精品解析：安徽省桐城中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

桐城中学2026—2027学年度上学期第一次学情调研 高二数学试卷 考生须知： 1．本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 卷Ⅰ 选择题 一、单选题 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 2. 半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，是直线l外一点，那么直线（ ） A. 过点P且与直线l斜交 B. 过点P且与直线l重合 C. 过点P且与直线l平行 D. 过点P且与直线l垂直 4. 过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 5. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ） A. B. a C. a D. a 10. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 以为球心，为半径的球与侧面的交线长为 11. 在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ） A. 2 B. C. D. 卷Ⅱ 非选择题 三、填空题 12. 已知直线和直线相交于点，则经过点和的直线方程是_________. 13. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 四、解答题 15. 根据下列条件，求直线的一般方程： （1）过点，斜率是直线的斜率的； （2）经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍； （3）过，两点. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； 18. 如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. （1）若，求证： ； （2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得它到平面的距离为？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城中学2026—2027学年度上学期第一次学情调研 高二数学试卷 考生须知： 1．本卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂． 卷Ⅰ 选择题 一、单选题 1. 若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. 或 B. C. D. 与斜交 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 所以或. 2. 半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】如下图所示， 所以. 故选：A. 3. 已知直线，是直线l外一点，那么直线（ ） A. 过点P且与直线l斜交 B. 过点P且与直线l重合 C. 过点P且与直线l平行 D. 过点P且与直线l垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据f（x0，y0）为常数，得到两直线方程中x与y的系数相同，常数项不相等，得到两直线的位置关系是平行. 【详解】解：在直线外，所以， 方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同， 它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行， 又，所以直线必过点，所以直线过点且与直线平行. 故选：C 4. 过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得到化简得，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得直线的方程为 因为直线过点，所以 由题得. （当且仅当时等号成立） 所以的最小值为. 故选：B 5. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简直线为，求得直线过定点，结合直线与垂直时，点到的距离最大，即可求解． 【详解】由直线， 化为：， 联立方程组， 解得，，即直线过定点， 当直线与垂直时，此时点到的距离最大， 又由，所以点到的距离最大值为． 故选：D． 6. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 7. 已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 8. 在正四棱锥中，若，，平面与棱交于点，则四棱锥与四棱锥的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用、、、四点共面，，由锥体体积公式，求出和的值，即可得的值. 【详解】如图所示， 设，由、、、四点共面， 设，则， 即， 得， 又，，不共面，则，解得：，即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，，，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：B 【点睛】方法点睛： 点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比. 二、多选题 9. 空间四点A，B，C，D每两点的连线长都等于，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与点Q的距离可能为（ ） A. B. a C. a D. a 【答案】BC 【解析】 【分析】设，，利用向量的基底表示的方法表示出向量，然后计算，并且表示为关于的关系式，再结合的取值范围判断即可. 【详解】解析：如图所示，由题意知，，两两夹角均为，设，，则，所以 因为，，所以，即. 故选：BC. 【点睛】利用向量计算距离的取值范围问题，一是建立直角坐标系，表示相关点的坐标，利用模长的坐标公式表示出所求距离，再利用函数的性质或者基本不等式求解最值；二是利用向量的基底表示方法表示出所求向量，计算模长的平方，然后利用函数的性质或者基本不等式求解最值. 10. 如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形，，，为与的交点．若，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 以为球心，为半径的球与侧面的交线长为 【答案】CD 【解析】 【分析】选项A：利用空间向量的线性运算求解；选项B：利用向量模的公式求解的长度；选项C：利用向量数量积为0判断垂直；选项D：求出球心到侧面的距离，确定截面圆的半径和圆心，结合几何图形求解弧长。 【详解】选项A：由题意知为的中点， ，A错误； 选项B：， 因为，，， 所以， 所以，故B错误； 选项C：， ， 所以，故C正确； 选项D：取的中点，连接， 因为底面是菱形且，所以是边长为2的等边三角形， 所以，且。 又因为直四棱柱侧面底面，交线为， 所以平面，即到平面的距离。 球半径，则球面与平面的交线是以为圆心，半径的圆。 侧面是边长为2的正方形，为中点，则。 设圆与交于点，与交于点。 在中，，所以，。 同理。 所以。 交线长（弧的长）为，故D正确. 11. 在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题. 卷Ⅱ 非选择题 三、填空题 12. 已知直线和直线相交于点，则经过点和的直线方程是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在直线和上，所以 则点和的坐标是方程的解， 所以经过点和的直线方程是. 13. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设直线的方向向量为，根据直线是两平面与的交线计算出直线的一个方向向量，最后利用直线与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以，故则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 14. 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值. 【详解】，由于，所以， 问题等价于当且仅当时取到最小值， . 则，解得，，. 故答案为：2；. 【点睛】方法点睛：涉及向量的模，通常用到求解. 四、解答题 15. 根据下列条件，求直线的一般方程： （1）过点，斜率是直线的斜率的； （2）经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍； （3）过，两点. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得所求直线的斜率，从而可得所求直线方程. （2）就截距是否为零分类讨论后可得所求直线的方程. （3）就、分类讨论后可得所求直线的方程. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，依题意， 又直线经过点，∴所求直线方程为，即； （2）当直线不过原点时，设所求直线方程为， 将代入所设方程，解得，∴直线方程为， 当直线过原点时，设直线方程为，则，解得， ∴直线方程为，即， 故所求直线方程为或； （3）①当时，直线的方程为， ②当时，直线的方程为，即， ∵时，代入方程，即为， ∴直线的方程为. 16. 如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． （1）以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； （2）在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． 【小问2详解】 显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，点为棱上一点． （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，求 ①四棱锥的体积； ②直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明：在四棱锥中，由， 得，，则， 又，且平面，所以平面. （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得. （2）①由（1）中信息，求出点Q到平面的距离，再求出锥体的体积；②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在四边形中，，则，而， 则梯形的面积，由点Q为棱的中点， 得点Q到平面的距离为，所以四棱锥的体积. ②由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，由为棱的中点，得， ，设平面的法向量， 则，取，得，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，. （1）若，求证： ； （2）若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离. 【答案】（1）由题意知平面平面，平面平面， ，且平面，故平面， 又平面，故； 又，且平面， 故平面，而平面， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，根据线面垂直的性质定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用直线与平面所成的角为，求出P点坐标，再根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 由于，， 则，设,则， 则， 设平面的一个法向量为，则， 即，令，则可得， 由于直线与平面所成的角为， 故， 解得，结合，则， 故， 由，则， 故点到直线的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得它到平面的距离为？请说明理由． 【答案】（1） 证明：在中，为中点， 所以． 因为侧面底面，平面平面平面， 所以平面． （2） （3） 存在点，且，使得到平面的距离为，理由如下： 由（1）知， 令，则． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以为平面的一个法向量． 因为点到平面的距离为， 则， 又，则， 故存在点，且，使得到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）根据为中点，可得，再根据面面垂直的性质即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）令，利用空间向量表示出到平面的距离，建立方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知平面，且平面， 所以． 因为， 所以四边形为平行四边形． 又因为，所以． 以为坐标原点，以为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为 则，即， 令，得， 平面的一个法向量为． 设直线与平面的夹角为， 则． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $