期中真题重组卷（湖北武汉专用，新教材人教版九上25-27章：一元二次方程+二次函数+反比例函数）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（湖北省夷陵区试实验初中2025--2026学年九年级上学期期中数学试题）用配方法将一元二次方程变形，下列变形过程错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程并能熟练运用求解． 原方程通过配方法变形，需确保每一步变形等价．选项C在配方过程中右边未相应加4，导致错误． 【详解】解：原方程： 两边同时除以2，得：（选项A正确） 移项得：（选项B正确） 配方时，两边应同时加4：， 即 但选项C为， 右边未加4， 故错误． 选项D为， 由正确配方得到， 故正确． 故选：C． 2．（湖北省宜城市2025-2026学年九年级上学期期中学业水平测试数学试题）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为， 故选：D． 3．（湖北省武汉市江汉区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 ）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 4．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、整体代入法求代数式的值，因为是方程根，可得，代入代数式可得：原式，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：是方程的根， ， 即 ， ， ， ， 是关于的方程的两个根， ，， 原式 ， 故选：B． 5．（湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则， 解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 6．（湖北省荆门市沙洋县实中教联体2025-2026学年九年级下学期期中检测（中考模拟）数学试卷）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键． 把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式可求得、，进一步求得的值． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ∴， ， ， 、在一次函数图象上， ，解得， ． 故选：A． 7．（湖北省武汉市江汉区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 ）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的几何解法及完全平方公式的应用，熟练掌握几何法中“大正方形面积四个长方形面积小正方形面积”的关系是解题的关键． 类比题目中几何法解一元二次方程的方法，先确定长方形的长和宽，再根据大正方形面积的组成（四个长方形面积 + 小正方形面积），结合小正方形面积求出相关边长，进而计算的值． 【详解】解：∵ 方程为， ∴ 长方形的长为，宽为，小正方形的边长为． ∵ 小正方形的面积为64， ∴ ，即（边长为正）． ∵ 大正方形的边长为，大正方形的面积为， ∴ （大正方形边长为正）． ∵ ，， ∴ 两式相减得：， 即，解得． 将代入，得， 解得． 故选：B． 8．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由于得二次函数开口向下，对称轴为，点B在对称轴上，函数值最大；点A和点C到对称轴的距离分别为3和2，距离越远函数值越小，因此，即可作答． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下，在对称轴处取得最大值． ∵点在对称轴上， ∴最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．（湖北省孝感市安陆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，即可求解． 【详解】解：观察图象得，：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个不同的交点，对称轴位于y轴的右侧， ∴，故A，B，C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 10．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先理解题意，得，，再观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长，且的长是一次函数，则当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即，再结合勾股定理算出，所以，根据等面积法，求出，运用勾股定理，在中，，即，即可作答． 【详解】解：由图（2）得当时，则，当时，则， ∵点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y， ∴，， 观察函数图象，当点从点运动到点A的过程中，的长， ∵都是常量， ∴的长是一次函数 观察函数图象，当点从点运动到点时，点F运动的路程记为x，即， ∵四边形是矩形 ∴， 则， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 则， ∵点P是函数图象的最低点， ∴当时，， 此时， ∴， ∴， 当时，在中，， 即， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，勾股定理，矩形的性质，一次函数的几何应用，垂线段最短．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（湖北省武汉市江汉区江汉五校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）已知m，n是方程，的两个实数根，若，则c的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元一次方程等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系可得，然后代入得到关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴，解得：； 验证：当 时，方程 的判别式 ，有两个不相等的实数根，且满足条件． 故答案为：． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上，且，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意得到反比例函数的图象经过点第二、四象限，每个象限随的增大而增大，当时，，当时，，结合题意列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象经过点第二、四象限，每个象限随的增大而增大， 当时，，当时，， ∵，， ∴， 解得， ． 13．（湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，列方程得____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据增长率的定义，第三天的下载量是首日下载量乘以(1+增长率)的平方． 【详解】解：设日平均增长率为x， 首日下载量为48万次，则第二天下载量为万次，第三天下载量为万次， 根据题意，第三天下载量为150万次，因此得方程． 故答案为：． 14．（湖北省孝感市安陆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与不等式的关系，解题的关键是根据两函数图象的交点，确定抛物线在直线上方（含交点）对应的的取值范围． 【详解】解：不等式表示抛物线在直线上方（含交点）的部分对应的的取值． 已知两函数交点坐标为和，结合图象可知，此时或． 故答案为：或． 15．（湖北省襄阳市襄城区襄城三校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 16．（湖北省武汉市硚口区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，在抛物线上，且，则． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据点A和B的纵坐标均为1，可得m和n是方程的两根，利用根与系数的关系得到，，结合，可判断①和②；由，结合根与系数的关系推导出顶点纵坐标为，可判断③；若m和n是方程的根，利用根与系数的关系得到，可判断④；根据得到，结合可得，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线经过和，且， ∴m和n是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①②正确； ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点纵坐标为， 由，得， 代入得 ，故③正确． ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 将代入， 得， ∴， ∵， ∴，但题目为，矛盾，故④错误； ∵点和在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） （湖北省仙桃市第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 本题考查了解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：；······（4分） （2）， ， ， ， ， 解得．······（4分） 18． （8分） （湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，直线和抛物线交于点， (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集是 . 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）找到抛物线在直线上方时，自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把，代入，得，解得； ∴； 把，代入，得： ，解得， ∴；······（4分） （2）由图象可知：不等式的解集是或．······（4分） 19． （8分） （湖北恩施土家族苗族自治州巴东县2026年春季学期期中教学质量监测九年级数学试卷）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)请连接，延长交反比例函数图象于点．若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）将、坐标代入一次函数解析式可求、，将坐标代入反比例函数解析式可求； （2）先求出的面积，根据反比例函数中心对称性得点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得：， 把代入，得， 综上，，，．······（3分） （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设直线与轴交于点， 令，则，解得，即， ， ，······（2分） ∵反比例函数图象关于原点中心对称，， ∴， 设， ， ∴，解得， ∴点的坐标为或．······（3分） 20． （8分） （湖北省武汉市汉阳区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知关于的一元二次方程． (1)若时，则求的值及方程的另一个实数根； (2)若方程有实数根，求的取值范围； (3)，是方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，另一个根为 (2)m为任意实数 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，根的定义，解题的关键是掌握以上定义和公式． （1）将根代入方程可求的值，然后再解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式进行求解即可； （3）利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， ∴方程为， ∴， ∴，另一个根为；······（3分） （2）解：根据题意得，， ∴m为任意实数时，方程有实数根；······（2分） （3）解：根据根与系数的关系得，当时， 即， 解得．······（3分） 21． （8分） （湖北省武汉市青山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 【答案】(1)， (2)①公交车刹车后行驶才能停下来；②当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法，结合表格数据求解即可； （2）①求得时的t值即可解答； ②先求得时的速度v，进而可求得t值； （3）设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车，由题意，得，利用二次函数的性质求得s的最大值即可解答． 【详解】（1）解：由表格可设v关于t的函数解析式为， ， 解得：， ∴v关于t的函数解析式为； 由表格可设关于的函数解析式为， ， 解得：， 答：关于的函数解析式为；······（2分） （2）解：①令，由得， 答：公交车刹车后行驶才能停下来；······（2分） ②令，由得，（不合题意，舍去）， 当时，， 答：当公交车刹车后行驶的路程是时的速度为；······（2分） （3）解：设公交车至少在距离电瓶车处开始刹车， 由题意，得， ∵， ∴当时，s最大，最大值为72， 故公交车至少在距离电瓶车处开始刹车．······（2分） 22． （10分） （湖北省武汉市洪山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度（单位：）发射，假设其沿水平方向以速度飞行．在水平飞行（单位：）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为（），故此时拦截弹距地面的高度．由，可得与的函数关系为． (1)如图1，当拦截弹水平飞行时，距地面高度为；当拦截弹水平飞行时，距地面高度为． ①计算拦截弹发射高度和速度，并推导与的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离，且距地面高度为处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； (2)在不改变第（1）问与的二次函数图像形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到之间（含两端点），且距地面高度为，拦截弹发射高度为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出的范围______． 【答案】(1)①，，； ②可以击中，理由： 当时，代入函数式， ， ∴拦截弹可以击中该飞行物． (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）①依据题意，根据函数，结合和，从而可以计算得解； ②依据题意，当时，代入函数式，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，由抛物线的形状不变，即二次项系数为，从而可设新函数为，故当 时，即；又当时，即，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，根据函数， 代入和， ， ， ∴函数关系式为：；······（3分） ②可以击中，理由： 当时，代入函数式， ， ∴拦截弹可以击中该飞行物．······（2分） （2）解：由题意，∵抛物线的形状不变，即二次项系数为， ∴可设新函数为． ∴当时，即； 当时，即． ∴的范围是． 故答案为：．······（4分） 23． （10分） （湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图1，连接，点在抛物线上，且，求点坐标． (3)作直线，横坐标为的点是抛物线上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，与直线交于点（其中，，互不重合），当时，求的值． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数与一元二次方程，二次函数与角度问题，二次函数与线段问题，还考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）分别令和，进行求解即可； （2）分两种情况：①当点在轴上方时，设与轴交于点，求出，再求出直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求出交点；②由对称性可知当，直线与抛线线位于第四象限的交点也满足，求出直线的解析式，与抛物线解析式联立即可求出交点； （3）由题意可知，得出，， 则，，则， 分情况：①当时；②当时；③当时，分别计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：，， ∴点，，；······（3分） （2）解：由（1）得：，，， ∴， ①当点在轴上方时，如图，设与轴交于点，则， ∵， ∴， ∴，则， ∵， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线， 联立， 解得，，， 因为点在第一象限，所以； ②由对称性可知当，直线与抛线线位于第四象限的交点也满足， ∴直线， 联立 可得，，， 因为点在第四象限，所以， 综上，点的坐标为或；······（3分） （3）解：由题意可知， ∵，， ∴直线解析式为， ∵轴于点，与直线交于点， ∴，， 则，， ∴， ①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴； ②当时， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴此方程无实数根，此时不存在的值； ③当时， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴； 综上所述：或．······（4分） 24． （12分） （湖北省武汉市青山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知，抛物线与直线． (1)若，抛物线与直线l交于A，B两点（A在B的左边）． ①求A，B两点的坐标； ②如图1，点C是直线l下方的抛物线上一点，连接交y轴于点D，若．求点C的横坐标； (2)如图2，平移抛物线，使它的顶点为得到新的抛物线．直线与交于点E，F，过原点O另作直线交抛物线于点G，H．连接，分别交x轴于点M，N．请你探究与的数量关系． 【答案】(1)①，B两点的坐标分别是和；②点的横坐标为 (2) 【分析】（1）①直接联立抛物线与求A，B两点的坐标； ②先根据顶点平移规律求出抛物线的表达式，过点作轴于点，设，在中，利用勾股定理解得到的长度，再由，即可得到点的坐标，再求得直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求得交点的横坐标． （2）根据平移后顶点求得抛物线的解析式，求直线与抛物线的交点坐标的关系，求直线与抛物线的交点坐标的关系，利用韦达定理表示出来；求直线与轴交点的横坐标，再求直线与轴交点的横坐标，最后计算并化简即可得到OM与ON的数量关系． 【详解】（1）①联立抛物线与直线的解析式得：， ， 整理得， 因式分解得， 解得或 代入求得： ，， ∵A在B的左边 ，B两点的坐标分别是和．······（2分） ②解：过点作轴于点． ∵点的坐标是，，， ，， 设，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线BC的解析式为：，过点，， 得，解得， ∴直线BC的解析式为：， 联立抛物线与直线的解析式得：， 解得：（舍），， ∴点的横坐标为；······（4分） （2）∵抛物线开口不变，抛物线平移后顶点坐标是 ∴平移后的抛物线为， 联立方程求交点坐标关系： 直线：与： 将代入， 得． 设方程两根为（点横坐标）， 韦达定理：，． 联立方程求交点坐标关系： 设直线： ： 将代入， 得， 整理得． 设方程两根为（点横坐标）， 韦达定理：，． 设直线，直线过点，点 得 解得， 令，得； 点横坐标， ， 化简得． 同理直线过点，点， ． 通分后分子 展开得 合并同类项 代入韦达定理： ，； ，； 分子 ∵分子为， ∴整个分式值为， 即 则 又∵， ∴ 故与的数量关系为．······（6分） 【点睛】本题考查了二次函数性质，函数图象交点坐标求解，函数图象平移解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法求解析式；解题的关键在于联立方程求交点，角度关系转化，平移规律应用，设点坐标找关系，易错点在于解方程出错，平移后表达式写错，计算量比较大，需仔细． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~27章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（湖北省夷陵区试实验初中2025--2026学年九年级上学期期中数学试题）用配方法将一元二次方程变形，下列变形过程错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（湖北省宜城市2025-2026学年九年级上学期期中学业水平测试数学试题）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线为（    ） A． B． C． D． 3．（湖北省武汉市江汉区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 ）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）已知， 是关于的方程的两个根， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 6．（湖北省荆门市沙洋县实中教联体2025-2026学年九年级下学期期中检测（中考模拟）数学试卷）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（湖北省武汉市江汉区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 ）我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得，（正根）．小熙用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则的值是（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 8．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（湖北省孝感市安陆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图（1），E为矩形的边上一点，点F从点C出发沿折线运动到点A停止，将点F运动的路程记为x，的长记为y，若y与x的对应函数关系如图（2）所示，点P是函数图象的最低点，则的值是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（湖北省武汉市江汉区江汉五校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）已知m，n是方程，的两个实数根，若，则c的值是________． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·期中）已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上，且，则a的取值范围是________． 13．（湖北省襄阳市第二十一中学2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，列方程得____________． 14．（湖北省孝感市安陆市2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是______． 15．（湖北省襄阳市襄城区襄城三校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 16．（湖北省武汉市硚口区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）抛物线经过，两点，其中．下列五个结论： ①； ②； ③若，则抛物线的最低点的纵坐标为； ④若m，n是关于x的方程的两个实数根，则； ⑤若点，在抛物线上，且，则． 其中正确的是______（填写序号）． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） （湖北省仙桃市第三中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题）解方程： (1)； (2)． 18． （8分） （湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷）如图，直线和抛物线交于点， (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求不等式的解集是 . 19． （8分） （湖北恩施土家族苗族自治州巴东县2026年春季学期期中教学质量监测九年级数学试卷）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求的值； (2)请连接，延长交反比例函数图象于点．若点是轴上一点，当时，求点的坐标． 20． （8分） （湖北省武汉市汉阳区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知关于的一元二次方程． (1)若时，则求的值及方程的另一个实数根； (2)若方程有实数根，求的取值范围； (3)，是方程的两个实数根，满足，求的值． 21． （8分） （湖北省武汉市青山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）某公交车刹车后的行驶速度v（单位：）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有一次函数关系，刹车后的行驶距离y（单位：m）与刹车后的行驶时间t（单位：s）具有二次函数关系，测得的部分数据，整理得下表 刹车后的行驶时间t（单位：s） … 0 1 2 3 4 刹车后的行驶速度v（单位：m/s） … 16 15 14 13 12 刹车后的行驶距离y（单位：m） 0 15.5 30 43.5 56 (1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)①公交车刹车后行驶多长时间才能停下来？ ②求当公交车刹车后行驶的路程是时的速度； (3)某天公交车在公路上正常行驶，发现正前方沿同一方向行驶的电瓶车正以的速度匀速行驶，为避免发生交通事故，请直接写出公交车至少在距离电瓶车多少m处开始刹车． 22． （10分） （湖北省武汉市洪山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）某部队进行拦截弹道模拟测试．在简化物理模型中，拦截弹从高度（单位：）发射，假设其沿水平方向以速度飞行．在水平飞行（单位：）后，根据自由落体公式，其在竖直方向下落的高度为（），故此时拦截弹距地面的高度．由，可得与的函数关系为． (1)如图1，当拦截弹水平飞行时，距地面高度为；当拦截弹水平飞行时，距地面高度为． ①计算拦截弹发射高度和速度，并推导与的二次函数关系式； ②若空中有一静止目标，位于拦截弹前方水平距离，且距地面高度为处，判断拦截弹能否击中该飞行物，并说明理由； (2)在不改变第（1）问与的二次函数图像形状的前提下，若被拦截目标位于拦截弹前方水平距离2000到之间（含两端点），且距地面高度为，拦截弹发射高度为多少时，可能击中被拦截目标（如图2），请直接写出的范围______． 23． （10分） （湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级上学期数学期中试卷）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图1，连接，点在抛物线上，且，求点坐标． (3)作直线，横坐标为的点是抛物线上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，与直线交于点（其中，，互不重合），当时，求的值． 24． （12分） （湖北省武汉市青山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）已知，抛物线与直线． (1)若，抛物线与直线l交于A，B两点（A在B的左边）． ①求A，B两点的坐标； ②如图1，点C是直线l下方的抛物线上一点，连接交y轴于点D，若．求点C的横坐标； (2)如图2，平移抛物线，使它的顶点为得到新的抛物线．直线与交于点E，F，过原点O另作直线交抛物线于点G，H．连接，分别交x轴于点M，N．请你探究与的数量关系． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B ◇ ◇ D 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.-1 12.-1<a<0 13 481+x)}2=150 14.x≤-2或x≥1 15v5 16.①②③⑤ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(8分) 【详解】(1)解： x(x-4)+5(x-4)=0 ∴.(x-4)(x+5)=0 .x+5=0或x-4=0, 解得：-5，=4 :…(4分) (2)3x2-6x-2=0. r2-2x=2 3 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-2x+1= 3 --, x1=t 3 解得1 3,=1+5 3.…(4分) 18.(8分) 【详解】(1)解： 把B(2,0),代入乃=x+m,得2+m=0,解得m=-2, 少x2 把44,2).B2.0)代入=r+伽+c,得： [16+4b+c=2 [b=-5 4+2b+c=0,解得c=6, :h=2-5x+6 ;…(4分) (2)由图象可知：不等式x2+br+C>x+m的解集是x<2或x>4.…(4分) 19.(8分) 【详解11)解：把4,4.B(,)代入=0+b, a+b=4 得4a+b=1, a=-1 解得：b=5, 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长 把A1,4)代入片=x,得k=1×4=4, 综上，a=-1,b=5,k=4.…(3分) （②)解：由4)得一次数解析式为y=-+5,反比例函数解析式为-4 设直线AB与x轴交于点D, D 令 D(5,0) 0,则x+5=0,解得x=5,即D 2x5x1=15 2*5x4 5.08000 2 45.408 :.S.PAC= 4、15 52 =6,…(2分) ·反比例函数图象关于原点中心对称， A(1,4) :c1,-4) 设P(%,0) S.PAC=S.POC+SPOA= x4+x4=4m, 3 .4m=6,解得m=± 2 …(3分) 20.(8分) 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：把x=3代入x2-mx+m-1=0得， 9-3m+m-1=0. 解得m=4, ∴，方程为x2-4x+3=0, x2-4x+3=0 (x-3)(x-1=0 :方=35=1 .m=4,另一个根为x=1;…(3分) (2)解：根据题意得，△=（←m-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2}≥0 为任意实数时，方程有实数根：…(2分) (3)解：根据根与系数的关系得，当+6=3时， 即m=3(m-1) 3 解得m=2.…(3分) 21.(8分) 【详解】(1)解：由表格可设v关于t的函数解析式为v=t+P, p=16 k+p=15, [k=-1 解得：p=16, v关于t的函数解析式为v=16-t: y=at-+bt 由表格可设关于的函数解析式为 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b=15.5 4a+2b=30, 解得： b=16, 若：y关于，的函数解折式为=+16，(2分 (2)解：①令v=0,由0=16-t得t=16, 答：公交车刹车后行驶16$才能停下来；…(2分) ②今y=875,由875+16得4=7,4=25（不合题密，合去） 当t=7时，v=16-7=9, 答：当公交车刹车后行驶的路程是87.5m时的速度为9ms;…(2分) (3)解：设公交车至少在距离电瓶车sm处开始刹车， 由题意，得=一2 +161-=+121=-12+72. 2 1 20, ∴.当t=12时，5最大，最大值为72， 故公交车至少在距离电瓶车72m处开始刹车.…(2分) 22.（10分) 【详解】1)解：①由题意，根据面致=H-3二 28 (g=10) 代入 =1000,y=400x=2000,y=100 和 400=H-5.10002 100=H-5.20002, 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .%=100W5m/s,H=500m :函数关系式为：y=100r+50,(3分) 1 ②可以击中，理由： 1 当x=220时，代入函数式y=10000 x2+500 y=500- 22002 =500-484=16, 10000 ∴拦截弹可以击中该飞行物.…(2分) 1 (2)解：由题意，：抛物线的形状不变，即二次项系数为10000， x2 ∴.可设新函数为y=H- 10000· ÷当x=200,y=30时，即300=H-2002 100009 当x=300,y=300时，即300=H-3000 10000 ∴.H的范围是700≤H≤1200 故答案为：700≤H≤1200.…(4分) 23.(10分) 【详解】(1)解：当x=0时，y=3, 当y=0时，-x2-2x+3=0, x=-3x2=1 解得： 点4(-3,0).B.0）,C(0,3),…3分 (2)解：由(1)得：0B=1,0A=3,OC=3, ..OA=OC, ①当点P在x轴上方时，如图，设AP与y轴交于点M,则∠BOC=∠AOM=90°， 6/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M .∠PAB=∠BCO △AOM≌△COB(ASA) oM=0B=L,则M(0,) 4(3,0) 设直线AM的解析式为y=r+b, b=1 则-3k+b=0, k= 3 解得b=1· ∴直线AM:y 3+1 1 y=5x+1 3 联立y=-x2-2x+3 2 x2= 解得， X=-3, 11, (y=0 y2=9 p211 因为点P在第一象限，所以(39： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②由对称性可知 M(0,-),直线M与抛线线位于第四象限的交点P也满足， 1 六直线AM:y=-号x-1 3 1 y=-x-1 3 联立y=-x2-2x+3 54 可得， x=-3, (片=0 5s、3, 9 p413) 因为点P在第四象限，所以气39月 2,4.-13 综上，点P的坐标为3’9或39刀 …(3分) (3)解：由题意可知 (m,-m2-2m+3 ·(-30)C(0,3) ∴直线AC解析式为y=x+3, ,EG⊥x轴于点G,与直线AC交于点F, ,G(m,0)F(m,m+3) 则EF-m-2m+3-(m+3明m+3m,FG=m+3到 :EF-FG=m+3ml-m+3到 ①当m<-3时， ,EF-FG=m2+3m-(-m-3)=m2+4m+3 .EF-FG=2 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .m2+4m+3=2, 解得： m=-2-V5m,=-2+V5 m<-3, :m-2-V5 ②当-3<m<0时， .EF-FG=-m2-3m-(m+3)=-m2-4m-3 ..EF-FG=2. ∴.-m2-4m-3=2,m2+4m+5=0, .△=-4<0. ,此方程无实数根，此时不存在m的值： ③当m>0时， :EF-FG=m+3m-(m+3)=m2+2m-3 EF-FG=2. .m2+2m-3=2, 解得：m=-1-6.m=-1+6 ,m>0 :m=-l+6 综上所述： m=-2-V3m=-1+V6 或 .…(4分) 24.(12分) x+x-2 2 【详解】(1)①联立抛物线与直线的解析式得： 1 y=-2x 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)x2+x-2=-1小 2 整理得2+3x-4=0, 因式分解得+4x-1)=0 解得x=-4或x=1 代入求y得： x2=1 x=-4 1 乃=2， 2= Γ2 A在B的左边 1B两点的坐标分别是42到系》 …(2分) ②解：过点B作BE⊥y轴于点E. 1 ,B点的坐标是 1,2) :0E=2,BE=1, ∠BOD=∠OBD,.OD=BD. 设DE=x,则OD=BD=x+ 2, 在Rt△BDE中，∠BED=90°， 由勾股定理得x+2=产+1 x+- 解得x=4, 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0D=3+{5 424, 5 0, ∴D点的坐标为 4 设直线c伯解新式为：少=4+6*0叭，过点4-.D0-引 +b=-1 3 2 k4 6、5 得 4 6、5, ，解得了 4 3.5 直线BC的解析式为：y=4X-4 1 y=。x2+x-2 2 联立抛物线与直线的解析式得： 35, =4x-4 y 解得：七=4（舍），名=2 3 ·点C的横坐标为2：…(4分) (2),抛物线开口不变，抛物线平移后顶点坐标是 12_5 :平移后的抛物线为少=2一2， 联立方程求交点E,F坐标关系： 直线：v=x与C,:y=)2了 2 尚女代入y=- 得x2-2k-5=0 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 XE,XF E,F 设方程两根为 （点“横坐标)， 韦达定理：+=2水=-5 联立方程求交点G,H坐标关系： 设直线GH:y=mx(m≠0，m≠) 1.25 C:y=x2- 2 2 将y=mm0)R入-. 2 整理得x2-2mr-5=0. 设方程两根为 ,（点G,H 横坐标)， 韦达定理： XG+Xm=2m XGXH=-5 设直线EG:y=+b,直线EG过点B(e）,点6(om） kE=axE+b…() mxG=axc+b…(2) 2)-①D得mg-ag=a(x。-x) a=m。-cEb=(k-m 解得xG-E， XG-XE 令y=0w+b=0 得； 点M横坐标，=- 12/14 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 xgxG(k-m) xw=-。-E mxg-kig, XG-XE _xgxG(m-k) 化简得“ mxc-kcg· 同理直线PH过点F,）,点H(,m)】 点 xy =xur(m-k) mxu-kxg , xx+xx=(m-k) xsg+nxp】 '气mxG-kxg mxH-kcF XM+xy=(m-k) mxG -kxg mxH-kxg) 通分后分子o(mxn-r)+xrr(m。-在e) =XEXGMXH XEXGKXF +XEXHMXG XEXHKXE 展开得 合并同类项mom(:+)厂，(。+) 代入韦达定理： XG+xH=2m xGXH =-5 XE+XF=2k xgXp=-5 分子m(-502)-(-5)(2m）=0 分子为0， ∴.整个分式值为0， 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即+xw=0 则w-w 又OM=kuOw=k, ..OM=ON 故OM与ON的数量关系为OM=ON.…(6分) 【点睛】本题考查了二次函数性质，函数图象交点坐标求解，函数图象平移解一元二次方程，一元二次方 程根与系数的关系，待定系数法求解析式：解题的关键在于联立方程求交点，角度关系转化，平移规律应 用，设点坐标找关系，易错点在于解方程出错，平移后表达式写错，计算量比较大，需仔细. 14/14