重难点01 三角形的概念及重要线段（单元复习、期中复习） 2026-2027学年人教版八年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 三角形的概念及重要线段 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 1 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、三角形的重要概念 2 知识点二、三角形中重要线段 3 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 三角形的有关概念、识别、计数】 5 【题型2 三角形的分类、等腰三角形的定义】 6 【题型3 三角形三边关系（构成条件、三边范围、实际应用）】 8 【题型4 三角形稳定性】 10 【题型5 三角形的中线（线段长度计数、面积问题、重心概念）】 11 【题型6 三角形角平分线的定义】 13 【题型7 三角形的高：线段计算与作图问题】 16 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 19 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 35 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三角形概念：三角形定义、三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），判断线段能否构成三角形、求边长取值范围。 ・三角形三条重要线段：高、中线、角平分线的定义与作图；中线等分面积，高的位置区分锐角 / 直角 / 钝角三角形。 ・三角形稳定性的简单应用。 ・线段计算：结合中线、角平分线进行线段长度推导；利用三边关系求周长、边长。 ・几何分类：按边、按角对三角形分类。 ・基础层面：选择、填空单独考查三边关系、三线识别，简单线段求值，属于基础必得分。 ・能力层面：中线面积转化、分类讨论边长，渗透几何推理。 ・综合层面：常与线段和差、简单角度计算结合，作为几何大题第一步条件铺垫。 ・趋势特征：弱化死记概念，侧重分类讨论；陷阱多设在边长多解、钝角三角形高线位置。 考情解码： · 分值定位：三角形基础是平面几何入门，单独小题分值不高，是全等、多边形、几何综合题的前置基础。 ・学生高频失分点：①三边关系只验证一组不等式；②等腰边长问题漏分类、忽略三边关系取舍；③钝角三角形高画错、分不清中线等分面积；④审题忽略 “线段能否构成三角形” 的检验。 ・备考提示：熟记三边关系，训练先判断能否构成三角形再求值；区分三条线段定义，重视画图辅助；强化等腰边长的分类讨论，排除不合题意的解。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、三角形的重要概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 知识点二、三角形中重要线段 （一）三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． （二）三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 （三）三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 1. 核心性质 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，其形状、大小就唯一确定，无法发生形变，结构稳定。 四边形的不稳定性：四边形四条边长固定，但内角可以自由改变，图形整体形状可发生形变，结构不稳定。 2. 多边形稳定性规律 所有多边形中，仅有三角形具有稳定性；边数大于3的多边形（四边形、五边形、六边形等）均无稳定性。 3. 四边形形变特征 四边形发生变形时，四条边长度、图形内角和保持不变，仅内角度数与图形形状发生改变。 4. 四边形加固方法与原理 加固方法：连接四边形的对角线。原理：将四边形分割为两个三角形，利用三角形的稳定性，使四边形固定不变形。 5. 生活实际应用 利用三角形稳定性：自行车车架、篮球架支架、屋顶三角支架、桥梁斜拉支架、塔吊结构。 利用四边形不稳定性：电动伸缩门、伸缩晾衣架、折叠栅栏、活动升降支架。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 三角形的有关概念、识别、计数】 【例1】（八年级下·全国·单元测试）如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 【变式1-2】（七年级下·江苏无锡·期中）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 【答案】B 【分析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个小三角形，若有n个点时，一定是有2n+1个三角形，据此即可求解． 【详解】解：根据题意当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形； 当有2个点时，有5个小三角形； 当n=3时，有7个小三角形， …… 若有n个点时，一定是有2n+1个三角形． ∴三角形的个数为：2n=1=2×100+1=201， 故选B． 【点睛】此题主要考查了利用平面内点的个数确定三角形个数，根据n取比较的数值时得到的数值，找出规律，再利用规律解决问题． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的基本性质． 结合三角形的基本性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．三角形具有稳定性，原说法错误； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原说法错误； C．重心是三角形三条中线的交点，中线始终在三角形内部，因此重心必在内部，原说法正确； D．直角三角形有三条高，两条直角边分别作为对方的高，以及斜边上的高，原说法错误； 故选C． 【题型2 三角形的分类、等腰三角形的定义】 【例2】（七年级下·陕西西安·期中）下列说法正确的有（    ）个 ①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一平面内，如果，，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是钝角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的有关概念和公理，三角形的判断，根据平行线的定义和平行公理及推论判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故说法错误，不符合题意； ②在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故说法错误，不符合题意； ③在同一平面内，如果，，则；说法正确，符合题意； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误，不符合题意； ⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，这三个角分别是是锐角三角形，故说法错误，不符合题意； 综上，符合题意有只有个， 故选：A． 【变式2-1】（七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形，即锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形． 【变式2-2】（26-27八年级上·江西宜春·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（     ） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质确定a，b，c的值，结合等腰三角形的定义即可获得答案． 【详解】解：∵，且， ∴，，， ∴，，， ∴此三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【变式2-3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、坐标与图形等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键。 当以作为腰时，当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个；当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个；当以作为底时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个；据此即可解答． 【详解】解：如图：当以作为腰时，有两种情况， 当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个， 当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选B． 【题型3 三角形三边关系（构成条件、三边范围、实际应用）】 【例3】（26-27八年级上·新疆·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 【答案】C 【详解】解：A选项、，能组成三角形； B选项、，能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，，，，则的值不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边． 【详解】解：在中，，，， 则，即， 的值不可能是6． 【变式3-2】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号化简． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，， ∴，， ∴ ． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】等腰三角形两条腰长度相等，结合已知的两边长，分类讨论两种边长组合；根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，验证每种组合是否能构成三角形；最后计算周长． 【详解】解：若腰为6，则三边为6、6、13，，不能构成三角形； 若腰为13，则三边为13、13、6，可以构成三角形，周长为． 【题型4 三角形稳定性】 【例4】（八年级上·新疆吐鲁番·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：具有稳定性的是三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记． 【变式4-1】（八年级上·四川自贡·阶段检测）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 【变式4-2】（八年级下·广西贵港·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据三角形的稳定性即可得到答案． 【详解】解：A、直角三角形具有稳定性，故此选项正确； B、长方形不具有稳定性，故此选项不正确； C、五边形不具有稳定性，故此选项不正确； D、正六边形不具有稳定性，故此选项不正确． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的性质，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 【变式4-3】（八年级上·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释． 【详解】如图： A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【题型5 三角形的中线（线段长度计数、面积问题、重心概念）】 【例5】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 故选：B． 【变式5-2】（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念．三角形的重心是三角形的三条中线的交点． 【详解】解：∵质地均匀的三角形木板的重心是其几何中心，即三条中线的交点； ∴悬挂在重心时，木板才能保持水平； ∵选项C为三条中线的交点； ∴挂钩应设在C处． 故选：C． 【题型6 三角形角平分线的定义】 【例6】（25-26七年级下·山东威海·期中）下列命题中，假命题的个数是（   ） 对顶角相等；内错角相等；邻补角的角平分线互相垂直；若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对顶角性质、平行线性质、邻补角性质，逐项判断命题真假后统计假命题个数即可． 【详解】解：对顶角相等，符合对顶角的性质，故是真命题； 只有两直线平行时，内错角才相等，命题未给出两直线平行的前提，故是假命题； 邻补角的和为，邻补角的角平分线将两个邻补角各分为一半，两个半角的和为，因此两条角平分线互相垂直，故是真命题； 当时，举反例：若，满足，此时，故是假命题； 综上，是假命题，共个． 【变式6-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线，中线和高的定义，以及三角形的面积公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴A选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线， ∴， ∴， ∴B选项结论正确，不符合题目要求； ∵是角平分线， ∴， ∴C选项结论正确，不符合题目要求； ∵是高线，与大小关系不确定， ∴与的大小关系无法确定， ∴D选项结论错误，符合题目要求； 故选：D． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【变式6-3】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，根据三角形角平分线、中线和高等概念逐一判断即可，掌握三角形角平分线、中线和高有关概念是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴是的中线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴是的角平分线，原选项说法正确，不符合题意； 、∵平分， ∴， 但无法得到，原选项说法错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴是的高，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【题型7 三角形的高：线段计算与作图问题】 【例7】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（     ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B．同旁内角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 【答案】D 【详解】解：A ．钝角三角形三条高线所在直线的交点在三角形外部 直角三角形三条高线的交点在三角形的直角顶点上，只有锐角三角形高线交点在三角形内部，错误． B．两直线平行的判定定理是同旁内角互补，两直线平行，并非同旁内角相等，错误． C．只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提条件，错误． D．如图， 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， ∴； 的两边与的两边分别平行，即，， ∴，， 故． ∴若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，正确． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【详解】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意； B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意； C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意． D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式7-2】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的面积，再根据中线的性质求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴， 又∵是边上的中线， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的理解等知识，正确理解题意是解题关键．结合等腰三角形的定义摆放火柴，即可获得答案． 【详解】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根；5根、5根、2根， 所以，最多能围成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论即可． 【详解】解：当时，在轴上有1个满足题意，在轴上有2个满足题意； 当时，在轴上有2个满足题意，其中一个与时的重合，在轴上有1个满足题意； 当，在轴和轴各有1个满足题意，其中在轴上的与时的重合， 故满足条件的点共有个； 故选A． 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点B，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当时，以点A为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当时，以点O为圆心，为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， ， 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边长为，，则周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故选：A． 6．（八年级上·广东广州·期中）若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70° 【答案】C 【分析】由等腰三角形中有一个角等于，可分别从①若为顶角与②若为底角去分析求解即可求得答案． 【详解】解：等腰三角形中有一个角等于， ①若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为； ②若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：． 这个等腰三角形的顶角的度数为：或． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用． 7．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】分两种情况求出第三边，根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况进行讨论： ①当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边， 此情况不成立，舍去； ②当腰长为，底边长为时，三角形三边长为， ，满足三角形三边关系， 此情况成立，周长为． 因此该等腰三角形的周长为． 8．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 【答案】C 【分析】解题时需要分情况讨论边长，再根据三角形任意两边之和大于第三边，排除不能构成三角形的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况舍去. 2. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 周长为. 综上，该等腰三角形的周长为． 9．（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据三角形的中线求面积，根据、分别是、中点，得，，进而可得答案． 【详解】解：在中，、分别是、中点， ，， ． 故选：C． 10．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 【答案】D 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，逐步推导各部分三角形面积之间的关系，进行求解． 【详解】解：连接、，如图所示，    ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴是的中线， ∴． 12．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，为的中线，E为的中点，若的面积为24，则的面积为______． 【答案】 6 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到答案． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵E为的中点， ∴． 13．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出的面积，根据垂线段最短可得当时，有最小值，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴； ∵为上一动点， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∵， ∴此时，即的最小值为． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 【答案】5 【分析】根据的面积的面积的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 16．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 17．（21-22八年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 【答案】2或3或4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，两点间的距离，先求出的长，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵数轴上A点表示数10，B点表示数6， ∴，， 当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，分3种情况： ①时，此时，符合题意，则：点C表示数4； ②时，此时，符合题意，则：点C表示数2； ③时，符合题意，则：点C表示数3； 综上：点C表示数2或3或4； 故答案为：2或3或4． 18．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) 如图的直角坐标系即为所求； (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2），， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 19．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：， ，， 平分外角， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据平行线的性质和角平分线的定义，得出，即可证明结论． 【详解】略 20．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积可求出的面积，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高为，，， ．     （2）解：是的中线， ，     的边上的高为， ， ∵， ． 21．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)4 【分析】（1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程及的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：或或且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图所示： ∴，即的值为； 当，时， 同理，得， 即的值为． 22．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论； （2）根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可； （3）设，，求出，得到，再由求解即可； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：是的中线，与等底等高， ； （2）解：，理由如下： ∵是的中线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵ ∴ ∴ （4）解：∵G是的重心， ∴由（3）可得， ∵，， ， ∵， ， 由（3）可得， ∵ ∴ ∴由（2）可得， ∴． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点01 三角形的概念及重要线段 （新教材人教版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 3 知识点一、三角形的重要概念 3 知识点二、三角形中重要线段 4 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 6 【题型1 三角形的有关概念、识别、计数】 6 【题型2 三角形的分类、等腰三角形的定义】 6 【题型3 三角形三边关系（构成条件、三边范围、实际应用）】 7 【题型4 三角形稳定性】 7 【题型5 三角形的中线（线段长度计数、面积问题、重心概念）】 8 【题型6 三角形角平分线的定义】 9 【题型7 三角形的高：线段计算与作图问题】 10 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 11 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 16 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・三角形概念：三角形定义、三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），判断线段能否构成三角形、求边长取值范围。 ・三角形三条重要线段：高、中线、角平分线的定义与作图；中线等分面积，高的位置区分锐角 / 直角 / 钝角三角形。 ・三角形稳定性的简单应用。 ・线段计算：结合中线、角平分线进行线段长度推导；利用三边关系求周长、边长。 ・几何分类：按边、按角对三角形分类。 ・基础层面：选择、填空单独考查三边关系、三线识别，简单线段求值，属于基础必得分。 ・能力层面：中线面积转化、分类讨论边长，渗透几何推理。 ・综合层面：常与线段和差、简单角度计算结合，作为几何大题第一步条件铺垫。 ・趋势特征：弱化死记概念，侧重分类讨论；陷阱多设在边长多解、钝角三角形高线位置。 考情解码： · 分值定位：三角形基础是平面几何入门，单独小题分值不高，是全等、多边形、几何综合题的前置基础。 ・学生高频失分点：①三边关系只验证一组不等式；②等腰边长问题漏分类、忽略三边关系取舍；③钝角三角形高画错、分不清中线等分面积；④审题忽略 “线段能否构成三角形” 的检验。 ・备考提示：熟记三边关系，训练先判断能否构成三角形再求值；区分三条线段定义，重视画图辅助；强化等腰边长的分类讨论，排除不合题意的解。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、三角形的重要概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 知识点二、三角形中重要线段 （一）三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． （二）三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 （三）三角形具有稳定性、四边形不具有稳定性 1. 核心性质 三角形的稳定性：三角形三边长度确定，其形状、大小就唯一确定，无法发生形变，结构稳定。 四边形的不稳定性：四边形四条边长固定，但内角可以自由改变，图形整体形状可发生形变，结构不稳定。 2. 多边形稳定性规律 所有多边形中，仅有三角形具有稳定性；边数大于3的多边形（四边形、五边形、六边形等）均无稳定性。 3. 四边形形变特征 四边形发生变形时，四条边长度、图形内角和保持不变，仅内角度数与图形形状发生改变。 4. 四边形加固方法与原理 加固方法：连接四边形的对角线。原理：将四边形分割为两个三角形，利用三角形的稳定性，使四边形固定不变形。 5. 生活实际应用 利用三角形稳定性：自行车车架、篮球架支架、屋顶三角支架、桥梁斜拉支架、塔吊结构。 利用四边形不稳定性：电动伸缩门、伸缩晾衣架、折叠栅栏、活动升降支架。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 三角形的有关概念、识别、计数】 【例1】（八年级下·全国·单元测试）如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【变式1-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式1-2】（七年级下·江苏无锡·期中）三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，这样的小三角形的个数是（　　  ） A．299 B．201 C．205 D．207 【变式1-3】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．三角形不一定具有稳定性 B．三角形的一个外角等于两个内角的和 C．三角形的重心一定在三角形内部 D．直角三角形只有一条高 【题型2 三角形的分类、等腰三角形的定义】 【例2】（七年级下·陕西西安·期中）下列说法正确的有（    ）个 ①同位角相等；②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；③在同一平面内，如果，，则；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是钝角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（七年级下·天津南开·期中）已知三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都不对 【变式2-2】（26-27八年级上·江西宜春·期中）已知三边长a，b，c，且满足，则此三角形一定是（     ） A．直角三角形 B．底边和腰不相等的等腰三角形 C．三边都不相等的三角形 D．等边三角形 【变式2-3】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3 三角形三边关系（构成条件、三边范围、实际应用）】 【例3】（26-27八年级上·新疆·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，，，，则的值不可能是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（26-27八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知的三边长分别是、、，化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·广东汕头·期中）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D． 【题型4 三角形稳定性】 【例4】（八年级上·新疆吐鲁番·期中）下列图形具有稳定性的是（    ） A．正六边形 B．长方形 C．三角形 D．正五边形 【变式4-1】（八年级上·四川自贡·阶段检测）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（八年级下·广西贵港·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．直角三角形 B．长方形 C．五边形 D．正六边形 【变式4-3】（八年级上·山东潍坊·期中）小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至少需要添加的螺栓数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 三角形的中线（线段长度计数、面积问题、重心概念）】 【例5】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【题型6 三角形角平分线的定义】 【例6】（25-26七年级下·山东威海·期中）下列命题中，假命题的个数是（   ） 对顶角相等；内错角相等；邻补角的角平分线互相垂直；若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，分别是的高、角平分线、中线，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-3】（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，在中，，，是边上两点，，平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【题型7 三角形的高：线段计算与作图问题】 【例7】（25-26七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（     ） A．三角形的三条高线的交点一定在三角形内部 B．同旁内角相等，两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【变式7-2】（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）等腰三角形的两边长为，，则周长为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（八年级上·广东广州·期中）若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．40°或70° 7．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知等腰三角形的两边长是5和12，则它的周长是（     ） A．22 B．29 C．22或29 D．以上答案均不对 8．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 9．（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 10．（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 11．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，已知点，，，分别是线段，，，的中点．若的面积为3，则的面积为（     ）．    A．18 B．21 C．36 D．42 12．（26-27八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，为的中线，E为的中点，若的面积为24，则的面积为______． 13．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在中，，该三角形的面积为，是边上任意一点，于点，于点，则等于________． 15．（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 16．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 17．（21-22八年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 18．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 19．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）已知：如图，在中，，平分外角．求证：是等腰三角形． 20．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 21．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 22．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： (1)如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：____________（填、或）； (2)如图3，点是的重心，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理．猜想、之间的数量关系为？请说明理由； (3)如图3，点为的重心，被三条中线分成六个小三角形，则___________； (4)如图4，点、在的边、上，、交于，是的重心，，直接写出四边形的面积． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 37 页 第 1 页 共 37 页 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