辽宁本溪市某校2026-2027学年高二上学期十月份调研数学试题

高二数学答案及评分标准 一、单项选择题（共40分）：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在空间直角坐标系Oy下，点P与点P关于x轴对称，点乃与点P关于xOy平面对称，则B和P A.关于x轴对称 B.关于z轴对称 C.关于xOz平面对称 D.关于yOz平面对称 【答案】C 【解】乃(x,-4,-z),P(c,4,-z),所以B和乃关于xOz平面对称 2.若直线l的一个法向量是(1，√2)，则l的斜率为 A.√2 B.② C.-2 2 D.-② 【答案D 【解】法向量是(1V2),则一个方向向量为=(2，-1，/1，-受)，所以k=-写 2 3.已知a=(1,tt)(teR),6=(-1,1,-1),若a-=2W2,则a+= A.1 B.2 C.5 D.2 【答案】D 【解】a-6=(2,t-1,t+1),a-=√22+(t-1)+(t+1=2W2,解得t=±1， 所以à+方=(0,2,0)或(0,0，-2)，所以a+=2 或a+=(a+6=(à-+4d6=a-+4à.6=(2w2)2+4×(-1)=4,所以a+=2 4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E,F分别为棱AD,BC的中点，则DF.DB的值为 A.2W月 B.2 C.-2 D.-2W5 【答案】B 【解】 ㎡.BD=2(4+DC)·Di=2(46Di+Dd.D响=号2+2)=2 5."a=2"是"直线l1:(a-1)x+2y+3+a=0与直线l2:x+ay-1=0平行"的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解】l1∥l2或l1,l2重合←→(a-1)a-2×1=0解得a=2或a=-1 若a=2,则l1:x+2y+5=0,l2:x+2y-1=0,l1∥l23 若a=-1,则l1:-2+2y十2=0,2：x-y-1=0,11,12重合 所以，1∥l2←→a=2 6.已知三条直线l1,l2,l3的方程分别为l1:x-y=0,l2:x十y-3=0,l3:(a+1)+ay-a-2=0,a∈ R,则使这三条直线能围成等腰直角三角形的α的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 ·1 【答案】C 【解】显然l1⊥2，解方程组 +9=0得点，飞的交点整标为（昌昌} BC:a(c+y-1)+(x-2)=0恒过定点P(2,-1), 作图可知使△ABC为等腰直角三角形的直线，有两条：y=一1和x=2, 对应a值分别为-1和0 33 22 3 (2,-1) 7.已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为1，P为AA1的中点，M为平面AA1BB1内的动点，若D1M⊥ PC,则△BCM面积的最小值为 A语 B語 C.√5 D.2 A D C M-1 A 【答案】B 【解】如图建立空间直角坐标系 z小 A D B M D D B P0.0,)C1.1.0.P元-(112) M(x,0,z),D(0,1,1),D7=(,-1,z-1) P0Di=x+号-号=0， 所以M为xOz平面内直线1：2x+z-3=0上的动点 2 又BC⊥BM,且BM最小值为B到L的距离d=2x1+0-3}-V5 √22+1？ 5 所以aBCM面积的最小值为方×1×9- 10 8.如图，已知矩形ABCD,AB=√3，AD=√6，将△ABD沿对角线BD翻折至△A'BD,使二面角A'- BD-C大小为60°，则AC与平面BCD所成角的正切值为 A.1 B.√2 C.√5 D. √6 3 A B 【答案】A 【解】（法一）分别作直角△ABD和直角△CBD的高线A'O和CF, 易得BO=OF=FD=1,A'O=CF=√2， 如图，以O为原点，平面BCD为xOy平面，OD方向为y轴正方向建立空间直角坐标系 D A A 2 B 因为OA'⊥y轴，所以OA'C平面xOz,且∠A'Ox=60° 所以A号a9)c2.10 A'C的方向向量取元=(1，√2，-√3)，平面BCD的法向量取元=(0,0,1) 设AC与平面BCD所成的角为0， 则ng=cos(i.F】 交-%是所议am6=1 (法二) “E、 B 分别作直角△ANBD和直角△CBD的高线A'E和CF, 易得BE=EF=FD=1,A'E=CF=√2，且(EA,FC)=60 则A'C=√A'E+EF2+CF2-2AE·CF·cos60°=√3 设A'在平面BCD上的射影为H,则BD⊥平面AEH, 且∠AEH为二面角A'-BD-C的平面角，所以∠AEH=60°， 所以E班=2AE=专FC,所以H恰为BC中点 所以∠ACH为A'C与平面BCD所成的角 ·3 由△ABC的三边长为√，√，√6知△A'BC为等腰直角三角形 所以∠A'CH=45°，tan∠A'CH=1 二、多项选择题（共18分）：本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，有不止一项是符合题目要求的。 选出全部正确选项，得6分；选出部分正确选项得部分分，选择有错误选项，得0分。 9.已知平面ABC和平面外一点O,若P∈平面ABC,则下列关系可能成立的是 A.OP=OA+OB B.CP=OA-OB C.=号A丽-号Ad D.OP=OA+20B-OC 【答案】BC 【解】A项，OP=OA+OB+0OC,OA,OB,OC系数之和不为1，A错误； B项，CP=OA-OB=BA,可能成立： C项，由平面向量基本定理知C正确； D项，OA,OB,OC系数之和不为1，D错误. 10.下列关于直线方程的命题，正确的是（) A.方程c=m十a(m∈R)可以表示经过点(a,0)的任意直线 B.若直线l在x,y轴上的截距分别为a,b(ab≠0)，则l的方程为bx+a=ab C.若直线l经过(x1,1),(x,2)两点，则1的方程为(c-c1)(y-y2)-(x-x)(y-y1)=0 D.若直线l的倾斜角为6且过点(co,0),则l的方程为sin0(c-)-cos(y-yo)=0 【答案BCD 【解】A项，方程不能表示x轴即y=0; B项，即直线截距式方程的同解方程； C项，B(h),P(x,y),l={P(,)BP∥PP},PP=(-,y-h),P乎-(x-,y-),所以l: (x-x1)(g-y）-(x-x2)(y-y1)=0: D项，(cos8,sin)为l的方向向量，所以(sin6,-cos)为l的法向量，所以l:sin6(x-c)- cos(y-yo)=0. 11.如图，圆柱OO,的轴截面ABCD为边长为2的正方形，P为底面圆周上的动点（不与A,B重合），则 A.BC∥平面O1OP B.O2P.BC--4 C.B到直线PO,距离的最大值为W 5 D.三棱锥O,-APB的外接球半径为} 01 【答案】ABD 【解】A项，由BC∥O1O3可知BC∥平面OOP; B项，易知P01⊥O1O2,所以OP.BC=OP.O1O3=OO1·O1O3=-4; ·4… B 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),B(0,1,0),O(0,0,2),设P(a,b,0)(a2+b=1,a≠0)， C项，OP的方向向量取=（a,b,-2),OB=(0,1,-2) 则B到直线PO的距离d= O,B OB·d 6-- 25-(b+4) 5 因为be(-1,1,所以d∈(0,5)，d不存在最大值： 5 D项，△ABP的外心为O1,且O1O2⊥平面ABP 所以三棱锥O2APB的外接球球心O在直线O1O2上，设O(0,0,t), 则R=00=0即t-2=1+,解得t=是，所以R=+=星 三填空题（共15分）：本大题共3小题，每小题5分。 12.直线l经过点(1,2)，且原点O到1的距离为1，满足该条件的一条直线的方程可以是 【答案】x=1或3x-划+5=0（填一个即可，填两个如果有错误不给分） 【解】若l斜率不存在，即1：c=1,显然满足条件； 若1率存在，设划-2-e-0,即红-y+2-k=0,则-1，解得k-是， 2+1 此时，l:3x-4划+5=0. 13.在空间直角坐标系下，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),则原点O到平面 ABC的距离为一 【答案】 【解】（法一）平面ABC的法向量元=(2,1,1)，OA=（1,0,0), 所以O到平面ABC的距离d= 〔法=6c=青×分×1×2到×2=号 AB=AC=√5，BC=2W2,所以S△A=6, 所以O到平面ABC的距离d=3V=6 S△ABC3 14.如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，平面《经过点A,与PB,PD,PC分别交于点M,N,Q, 若Pi=号P后，P=号PD,PG=P心，则A的值为 …5 【答案】号 【解】 MA 4 B 设AB=d,AD=,AP= 因为A,M,N,Q四点共面， 所以40=+yAN=(号+日利+（兮8+利=a+号6+（号+号}店 又PO=PC 所以AG=1AC+(1-)AP=Aa+6+(1-入)d =1 根据空间向量基本定理，有号=入 ,消去x,y可得入=2 号+兰=1-入 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的顶点坐标A(0,0),C(3,0),且3ABP-3BC-ACP=0 (1)证明：点B在定直线上并指出该直线方程； (2)若AB⊥BC,求直线BC在y轴上的截距. 【解】(1)设B(xo,y0),则由3ABP-3BCP-ACP=0 得3(x6+y6)-3X[(-3)2+y]-9=0… …(2分】 解得=2 ………心…4分） 所以点B在定直线D=2上.… …(6分) (2)由(1)可知B(2,0)(y0≠0) ka=受，ko产2”g=6a… …(8分) 图为AB L BC,所以k4Bk20三9三1，所以h=士2，…(10分】 所以kc=士√2，直线BC的方程为y=士√2(c-3) 即y=V2x-3W2或y=-V2x+3√2 …(12分)】 所以直线BC在y轴上的截距为一32或3√2.…(13分) 16.(15分)己知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,侧面AA1D1D为矩形，底面ABCD为菱形，且∠ABC= 60°，AB=2,AA1=3,设AB=d,AD=b,AA1=C,∠BAA1=a. ·6 (若cosu=青，用d,i,表示丽并求BD: (2)若BD1⊥A1D, (i)求a; (i)求异面直线BD1与AA1所成角的余弦值. A D1 C D BL- 【解】a=|=2,d=3,d.6=-2,a=0,&d=6cosa (1)8.d=2,BD1=-d+6+ …(2分) BD-（-a+6+=2++2-2ai+26.8-2.d=21-2.a-17, 所以BD]到=√7.…(5分) (2)(i)因为BD1⊥AD,所以BD1AD=0… …(7分) 即（-a+6+·(-)=-d·6+d.d+-2=6cosa-3=0 所以osa=3,因为e∈(0)，所以a=晋 …(9分) (ii)c.a=3 BD=21-28.à=15，所以BD=15 …(11分) Bd1AA1=（-d+b+CC=6… …(3分)】 设直线BD1与AA1所成的角为0 则oos6=lcos(BD,AA= BD1·AA 6=2W15 15 …(15分) BDAA √15×3 (在△BDD1中利用余弦定理求∠BDD也给分) 17.(15分)己知△ABC的顶点A(3,-1),∠B的平分线所在直线l1的方程为x-4y+10=0,AB边上的中 线所在直线l2的方程为6c+10y-59=0. (1)求点A关于直线☑的对称点A'的坐标： (2)求直线BC的方程. 【解】 B人2，y） 中线l2:6x+10以-59=0 A'(x1,y1 A(3,-1) 角分线4：x-4g+10=0C (1)设A(c1,),则由AA'⊥1及线段AA'中点在l1上可得 ·7 y+1,1 13‘1-1 …(4分) 3-4+10=0 、2 解得=1 所以A坐标为(1,7）…… …(6分) (1=7 (2)设B(x2,2)则由B在直线上及线段AB中点在直线l2上可得 x2-4y2+10=0 6“+3+10业1-59=0 (10分) 2 2 家得C2=10,所以B的坐标为（10,5)】12分） 解得 (y2=5 所以直线8C即直线A6的方程为0号-号二7整理，得2x十9g一65=0…-5分 1817分)如图，平面直角坐标系下△18C三边所在的直线方程为A0y=9。-1,ACy=V3:十3， BC:x=√3，AB,AC与y轴分别交于点E,F,BC与x轴交于点D.将坐标平面沿y轴翻折，P为翻折 过程中A的轨迹上的动点，设二面角P一EF-D大小为6. ()若0=受，求平面PEF与平面PBC的夹角： (2)若PC=√6PB,求cos0. B 【解】 F D A、 A D E B (1)在平面直角坐标系下由各边方程可知BC⊥AD,BC∥EF,且 A(-√5,0)，D(√3,0)，B(√3，-2)，C(√5,6)，D(√5,0)… …(2分) 在空间图形中，因为EF∥BC,EF丈平面PBC,所以EF∥平面PBC ·8 设平面PFF∩平面PBC=U,则P∈l且EF∥l∥BC…(4分) 因为EF⊥OD且EF⊥OP,OP∩OD=O, 所以EFL平面POD,所以l⊥平面POD (6分) 所以∠POD为二面角P-EF-D的平面角，∠POD=,…(7分】 又因为OP=OD,所以∠OPD<受，∠OPD为平面PF与平面PBC的夹角 (8分) 当9=号时，△POD为等腰直角三角形， 所以平面PBF与平面PBC的夹角∠OPD=至· …(⑨分) (2)如图，以O为原点，原坐标平面为Oy平面建立空间直角坐标系 由(1)可知点P在xOz平面内，设P点坐标为(a,0,b), 则a2十b=OP2=3.①… …(11分)】 易知B(√3，-2,0)，C(√3，，0)，D(√3,0,0) 因为PC=√6PB,所以PC=6PB2,即 (a-√5)2+62+b2=6[(a-V5)+(-2)2+b].③…(13分) 由①②解得a=3V3 5 (14分) 所以PD=(a-+=6-W5a=号 在△POD中，由余弦定理得cos6=OP+OD-PD 3+8-号 .3 2×√5×√35· …(17分)】 2×OP×OD 19.(17分)如图，四棱锥E-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC,∠ADC=90°，平面ADE⊥平面 ABCD,BC=CD=AE-1,AD=2,BE=V3. (1)求证：AE⊥平面ABCD: (2)求二面角A-BE-C的度数： (3)设CP=ACE,A∈[0，l],直线DP与平面ABE所成角为p,求sinp的最大值以及此时A的值. B 【解】(1)因为平面ADE⊥平面ABCD, 平面ADE∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD,CD⊥AD, 所以CD⊥平面ADE,所以CD⊥AE… …(2分) 在直角梯形ABCD中，由题设条件可知AB=√2，又AE=1,BE=√3 所以BE2=AB2十AE2,所以AE⊥AB…(4分) AE,CD为平面ABCD内的相交直线， 所以AE⊥平面ABCD.… ……（5f】 (2)如图，以DA和DC方向为x轴和y轴正方向建立空间直角坐标系 9· E(2,0,1) z个 A(200 e l D B B C(01,0) (1,1,0) 则A(2,0,0),E(2,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0) A元=(0,0,1)，B2=(1,-1,1),C2=(1,0,0）… …(6分) 设平面ABE的法向量为元1=(x,1,21), 则成4西=1=0 ,令x1=1得71=(1,1,0) (7分) ·BE=c1-y1+z1=0 设平面BCE的法向量为2=(x2,,z), 元2·CB=x2=0 则品面-对+0 令z2=1得72=(0,1,1）…(8分) 设二面角A-BE-C的平面角大小为0 则Icos=cos(d,)= 元 1 1 元 √2×√2 2 …(10分） 又由图形可知9为钝角，所以c0s0=号，所以日=120. …(11分）】 (3)Dp=D+C=D元+C=(2,1-0…(12分) 剥ne=os(o成b副 DP. A+1 √2V62-21+1 …(13分） 设t=1+1∈1,2]，则np= √2v6t2-14t+9 设m=士∈[合1小，则sme=V2V9m-im+0 当m=名即6=号回1=号时，smg取最大值20 …(17分） ·10高二年级十月份调研数学试题 考试时间120分钟满分150分 第|卷（共58分） 一、单项选择题（共40分）：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在空间直角坐标系xOy下，点B与点P关于x轴对称，点P与点P 关于xOy平面对称，则R和P A.关于x轴对称 B.关于z轴对称 C.关于xOz平面对称 D.关于yOz平面对称 2.若直线1的一个法向量是(1，√2)，则1的斜率为 A.√2 B.② C.-√2 D.、② 3.已知d=(1,t,t)(t∈R),6=(-1,1,-1),若d-=2W2,则d+ S A.1 B.√2 C.√ D.2 4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E,F分别为棱AD,BC的中点， 则录.DB的值为 A.2W3 B.2 C.-2 D.-2√3 5."a=2"是"直线l1:(a-1)x+2y+3+a=0与直线l2:x+ay-1 =0平行"的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 高二数学 CS扫描全能王 6.已知三条直线l1,2,l的方程分别为1：x-y=0,2:x十y-3= 0,:(a+1)x+ay-a-2=0,a∈R,则使这三条直线能围成等腰 直角三角形的a的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知正方体ABCD一ABC1D,的棱长为1，P为AA1的中点，M为 平面AABB1内的动点，若DM⊥PC,则△BCM面积的最小值为 A得 B.语 C.√5 D.√2 8.如图，已知矩形ABCD,AB=√，AD=√6，将△ABD沿对角线 BD翻折至△A'BD,使二面角A'-BD一C大小为60°，则ANC与平 面BCD所成角的正切值为 A.1 B.√2 C.√3 D.v6 3 B 二、多项选择题（共18分）：本大题共3小题，在每小题给出的四个选项 中，有不止一项是符合题目要求的。选出全部正确选项，得6分；选出 部分正确选项得部分分，选择有错误选项，得0分。 9.已知平面ABC和空间一点O,若P∈平面ABC,则下列关系可能 成立的是 A.OP=OA+OB B.CP=OA-OB C.-号店-号4G D.OP=OA+20B-O0 第1页共4页 高清扫描·专业出品 10.下列关于直线方程的命题，正确的是（) A.方程x=my+a(m∈R)可以表示经过点(a,0)的任意直线 B.若直线l在x,y轴上的截距分别为a,b(ab≠0)，则l的方程为 b~+ay ab C.若直线1经过(c,y),(x2,y2)两点，则的方程为 (x-)(y-y2)-(x-x2)(y-y1)=0 D.若直线l的倾斜角为0且过点(，yo),则l的方程为 sine(x-xo)-cos0(y-yo)=0 11.如图，圆柱OO2的轴截面ABCD为边长为2的正方形，P为底面圆 周上的动点（不与AB重合），则 A.BC∥平面OO2P B.O,P.BC=-4 C.B到直线PO,距离的最大值为4y5 5 D.三棱锥O,-APB的外接球半径为是 B 第川卷（共92分） 三、填空题（共15分）：本大题共3小题，每小题5分。 12.直线l经过点(1,2)，且原点O到1的距离为1，满足该条件的一条直 线的方程可以是 高二数学 CS扫描全能王 13.在空间直角坐标系下，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,0,0), B(0,2,0),C(0,0,2),则原点O到平面ABC的距离为 14.如图，四棱锥P一ABCD的底面是平行四边形，平面α经过点A,与 PB,PD,PC分别交于点M,N,Q,若Pi=号P丽，PN= 是元，P西=C,则入的值为 M B 四、解答题（共77分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知△ABC的顶点坐标A(0,0),C(3,0),且3ABP- 3BC-AC=0 (1)证明：点B在定直线上并指出该直线方程： (2)若AB⊥BC,求直线BC在y轴上的截距. 第2页共4页 高清扫描·专业出品 16.(15分)己知平行六面体ABCD-A1B1CD1,侧面AA1D1D为矩形， 底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=2,AA1=3,设AB=d, AD=6,AA1=d,∠BAA1=a、 ()若cosa=弓，用à，6，表示BD并求BD列： (2)若BD1⊥AD, ()求a; ()求异面直线BD1与AA,所成角的余弦值 A D B 胡 C D B C 高二数学 CS扫描全能王 17.(15分)己知△ABC的顶点A(3,-1),∠B的平分线所在直线l1的方 程为x-4y+10=0,AB边上的中线所在直线l2的方程为6x+ 10y-59=0. (1)求点A关于直线l1的对称点A'的坐标： (2)求直线BC的方程， 第3页共4页 高清扫描·专业出品 18.(17分)如图，平面直角坐标系下△ABC三边所在的直线方程为 AB:y=-V3 ，x-1,AC:y=V3x+3,BC=V3,AB,AC与 分别交于点E,F,BC与x轴交于点D.将坐标平面沿y轴翻折， P为翻折过程中A的轨迹上的动点，设二面角P一EF一D大小为 0. ()若日=，求平面PEF与平面PBC的夹角： (2)若PC=√6PB,求cos0. y 公 y D F B B 高二数学第 CS扫描全能王 19.(17分)如图，四棱锥E-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC, ∠ADC=90°，平面ADE⊥平面ABCD,BC=CD=AE=1,AD =2,BE=√5. (1)求证：AE⊥平面ABCD: (2)求二面角A-BE-C的度数： (3)设CP=AC元，1E[0,1],直线DP与平面ABE所成角为p,求sin9 的最大值以及此时入的值. m, B 4页共4页 高清扫描·专业出品