倍数”都能被整除，且，“间倍数”为______． 题型20 因式分解方法综合判定（先提→再公式→再十字）（共4小题） 【模型】给定较复杂多项式，需按“一提二套三十字四检查”的流程选择并实施方法。是第12章选填压轴综合题。 【步骤】① 一提：先提公因式（含整体公因式）；② 二套：看能否套平方差、完全平方公式；③ 三十字：二次三项式用十字相乘；④ 四检查：每个因式是否还含公因式、能否再分解，直到不可再分为止。 【易错】① 跳过“提公因式”直接套公式导致不彻底；② 用公式后括号内又含公因式未继续提；③ 两个方法叠加时漏一步。 89．分解因式：___________． 90．（24-25七年级上·上海·阶段检测）分解因式：______． 91.如果因式分解的结果为_________． 92.分解因式：________． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $