精品解析：甘肃天水市甘谷县第六中学2026-2027学年高一上学期第一阶段考试数学试卷

甘谷六中2026—2027学年第一学期高一级第一阶段考试 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的4个选项，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 满足集合的集合的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知集合，若则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则使成立的的值是________． 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 14. 已知，，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 18. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘谷六中2026—2027学年第一学期高一级第一阶段考试 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的4个选项，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 若是由歌曲名《双双草鞋送红军》中的所有字组成的集合，则中元素的个数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】因为双，草，鞋，送，红，军，所以中元素的个数是6． 2. 已知命题：，；则命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题求解. 【详解】，的否定：为，. 3. 满足集合的集合的个数是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的定义确定必须包含元素1、2，剩余元素仅能从中选取，然后利用列举法即可求解. 【详解】由集合子集的定义可得：因为，所以且； 因为，所以的可能情况有： ， 故满足条件的的个数为8. 4. 已知实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则满足，但此时，故“”不是“”的充分条件； 若，此时成立，故“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知集合，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 6. 已知 ，则代数式 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】， 因为即所以， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值，最小值为. 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项根据不等式性质直接表示出来，C选项利用交叉相乘作比较，D选项用作差法进行求解。 【详解】选项A：因为且为正数，两边同乘以负数，则. 选项B：由于，则. 选项C：因为，，所以， 由，，得，即 则，两边同时加，即，即， 两边同时除以正数，得. 选项D：分母，，用作差法比较： 分子：，，故； 分母：，，故. 因此，即. 8. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案. 【详解】依题意，，，故. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中，是真命题的有（ ） A. 若命题，则的否定为： B. 若，则 C. D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定可判断A；根据不等式的性质可判断B；利用二次函数的值域即可判断C；由命题所含范围的包含关系即可推断D. 【详解】对于A，若命题，则的否定为：，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C，因为， 所以为真命题，故C正确； 对于D，因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A选项，因为，所以，即， 解得，当且仅当，时等号成立； 对于B选项，因为，所以， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 由二次函数的性质可得，当时，上式取得最小值为，故C正确； 对于D选项，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，故D错误. 11. 不等式的解集是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是或 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，则使成立的的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以或， 若，解得，当时，集合中元素不满足互异性； 若，解得或，当时，集合中元素不满足互异性，所以 13. 已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，求出，，再利用不等式性质求出的取值范围. 【详解】设， 则， 即，解得：， 所以. 又因为，，且， 所以， 即. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1） 由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2） 由，，得，即， 又，所以． 【解析】 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）略 （2）略 16. 求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）或 （2）或 （3） （4）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （4）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分情况讨论，即可求解； 【小问1详解】 解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：由不等式，可得， 解得或，所以不等式的解集为或. 【小问3详解】 解：由不等式，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 【小问4详解】 解：由不等式， 当时，原不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式， ①当时，原不等式等价于，解得，所以解集为； ②当时，原不等式等价于， （i）当时，解得或，不等式的解集为； （ii）当时，原不等式等价于，不等式的解集为； （iii）当时，解得或，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 18. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入得到集合的范围，通过并集和交集的概念计算即可 （2）利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围， （3）根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 当时，，因为， 则；. 【小问2详解】 若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 19. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $