专题02 一定是直角三角形吗 重难点题型专项训练（1个知识点+5大题型+自我检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以勾股数为核心，通过“概念-题型-应用”三级体系，系统构建直角三角形判定的方法链，融合基础巩固与能力提升，培养推理意识与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|1知识点+2即时训练|勾股数定义、构造公式、倍数性质|概念生成→性质推导→初步应用| |基础题型|5类（含勾股树、网格判断等）|逆定理直接应用、面积关系转化|简单判断→图形应用→实际场景| |提高题型|3类（求长度/角度/面积）|辅助线构造、动态问题分类|综合应用→复杂推理→模型构建|

专题02 一定是直角三角形吗重难点题型专训（1个知识点+5大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、勾股树（数）问题 1 题型二、判断三边能否构成直角三角形 2 题型三、在网格中判断直角三角形 3 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 4 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 5 第二部分·练提高题型 题型一、利用勾股定理的逆定理求长度 1 题型二、利用勾股定理的逆定理求角度 2 题型三、利用勾股定理的逆定理求面积 3 第三部分・自我检测 知识点01 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 2．（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 【基础题型一 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 【答案】A 【分析】根据勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方逐一验证即可得到结果． 【详解】解：根据勾股数定义，首先三个数必须都是正整数， ∵选项C中不是正整数，选项D中和不是正整数，∴排除C，D； 对选项B：最大数为15，计算得，，， 故选项B中三个数不是勾股数； 对选项A：6，8，10都是正整数，且，满足勾股数定义，∴选项A符合题意． 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第4个勾股数组中间的数为：，即可得出结论． 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)；；；；发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数 (2) ① ② (3) 当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，（为正整数，为非负整数） 则： 为奇数，又 是偶数． 综上所述，是偶数． 【分析】（1）观察规律发现各组勾股数之和为偶数； （2）①将，代入计算即可求解；②代入，，即可求解； （3）仿照例题证明即可． 【详解】（1）解：；； ；； 发现：每组勾股数中三个数字的和为偶数； （2）略； （3）略． 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·天津北辰·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．，， D．6，8，10 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理，验证各组数中两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可得出结论． 【详解】解：∵ 对于选项A，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项B，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项C，最长边长为，，，， ∴不能构成直角三角形，不符合题意； 对于选项D，最长边长为，，，满足， ∴能构成直角三角形，符合题意． 【例2】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，中，是边的中线，，，，的面积为______． 【答案】120 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，首先根据中线的定义得，则有.根据勾股定理的逆定理得，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵中，是边的中线， ∴ ∵， ∴， ∴是直角三角形，则， ∴的面积是：． 故答案为：120． 1．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断直角三角形，只需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得出结论． 【详解】解：选项A，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，A错误； 选项B，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，B错误； 选项C，最长边， ，，， 不能构成直角三角形，C错误； 选项D，最长边， ，，， 能构成直角三角形，D正确． 2．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 3．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】根据求出，即可得出，从而可判断三角形的形状． 【详解】略 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 【答案】C 【分析】在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论． 【详解】解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF， ∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD= ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 _________________．    【答案】/ 【分析】连接，判定是等腰直角三角形，再根据勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，且，依据三角形面积计算公式，即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是求出是等腰直角三角形，再求出． 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理可得： 在中， 是直角三角形， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； (2)24； (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【基础题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可. 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和， ∴这块沙地的面积为. 【例2】（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【答案】7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 2．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为崇左市，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．崇左市受台风影响吗？为什么？ 【答案】解：崇左市受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于点H， ∵点与直线上两点，的距离分别为和，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴崇左市受台风影响． 【分析】过点C作于点H，可证明，得到，利用等面积法求出的长，再与50比较即可得到结论． 【详解】略 【提高题型一 利用勾股定理的逆定理求长度 】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点是上一点，连接，，，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先在△CDB中，BC2＝CD2＋DB2，由勾股定理的逆定理得到△CDB为直角三角形，所以∠CDB＝90°，在Rt△ADC中由勾股定理可求出AD的值，从而求出AB＝AD＋DB＝4. 【详解】解：在△CDB中，BC2＝22＝4，CD2＋DB2＝， ∴ BC2＝CD2＋DB2， ∴△CDB为直角三角形， ∴∠CDB＝90°，∠ADC=90° 在Rt△ADC中，由勾股定理可得， ∴AB＝AD＋DB＝4 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握勾股定理和逆定理的应用方法是本题的解题关键. 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是的高,，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式的应用，解题的关键是先通过勾股定理的逆定理判断为直角三角形，再利用直角三角形面积的两种表示方法列等式求高． 先计算与的和等于，可判断的形状为直角三角形，再分别用两直角边和斜边与斜边上的高表示三角形面积，通过面积相等列等式求解． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形，且． 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）用一根长为的绳子围成，已知． (1)的长为_____． (2)求点到的距离． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由题意得的周长为，再根据即可求解； （2）先证明是直角三角形，且，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得的周长为， ∵， ∴； （2）解：在中， ，且 ， ， 是直角三角形，且， 点到的距离为． 【提高题型二 利用勾股定理的逆定理求角度 】 【例1】（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 【例2】（2026七年级下·广西·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴，， 在中，， ，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴的度数为； 四边形的面积的面积的面积 ， ∴四边形的面积为． 故答案为：， 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·阶段检测）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）． A．90° B．100° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】将绕点逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数． 【详解】解：为等边三角形， ， 可将绕点逆时针旋转得， 如图，连接， ，，， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形，解题的关键是掌握旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 2．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____． 【答案】90°/90度 【分析】根据三角形面积公式求出AC=4，根据勾股定理逆定理即可求出∠ACB=90°． 【详解】解：∵DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6， ∴×AC×DE=6， ∴AC=4， ∴， ∵AB＝5， ∴AB2＝25， ∴， ∴∠ACB=90°． 故答案为：90° 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形的面积应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题关键． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 【提高题型三 利用勾股定理的逆定理求面积 】 【例1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【答案】C 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，3，6时，围成的三角形面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是， ∵， 因为当选取2，3，4；2，3，6；3，4，5；4，5，6；四种情况时，都不能构成直角三角形， ∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，3，6． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米．    【答案】 【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题． 【详解】解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足， 为直角三角形， ， 、、三点共线，、、三点共线， 为直角三角形，（厘米），（厘米）， ∴（平方厘米） （平方厘米） ∴（平方厘米）． ∵（平方厘米） ∴阴影四边形的面积（平方厘米）． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键． 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若的三边分别为8、15、17，则的面积是（    ） A．68 B．60 C．120 D．134 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】，     是直角三角形， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在计算三角形面积之前先判定是直角三角形是解题的关键． 2．（25-26八年级上·广东河源·期末）一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积． 【详解】解：， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏南京 ·期末）（1）如图1，点在的边上，，，，，求的面积； （2）如图2，中，，，，求的面积． （3）如图3，在中，，，，求的面积． 【答案】（1）150；（2）66；（3）84 【分析】（1）根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理的逆定理得出△ADB是直角三角形，根据勾股定理求出CD，求出BC，再求出△ABC的面积即可； （2）过E作EM⊥FG，交GF的延长线于M，设FM=x,则GM=11+x,根据勾股定理得出，代入求出x,再求出EM，最后求出△EFG的面积即可； （3）过点E作EH⊥FG于点H，由勾股定理可得，从而可得，设FH=x,则GH=14-x,即，再求出EH，即可求解． 【详解】解：（1），，， ，， ， 是直角三角形， 即， ， 由勾股定理得：， ， 的面积； （2）过作，交的延长线于，设，则， 在和中，由勾股定理得：，， ， ， 解得：， 即， ， 的面积． （3）解：如图，过点作于点， 在和中，由勾股定理可得： ，， ， 设，则， ，，， ， 解得：， ， ， 的面积为84 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）下列各组数中，是一组勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项的三个数都是小数，B选项的三个数都是分数，D选项包含无理数，都不满足正整数的要求，因此都不是勾股数； 对选项C，∵，且，，都是正整数， ∴，，是勾股数，符合要求． 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每个选项中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到答案． 【详解】解：选项A：最长边为，，，，能构成直角三角形，故A不符合题意； 选项B：最长边为，，，，能构成直角三角形，故B不符合题意； 选项C：最长边为，，，，能构成直角三角形，故C不符合题意； 选项D：最长边为，，，，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D符合题意． 3．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 【答案】B 【分析】首先根据勾股定理的逆定理证明，当时，的值最小，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∵点P在上， ∴当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴饮水点到三角形顶点C的最小距离为4.8米． 6．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 7．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 8．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 【答案】3 【详解】解：在中，由勾股定理得：， ∴ 同理可得：， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·广西崇左·期中）我市江滨公园是老百姓娱乐休闲的好去处，公园内一草坪是如图所示的四边形，∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，CD＝120m，AD＝130m，则四边形ABCD的面积为 _____m2． 【答案】3600 【分析】连接AC，用勾股定理计算出AC，再通过勾股定理的逆定理可证ACD为直角三角形． 【详解】解：连接AC， ∵∠B＝90° ∴在RtABC中， m， ∴在ACD中 ∴ACD也为直角三角形， ∴四边形的面积为m 故答案为：3600． 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上定理是解决此题的关键． 10．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1) ∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； (2) ∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理的逆定理，可以判断是等腰直角三角形，即可求得； （2）同理，可判断是等腰直角三角形，根据四边形的面积，代入数据求解即可． 【详解】（1）解：连接， ，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形的面积 ． 13．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形， 理由：由（1）知， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 又， ； （2）略 14．（2026·山东淄博·一模）如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 【答案】(1)证明：依题得：，， ， 即， ； (2)解：教学楼会受噪声影响． 作交于点， 中，， ， 以货车为圆心的周围以内为受影响区域，故教学楼会受噪声影响． 【分析】（1）结合勾股定理逆定理即可得证； （2）作交于点，结合直角三角形面积计算公式求出的长，跟受影响区域的距离作比较即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一定是直角三角形吗重难点题型专训（1个知识点+5大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、勾股树（数）问题 1 题型二、判断三边能否构成直角三角形 2 题型三、在网格中判断直角三角形 3 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 4 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 5 第二部分·练提高题型 题型一、利用勾股定理的逆定理求长度 1 题型二、利用勾股定理的逆定理求角度 2 题型三、利用勾股定理的逆定理求面积 3 第三部分・自我检测 知识点01 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 2．（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【基础题型一 勾股树（数）问题】 【例1】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）下列各组数，是勾股数的一组是（     ） A．6，8，10 B．13，14，15 C．3，5， D．2，， 【例2】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期中）阅读材料，回答问题． 主题 探索勾股数中的奇妙规律 提出问题 下面给出了四组勾股数：①②③④．问题1：请分别计算每组勾股数中三个数字的和，你有什么发现？ 分析猜想 小明由此提出了一个大胆的猜想：任意一组勾股数的三个数字之和，一定是偶数． 推理证明 学习小组对小明的猜想进行了探索，并证明了以下命题： 若、、均为正整数，且．则是偶数． 证明：（ⅰ）当、均为偶数时，设，（、为正整数） 则：① 是正整数是一个完全平方数 设（是正整数），则 ② 是偶数． （ⅱ）当、均为奇数时， 设，，（、为非负整数），则： ∵完全平方数除以4的余数只能是0或1 不是完全平方数，这与是正整数相矛盾， ∴、不能均为奇数． （ⅲ）当、为一个奇数一个偶数时， 不妨设，，（为正整数，为非负整数）…… 问题2：请完成（ⅲ）中所缺的证明过程． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【基础题型二 判断三边能否构成直角三角形】 【例1】（25-26八年级下·天津北辰·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．，， C．，， D．6，8，10 【例2】（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）如图，中，是边的中线，，，，的面积为______． 1．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 3．（25-26八年级下·福建南平·阶段检测）如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 【基础题型三 在网格中判断直角三角形】 【例1】（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例2】（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：________（填“能”或“不能”）． 1．（2026·河北石家庄·一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（　　） A．30° B．42° C．45° D．50° 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【基础题型四 利用勾股定理的逆定理求解】 【例1】（25-26八年级上·山西太原·期中）如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是 _________________．    1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．. 3．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）解决问题 (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理； (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长为______千米．（只填空） 【基础题型五 勾股定理逆定理的实际应用】 【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 3．（25-26八年级下·广西崇左·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为崇左市，且点与直线上两点，的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．崇左市受台风影响吗？为什么？ 【提高题型一 利用勾股定理的逆定理求长度 】 【例1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【例2】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为______ 时， 为直角三角形． 1．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点是上一点，连接，，，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若是的高,，则的长为__________． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）用一根长为的绳子围成，已知． (1)的长为_____． (2)求点到的距离． 【提高题型二 利用勾股定理的逆定理求角度 】 【例1】（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级下·广西·模拟预测）如图，在四边形中，，则的度数为 ___________，四边形的面积为 ___________． 1．（25-26八年级上·西藏日喀则·阶段检测）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数是（      ）． A．90° B．100° C．120° D．150° 2．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于 _____． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【提高题型三 利用勾股定理的逆定理求面积 】 【例1】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．2，4，6 B．2，3，5 C．3，3，6 D．2，2，4 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是______平方厘米．    1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若的三边分别为8、15、17，则的面积是（    ） A．68 B．60 C．120 D．134 2．（25-26八年级上·广东河源·期末）一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是_______． 3．（25-26八年级上·江苏南京 ·期末）（1）如图1，点在的边上，，，，，求的面积； （2）如图2，中，，，，求的面积． （3）如图3，在中，，，，求的面积． 1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期末）下列各组数中，是一组勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，某社区要在三角形健身区边上安装一个饮水点P，经测量米，米，米，则饮水点到三角形顶点C的最小距离为（     ） A．6米 B．4.8米 C．4米 D．9.6米 6．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 7．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 8．（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形的边，向外作，，，以，，，为边向外作正方形，面积分别为6，2，，11，则的值为_______． 9．（25-26八年级下·广西崇左·期中）我市江滨公园是老百姓娱乐休闲的好去处，公园内一草坪是如图所示的四边形，∠B＝90°，AB＝30m，BC＝40m，CD＝120m，AD＝130m，则四边形ABCD的面积为 _____m2． 10．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 11．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． (1)求出的度数； (2)求出四边形的面积． 13．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 14．（2026·山东淄博·一模）如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 15．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，某校教学楼建在一条公路旁，有一辆货车沿方向由点向点行驶．已知与A、B的距离分别为和，，以货车为圆心的周围以内为受噪声影响的区域． (1)求证：； (2)教学楼会受噪声影响吗？请你说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $