湖南邵阳市邵东市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次监测数学试题

2026年下学期高二第一次监测数学试卷（参考答案） 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AC 10．BCD 11．AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．（或或） 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．答案：（1）；（2） 解析：（1）由，得，则，又，则． （2）由，即，因为为的中点，所以， 则， 即，由余弦定理得，即． 16．答案：（1）；（2）①；②或． 解析：（1）（方法一）由题意得：，则，得， 所以的取值范围为． （方法二）由，得，所以的取值范围为． （2）①由题意得到的距离， 则圆的半径为，得． ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为． 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即． 由，得， 所以所求的切线方程为，即． 综上，过点的圆的切线方程为或． 17．答案：（1）；（2） 解析：（1）令，其图象开口向下、对称轴为， 又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立． 则，且，解得，故的取值范围为． （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4． 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则，即对一切成立． 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为． 18．答案：（1）见解析；（2）；（3） 解析：（1）如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故． 又平面平面，交线为，平面，故平面． 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点，故． 所以，，， ，故； ，故． 因为，且，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）平面即为底面，取其一个法向量． 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即． 所以． 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为． （3）设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即，， 由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为． 19．答案：（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析． 解析：（1）由题可知任意，，且，，即， 解得，因为，所以解得，即的取值范围为． （2）由好函数定义，取，，则，又，故， 再取，，则，得， 两式相加得，证明完毕． （3）由是上的“好函数”可知，当时，， 令，，，则，即， 故， 化简可得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高二第一次监测数学试卷 时间：120分钟；总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．直线的倾斜角为，则（ ） A． B． C． D． 2．若直线：与：（）平行，则与间的距离是（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则（ ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，．若直线：与线段相交，则的范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A．某小组有名男生和名女生，从中任选名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B．，，，，，，，的上四分位数是 C．已知事件，相互独立，，，则 D．数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为 10．已知函数（，）且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A．若的一个对称中心为，则 B．若为偶函数，则 C．若在区间内有三个零点，则 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，，，则下列说法正确的是（ ） A．当时，平面 B．当时，长度的最小值为 C．当时，存在点，使得与平面所成的角为 D．当，时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是__________． 13．写出与圆和都相切的一条直线的方程：__________． 14．已知函数，若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在中，角，，所对的边分别是，，，的面积为，且． （1）求角； （2）若为的中点，，的面积为，求． 16．已知圆：． （1）求的取值范围． （2）已知直线：与圆交于，两点，且． ①求； ②求过点的圆的切线方程． 17．已知函数． （1）若在上单调递减，求实数的取值范围； （2）设，若对于，，恒成立，求实数的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是正三角形．侧面底面，是的中点． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的余弦值． （3）求点到平面的距离． 19．定义在区间上的函数满足：若对任意，，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）设是上的“好函数”，且，求证：． （3）已知是上的“好函数”，设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $