精品解析：内蒙古包头市第九中学2025-2026学年高二上学期1月份阶段考试数学试题

包九中2025—2026学年度上学期1月份阶段性考试 高二年级数学试卷 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 3. 已知直线和，若，则（ ） A. －2 B. 1 C. 0或1 D. 1或－2 4. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 5. 已知为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 96 B. 144 C. 324 D. 768 6. 正方体中，点在侧面及其边界上运动，且满足到异面直线与距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 7. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、多选题：（每个小题6分，共18分） 9. 已知方程：（且），则下列结论正确的有（ ） A. “方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件 B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 存在，方程表示的曲线的离心率为 D. “”是“方程表示双曲线”的充要条件 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 11. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，O为坐标原点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. D. 点A到x轴的距离为 三、填空题（每空5分，共20分） 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 13. ，，.三角形的外接圆方程为_______. 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有个小球，则的值为________. 15. 已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________. 三、解答题（共72分） 16. 求符合条件的方程 （1）求焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线标准方程. （2）求经过点和点的椭圆的标准方程 （3）求经过点的抛物线的标准方程 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 20. 已知是递增的等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 21. 点、、在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，．点、在直线两侧，记直线斜率为，直线斜率为，且． （1）求抛物线方程； （2）求直线AB的斜率； （3）记、、的面积为，，，若，，成等差数列，求直线AB方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中2025—2026学年度上学期1月份阶段性考试 高二年级数学试卷 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故选：B. 【点睛】方法点睛：归纳总结 标准方程 焦点坐标 准线方程 2. 已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 3. 已知直线和，若，则（ ） A. －2 B. 1 C. 0或1 D. 1或－2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件计算即可. 【详解】由题意可知，解得. 故选：B 4. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 5. 已知为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 96 B. 144 C. 324 D. 768 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得成等比数列，根据等比数列的通项公式及即可求解. 【详解】因为为等比数列的前n项和， 所以成等比数列，设其公比为， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 正方体中，点在侧面及其边界上运动，且满足到异面直线与距离相等，则动点的轨迹是（ ） A. 一条线段 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】D 【解析】 【分析】到的距离与到的距离相等，问题转化为到的距离与到距离相等，从而明确动点的轨迹. 【详解】点在侧面及其边界上运动，且满足到异面直线与距离相等， 因为几何体是正方体，所以侧面， 到的距离与到的距离相等， 所以问题转化为到的距离与到距离相等， 所以的轨迹是抛物线的一部分， 故选：． 7. 已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 8. 双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 二、多选题：（每个小题6分，共18分） 9. 已知方程：（且），则下列结论正确的有（ ） A. “方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件 B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线 C. 存在，方程表示的曲线的离心率为 D. “”是“方程表示双曲线”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则，解得且， 当且成立时，一定成立，反之不成立，所以， A选项正确； 对于B，若，方程：，表示焦点在轴上的双曲线，B选项正确； 对于C，时，方程：，表示焦点在轴上的椭圆，离心率为，C选项正确； 对于D，方程表示双曲线，则有，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，D选项错误. 故选：ABC 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析数列的单调性，结合已知条件可判断A，结合题意并利用等差数列的性质判断B，利用等差数列的求和公式可判断C，令，结合等差数列的定义分析可知，，判断D即可. 【详解】对于A，若，则为递增数列， 所以，与矛盾， 若，则为常数列，所以，，与矛盾， 若，则为递减数列，则， 由，可得，合乎题意，故A正确， 对于B，由已知得，且为递减数列， 则数列的前项均为正数，从第项开始出现负数， 可得的最大值为，故B正确， 对于C，由A可知，，， 得到，， 则当时，的最大值为，故C错误， 对于D，由题意得，则， 则， 得到数列为等差数列，且其首项为，公差为， 由，得，由得，， 由得，，即， 令，，则等差数列为递减数列， 且，，， 得到数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，A是双曲线C左支上一点，B为的中点，若，O为坐标原点，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. C. D. 点A到x轴的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件确定的形状，再结合双曲线的定义逐项求解判断. 【详解】双曲线C：的焦点，， 由，即，得是直角三角形，， 对于A，双曲线C的离心率为，A错误； 对于B，由B为的中点，是中点，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，设点A到x轴的距离为，由，得，D错误. 故选：BC 三、填空题（每空5分，共20分） 12. 已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 13. ，，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 14. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有个小球，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件找出数列的通项公式，再得出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】依题意，， 则，所以 ． 故答案为： 15. 已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果. 【详解】 设过的两条直线与圆分别切于点， 由两条切线相互垂直，知：， 又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直， 所以，即得，所以， 所以椭圆C1的离心率，又， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围. 三、解答题（共72分） 16. 求符合条件的方程 （1）求焦点为，且与双曲线有相同渐近线的双曲线标准方程. （2）求经过点和点的椭圆的标准方程 （3）求经过点的抛物线的标准方程 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）设双曲线方程为，再利用焦点坐标求出即可. （2）设椭圆方程为，利用给定点求出即可. （3）按抛物线焦点在轴、轴分别设出方程，再利用待定系数法求解即得. 【小问1详解】 由双曲线焦点为，与双曲线有相同渐近线，设该双曲线方程为， 即，因此，解得， 所以所求双曲线方程为. 【小问2详解】 设经过点和点的椭圆方程为， 则，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【小问3详解】 当抛物线焦点在轴上时，设所求方程为，则， 解得，方程为； 当抛物线焦点在轴上时，设所求方程为，则， 解得，方程为， 所以所求抛物线的标准方程为或. 17. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法求出的值，进而得到的通项. （2）由（1）的结论求出，再按分段，并结合等差数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 在数列中，， 当时，， 两式相减，得，则，当n＝1时，，即，满足上式， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，得，则，记， 当时，，则； 当时，，则 ， 所以数列的前n项和. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，即可证得； （2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角的正弦值为. 【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， ，则，为的中点，则， ，平面， 平面，因此，； （2），，，所以，， 同理可得， 取的中点，连接，则， 因为且，故四边形为矩形，则， 所以，， 由余弦定理可得，则， 所以，的边上的高， 平面，平面，则， ，，平面， 因为，平面，平面，故平面， ，故点到平面的距离， 设二面角为，则. 19. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点为的一个焦点，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）已知为的左顶点，直线与交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念，以及椭圆离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程； （2）联立椭圆方程和直线方程，求出弦长，根据点到直线距离公式，求出三角形高，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 椭圆一个焦点为，则，椭圆的离心率为，所以，即， 所以，所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 如图所示，左顶点， 则点到直线的距离为. 联立方程组得，消去得， 根据弦长公式得， 所以. 20. 已知是递增的等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质列方程计算结合通项公式计算即可； （2）利用错位相减法计算即可. 【小问1详解】 设的公差为，由题可知. 因为，所以①， 因为，所以②， 由①②，得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得. 所以③， ③，得④， ③④，得 所以. 21. 点、、在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，．点、在直线两侧，记直线斜率为，直线斜率为，且． （1）求抛物线方程； （2）求直线AB的斜率； （3）记、、的面积为，，，若，，成等差数列，求直线AB方程． 【答案】（1） （2）点的坐标为时，直线的斜率为，当点的坐标为时，直线的斜率为， （3）当点的坐标为时，直线的方程为或，当点的坐标为时，直线的方程为或. 【解析】 【分析】（1）由条件， 抛物线定义可得，解方程求，由此可得抛物线方程； （2）求点的坐标，当时，求直线方程，与抛物线方程联立求的坐标，再求直线的斜率，根据对称性求时，直线的斜率； （3）设直线与直线的交点为，由此可得，，根据，结合条件可得，结合（2）求的坐标为时点的坐标，列方程求，由此可得直线的方程，再根据对称性求的坐标为时直线的方程， 【小问1详解】 因为在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，， 所以，故， 所以抛物线方程为， 【小问2详解】 因为在抛物线上，点的横坐标是，所以点的纵坐标为， 当点的坐标为时， 由已知的方程为，的方程为， 联立，所以， 故， 由已知方程的判别式， 设，则，故，故， 所以点的坐标为 同理可得点的坐标为， 所以直线的斜率为， 又， 所以直线的斜率为， 由对称性可得当点的坐标为时，直线的斜率为， 【小问3详解】 设直线与直线的交点为， 则，， 所以，， 所以， 因为，，成等差数列，所以， 所以， 当点的坐标为时，直线的方程为，即 令可得，，故点的坐标为， 所以， 所以或， 所以或， 所以直线的方程为或， 同理当点的坐标为时，直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $