精品解析：湖南省长沙市明德中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

明德中学2026年下学期阶段测试 高二年级数学试卷 时量:120分 满分:150分 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上相应区域. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选择涂其他答案；回答非选择题时，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 已知 则 （ ） A. B. 3 C. D. 2 5. 设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，答错得0分，答对部分得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1， 2， 3， 4， 5， 6的75%分位数是5 B. 数据的方差是1， 则的方差是3 C. 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) D. 若事件A与B互斥， 且P(A)=0.2， P(B)=0.3， 则P(A∪B)=0.5 10. 已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点P，使得的面积为2 C. 椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 11. 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（ ） A. BD⊥CC₁ B. BD₁与AC所成角的余弦值为 C. D. 平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 14. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262—190年)发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数(且)，则点M的轨迹是圆. 后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 已知，C为平面内的一个动点，且满足. （1）求点C的轨迹方程； （2）设直线l经过点，且l与点C的轨迹相交所得弦长为，求直线l的方程. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2026年下学期阶段测试 高二年级数学试卷 时量:120分 满分:150分 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上相应区域. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选择涂其他答案；回答非选择题时，写在试卷上无效. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 2. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3. 椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程，结合离心率的定义可以得出答案. 【详解】由题意知，，，又， 所以，解得，又，所以. 4. 已知 则 （ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】由已知等式，显然， 将等式左边分子分母同除以，得，解得. 则. 5. 设f(x)是定义域为的奇函数，且最小正周期为2，若 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以. 又因为是定义域为的奇函数，所以， 即. 所以. 6. 已知一组数据，，，，，，，，，的平均数为3，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平均数的定义可得，再利用基本不等式求出取最小值时的取值，最后代入方差公式计算即可. 【详解】由题意可得：，则，其中. 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立，满足条件， 所以 , ， 所以这组数据的方差为. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求，答错得0分，答对部分得部分分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据1， 2， 3， 4， 5， 6的75%分位数是5 B. 数据的方差是1， 则的方差是3 C. 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) D. 若事件A与B互斥， 且P(A)=0.2， P(B)=0.3， 则P(A∪B)=0.5 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，，故数据1， 2， 3， 4， 5， 6的75%分位数是5，A选项正确 对于B，根据方差的性质，原数据方差是，新数据的方差为，B选项错误. 对于C，根据相互独立事件的定义，若事件与事件相互独立，则，C选项正确. 对于D，事件与互斥，，，D选项正确. 10. 已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点P，使得的面积为2 C. 椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合△ABF₂的周长为8的条件，即可求出的值，从而判断选项A；由椭圆中焦点三角形最大面积为，求出最大面积即可判断选项B；分情况考虑直角三角形的顶点，即可判断选项C；先内切圆的面积公式可知最大时，内切圆半径最大，求出内切圆半径；再由正弦定理可得外接圆半径的等量关系，当时，此时外接圆半径最小，求出最小值，即可判断选项D. 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 11. 如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD 是边长为1的菱形，且 CA₁⊥平面C₁BD， 则（ ） A. BD⊥CC₁ B. BD₁与AC所成角的余弦值为 C. D. 平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证线面垂直，再由线面垂直得到线线垂直，可判断A选项，以为基底，表示出和，利用向量法可求得与所成角的余弦值，可判断B选项，用基底表示出，再根据可求得，可以判断C选项，先求出，再求出平行六面体的高，再根据体积公式计算的体积. 【详解】 连接，平面，, 又为菱形，， 平面，且，平面， 又平面，，A选项正确. 记，由题意，，，， ，， 平面，，， 整理得，得，可得, ，， ， ， 记与所成角为，则，B选项正确. ，，C选项错误. 易知在平面上的射影在上， 设平行六面体的体积为，高为， ，， ，D选项正确. 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出复数，再由模公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点， 且 时，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，分析可知四边形为平行四边形，可得出，，利用椭圆的定义结合余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】在椭圆中，，，则，即、， 因为椭圆和直线都关于原点对称，易知点、也关于原点对称， 即点为线段、的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，， 由椭圆定义可得， 由余弦定理可得， 即，解得， 故. 14. 已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得中有一个为0，一个为正，一个为负，令，设为，由题设可得所求表达式关于的表达式，据此可得答案. 【详解】由解析式及， 则全为0， 或中有一个为0，一个为正，一个为负. 若全为0，因为， 则、、两两垂直，这与、、为三个不同的平面向量矛盾. 则中有一个为0，一个为正，一个为负. 令，设， 如下图及题设可得，. 因此 . 因为，则， 则. 所以所求范围是. 四、解答题：本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯(约公元前262—190年)发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数(且)，则点M的轨迹是圆. 后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 已知，C为平面内的一个动点，且满足. （1）求点C的轨迹方程； （2）设直线l经过点，且l与点C的轨迹相交所得弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据两点之间距离公式，建立等量关系，化简整理即可得到点C的轨迹方程； （2）分直线斜率存在和斜率不存在两种情况，分别根据弦长为建立等量关系，即可求解. 【小问1详解】 设点，， 则由两点间距离公式可得， 两边同时平方，化简整理得，所以点的轨迹方程为； 【小问2详解】 由（1）可知圆心为，半径，由题可知， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为，此时圆心到l的距离， 弦长为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，又经过点， 设直线方程为，即， 则圆心到其距离， 又弦长为，所以由弦长为建立等量关系，可得， 两边平方化简整理得，解得， 所以直线方程为，即. 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． （1）若，求a； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【小问1详解】 由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $