第1章 三角形 单元复习（9大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学单元复习讲义以“三角形”为核心，通过表格梳理三角形分类、全等判定等知识点，用思维导图呈现从概念到性质再到应用的逻辑脉络，突出三边关系、全等判定、等腰三角形等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“三角形三边关系辨析”强化运算能力，培优题型“全等三角形证明”培养推理意识，压轴题型“折叠变换综合”发展空间观念。每个题型配解题技巧和易错点提醒，帮助学生从数学角度分析问题，教师可据此实施精准分层教学，支持学生自主复习提升。

第1章 三角形 知识点 1：三角形的基本概念与分类   1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形。   2. 三角形分类： 分类依据 类型 按角分类 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分类 不等边三角形；等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）   3. 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点 2：三角形内角、外角   1. 内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个和它不相邻的内角。 知识点 3：三角形的重要线段   1. 高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高；三条高（或延长线）交于一点。   2. 中线：连接三角形顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线交于重心，中线把三角形分成面积相等的两部分。   3. 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于一点。 知识点 4：全等三角形概念与性质   1. 全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。   2. 符号记作，书写时对应顶点字母写在对应位置，便于快速识别对应边角。   3. 全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等；对应中线、对应角平分线、对应高相等。   4. 全等变换：平移、翻折、旋转，变换前后图形全等，只改变位置，形状大小不变。 知识点 5：全等三角形判定定理   1. SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。   2. ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。   3. AAS（角角边）：两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。   4. SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等；同时解释三角形的稳定性。   5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，只适用于直角三角形。   6. 注意：、不能作为普通三角形全等的判定依据。 知识点 6：全等三角形判定解题思路   1. 已知两边：找第三边用 SSS；找夹角用 SAS；若是直角三角形可尝试 HL。   2. 已知一边一角：若是边的邻角，可找邻角 (ASA)、找夹角边 (SAS)、找对角 (AAS)；若是边的对角，找另外一组角 (AAS)。   3. 已知两角：找夹边 (ASA)，或找任意一组对边 (AAS)。 知识点 7：等腰三角形的性质与判定   1. 性质（等边对等角）：等腰三角形两底角相等；等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合（三线合一）。   2. 判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。   3. 等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于；具备三线合一。   4. 等边三角形判定：三边相等；三个角都相等；有一个角是的等腰三角形。 知识点 8：角平分线的性质与判定   1. 性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等；不需要再通过全等证明线段相等。   2. 判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。   3. 常用辅助线：看到角平分线，向角的两边作垂直。 知识点 9：尺规作图（三角形相关）   1. 尺规作已知角的平分线，作图依据 SSS 全等。   2. 已知三边、两边夹角、两角夹边作三角形，作图原理为全等判定。   3. 尺规作图只能使用无刻度直尺和圆规。 【基础必考题型】 【题型 1】三角形三边关系辨析 1.核心知识点:   三角形三边关系；可以构成三角形的条件；已知两边求第三边取值范围。 2.解题方法技巧:   ①较小两条线段之和大于最长线段，即可判断可以组成三角形；   ②已知两边，第三边取值：两边之差第三边两边之和；   ③注意题目是否说明为整数边长。 【例题1】.（25-26七年级上·福建龙岩·开学考试）下面四组小棒，（     ）组中的三根小棒无法围成三角形．（单位：厘米） A． B． C． D．3、3、5 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题1-2】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如果三角形的三条边的长度分别为a，4，6，那么整数a的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型 2】三角形内角外角基础计算 1.核心知识点:   三角形内角和；外角性质；直角三角形两锐角互余。 2.解题方法技巧:   ①求角度优先标记已知角，利用外角转化；   ②出现多个未知角可以设未知数，列方程求解；   ③分清外角对应的 “不相邻内角”，不要错误加入相邻内角。 【例题2】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，则的度数________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）直角三角形两锐角的差是，则较大的锐角度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山东德州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【题型 3】添加条件判定三角形全等 1.核心知识点:   SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定；排除 SSA、AAA。 2.解题方法技巧:   ①看清已经给出的条件，分析还缺少哪一组边角；   ②SAS 务必确认是 “夹角”，不要写边边角；   ③直角三角形可以优先考虑 HL 定理。 【例题3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【变式题3-3】.（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【题型 4】全等三角形基础角度线段求解 1.核心知识点:   全等三角形性质；线段、角度的和差计算。 2.解题方法技巧:   ①先证明全等，再利用对应边、对应角相等进行等量代换；   ②复杂图形标记相等边角；   ③区分 “文字说两个三角形全等” 和符号 “≌”，前者无固定对应关系。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，在上截取，连接，． (1)与相等吗？为什么？ (2)求的度数． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点D恰好在的延长线上． (1)是怎样的三角形？ (2)若，求的度数； (3)若，求的面积． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，边的中垂线交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求的周长． 【题型 5】等腰三角形性质基础计算 1.核心知识点:   等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形角度特点。 2.解题方法技巧:   ①没有说明顶角底角，需要分类讨论；   ②“三线合一” 成立的前提必须是等腰三角形，且针对底边；   ③等边三角形所有内角都是。 【例题5】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 【题型 6】角平分线性质基础应用 1.核心知识点:   角平分线性质定理、判定定理；点到直线的距离即垂线段长度。 2.解题方法技巧:   ①看到角平分线，优先作两边垂线得到相等线段；   ②使用性质必须要有 “垂直” 条件；   ③判定定理强调点在角的内部。 【例题6】.（25-26八年级下·广东清远·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【变式题6-1】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【培优高频题型】 【题型 7】尺规作图结合全等分析 1.核心知识点:   尺规作角平分线、作三角形；作图背后全等原理；根据作图结果推理。 2.解题方法技巧:   ①看懂尺规作图痕迹，找出相等半径得到相等线段；   ②回忆作图依据是 SSS；   ③结合作图条件，推导边角关系，完成计算证明。 【例题7】.（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【变式题7-2】.（2026·河南平顶山·一模）开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： (1)请你将上述讨论过程补充完整． (2)完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）实践探究：尺规作图作角平分线 学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】作的平分线 【实验操作】甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的依据是①________，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是②_______；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 (1)请将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分． 【题型 8】全等三角形标准证明题 1.核心知识点:   全等五大判定定理；公共边、公共角、对顶角等隐含条件；几何证明书写格式。 2.解题方法技巧:   ①先梳理要证全等的两个三角形，把已知条件逐条列出；   ②善于挖掘题目隐藏条件（平行得等角，对顶角相等）；   ③证明结束后，如需继续推导线段角相等，使用 “全等三角形对应 XX 相等”。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，点是延长线上一点，连接交于点，且，，试说明：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）解不等式及证明 (1)解不等式：． (2)如图，，且点在同一直线上，点在同一直线上．若，求证：． 【变式题8-2】.（2026·福建福州·模拟预测）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 【题型 9】等腰三角形的证明判定 1.核心知识点:   等角对等边；等边三角形判定；平行线 + 角平分线构造等腰模型。 2.解题方法技巧:   ①证明等腰三角形，优先证明两个内角相等；   ②看到角平分线 + 平行线，基本可以得到等腰三角形；   ③证明等边三角形，优先寻找条件。 【例题9】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【变式题9-2】.（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． (1)【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； (2)【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； (3)【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值(用含k的代数式表示)． 【压轴素养题型】 【题型 10】全等三角形实际情境应用题 1.核心知识点:   全等三角形判定与性质；测量距离的现实模型。 2.解题方法技巧:   ①剥离生活情境，抽象出几何图形；   ②找到题目中相等的边角条件；   ③利用全等，把不可直接测量的线段转化为可测量线段。 【例题10】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点、之间的距离米； ②准备一根长为米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米．    说明 ，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）淇淇准备用所学的数学知识测量一池塘的宽度（确保安全），测量方案如图所示：点、之间的距离为池塘的宽度，在经过点的直线上取点、、，在直线的另一侧取点，连接、、，且，测得，，，已知图中所有点均在同一平面内，求池塘的宽度． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）项目式学习：测量魁星阁的高度 项目主题：测量魁星阁的高度 项目背景 南海桂城礌岗山顶的魁星阁，是一座七层仿古建筑，它是千灯湖片区的制高点，被誉为“南海桂城新地标”．研学活动中，班同学成立项目小组，打算测量魁星阁的高度． 工具 米标杆、皮尺、测角仪（可测量角度的大小）、粉笔 测量结果 测量后初步简化的几何图形如图所示，地面水平，魁星阁底部为点，顶部为点，与均垂直于地面；标杆底部为点，顶部为点，；、在同一直线上，． 任务一：【建立模型】 要利用全等三角形将不可直接测量的魁星阁高度转化为地面可测线段，需在线段上合理选取并标出点． (1)要使，必须等于_________度． (2)与必须满足的数量关系是_________． (3)请根据问题1和问题2的结论，在图中画出点的位置，连接，． 任务二：【推理计算】 (4)根据任务一，小组按全等条件确定点后，请求出魁星阁的高度． 任务三：【深度探究】 (5)同学提出猜想：若与满足一定的数量关系，且（小于），就一定有．请你证明这个猜想． 【题型 11】折叠变换与三角形综合 1.核心知识点:   折叠前后图形全等；对应边角相等；等腰三角形综合推理。 2.解题方法技巧:   ①折叠即全等，折叠前后对应边相等，对应角相等；   ②标出折叠产生的相等角、相等边；   ③经常结合内角和、外角建立方程求解。 【例题11】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． 【变式题11-1】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【变式题11-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）长方形是四个角都是直角的四边形，它共有四条边，对边长度相等且互相平行，通常把较长的边叫做长，较短的边叫做宽．生活中课本、课桌、黑板等物体的表面，大多都是长方形． (1)如图，长方形纸片沿着折叠，使得点落在处，沿着折叠，使得点落在边上的处．你能求出的度数吗？ (2)如图，在一张纸片（长方形）沿着折叠，点对应点在边上，将沿折叠，此时恰好与重合，折痕交于． 连接、，与全等吗？请用七年级所学知识说明理由． 设长方形的长为，宽为，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【题型 12】手拉手与旋转全等探究题 1.核心知识点:   旋转全等模型；等边、等腰三角形综合；探究线段、角度关系。 2.解题方法技巧:   ①找共顶点的两组相等边，推导夹角相等，证 SAS 全等；   ②先证明全等，再推导线段数量、位置关系；   ③探究问题，第一问结论常常可以迁移到第二第三小问。 【例题12】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【变式题12-1】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 【变式题12-3】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． (1)如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． (2)将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 易错点 1. 使用 SAS 判定全等，误把 “边边角 SSA” 当作判定条件，忽略角必须是两条边的夹角。 2. 找全等三角形对应边、对应角出错；忽略 “≌” 符号自带对应关系，文字表述 “两个三角形全等” 没有固定对应。 3. 等腰三角形 “三线合一” 乱用，没有确认是底边，就直接使用中线、高、角平分线互相重合。 4. 等腰三角形题目没有分类讨论；算出边长之后，忘记检验三边关系，保留无效解。 5. 使用角平分线性质，漏掉垂直条件，直接认为线段相等。 6. HL 判定只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL。 7. 几何证明跳步骤，遗漏公共边、公共角、对顶角这类题目没有写出来的隐含条件。 重点 1. 三角形三边关系、内角和与外角性质，基础角度、边长计算。 2. 全等三角形的性质，SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五大判定定理。 3. 等腰三角形等边对等角、等角对等边，三线合一性质及判定。 4. 角平分线的性质定理与判定定理，基础辅助线做法。 5. 规范几何证明书写，会挖掘图形隐含条件，完成简单证明。 难点 1. 复杂图形识别全等三角形，准确找到对应边角，处理旋转、翻折变换后的图形。 2. 动点问题，全等存在性，多情况分类讨论，取舍不合理解。 3. 等腰三角形多解问题，结合三边关系、内角和综合计算。 4. 旋转手拉手模型、折叠问题，线段与角度的探究证明。 5. 阅读理解、情境建模，把实际问题转化三角形几何模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 2．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 5．如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接并延长交边于点，过点作交于点．若，，，则的面积为______． 6．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 三、解答题 7．如图，在和中，，，试说明平分． 8．如图，，，．求证：． 9．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 10．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 知识点 1：三角形的基本概念与分类   1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形。   2. 三角形分类： 分类依据 类型 按角分类 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分类 不等边三角形；等腰三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）   3. 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点 2：三角形内角、外角   1. 内角和定理：三角形三个内角的和等于。   2. 直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。   3. 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；外角大于任意一个和它不相邻的内角。 知识点 3：三角形的重要线段   1. 高线：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形的高；三条高（或延长线）交于一点。   2. 中线：连接三角形顶点和对边中点的线段叫中线；三条中线交于重心，中线把三角形分成面积相等的两部分。   3. 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于一点。 知识点 4：全等三角形概念与性质   1. 全等定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。   2. 符号记作，书写时对应顶点字母写在对应位置，便于快速识别对应边角。   3. 全等三角形性质：对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等；对应中线、对应角平分线、对应高相等。   4. 全等变换：平移、翻折、旋转，变换前后图形全等，只改变位置，形状大小不变。 知识点 5：全等三角形判定定理   1. SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。   2. ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。   3. AAS（角角边）：两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。   4. SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等；同时解释三角形的稳定性。   5. HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，只适用于直角三角形。   6. 注意：、不能作为普通三角形全等的判定依据。 知识点 6：全等三角形判定解题思路   1. 已知两边：找第三边用 SSS；找夹角用 SAS；若是直角三角形可尝试 HL。   2. 已知一边一角：若是边的邻角，可找邻角 (ASA)、找夹角边 (SAS)、找对角 (AAS)；若是边的对角，找另外一组角 (AAS)。   3. 已知两角：找夹边 (ASA)，或找任意一组对边 (AAS)。 知识点 7：等腰三角形的性质与判定   1. 性质（等边对等角）：等腰三角形两底角相等；等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高互相重合（三线合一）。   2. 判定（等角对等边）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。   3. 等边三角形性质：三边相等，三个内角都等于；具备三线合一。   4. 等边三角形判定：三边相等；三个角都相等；有一个角是的等腰三角形。 知识点 8：角平分线的性质与判定   1. 性质定理：角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等；不需要再通过全等证明线段相等。   2. 判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。   3. 常用辅助线：看到角平分线，向角的两边作垂直。 知识点 9：尺规作图（三角形相关）   1. 尺规作已知角的平分线，作图依据 SSS 全等。   2. 已知三边、两边夹角、两角夹边作三角形，作图原理为全等判定。   3. 尺规作图只能使用无刻度直尺和圆规。 【基础必考题型】 【题型 1】三角形三边关系辨析 1.核心知识点:   三角形三边关系；可以构成三角形的条件；已知两边求第三边取值范围。 2.解题方法技巧:   ①较小两条线段之和大于最长线段，即可判断可以组成三角形；   ②已知两边，第三边取值：两边之差第三边两边之和；   ③注意题目是否说明为整数边长。 【例题1】.（25-26七年级上·福建龙岩·开学考试）下面四组小棒，（     ）组中的三根小棒无法围成三角形．（单位：厘米） A． B． C． D．3、3、5 【答案】C 【分析】判断两种量是否成正比例，关键看二者的比值是否为定值，逐一判断即可． 【详解】解：A. 圆的周长，（一定），成正比例关系． B. 长宽长方形面积（一定），成反比例关系． C. 等分的段数每段的长度绳子总长（一定），成反比例关系． D. 底面积水高水的体积（一定），成反比例关系． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·辽宁鞍山·开学考试）一个三角形两条边是、，第三条边不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三边长为，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 根据三角形的三边关系得，即， ∴x不能为11， ∴第三边不可能是． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如果三角形的三条边的长度分别为a，4，6，那么整数a的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，解决本题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出a的取值范围，再判断整数a的可能值即可． 【详解】解：∵三角形的三边长为a，4，6， ∴由三角形三边关系得：且， 即且， ∴， ∴整数a可能为3，4，5，6，7，8，9， ∴a不可能为2． 故选：A． 【题型 2】三角形内角外角基础计算 1.核心知识点:   三角形内角和；外角性质；直角三角形两锐角互余。 2.解题方法技巧:   ①求角度优先标记已知角，利用外角转化；   ②出现多个未知角可以设未知数，列方程求解；   ③分清外角对应的 “不相邻内角”，不要错误加入相邻内角。 【例题2】.（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，，则的度数________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理及对顶角相等，可得，将已知条件代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ 解得． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）直角三角形两锐角的差是，则较大的锐角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和定理，结合两锐角的差设未知数列方程求解． 【详解】解：设较大的锐角度数为，则较小锐角度数为， 根据三角形内角和定理得到，， ∴， 解得，，即较大的锐角度数为． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山东德州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在中，，平分，交于点F． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，判断与是否垂直，并说明理由； (3)直接写出当与满足怎样的数量关系时，． 【答案】(1) (2)与不垂直，理由如下： 由（1）知：， 平分， ， ， 与不垂直． (3)当时， 【分析】（1）利用三角形内角和求出的度数，两直线平行，同位角相等,即可求出的度数； （2）判断与是否垂直，看是否为，根据（1）的答案以及角平分线的定义求出的度数，利用三角形内角和求的度数； （3）逆向思维，假设，可以用和代替，过程同第二问，代入即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）略 （3）当时，，理由如下： ∵， ， ， ， 平分， ， 在中，， ， ． 【题型 3】添加条件判定三角形全等 1.核心知识点:   SSS、SAS、ASA、AAS、HL 判定；排除 SSA、AAA。 2.解题方法技巧:   ①看清已经给出的条件，分析还缺少哪一组边角；   ②SAS 务必确认是 “夹角”，不要写边边角；   ③直角三角形可以优先考虑 HL 定理。 【例题3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）在和中，, ,若添加一个条件可使，则添加的这个条件不能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知两边相等, 添加条件使两三角形全等, 需判断各选项是否符合全等定理． 本题考查三角形全等的判定条件,掌握判定条件是解题关键． 【详解】∵, ,   选项A: 添加, 则三边相等, 符合全等条件.； 选项B: 添加, 则两边及其夹角相等, 符合全等条件； 选项C: 添加, 则两三角形为直角三角形, 且斜边, 直角边, 符合全等条件； 选项D: 添加, 但不是已知两边的夹角, 属于条件, 不能保证三角形全等.  ∴ 添加的条件不能是． 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了全等三角形的判定，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键． 首先求出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断选项正误即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 对于A：根据，，，不能推出，∴符合题意； 对于B：∵，，，∴，符合AAS定理，∴不符合题意； 对于C：∵，，，∴，符合SAS定理，∴不符合题意； 对于D：∵，，，∴，符合ASA定理，∴不符合题意； 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 【详解】解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 【变式题3-3】.（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，点、、、在同一直线上，． (1)请你添加一个条件，使得，则这个条件可以是______；（只写一个） (2)根据你所添加的条件，求证：≌． 【答案】(1)或或 (2)证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴≌ ． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌ ． 或证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴≌． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理添加条件即可； （2）在和中，，，由可得出，由三角形全等的判定定理知，添加条件或或，满足SAS，AAS，ASA从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型 4】全等三角形基础角度线段求解 1.核心知识点:   全等三角形性质；线段、角度的和差计算。 2.解题方法技巧:   ①先证明全等，再利用对应边、对应角相等进行等量代换；   ②复杂图形标记相等边角；   ③区分 “文字说两个三角形全等” 和符号 “≌”，前者无固定对应关系。 【例题4】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，在上截取，连接，． (1)与相等吗？为什么？ (2)求的度数． 【答案】(1)相等，理由如下： ∵， ∴点是的中点， ∵， ∴是的角平分线， ∴ (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一、线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． （1）根据“三线合一”可得是的角平分线，即得结论． （2）根据“三线合一”可得是的高线，从而得到，由垂直平分线的性质得，由“等边对等角”得，即可求出结果． 【详解】（1）略． （2）∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， 由（）知：是的高线， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点D恰好在的延长线上． (1)是怎样的三角形？ (2)若，求的度数； (3)若，求的面积． 【答案】(1)为等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的特征，得，，即可得出结论； （2）由为等腰直角三角形，，得的度数，再由旋转的特征，可得出的度数； （3）由旋转的特征，得，，可得，再由，运用直角三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由： 由旋转的特征，得，， 为等腰直角三角形； （2）解：由（1）得为等腰直角三角形， ∴， ， ， 由旋转的特征，得： （3）解：由旋转的特征，得，， ， 为直角三角形， ∵， ． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，边的中垂线交于点，交于点． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为13 【分析】（1）由，根据“等边对等角”及三角形内角和定理可得，根据垂直平分，可得，进而得，即可求得的度数； （2）由（1）得，即可求得的周长． 【详解】（1）解：， ， 边的中垂线交于点， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， 的周长为13． 【题型 5】等腰三角形性质基础计算 1.核心知识点:   等腰三角形等边对等角、三线合一；等边三角形角度特点。 2.解题方法技巧:   ①没有说明顶角底角，需要分类讨论；   ②“三线合一” 成立的前提必须是等腰三角形，且针对底边；   ③等边三角形所有内角都是。 【例题5】.（26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，中，，D是的中点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的性质逐一判断． 【详解】解：， ，故A正确； ，是的中点， ，平分，故B、C正确； 与的数量关系不确定，故D不正确，符合题意． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 【答案】 或 【分析】题目中给出的边长可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需要分两种情况计算，再根据三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况进行计算： 情况1：当为腰长时，底边长为 ， 此时三角形三边长为 ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为， ； 情况2：当为底边长时，腰长为， 此时三角形三边长为，， ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为 ； 综上，该等腰三角形的其他两边长为或． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，过点、分别作，，连接、、，．求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． 又， ， ． 【分析】根据等角对等边可得，再根据证明，即可得． 【详解】略 【题型 6】角平分线性质基础应用 1.核心知识点:   角平分线性质定理、判定定理；点到直线的距离即垂线段长度。 2.解题方法技巧:   ①看到角平分线，优先作两边垂线得到相等线段；   ②使用性质必须要有 “垂直” 条件；   ③判定定理强调点在角的内部。 【例题6】.（25-26八年级下·广东清远·期末）如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 【答案】证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴． 【分析】先证明，得出，说明平分，根据角平分线性质得出即可． 【详解】略 【变式题6-3】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，有两条国道相交于点O，在的内部有两个村庄C、D，现要修建一加油站P，使点P到、的距离相等，且，用尺规作图，作出加油站的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】连接,作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为加油站的位置． 【详解】以点O为圆心，以一定长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线；连接，再分别以点C、D为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线，直线与射线交于点P，点P 即为所作， 作图见答案． 简单证明：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，即有点P到、的距离相等；线段垂直平分线上任意一点，到这条线段两个端点的距离相等，即有，问题得证． 【培优高频题型】 【题型 7】尺规作图结合全等分析 1.核心知识点:   尺规作角平分线、作三角形；作图背后全等原理；根据作图结果推理。 2.解题方法技巧:   ①看懂尺规作图痕迹，找出相等半径得到相等线段；   ②回忆作图依据是 SSS；   ③结合作图条件，推导边角关系，完成计算证明。 【例题7】.（25-26七年级下·广东揭阳·期末）如图，已知线段a，b，，有一个三角形的两条边长分别是a和b，一个内角等于． (1)请你用尺规作一个满足条件的三角形． (2)你是否还能作出既满足条件，又与（1）中所作的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出这样的三角形；若不能，请你说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点O为圆心，为半径画弧交于点D，连接，则即为所求； （2）作，以点O为圆心，为半径画弧交于点C，以点C为圆心，为半径画弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-1】.（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)， (2)解：如图，即为所求 【分析】（1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题7-2】.（2026·河南平顶山·一模）开启作角平分线的智慧之窗． 问题：作的平分线． 作法：如图，甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线． 讨论：大家对甲同学的作法深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是______________； 大家对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定为角平分线．判断的理由是： ，，（依据______________）． 任务： (1)请你将上述讨论过程补充完整． (2)完成对丙同学作法的验证．已知，，求证：平分． 【答案】(1)；等腰三角形的三线合一 (2) 证明：∵， ， ， ， ． ，即． 平分． 【分析】（1）结合甲同学的作法和乙同学的作法，完善推理步骤即可； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：甲同学：如图， 由作图得，， 在与中， ， ， ， 其判定全等的方法是； 乙同学：，， （等腰三角形的三线合一）； （2）略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）实践探究：尺规作图作角平分线 学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 【问题呈现】作的平分线 【实验操作】甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线；工人师傅利用角尺作出了角平分线．在的边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点重合，即，可得为的平分线． 【交流讨论】 大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的依据是利用三角形全等的性质，其判定三角形全等的依据是①________，对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定判定三角形全等的依据是②_______；对丙同学的作法陷入了沉思． 【问题解决】 (1)请将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证．已知，求证：平分． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）在甲同学和工人师傅的作图中可利用证明得到；在乙同学的测量中可利用证明，得到； （2）可证明，再由平行线的性质和等边对等角推出，即可证明平分． 【详解】（1）解：在甲同学和工人师傅的作图中，， 又∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线； 如图所示，在乙同学的测量中， 又∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线； 故答案为：；； （2）略 【题型 8】全等三角形标准证明题 1.核心知识点:   全等五大判定定理；公共边、公共角、对顶角等隐含条件；几何证明书写格式。 2.解题方法技巧:   ①先梳理要证全等的两个三角形，把已知条件逐条列出；   ②善于挖掘题目隐藏条件（平行得等角，对顶角相等）；   ③证明结束后，如需继续推导线段角相等，使用 “全等三角形对应 XX 相等”。 【例题8】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，点是延长线上一点，连接交于点，且，，试说明：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】首先根据全等三角形的性质证明，进而证明，然后根据“同位角相等，两直线平行”证明结论即可． 【详解】略 【变式题8-1】.（25-26七年级下·江西南昌·期末）解不等式及证明 (1)解不等式：． (2)如图，，且点在同一直线上，点在同一直线上．若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）略 【变式题8-2】.（2026·福建福州·模拟预测）已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【答案】证明：∵将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得， 依题意得，， ， ∴． 【分析】根据翻折的性质得出，确定，即可证明． 【详解】略 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北宜昌·阶段检测）如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 【答案】(1) 证明： ， ，， ， 即； (2) 解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ， ，， 则， ∴， ∴， 则， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）结合，则，根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型 9】等腰三角形的证明判定 1.核心知识点:   等角对等边；等边三角形判定；平行线 + 角平分线构造等腰模型。 2.解题方法技巧:   ①证明等腰三角形，优先证明两个内角相等；   ②看到角平分线 + 平行线，基本可以得到等腰三角形；   ③证明等边三角形，优先寻找条件。 【例题9】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点，在上，点在点左侧，，连接，，试说明：． 【答案】解：因为， 所以．     在和中， ， 所以， 所以 【分析】根据证明，即可解决问题． 【详解】略 【变式题9-1】.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中， ，且与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明：，， ， ，， ． ． ． (2)证明：， ， ， ∴点A在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】（1）先推导出，再根据证明，得到，则根据等角对等边进行求解即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，则，得到点A在的垂直平分线上，继而推导出点在的垂直平分线上，得到垂直平分，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-2】.（2026·四川乐山·二模）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为．是由沿方向平移得到的，已知过点，连接交于点． (1)求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明： 是由沿方向平移得到的， ， ， 由（1）可知， ． 为等边三角形， ，， ， ， ． 又， ∴是的垂直平分线， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质及三线合一的性质求出的度数，再根据直角三角形的性质即可求出的度数． （2）根据平移的性质和平行线的性质求出的度数，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质，利用角的和差关系求出的度数，进而推出，根据，利用线段垂直平分的判定即可推出． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 是的中点 ． 又， ， ． （2）略 【变式题9-3】.（25-26七年级下·四川成都·期末）是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． (1)【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； (2)【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； (3)【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)1 (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质及旋转的性质证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，先证明，再证明，得是的中点，即可求解； （3）设，则；过点E作交射线于点F，分两种情况：当点F在线段上时；当点F在线段的延长线上时； 先证明，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 过点E作交的延长线于点F，如图， 则， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的中点， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， 过点E作交射线于点F， 当点F在线段上时，如图3； 同理可证明，则，， 同理可证明，则， ∵， ∴，， ∴； 当点F在线段的延长线上时，如图4； 同理得，则， 同理得，则， ∴， ， ∴； 综上，的值为或． 【压轴素养题型】 【题型 10】全等三角形实际情境应用题 1.核心知识点:   全等三角形判定与性质；测量距离的现实模型。 2.解题方法技巧:   ①剥离生活情境，抽象出几何图形；   ②找到题目中相等的边角条件；   ③利用全等，把不可直接测量的线段转化为可测量线段。 【例题10】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点距水平地面的高度，测量方案如下： 主题 测量斜坡上一点距水平地面的高度 测量方案及示意图 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上点、之间的距离米； ②准备一根长为米的竹竿，并在竹竿顶部系一根足够长的绳子； ③将竹竿竖立在点处（米），拉直绳子，使得绳子； ④用皮尺测得米．    说明 ，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述方案，求该斜坡上一点距水平地面的高度． 【答案】1米． 【分析】分析题目条件，证明即可． 【详解】解：， ． ， ． ． ， ． 在和中， ． 米， 米． 即点距水平地面的高度为1米． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）淇淇准备用所学的数学知识测量一池塘的宽度（确保安全），测量方案如图所示：点、之间的距离为池塘的宽度，在经过点的直线上取点、、，在直线的另一侧取点，连接、、，且，测得，，，已知图中所有点均在同一平面内，求池塘的宽度． 【答案】池塘宽 【分析】利用证明，即可求得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 【答案】 【分析】根据证明，再由全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 答：池塘的宽为． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）项目式学习：测量魁星阁的高度 项目主题：测量魁星阁的高度 项目背景 南海桂城礌岗山顶的魁星阁，是一座七层仿古建筑，它是千灯湖片区的制高点，被誉为“南海桂城新地标”．研学活动中，班同学成立项目小组，打算测量魁星阁的高度． 工具 米标杆、皮尺、测角仪（可测量角度的大小）、粉笔 测量结果 测量后初步简化的几何图形如图所示，地面水平，魁星阁底部为点，顶部为点，与均垂直于地面；标杆底部为点，顶部为点，；、在同一直线上，． 任务一：【建立模型】 要利用全等三角形将不可直接测量的魁星阁高度转化为地面可测线段，需在线段上合理选取并标出点． (1)要使，必须等于_________度． (2)与必须满足的数量关系是_________． (3)请根据问题1和问题2的结论，在图中画出点的位置，连接，． 任务二：【推理计算】 (4)根据任务一，小组按全等条件确定点后，请求出魁星阁的高度． 任务三：【深度探究】 (5)同学提出猜想：若与满足一定的数量关系，且（小于），就一定有．请你证明这个猜想． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)解：， 猜想证明： 在中，， ，，三点共线， ， ， ， 在和中：， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，所以； （2）根据全等三角形的性质可得； （3）根据题意画出图形； （4）根据全等三角形的性质可知，利用即可求出魁星阁的高度； （5）当（小于）时，可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】（1）解：如下图所示， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ； （3）如图所示，点即为所求， （4）解：，， ， ， ， ， （同角的余角相等）， 在和中：， ， ， ，， ， ， 答：魁星阁的高度为； （5）任务三：略 【题型 11】折叠变换与三角形综合 1.核心知识点:   折叠前后图形全等；对应边角相等；等腰三角形综合推理。 2.解题方法技巧:   ①折叠即全等，折叠前后对应边相等，对应角相等；   ②标出折叠产生的相等角、相等边；   ③经常结合内角和、外角建立方程求解。 【例题11】.（25-26七年级下·广东深圳·期末）综合与实践 小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完轴对称的相关知识之后，他发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识，于是他找到若干张相同的长方形纸片，进行研究．在长方形纸片（）的边上找到一点，然后沿着进行折叠，点落在点处． (1)如图1，小明测量得，则_____； (2)如图2，小明继续对纸片进行折叠，他将纸片沿折叠，使得点落在点处，测量得，求的大小； (3)如图3，小明继续调整点的位置，将长方形纸片沿着和进行折叠，若点经过折叠后，点恰好落在线段上．小明同学通过观察与测量后，猜想：．你认为小明的猜想成立吗？请说明理由． 【答案】(1)108 (2) (3)小明的猜想成立，理由如下： 如图1，过点作于点， 在长方形中，，，， ∴， 由折叠可得：， ，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以， 所以． 【分析】（1）根据折叠的性质及平角的意义进行求解即可； （2）由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解； （3）过点作于点，由题意易得，由折叠可得：，，，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知：， ∴； （2）解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 【变式题11-1】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， 根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，进而求出，然后求出，则此题可解； （2）由题意得，再根据折叠的性质可得，然后根据平角定义和三角形内角和定理求出，进而得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案； （3）根据平行线的性质得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据折叠的性质得，接下来根据平角定义得，即可得出，则此题可解． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 根据折叠的性质可得， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）略 【变式题11-2】.（25-26七年级下·广东佛山·期末）长方形是四个角都是直角的四边形，它共有四条边，对边长度相等且互相平行，通常把较长的边叫做长，较短的边叫做宽．生活中课本、课桌、黑板等物体的表面，大多都是长方形． (1)如图，长方形纸片沿着折叠，使得点落在处，沿着折叠，使得点落在边上的处．你能求出的度数吗？ (2)如图，在一张纸片（长方形）沿着折叠，点对应点在边上，将沿折叠，此时恰好与重合，折痕交于． 连接、，与全等吗？请用七年级所学知识说明理由． 设长方形的长为，宽为，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)解： 与全等，理由如下， 由折叠性质可知，，，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 由折叠性质得， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ． 【分析】由折叠性质可知，，又，则有，从而求解； 由折叠性质可知，，，，，故和是等腰直角三角形，所以，得，证明，则有，所以，然后通过“”证明即可； 由题意得，，则，再通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∴，即的度数为； （2）解：略； ∵长方形的长为，宽为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·山东临沂·期中）【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 由折叠知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是： （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 根据角平分线的性质得出，，得出，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴，， ∴ ； （2）略 （3）解：如图，过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接 由折叠知，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【题型 12】手拉手与旋转全等探究题 1.核心知识点:   旋转全等模型；等边、等腰三角形综合；探究线段、角度关系。 2.解题方法技巧:   ①找共顶点的两组相等边，推导夹角相等，证 SAS 全等；   ②先证明全等，再推导线段数量、位置关系；   ③探究问题，第一问结论常常可以迁移到第二第三小问。 【例题12】.（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，已知，，，点在的延长线上，满足． (1)_____． (2)求证：； (3)求证：是等腰直角三角形； (4)若，四边形的面积为_____．（用含的代数式表示）（提示：由于，四边形的面积和的面积相等） 【答案】(1) (2)证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴． (3)证明：由（2）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (4) 【分析】（1）根据平角的定义即可得出答案； （2）利用角的和差关系得出，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，根据，利用角的和差关系得出，即可证明是等腰直角三角形； （4）根据全等三角形的性质得出，结合（3）中结论，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点在的延长线上， ∴． （2）证明：略 （3）证明：略 （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式题12-1】.（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． (1)【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 如图，在正方形中，，，E、F分别是边上的点，连接、且．将绕点B按逆时针方向旋转至，则点M在的延长线上，． (1)证明 (2)判断是否成立； 【答案】(1) 证明：∵将绕点B按逆时针方向旋转至， ∴， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：成立，理由如下， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴成立． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据旋转的性质得出，，，然后证明即可； （2）根据全等三角形的性质，进行判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题12-3】.（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接． (1)如图1，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小． (2)将图1中的绕点旋转，连接，，如图2． ①探究与的位置关系，并说明理由； ②当直线经过的中点时，求证：． 【答案】(1)旋转中心是点，旋转角是 (2) ①解：， 理由如下， 由旋转可知 ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ； ②证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， 则有， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】(1)由旋转的性质得到旋转中心和旋转角； (2)由旋转可知，根据全等三角形的性质可知，由三角形内角和定理可得，可得：，可知； (3)过点作，交的延长线于点，可证，由全等三角形的性质可得，，从而可证，由可知，，由角之间的关系可得，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：可以由绕点逆时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是； （2）略 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形、平行线的判定，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、角之间的关系． 易错点 1. 使用 SAS 判定全等，误把 “边边角 SSA” 当作判定条件，忽略角必须是两条边的夹角。 2. 找全等三角形对应边、对应角出错；忽略 “≌” 符号自带对应关系，文字表述 “两个三角形全等” 没有固定对应。 3. 等腰三角形 “三线合一” 乱用，没有确认是底边，就直接使用中线、高、角平分线互相重合。 4. 等腰三角形题目没有分类讨论；算出边长之后，忘记检验三边关系，保留无效解。 5. 使用角平分线性质，漏掉垂直条件，直接认为线段相等。 6. HL 判定只适用于直角三角形，普通三角形不能使用 HL。 7. 几何证明跳步骤，遗漏公共边、公共角、对顶角这类题目没有写出来的隐含条件。 重点 1. 三角形三边关系、内角和与外角性质，基础角度、边长计算。 2. 全等三角形的性质，SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五大判定定理。 3. 等腰三角形等边对等角、等角对等边，三线合一性质及判定。 4. 角平分线的性质定理与判定定理，基础辅助线做法。 5. 规范几何证明书写，会挖掘图形隐含条件，完成简单证明。 难点 1. 复杂图形识别全等三角形，准确找到对应边角，处理旋转、翻折变换后的图形。 2. 动点问题，全等存在性，多情况分类讨论，取舍不合理解。 3. 等腰三角形多解问题，结合三边关系、内角和综合计算。 4. 旋转手拉手模型、折叠问题，线段与角度的探究证明。 5. 阅读理解、情境建模，把实际问题转化三角形几何模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，点在边上，连接．若的面积为，的面积为，则是的（     ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．任意一条线 【答案】A 【分析】设的边上的高为，求出的面积为，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：设的边上的高为， ∵的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∴， ∴， ∴是的中线． 2．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知 即 ，且隐含公共边 ，根据全等三角形判定定理 逐项验证即可． 【详解】解：由图可知 ， 在和 中，隐含条件 A 项：添加，结合，，属于，不符合全等三角形判定定理，不能判定 B 项：添加，结合，，符合，能判定 C 项：添加，结合，，符合 ，能判定 D 项：添加，结合，，符合，能判定 ． 3．下列说法正确的有（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】区分三角形的角平分线与角的平分线，明确不同类型三角形高的位置，结合相关性质逐一判断各说法即可． 【详解】解：①∵三角形的角平分线是线段，不是射线，∴该说法错误.； ②∵三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，∴该说法正确.； ③∵钝角三角形有两条高在三角形外部，∴该说法错误； ④∵三角形中线分得的两个三角形等底同高，∴面积相等，该说法正确.． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题 4．如图，在四边形中，，，连接，若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】作于点，证明，求得，，根据列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在中，点在边上，连接，点在上，连接并延长交边于点，过点作交于点．若，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用邻补角的定义得出，根据全等三角形的性质得出，，进而求出，根据平行线的性质得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵连接并延长交边于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 6．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 三、解答题 7．如图，在和中，，，试说明平分． 【答案】解：在与中， ， ， ， ∴平分． 【分析】根据证明即可得到结论． 【详解】略 8．如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，得到，进而即可证明． 【详解】略． 9．按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出边上的高． (2)在方格纸中，过点C画线段的垂线，垂足为D，并量出C点到线段所在的直线的距离． 【答案】(1)如下图，即是要画的边上的高． (2) C点到线段所在的直线的距离是线段的长度，为． 【分析】（1）画三角形的高关键是从对顶点向边（或延长线）作垂线，钝角三角形的高会落在图形外面． （2）点到直线的距离指垂线段的长度，不是线段本身，作图后测量垂线段即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $