辽宁锦州市某校2026-2027学年高二上学期周测数学试卷（10.17）

高二数学周测2026.10.17 一、单选题（每题5分） 1.已知ā=(1,1,0)，b=(-1,1,2),ab=0,则t=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知{a,b,d是空间向量的一个基底，{ā+b,b+c,+是空间向量的另一个基底，若向量p在基 底{a,b,d下的坐标为(4,0,2)，则向量p在基底{a+b,b+c,a+c下的坐标为() A.(3,3,1) B.(1,-1,3) C.(3,-1,3) D.(-1,1,3) 3.已知A(-3-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y=0的距离相等，则a的值为( A.3 7 B.-9 7 C.3或g 0. 4.经过点A(1,0)的直线l被两条直线2x-y=0和x+y+2=0所截得的线段恰被点A平分，则直线的 方程为() A.8x-y-8=0B.8x+y-8=0 C.x-8y-1=0 D.x+8y-1=0 5.已知向量d,五，满足I=4,==5,且a+b+c=0,则向量d-在向量上的投影向量为 () B.-2c C. D.3d 6.在平面直角坐标系x0y中，已知圆C:(x-1)2+y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若圆C上存在 点M,满足IMA2+IMO2=4,则r的取值范围是() A.(0,2W2+1B.(0,22-1C.[2V2-1,2V2+1] D.[2V2+1,+∞) 7.与圆C1:x2+y2-2x+2y=0关于直线：x-y+1=0对称的圆C2的方程为() A.(x-2)2+y-2)2=2 B.(x+2)2+(y-2)2=2 C.(x+2)2+y+2)2=2 D.(x-2)2+(y+2)2=2 8.在平面直角坐标系x0y中，已知直线l:x-ay-1=0与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0交于A,B 两点，则OA+OB的最大值为() A.2(1+V2) B.2(1+V3) C.2(2+V3) D.23+v5) 二、多选题（每题6分） 9.过点P(1,V3)作圆0：x2+y2=1的切线l,则l的方程为() A.X=1 B.y=3 C.x-V3y+2=0 D.V3x-2y+V3=0 10.以下命题正确的是() A.直线1的方向向量为d=(1,-1,2),直线m的方向向量b=(1,2,1),则l1m B.直线1的方向向量d=(0,1,-1),平面x的法向量元=(1，-1，-1)，则l1a C.两个不同平面a,B的法向量分别为=(2，-1,0)，=(-4,2,0)，则a/B D.平面a经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量元=(1，u,t)是平面a的法向量， 则u+t=1 11.下列说法正确的是(). A.“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直"是"“a=-1"的充分不必要条件 B.直线xsina+y+2=0的倾斜角9的取值范围是0，习v[:,可） C.实数x,y满足方程x2+y2-4以+1=0，则名的最大值是号 D.已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-4x=0的公共点为A,B,则14B1=匹 2 三、填空题（每题5分） 12.己知x,y∈R且x2+y2=3,则4x-3y的最大值为 13.己知空间向量a=(1,1,),b=(-2,2-λ2,1一6，若元，b的夹角为钝角，则实数1的取值范围为 14.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为 四、解答题 15.（13分)在三角形ABC中，A(5,-2),B(7,2),且AC边的中点D在x轴上，BC边的中点E在y轴 上， (1)求DE所在直线的方程； (2)若经过点A的直线l与x轴正半轴和y轴的负半轴交于M,N两点，且AM=2NA,求直线的方程. 16.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD,O是AD中点，PO⊥平 面ABCD,E为线段AB上的动点（含端点），若PO=AB=2. E B (1)求平面PAD与平面PEC的夹角O的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为M,当E为线段AB中点时，求M到平面PEC的距离. 17.(17分)已知圆0：x2+y2=4,直线：mx+y+m=0.记直线l与圆0交于A,B两点， (1)当AB引=V15时，求直线的方程： (2)记圆O与x轴的正半轴交点为M,直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为k2,求证：k1k2为定值，高二数学周测2026.1017 一、单选题（每题5分） 1.已知ā=(1,4,0)，b=(-l,1,2),a.b=0,则t=() A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】c 【详解】由=(1,4,0)，b=(-1,l,2),得a-b=1×(-1)+1×1+0×2=0,解得1=1， 2.已知{a,6,c}是空间向量的一个基底，{a+b,b+c,a+c是空间向量的另一个基底，若向量在基底{a,6,c下 的坐标为(4,0,2)，则向量p在基底{a+b,6+c,a+c下的坐标为() A.(3,3,1) B.(1,-1,3) c.(3,-1,3) D.(-1,1,3) 【答案】B 【详解】设向量p在基底{ā+b,b+c,a+c下的坐标为(x,y,z), p=4a+2c=x(a+B)+y(B+c)+z(a+c), 整理得：4a+2c=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c, 4=x+z x=1 所以0=x+y, 解得{y=-1,所以向量p在基底{a+b,6+c,ā+c下的坐标为(1，-l,3), 2=y+z z=3 3.己知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线：ax+y=0的距离相等，则a的值为（ 4月 9 D.或 9 【答案】D 【详解】由题意行-4-a+3,枚3a-=o0+, √a2+1√a2+1 两边平方得270+12a-7=0,解得a=写或-号 7 4.经过点A(1,0)的直线l被两条直线2x一y=0和x+y+2=0所截得的线段恰被点A平分，则直线的方程为 () A.8x-y-8=0B.8x+y-8=0 C.x-8y-1=0 D.x+8y-1=0 【答案】A 【详解】当直线斜率不存在时，：x=1, 则直线l与两条直线2x-y=0和x+y+2=0的交点分别为(1,2)和(1，-3)， 两交点的中点坐标为(1，-)，不符合题意： 当直线斜率存在时，设l:y=kx-k,由题意可知k≠2，k≠-1. 联化解将文为（信）联2”，解得交点为侣》 (k+k=2=2 由题意可知 )k-2k+1 2k -3k二0 所以k=8,所以：8x-y-8=0. k-2 十 k+1 5.已知向量a,石，满足=4，=l=5,且a+万+c-0,则向量a-在向量上的投影向量为() A. B.-9 C. D.gd 【答案】c 【详解】d+b+c=0,…d+=-b,b+c=-a, (a+)2=+2a·8+2=41+2.=25,(⑥+)-+26+2=50+26.=16， a=-a6=-1,图青是 6.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),点A(-2,0),若圆C上存在点M,满足 IMA2+|M0I2=4,则r的取值范围是() A.(0,2W2+1]B.(0,2W2-1]C.[2V2-1,2V2+1]D.[22+1,+∞) 【答案】C 【详解】设M(x,y),则MA=Vx+2)2+y2,IMO|=Vx2+y2 因为MA2+lM012=4,所以(c+2)+y2)+(√x2+y2)=4,即(x+1)2+y2=1. 所以点M的轨迹是以N(-1,0)为圆心，以1为半径的圆N. 又因为点M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，所以川r-1≤ICW|≤r+1. 即|r-1≤2V2≤r+1,解得2√2-1≤r≤2V2+1. 7.与圆C1:x2+y2-2x+2y=0关于直线：x-y+1=0对称的圆C2的方程为() A.(x-2)2+y-2)2=2 B.(x+2)2+y-2)2=2 C.(x+2)2+y+2)2=2 D.(x-2)2+y+2)2=2 【答案】B 【详解】C1:x2+y2-2x+2y=0→(x-1)2+(y+1)2=2, 因此圆C1的圆心坐标为C1(1,-1),半径为V2,设圆C2的圆心坐标为C2(a,b), 因为圆心C1和圆心C2关于直线L:x-y+1=0对称， b-（-1.1=-1 所以有 a-1 ）1+a 2也+1=。→，2，即圆C2的圆心坐标为c(22 、2 2 因为圆C1和圆C2关于直线：x-y+1=0对称， 所以两个圆的半径相等，所以圆C2的方程为(x+2)2+y-2)2=2, 8.在平面直角坐标系x0y中，已知直线l:x-ay-1=0与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0交于A,B两点，则 OA+OB引的最大值为() A.2(1+V2) B.2(1+V3) C.2(2+V3) D.2(3+5) 【答案】A 【详解】由题意可知：直线l:x-ay-1=0过定点P(1,0), 圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,即(x-1)2+(y+2)2=9,可知圆心为C(1,-2),半径r=3, 取线段AB的中点D,则CD L AB, 可知点D的轨迹为以CP的中点M(1,-1)为圆心，半径R=1CP=1的圆， 可得|OA+0B=|20D≤2(R+I0M0=2(1+V2, 当且仅当D在0M的延长线上时，等号成立， 所以0A+0B的最大值为2(1+V2) 二、多选题（每题6分) 9.过点P(1,V3)作圆0：x2+y2=1的切线l,则的方程为() A.x=1 B.y=/3 c.x-v3y+2=0 D.3x-2y+V3=0 【答案】AC 【详解】将P(1,3)代入圆0的方程左侧得12+(V3)2=4>1,故点P在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线x=1,过P,圆心距d=1=r,切线：x=1; 当斜率存在时，设y-V3=k(x-1),即kx-y+3-k=0. 由圆心(0,0)到切线距离等于半径：-4=1，两边平方： √k2+1 (W3-k)2=k2+1,整理得3-2V3k=1→k=3 31 代入y-V3=kc-1)得y-V3=号x-1),化简得x-3y+2=0, 综上所述，切线方程为x=1或x-V3y+2=0. 10.以下命题正确的是() A.直线1的方向向量为d=(1,-1,2),直线m的方向向量=(1,2,1)，则11m B.直线1的方向向量a=(0,1,-1),平面a的法向量元=(1，-1，-1)，则11& C.两个不同平面a,B的法向量分别为m=(2,-1,0),2=(-4,2,0),则a/B D.平面a经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量元=(1，u,t)是平面a的法向量，则u+t=1 【答案】CD 【详解】Aa=(1,-1,2),b=(1,2,1),a·b=1×1-1×2+2×1=1≠0， 则d,b不垂直，…直线l与m不垂直，故A不正确： B:若l1a,则aIn,.存在实数，使得(1，-1，-1)=(0,1，-1)，无解，故B错误： Cn1=(2,-1,0),.n2=(-4,2,0)=-2m1,.元与n2共线，.a‖B,故C正确： D点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),AB=(-1,1,1),BC=(-1,1,0) 响量7=(1，u,t)是平面x的法向量，÷位·A8=0, 坑·BC=0 则町1士00，解得u+t=1版D正确 11.下列说法正确的是(). A.“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”是“a=-1"的充分不必要条件 B.直线xsina+y+2=0的倾斜角6的取值范围是0，习U, C实数ky满足方程2+2-4+1=0，则，名的最大值是盟 D.已知圆C1x2+y2=1和圆C2:x2+y2-4比=0的公共点为A,B,则A81= 2 【答案】BCD 【详解】A.当a=0时，两直线分别为y=1与x=2,二者互相垂直，但a≠-1，所以“互相垂直”不能推出a= -1,A错误. B.直线xsina+y+2=0的斜率为k=-sina,故-1≤k≤1. 设其倾斜角为0，则0≤日<n且tan9=k,所以0≤日≤牙或买≤日<m,B正确. C.方程x2+y2-4比+1=0化为Cx-22+y2=3.设P(-1,0),则+表示直线PQ的斜率，其中Q为圆上的动 点 过P作圆的上方切线，设其斜率为k>0,则切线为y=k(x+1).由圆心(2,0)到切线的距离等于半径√3，得 六=V3解得k-号所以的最大值为婷，C正确。 3k 0.两圆方程相减得公共弦AB所在直线为x=京代入x2+y2=1,得y=士要，所以AB1=受，0正确。 三、填空题（每题5分） 12.己知x,y∈R且x2+y2=3,则4x-3y的最大值为 【答案】5V3 【详解】x2+y2=3,是圆心在原点、半径r=V3的圆的方程， 设x=V3cos0,y=V3sin6,将x、y代入4x-3y, 4x-3y =4v3cos0-3v3sine =V3(4cos0-3sine), 利用公式acos0+bsin0=Va2+b2sin(0+p), 则v3(4cos6-3sin0)=V3×√（④2+(3）2sin(0-p)=5v3sin(0-p), 因为sin(0-p)的最大值为1， 所以4x-3y的最大值为5V3×1=5V3. 13.己知空间向量a=(1,1,),b=(-2,2-12,1-6,若d,的夹角为钝角，则实数1的取值范围为 【答案】(0,2)U(2,+o) 【详解】因为d=(1,1,),b=(-2,2-2,1-6),且a,b的夹角为钝角， 所以d·b<0且d与b不共线， 由a·b<0,则-2+2-2+1(1-6)<0解得1>0， -2=t 当a与共线时，方=ta, 则：解=子 λ-6=tλ 综上可得实数1的取值范围为(0,2)U(2,+∞)· 14.己知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切，则C1与C2的公切线方程为 【答案】4x-3y+5=0 【详解】圆C1的圆心为C1(0,0),半径为r1=1, 圆C2的标准方程为(x-4)2+y+3)2=25-m,则25-m>0,可得m<25, 其圆心为C2(4,-3),半径为r2=√25-m, 因为42+(-3)2>1，即圆心C2在圆C1外，故圆C1内切于圆C2, (Ci) 故r2=1+1C1C2l=1+V42+(-3)2=6, 易知公切线与直线C:C,垂直，且kc,6=8=一子故公切线的斜率为号 2 设公切线的方程为y=x+b,即4x-3y+3b=0, 13bl 所以 V42+3元-1 x3+迪=6解得6一号所以两圆公切线方程为4以-3y十5=0 V42+(-3)2 四、解答题 15.(13分)在三角形ABC中，A(5,-2),B(7,2),且AC边的中点D在x轴上，BC边的中点E在y轴上， (1)求DE所在直线的方程； (2)若经过点A的直线与x轴正半轴和y轴的负半轴交于M,N两点，且AM=2NA,求直线的方程. 【答案】(1)2x-y+2=0;(2)x-5y-15=0. 【详解】(1)设点c(m,m),则D(,),E(”,”） (-2+0二0 所以 2 7+m=0 解得m=-7,n=2,所以顶点C的坐标为(-7,2). 2 所以D(-1,0),E(0,2),则直线DE的斜率k=-2=2, -1-0 所以直线DE的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0. (2)设M(a,0),N(0,b),且a>0,b<0, 由AM=2NA,得(a-5,2)=(10,-4-2b), ÷(2-510解得a=15b-3 所以M(150),N0,-3),则直线的斜率k=。- 所以直线的方程为y=x-3,即x-5y-15=0. 16.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD,O是AD中点，PO⊥平面ABCD, E为线段AB上的动点（含端点），若PO=AB=2. (1)求平面PAD与平面PEC的夹角0的余弦值的取值范围； (2)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为M,当E为线段AB中点时， 求M到平面PEC的距离. O 【答案】国33 2V5 1229 116 【详解】(1)因为PO⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形， 所以以O为原点，以过O且与直线CD平行的直线为y轴，建立如图空间直角坐标系. 则P(0,0,2),E(1,t,0),C(-1,2,0),A1,0,0), 所以CP=(1,-2,2),CE=(2,t-2,0),(0≤1≤2)， m.CP=0x-2y+2z=0 设平面PEC的法向量为m=(x,y,z),则m⊥CP,m⊥CE, m.CE=02x+(t-2)y=0 令y=4,则m=(4-24,4,2+),取平面PAD的法向量i=(01,0), 又平面PAD与平面PEC的夹角为O, m-n 4 所以cos0= m同4-2+16+(2+ V512-121+36’ 因为0≤1≤2， 所以-1+36=-+“在0）单减，2单递始， s-学华刘s得小非} (2)设M(0,1s),则MA=M,即+1+32=1+(2-s}, ZA 解得s=子则MQ》Cw-(-l) 此时平面PCE的法向量=(2,4,3)， M到平面PEC的距离为d= CM.1 2-4+9 2四 B V29 116 17.(17分)已知圆0：x2+y2=4,直线l:mx+y+m=0.记直线l与圆0交于A,B两点， (1)当AB=V15时，求直线的方程： (2)记圆0与x轴的正半轴交点为M,直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为k2,求证：k1k2为定值. 【答案】(1x±V3y+1=0:(2)- 【详解】(1)由圆心原点到直线的距离d=ml m2+i’ 结合弦长公式：AB=22-2,可得V压=24-正，解得d= M 所以d=解得m=士号 即可得直线方程为：x士V3y+1=0, (2)由题意知，M(2,0), 因为直线mx+y+m=0,所以直线的斜率一定存在： 直线方程化简得y=-mx-m, 代入圆的方程x2+y2=4可得(1+m2)x2+2m2x+m2-4=0, 1+m2,七62-m24 设AGc1y,B(x2,y2),则x1十x2=-2m 1+7m2 k9=-出， x1-2 x2-2 x2-2 所以kk,=m+四m+四=m(m+m23生 x1-2 x2-2 2 9m2 综上，k:k,为定值-号