第三单元 用字母表示数·规律专题（专项练习）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

2026-2027学年六年级上册数学新北师大版 第三单元 用字母表示数·规律专题解析版 例1：按下面的方式用小棒搭正方形： 如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要( )根小棒；100根小棒可以搭( )个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要( )根小棒。 【答案】 31 33 3n＋1 【分析】观察可知，搭个正方形需要根小棒，搭个正方形需要根小棒，搭个正方形需要根小棒，所以搭个这样的正方形需要根小棒，代入数据得出答案。 【详解】 （根） （个） 搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要根小棒；100根小棒可以搭个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要根小棒。 例2．按一定规律摆图案（如下图），第1个图用了8根火柴棒，第2个图用了14根火柴棒，第3个图用了20根火柴棒，…，照此规律摆下去，第9个图用了（    ）根火柴棒。 A．29 B．42 C．56 D．69 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个图分别用了8根、14根、20根火柴棒，发现：每增加一个图形，火柴棒的数量就增加6根，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 第1个图用了8根火柴棒，8＝6×1＋2； 第2个图用了14根火柴棒，14＝6×2＋2； 第3个图用了20根火柴棒，20＝6×3＋2； …… 规律：第n个图用了8+6×（n-1）根火柴棒。 当n＝9时 8+6×8 ＝8+48 ＝56（根） 第9个图用了56根火柴棒。 故答案为：C 例3．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】A 【分析】 从图中可知，框出来的四个数是，观察它们之间的关系：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。通过设其中一个数，根据这个规律来表示出其余三个数，从而判断四个数之间的关系。 【详解】 A．设左上角的数为a，则右上角的数是a＋1；左下角的数为a＋7，则右下角的数为a＋1＋7＝a＋8，所以正确； B．设右上角的数为a，则左上角的数是a－1；右下角的数是a＋7，则左下角的数为a＋7－1＝a＋6；所以错误； C．设左下角的数为a，则右下角的数为a＋1；左上角的数为a－7，则右上角的数为a－7＋1＝a－6，所以错误； D．设右下角的数为a，则左下角的数为a－1；右上角的数为a－7，则左上角的数为a－7－1＝a－8；所以错误。 故答案为：A 例4．下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 【答案】B 【分析】观察每组数据，1×3＋0＝3，3×5＋2＝17，5×7＋4＝39，由此可知，每组四个数中，左下角和右上角的数字相乘加上左上角的数字就是右下角的数字，右上角的数字依次比前一个表多2，左下角的数字是从1开始依次加2，找出规律即可求解。 【详解】左下角的数是7，右上角的数是9。 所以a的值是：7×9＋6 ＝63＋6 ＝69 例5．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2）a+30 （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 一．选择题 1．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；数感；运算能力． 【分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆点的个数为4+1＝5；第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9；第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13；进而发现规律，即可得第n个图形中圆点的个数． 【解答】解：观察图形的变化可知： 第1个图形中圆点的个数为4+1＝5； 第2个图形中圆点的个数为4×2+1＝9； 第3个图形中圆点的个数为4×3+1＝13； … 发现规律， 则第n个图形中圆点的个数为（4n+1）． 故选：C． 【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律． 2．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；几何直观；推理能力． 【分析】根据图形，可以写出前几个图形中星星数的计算过程，从而可以写出第n个图形星星数的计算过程，然后将n＝9代入计算即可． 【解答】解：由图可得， 第1个图形的星星数为：（2+1）+1＝3+1＝4， 第2个图形的星星数为：（3+2+1）+2＝6+2＝8， 第3个图形的星星数为：（4+3+2+1）+3＝10+3＝13， …， 则第n个图形的星星数为：（n+1+n+n﹣1+…+1）+n， ∴第9个图形的星星数为：（10+9+…+2+1）+9＝55+9＝64， 故选：D． 【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现星星数的变化特点． 3．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力；推理能力． 【分析】根据图形变化归纳出第n个图形有（3n+3）枚棋子，再根据题意列方程求解即可． 【解答】解：由图知，第1个图形棋子数为：6＝3×2， 第2个图形棋子数为：9＝3×3， 第3个图形棋子数为：12＝3×4， 第4个图形棋子数为：15＝3×5， …， 第n个图形棋子数为：3×（n+1）＝3n+3， 由题知3n+3＝2022， 解得n＝673， 故选：C． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图形有（3n+3）枚棋子是解题的关键． 4．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；数感． 【分析】通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 【解答】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒； 搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒； …， 搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒； 搭2021个这样的正方形需要3×2021+1＝6064根火柴棒． 故选：D． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结． 5．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；应用意识． 【分析】由图可知：第一个图案有三角形1个，第二个图案有三角形1+3＝4个，第三个图案有三角形1+3+4＝8个，第四个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个，由此得出规律解决问题． 【解答】解：第一个图案有三角形1个， 第二图案有三角形1+3＝4个， 第三个图案有三角形1+3+4＝8个， 第四个图案有三角形1+3+4+4＝12， … 第n个图案有三角形4（n﹣1）个， 第10个图中三角形的个数是4×（10﹣1）＝36． 故选：C． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 6．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【分析】仔细观察图形中●的个数，找到图形的变化的规律，找到通项公式，代入求值即可． 【解答】解：第一个图形有1+3×0＝1个●； 第二个图形有1+3×1＝4个●； 第三个图形有1+3×2＝7个●； … 第n个图形有1+3（n﹣1）＝（3n﹣2）个●， ∴当n＝10时，有3×10﹣2＝28个●． 故选：C． 【点评】考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第n个图形有（3n﹣2）个●． 7．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第2个五边形数为1+4＝5，第3个五边形数为1+4+7＝12，第4个五边形数为1+4+7+10＝22，即每个五边形数是从1开始，后面的数都比前面一个数大3的几个数的和，且数的个数等于序号数，则第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19＝70． 【解答】解：∵第1个五边形数为1， 第2个五边形数为1+4＝5， 第3个五边形数为1+4+7＝12， 第4个五边形数为1+4+7+10＝22， ∴第5个五边形数为1+4+7+10+13＝35， 第6个五边形数为1+4+7+10+13+16＝51， 第7个五边形数为1+4+7+10+13+16+19＝70． 故选：B． 【点评】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 8．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】由题意可知：最里面的三角形的棋子数是6，由内到外依次比前面一个多3个棋子，由此规律计算得出棋子的数即可． 【解答】解：第①个图形有3颗棋子， 第②个图形一共有3+6＝9颗棋子， 第③个图形一共有3+6+9＝18颗棋子， 第④个图形有3+6+9+12＝30颗棋子， …， 第⑧个图形一共有3+6+9+…+24＝3×（1+2+3+4+…+7+8）＝108颗棋子． 故选：B． 【点评】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 9．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；创新意识． 【分析】根据图形的变化规律总结出第n个图形的棋子个数为n2+1即可． 【解答】解：∵第1个图形里棋子的个数为12+1， 第2个图形里棋子的个数为22+1， 第3个图形里棋子的个数为32+1， 第4个图形里棋子的个数为42+1， ..． 第n个图形里棋子的个数为n2+1， ∴第10个图形里棋子的个数为10×10+1＝101， 故选：B． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，归纳出第n个图形里棋子的个数为n2+1，是解题的关键． 10．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；创新意识． 【分析】根据每个图形观察发现，每个图形上、左、右的五角星个数个图形序号一致，下方只有一个，根据规律即可求出答案． 【解答】解：根据已知图形得： 第1个图形五角星个数：1×3+1， 第2个图形五角星个数：2×3+1， 第3个图形五角星个数：3×3+1， 第4个图形五角星个数：4×3+1， 由此规律得： 第7个图形五角星个数：7×3+1＝22． 故选：C． 【点评】考查了图形的变化类，属于规律型题目求解，通过图形的变化与图形序号的关系求出答案． 11．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；创新意识． 【分析】先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑩个图形中★的个数． 【解答】解：∵第①个图形中共有（1+2）×2﹣1＝3×2﹣1＝5个★， 第②个图形中共有（1+2+3）×2﹣1＝4×3﹣1＝11个★， 第③个图形中共有（1+2+3+4）×2﹣1＝5×4﹣1＝19个★， …， 则第⑩个图形中★的个数为（1+2+3+…+11）×2﹣1＝12×11﹣1＝131． 故选：C． 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，得出规律，解决问题． 12．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；创新意识． 【分析】由已知图形得出c＝（﹣1）n•2n﹣1，a＝2c＝（﹣1）n•2n，b＝a+2＝（﹣1）n•2n+2，根据d＝a+b+c＝5×（﹣1）n•2n﹣1+2＝642求解可得． 【解答】解：由题意知c＝（﹣1）n•2n﹣1，a＝2c＝（﹣1）n•2n，b＝a+2＝（﹣1）n•2n+2， d＝a+b+c＝（﹣1）n•2n+（﹣1）n•2n+2+（﹣1）n•2n﹣1＝5×（﹣1）n•2n﹣1+2， 由题意知5×（﹣1）n•2n﹣1+2＝642， 解得：n＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了数字变化规律型题．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律． 13．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；创新意识． 【分析】根据图形的变化规律总结出第n个图中有•（n+1）2﹣1个，即可求解． 【解答】解：由图知，第1个图中有•（1+1）2﹣1＝3个， 第2个图中有•（2+1）2﹣1＝8个， 第3个图中有•（3+1）2﹣1＝15个， ..． 第n个图中有•（n+1）2﹣1个， ∴第⑦个图形中共有•（7+1）2﹣1＝63个， 故选：A． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，总结出第n个图中有•（n+1）2﹣1个是解题的关键． 14．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力；推理能力． 【分析】通过观察可知，m的值等于（第一行第二个+第二行第一个数）×第一行第一个数，再确定第一行第二个数和第二行第一个数即可． 【解答】解：第一行第一数是从1开始的奇数， 第一行第二个数是从5开始的奇数， 第二行第一个数是从3开始的奇数， 如图：m＝（11+13）×9＝24×9＝216， 故选：A． 【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的表格中的数，探索出每个各数字之间的规律和联系是解题的关键． 15．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4． 【解答】解：2+4＝6，4+4＝8，6+4＝10，所以第四个正方形右上角的数为，8+4＝12 2+2＝4，4+2＝6，6+2＝8，所以第四个正方形左下角的数为，8+2＝10． 30＝4×6+1×6，60＝6×8+2×6，98＝8×10+3×6， 所以m＝10×12+4×6＝144． 故选：D． 【点评】此题是一个寻找规律性的题目，注重培养学生观察、分析、归纳问题的能力．关键是观察四个正方形，得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4． 16．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型． 【分析】根据题意知：前三个图形的右下角的数等于右上角与左下角数的积加左上角的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的自然数，据此解答． 【解答】解：由题意得， a＝8，b＝9， 则m＝ab+7＝79． 故选：D． 【点评】此题主要考查了数字变化规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 17．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【分析】根据题意知：前三个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，据此解答． 【解答】解：根据以上分析知：第四个方框中左下角的是10，右上角的是12， 所以m＝12×10﹣8＝120﹣8＝112． 故选：D． 【点评】此题主要考查了数字变化规律，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键． 18．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型． 【分析】观察正方形数据可知：其中三个数为连续正整数，且2×3+1×2＝8，4×5+3×2＝26，6×7+5×2＝52，由此得出一般规律求解． 【解答】解：依题意，得阴影部分两个数为8，9， ∴m＝8×9+7×2＝86， 故选：C． 【点评】本题考查了数字变化规律型题．关键是由特殊到一般，找出数字算式运算规律． 19．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【分析】观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数，右下＝左上×左下+右上，可得m的值． 【解答】解：由前四个正方形内数的规律可知： 每个正方形左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数， 故第五个正方形左下和右上两数分别为：﹣2，0． 而每个正方形右下的数＝左上的数×左下的数+右上的数， 故m＝（﹣4）×（﹣2）+0＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 20．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】(1)B (2)A 【分析】（1）根据百数表中数的排列规律，结合3的倍数的特征及数的奇偶性、质数和合数的意义进行选择即可。 一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 （2）在百数表中，二连方的两个数，一个是奇数，另一个一定是偶数，一个是偶数，另一个一定是奇数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】（1）9＋5＝14，14不是3的倍数； 2＋3＋7＝12，12是3的倍数； 1＋1＋5＝7，7不是3的倍数； 1＋3＋0＝4，4不是3的倍数。 在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是 237。 故答案为：B （2）在百数表中，用二连方（如图2）去盖。两个相邻的数之差是1，一个奇数一个偶数，奇数＋偶数＝奇数，盖住的任意两个数之和一定是奇数。 故答案为：A 21用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 【答案】C 【分析】观察可知，用a表示框中的中间一个数，那么上面可以用（a－10）表示，下面用（a＋10）表示，左边用（a－1）表示，右边用（a＋1）表示，所以5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a，又知a最小是12，最大是89，代入数据分析即可。 【详解】5个数的和：a＋a－10＋a＋10＋a－1＋a＋1＝5a a最小是12，最大是89 A．5a最小是：5×12＝60，所以该说法正确。 B．5a最大是：89×5＝445，所以该说法正确。 C．当5a＝250时，a＝50，观察可知，a＝50时无法框出“十字框”，所以该说法不正确。 D．因为这五个数的和是5a，所以该说法正确。 故答案为：C 2． 填空题 1．学校餐厅里，一张桌子可以坐6人，两张桌子拼在一起可以坐10个人，三张桌子拼在一起可以坐14个人…… 桌子数量（张） 1 2 3 … 坐的人数（人） 6 10 14 … （1）小明认为“桌子的张数和坐的人数成正比例关系”，你同意吗？请说明理由。 　不同意。理由：成正比例关系的两个量，相对应的数的比值必须一定。计算三组桌子张数与坐的人数的比值：1÷6＝，2÷10＝＝，3÷14＝，≠≠，比值不固定，因此桌子的张数和坐的人数不成正比例关系。　 （2）照这样的规律，8张桌子拼在一起可以坐（　34　 ）人；n张桌子拼在一起可以坐（　4n+2　 ）人。 【答案】（1）不同意。理由：成正比例关系的两个量，相对应的数的比值必须一定。计算三组桌子张数与坐的人数的比值：1÷6＝，2÷10＝＝，3÷14＝，≠≠，比值不固定，因此桌子的张数和坐的人数不成正比例关系； （2）34，4n+2。 【分析】（1）判断两个量是否成正比例，要看它们的比值是否一定，计算几组对应数据的比值并比较是否相等即可。 （2）先观察表格中人数随桌子数增加的变化规律，得出每增加1张桌子多坐4人的结论，再推导n张桌子坐人数量的通用表达式，最后将n＝8代入计算。 【解答】解：（1）计算三组桌子张数与坐的人数的比值：1÷6＝，2÷10＝＝，3÷14＝，≠≠，比值不固定，所以桌子的张数和坐的人数不成正比例关系，小明的说法错误。 （2）由表格可得规律：每增加1张桌子，多坐4人。 1张桌子坐6人，6＝4+2； 2张桌子坐10人，10＝4×2+2； 3张桌子坐14人，14＝4×3+2； …… n张桌子可以坐（4n+2）人。 当n＝8时，4n+2＝4×8+2＝32+2＝34（人）。 故答案为：（1）不同意。理由：成正比例关系的两个量，相对应的数的比值必须一定。计算三组桌子张数与坐的人数的比值：1÷6＝，2÷10＝＝，3÷14＝，≠≠，比值不固定，因此桌子的张数和坐的人数不成正比例关系。（2）34，4n+2。 【点评】根据题意找到规律是解答的关键。 2．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 …… 图形周长 5 8 11 14 17 …… （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ 　32　 ）。 （2）当图形的周长为83时，梯形的个数是（ 　27　 ）个。 【答案】（1）32；（2）27。 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加3。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于83，求出梯形的个数。 【解答】解：根据分析可得： （1）每增加一个梯形，图形的周长就增加1+2＝3。 由此可知，当梯形个数为n时，周长为3n+2。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 3×10+2＝32 （2）当图形的周长为83时，即： 3n+2＝83 3n＝81 n＝27 答：当图形的周长为83时，梯形的个数是27个。 故答案为：（1）32；（2）27。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 3．如图，每个圆片的直径都是10cm，按这样的规律摆圆片。 （1）第④个、第⑤个、第⑥个图形的圆片个数与长度分别是多少？请将结果填在如表中。 序号 圆片个数（个） 长度（cm） ① 1 10 ② 2 15 ③ 3 20 ④ ⑤ ⑥ （2）在第⑥个图形的基础上再摆几个圆片，图形的长度是105cm？请写出思考过程。 【答案】（1）4，25；5，30；6，35；（2）14个。 【分析】（1）（2）每个新圆片覆盖前一个圆片的一半，因此每增加1个圆片，总长度增加5cm。即第n个图形的圆片个数为n，长度为10+5（n﹣1）＝5n+5，据此解答。 【解答】解：（1）第n个图形的圆片个数为n，长度为10+5（n﹣1）＝5n+5，所以： 当n＝4时，圆片个数为4，长度为5×4+5＝25 当n＝5时，圆片个数为4，长度为5×5+5＝30 当n＝6时，圆片个数为4，长度为5×6+5＝35 如下所示： 序号 圆片个数（个） 长度（cm） ① 1 10 ② 2 15 ③ 3 20 ④ 4 25 ⑤ 5 30 ⑥ 6 35 （2）在第⑥个图形（长度35 cm）基础上，需增加长度： 105﹣35＝70（cm） 即每个圆片增加5cm，因此需要再摆70÷5＝14（个）圆片。 答：需要再摆14个圆片。 故答案为：4，25；5，30；6，35。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 4．用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案： （1）摆1个这样的图案需要 　6　 块白色的正六边形。 （2）摆4个这样的图案需要 　18　 块白色的正六边形。 （3）照这样计算，摆a个这样的图案需要多少块白色的正六边形？ 【答案】（1）6； （2）18； （3）（2+4a）。 【分析】由图可知，第一个图案有6个白色地砖，第二个图案有（6+4）个白色地砖，第三个图案有（6+4+4）个地砖，据此可以推断每次只需要增加4个白色地砖，第a个图案需要6+4（a﹣1）个白色地砖；据此解答即可。 【解答】解：（1）摆1个这样的图案需要6块白色的正六边形。 （2）摆4个这样的图案需要18块白色的正六边形。 当n＝4时，4×4+2＝18（块） （3）第a个图案需要6+4（a﹣1）＝（2+4a）个白色地砖。 故答案为：6，18。 【点评】此类题要能够结合图形，发现规律：在第一个图案的基础上，多一个图案，多4块白色地砖．是解决本题的关键。 5．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【分析】由题意可得黑色正方形依次增加2个，白色正方形依次增加4个，从而可求得其规律，即可求解． 【解答】解：∵第1个图案中白色正方形的个数为：7，黑色正方形的个数为：2， 第2个图案中白色正方形的个数为：11＝7+4，黑色正方形的个数为：4＝2+2＝2×2， 第3个图案中白色正方形的个数为：15＝7+4+4＝7+4×2，黑色正方形的个数为：6＝2+2+2＝2×3， ...， ∴第n个图案中白色正方形的个数为：7+4（n﹣1）＝4n+3，黑色正方形的个数为：2n， 则第n个图案中白色正方形比黑色正方形多的个数为：4n+3﹣2n＝2n+3， 故答案为：（2n+3）． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析清楚存在的规律． 6．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【专题】规律型；运算能力；推理能力． 【分析】根据图形的变化规律得出每个图形都比前一个多3个白色正方形，归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形即可． 【解答】解：由题知， 第1个图形中白色正方形的个数为5＝3+2， 第2个图形中白色正方形的个数为8＝3×2+2， 第3个图形中白色正方形的个数为11＝3×3+2， …， 第10个图形中白色正方形的个数为3×10+2＝32， …， 第n个图形中白色正方形的个数为3n+2， 故答案为：32，3n+2． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图形有3n+2个白色正方形是解题的关键． 7．【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．版权所有 【专题】整式． 【分析】通过观察图形很容易可知黑色正方形个数与图形的序号是相同的，即第n个图中黑色正方形的个数是3n+1；而白色正方形的个数是所有正方形的个数总和减去黑色正方形的个数即7n+4．所以白色正方形的个数﹣黑色正方形的个数（7n+4）﹣（3n+1）＝3+4n． 【解答】解：由图可知 第1个图中：黑色正方形的个数是：4+3×0；白色正方形的个数是：11+7×0； 第2个图中：黑色正方形的个数是：4+3×1；白色正方形的个数是：11+7×1； 第3个图中：黑色正方形的个数是：4+3×2；白色正方形的个数是：11+7×2； … 第n个图中：黑色正方形的个数是：4+3（n﹣1）＝3n+1；白色正方形的个数是：11+7×（n﹣1）＝7n+4； 所以第n个图案中白色正方形的个数比黑色的正方形个数多（7n+4）﹣（3n+1）＝3+4n． 故答案为：3+4n． 【点评】本题主要考查了图形的变化类规律题．从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信息是解题的关键． 8．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；运算能力；应用意识． 【分析】根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2023张白色纸片，即可求得n的值． 【解答】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：1+1×3＝4， 第2个图案中白色纸片的个数为：1+2×3＝7， 第3个图案中白色纸片的个数为：1+3×3＝10， …， 第n个图案中白色纸片的个数为：1+n×3＝3n+1， 令3n+1＝2023， 解得n＝674， 故答案为：674． 【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中白色纸片的变化规律，利用数形结合的思想解答． 9．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】压轴题． 【分析】解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【解答】解：第一个图需棋子3+1＝4； 第二个图需棋子3×2+1＝7； 第三个图需棋子3×3+1＝10； 第四个图需棋子3×4+1＝13； 第五个图需棋子3×5+1＝16； … 第n个图需棋子3n+1枚． 故答案为：16，3n+1． 【点评】此题考查了规律型中的图形变化问题，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 10．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型． 【分析】由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；由此求得问题答案． 【解答】解：第1个“上”字中的棋子个数是6＝4+2； 第2个“上”字中的棋子个数是10＝4×2+2； 第3个“上”字中的棋子个数是14＝4×3+2； … 所以，第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）； 故答案为：4n+2 【点评】本题考查了图形的变化规律，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． 11．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【分析】观察四个正方形，可得到规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4，右下角的数＝对角线上两个数的乘积﹣左上角的数，依此计算即可求解． 【解答】解：m＝8×10﹣6 ＝80﹣6 ＝74． 故答案为：74． 【点评】考查了规律型：数字的变化类，此题是一个寻找规律性的题目，注重培养学生观察、分析、归纳问题的能力．关键是观察四个正方形，得规律，每个正方形中左下角的数比左上角的数大2、右上角的数比左上角的数大4． 12．【考点】规律型：数字的变化类．版权所有 【专题】推理填空题；规律型；猜想归纳；实数． 【分析】观察前四个正方形规律是：左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数，右下＝左上×左下+右上，可得m的值． 【解答】解：由前四个正方形内数的规律可知： 每个正方形左上、左下、右上三个数是连续的三个偶数， 故第五个正方形左下和右上两数分别为：﹣2，0． 而每个正方形右下的数＝左上的数×左下的数+右上的数， 故m＝（﹣4）×（﹣2）+0＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查数字的变化规律，培养学生观察、分析、归纳问题的能力，观察四个正方形得出规律解决问题，属中档题． 13.认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 (1)设中间的数是x，则左边的数是( )，下边的数是( )。 (2)当中间的数是a时，这5个数的和是( )，若5个数的和是105，则这5个数分别是( )。 【答案】(1) x－1 x＋7 (2) 5a 14、20、21、22、28 【分析】（1）如图所示，表格为大月的日历，观察可知：每行的数从左到右依次增大，相邻两数之差是1；每一列的数从上到下依次增大，相邻两数之差是7，据此求解。 （2）当中间数是a时，用a表示出与它相邻的4个数，再将这5个数求和，用含有字母a的式子表示出来。根据5个数的和是105可以求出a的值，进一步求出与它相邻的数。 【详解】（1）设中间的数是x，则左边的数是（x－1），下边的数是（x＋7）。 （2）当中间的数是a时，与它相邻的数分别是：（a－1）、（a＋1）、（a－7）、（a＋7）。 （a－1）＋（a＋1）＋a＋（a－7）＋（a＋7） ＝（a－1＋a＋1）＋a＋（a－7＋a＋7） ＝2a＋a＋2a ＝5a 这5个数的和是（5a）。 当5a＝105时 a＝105÷5＝21 a－1＝21－1＝20；a＋1＝21＋1＝22；a－7＝21－7＝14；a＋7＝21＋7＝28 这5个数分别是14、20、21、22、28。 三．解答题 1．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型． 【分析】观察图形可知从第二个图案开始，第加一扇窗户，就增加3个剪纸．照此规律便可计算出第n个图形中剪纸的个数． 【解答】解：第一个图案为3+2＝5个窗花； 第二个图案为2×3+2＝8个窗花； 第三个图案为3×3+2＝11个窗花； …从而可以探究： 第n个图案所贴窗花数为（3n+2）个． （1）20 （2）3n+2 （3）存在，令3n+2＝2012，则3n＝2010 n＝670 因此是第670个． 【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 2．【考点】规律型：图形的变化类．版权所有 【专题】规律型；推理能力． 【分析】设摆成第n（n为正整数）个图案需要an个三角形． （1）根据前3个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合a3的值即可求出a4和a6的值； （2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出an＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）+a1＝3n+1； （3）代入n＝203即可求出结论． 【解答】解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要an个三角形． （1）∵a1＝4，a2＝7，a3＝10， ∴a2﹣a1＝a3﹣a2＝a4﹣a3＝3， ∴a4＝a3+3＝13， 同理可得：a6＝19， 故答案为：13，19； （2）由（1）可知：an＝（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）+a1＝3（n﹣1）+4＝3n+1． 故答案为：（3n+1）； （3）当n＝203时，a2020＝3×203+1＝610， ∴摆成第203个图案需要610个三角形． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律“an＝3n+1”是解题的关键． 3．小谨用火柴棒按下图的方式摆三角形。 （1）按规律填写下表。 三角形的个数 1 2 3 4 5 6 …… 用火柴棒的根数 （2）照这样的规律摆下去，摆n个三角形需要多少根火柴棒？ 【答案】（1）3、5、7、9、11、2n+1。 （2）（2n+1）根。 【分析】每增加1个三角形，火柴棒就增加2根，第n个图形，需要（2n+1）根火柴棒，据此解答即可。 【解答】解：（1） 三角形的个数 1 2 3 4 5 6 …… 用火柴棒的根数 3 5 7 9 11 13 2n+1 （2）照这样的规律摆下去，摆n个三角形需要（2n+1）根火柴棒。 故答案为：3、5、7、9、11、2n+1。 【点评】本题是一道有关字母表示数、图形中的规律的题目。 4．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 【答案】6张。 【分析】根据图形可知“一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人”，每增加一张桌子，就多坐2人，所以可得规律：n张桌子可以坐下总人数＝2+桌子数×2，据此解答。 【解答】解：（14﹣2）÷2 ＝12÷2 ＝6（张） 答：一共需要拼6张桌子。 【点评】此题解答关键是理解两张桌子并起来由于两边重合只能多坐2人，据此类推解决问题。 5．（1）照如图的样子摆一摆。 （2）把每组中的扣子数填在如表中。 图号 ① ② ③ ④ …… n 每边扣子数 …… 扣子总数 …… （3）当n＝8时，摆出的图形要用多少个扣子？ 【答案】（2） 图号 ① ② ③ ④ …… n 每边扣子数 2 3 4 5 …… 扣子总数 3 6 9 12 …… 3n （3）24个。 【分析】（2）规律：第n幅图，要用3n个扣子；据此解答即可。 （3）把n＝8代入（2）中的式子解答即可。 【解答】解：（2） 图号 ① ② ③ ④ …… n 每边扣子数 2 3 4 5 …… 扣子总数 3 6 9 12 …… 3n （3）当n＝8时， 3n＝3×8＝24 答：当n＝8时，摆出的图形要用24个扣子。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 6．生活中有很多规律是可以用字母来表示的。观察下列用摆成的图案，回答问题。 （1）根据图中的规律，第n个图中有（　5n ）个。 （2）列举一个可以用这个字母式表示的生活中的具体问题。 【答案】（1）5n； （2）一支钢笔的价格为5元，买n支这种钢笔共需要5n元。（答案不唯一） 【分析】（1）每增加一个图案就增加5个菱形，第n个图案由n组5个菱形组成。 （2）5n表示5与n的积，可以用“单价5元×数量n”构造生活中的实际问题。 【解答】解：（1）第1个图案有5×1＝5（个）， 第2个图案有5×2＝10（个）， 第3个图案有5×3＝15（个）， 第4个图案有5×4＝20（个）， 第n个图案有5×n＝5n（个）。 答：第n个图中有（5n）个。 （2）一支钢笔5元，买n支的总价是5×n＝5n（元），符合字母式5n表示的数量关系。（答案不唯一） 故答案为：5n。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 7．用小木棍摆房子，根据规律填一填。 【答案】9；13；25。 【分析】从图中可知，摆第1个、第2个、第3个图形用小木棍的个数分别是：5根、9根、13根，发现每增加一个图形，就增加4根小棍；据此得出规律，并按规律解答。 【解答】解：摆第1个图形用小木棍根数：5 摆第2个图形用小木棍根数：9 摆第3个图形用小木棍根数：13 …… 规律：摆第n个图形用5+4×（n﹣1） ＝5+4n﹣4×1 ＝5+4n﹣4 ＝（4n+1）根 当n＝6时，4n+1 ＝4×6+1 ＝24+1 ＝25（根） 故答案为：9；13；25。 【点评】根据已知图形找到规律是解答的关键。 8．小艺在学习图形的周长时，借助边长1厘米的正方形学具，分别摆出如图的图形，并依次写出计算每个图形周长的算式。观察图形，找规律，能把表格填完整吗？ 正方形个数 1 4 9 16 周长（厘米） 4 4+6 4+6×2 4+6×3 【答案】 正方形个数 1 4 9 16 25 36 周长（厘米） 4 4+6 4+6×2 4+6×3 4+6×4 4+6×5 。 【分析】由前3个图形分析可得，小正方形的个数分别是1×1＝1（个），2×2＝4（个），3×3＝9（个），则紧接着后面小正方形的个数应该是5×5＝25（个），6×6＝36（个）；摆出图形的周长分别是4+6×0＝4（厘米），4+6×1＝10（厘米），4+6×2＝16（厘米），可见每个图形都比前面图形的周长多6厘米，则紧接着后面摆出的图形周长应该是4+6×4（厘米），4+6×5（厘米）；据此解答。 【解答】解：5×5＝25（个） 6×6＝36（个） 4+6×4 ＝4+24 ＝28（厘米） 4+6×5 ＝4+30 ＝34（厘米） 正方形个数 1 4 9 16 25 36 周长（厘米） 4 4+6 4+6×2 4+6×3 4+6×4 4+6×5 【点评】根据图形找到计算规律是解答的关键。 9．如图是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的。照此规律排下去，第5个图形中有（　12　 ）个实心圆，第n个图形中有（　2n+2　 ）个实心圆。 【答案】12；（2n+2）。 【分析】观察图片可得： 第1个图形：实心圆个数为4个；4可以写成2×（1+1） 第2个图形：实心圆个数为6个；6可以写成2×（2+1） 第3个图形：实心圆个数为8个；8可以写成2×（3+1） 第n个图形：实心圆的个数为2（n+1）个。 【解答】解：根据图示可知： 第5个图形：实心圆的个数为2×（5+1）＝12（个）； 第n个图形：实心圆的个数为2（n+1）个。 2（n+1）＝2n+2 答：第5个图形中有（12）个实心圆；第n个图形实心圆的个数也可以写成（2n+2）个。 故答案为：12；（2n+2）。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 10．下图是一种细胞自我复制过程中的分子结构演变图，小强发现其中隐藏着一定的规律，并用表格进行了记录。请根据图表提供的信息，把表格填写完整。 ●数量/个 1 2 3 4 …… 15 n 〇数量/个 4 6 8 10 …… 【答案】 ●数量/个 1 2 3 4 … 15 n 〇数量/个 4 6 8 10 … 32 2n+2 。 【分析】观察图形可知：第1个图形有1个●，4个〇； 第2个图形有2个●，6个〇，6＝4+2＝4+2×1； 第3个图形有3个●，8个〇，8＝4+2+2＝4+2×2； 第4个图形有4个●，10个〇，10＝4+2+2+2＝4+2×3 …… 从第二个图形开始，每增加一个●，就会增加2个〇； 第15个图形有15个●，〇有：4+2×（15﹣1） 第n个图形有n个●，〇有：4+2×（n﹣1），据此分析。 【解答】解：4+2×（15﹣1） ＝4+2×14 ＝4+28 ＝32（个） 4+2×（n﹣1） ＝4+2n﹣2 ＝（2n+2）个 ●数量/个 1 2 3 4 … 15 n 〇数量/个 4 6 8 10 … 32 2n+2 【点评】根据已知图形找出规律的解答的关键。 11．小智用若干根同样长的小棒搭图形。（如图） （1）仔细观察，你发现了什么？　每增加1个五边形，增加4根小棒　 。 （2）照这样继续搭下去，第7个图形需要 　29　 根小棒；第n个图形需要小棒的根数可以用式子表示为 　4n+1　 。 【答案】（1）每增加1个五边形，增加4根小棒；（2）29，4n+1。 【分析】（1）根据已知图形可知：每增加1个五边形，增加4根小棒，即5+4×（n﹣1）＝4n+1； （2）根据规律进行计算即可。 【解答】解：（1）每增加1个五边形，增加4根小棒。 （2）根据规律计算为：4×7+1＝29（根） 第n个图形需要小棒根数为：4n+1。 故答案为：（1）每增加1个五边形，增加4根小棒；（2）29，4n+1。 【点评】根据已知图形找到规律是解答的关键 12观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。 （3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26 ＝33＋54＋75 ＝162 ＝18×9 答：方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。 13.下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 【答案】（1）见详解 （2）圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【分析】（1）观察可知，第一个方框中，，第二个方框中，，五个数的和总是中间数的5倍，所以设中间的数为，根据等量关系式中间数的5倍等于115，据此列方程并求解，再画图。 （2）根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，用130除以5等于26是中间数，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130，据此解答。 【详解】（1）解：设中间的数为。 画图如下： （2） 答：圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【点睛】找出五个数的和是中间数的5倍这一规律，再运用用方程解答的方法解决问题 14.（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2）a+30 （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【详解】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 15．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【分析】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【详解】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝9x 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【点睛】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年六年级上册数学新北师大版 第三单元 用字母表示数·规律专题 本专题针对两类高频题型：①等差数列型找规律；②日历 / 图表框数型找规律。核心目标：观察变化规律，用字母写出通用式子，是本单元重难点，常考填空与简答。 类型一：等差数列型找规律（数列、摆小棒图形题） 特点：相邻两个数的差固定不变，这个固定差值叫公差。 思路：先看每次增加几，写出「公差 ×n」，再调整常数。 公式理解：第n项 = 首项 + 公差 ×(n-1) 易错提醒 1. 注意是递增还是递减； 2. 写完字母式子一定要代入检验； 3. 不强制背诵 “等差数列” 名词，重点会列表找规律。 类型二：日历 / 图表框数型找规律 日历核心规则 · 同一行：右边数比左边大 1 · 同一列：下面数比上面大 7 解题技巧：优先设中间数为字母，方便化简计算；也可以设左上角数。 易错提醒 1. 上下相差是 7，不是 1； 2. 设中间数可以抵消常数，计算更简单； 3. 反向题型：已知和，利用字母式子求数。 【例1】按下面的方式用小棒搭正方形： 如图，搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要7根小棒，搭3个正方形需要10根小棒，搭10个这样的正方形需要( )根小棒；100根小棒可以搭( )个这样的正方形；搭n个这样的正方形需要( )根小棒。 【例2】按一定规律摆图案（如下图），第1个图用了8根火柴棒，第2个图用了14根火柴棒，第3个图用了20根火柴棒，…，照此规律摆下去，第9个图用了（    ）根火柴棒。 A．29 B．42 C．56 D．69 【例3】月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A．B． C． D． 【例4】下面各正方形的四个数之间都有相同规律，根据此规律可以求出a的值是（    ）。 A．78 B．69 C．57 D．54 【例5】（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 一．选择题 1．如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第n个图形中圆点的个数为（　　） A．n+1 B．n2+n C．4n+1 D．2n﹣1 2．如图，是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，……，第9个图形的星星个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．64 3．如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，若第n个图中有2022枚棋子，则n的值是（　　） A．675 B．674 C．673 D．672 4．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2021个这样的小正方形需要小棒（　　）根． A．8080 B．6066 C．6061 D．6064 5．如图，是一组按照某种规律摆放而成的图案，其中图1有1个三角形，图2有4个三角形，图3有8个三角形，……，照此规律，则图10中三角形的个数是（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 6．观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第10个图形共有（　　）个点组成． A．26 B．27 C．28 D．29． 7．如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第7个五边形数是（　　） A．62 B．70 C．84 D．108 8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（　　） A．84 B．108 C．135 D．152 9．如图，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第10个图形里棋子的个数为（　　） A．100 B．101 C．120 D．121 10．观察如图图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第7个图形中共有五角星的个数为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 11．下列图形都是用同样大小的★按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有11个★，第③个图形中共有19个★，…，则第⑩个图形中★的个数为（　　） A．109 B．111 C．131 D．157 12．如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝642，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 13．下列图形都是用同样大小的•按一定规律组成的，则第⑦个图形中共有•（　　） A．63个 B．64个 C．72个 D．73个 14．如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　） A．216 B．147 C．130 D．442 15．如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　） A．74 B．104 C．126 D．144 16．如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　） A．85 B．72 C．75 D．79 17．如图，填在下面各个正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　） A．160 B．140 C．148 D．112 18．下表，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（　　） A．66 B．74 C．86 D．104 19．（2022秋•简阳市期中）如图五个正方形中各有四个数，各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，可推测出m的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．8 20．根据图形选择合适的选项。 (1)在如图的百数表中，用三连方（如图1）盖住了三个数，这三个数之和可能是（    ）。 A．95 B．237 C．115 D．130 (2)在百数表中，用二连方（如图2）去盖。盖住的任意两个数之和一定是（    ）数。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 21.用“十字框”在百数表（如图）中任意框出五个数，对于这五个数的和，下列说法不正确的是（    ）。 A．不可能小于60 B．不可能大于445 C．有可能是250 D．一定是5的倍数 2． 填空题 1．学校餐厅里，一张桌子可以坐6人，两张桌子拼在一起可以坐10个人，三张桌子拼在一起可以坐14个人…… 桌子数量（张） 1 2 3 … 坐的人数（人） 6 10 14 … （1）小明认为“桌子的张数和坐的人数成正比例关系”，你同意吗？请说明理由。 ____________________ （2）照这样的规律，8张桌子拼在一起可以坐（_______ ）人；n张桌子拼在一起可以坐（_________ ）人。 2．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 …… 图形周长 5 8 11 14 17 …… （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ _______ ）。 （2）当图形的周长为83时，梯形的个数是（ _______ ）个。 3．如图，每个圆片的直径都是10cm，按这样的规律摆圆片。 （1）第④个、第⑤个、第⑥个图形的圆片个数与长度分别是多少？请将结果填在如表中。 序号 圆片个数（个） 长度（cm） ① 1 10 ② 2 15 ③ 3 20 ④ ⑤ ⑥ （2）在第⑥个图形的基础上再摆几个圆片，图形的长度是105cm？请写出思考过程。 4．用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案： （1）摆1个这样的图案需要 _____ 块白色的正六边形。 （2）摆4个这样的图案需要 _______ 块白色的正六边形。 （3）照这样计算，摆a个这样的图案需要多少块白色的正六边形？ 5．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色的正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多 　 　个（用含n的代数式表示）． 6．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第10个图形中白色正方形的个数为 　 　，第n个图形中白色正方形的个数为 　 　．（用含n的式子表示） 7．如图，图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，第n个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多　 　．（用含有n的代数式表示） 8．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2023个白色纸片，则n的值为 　 　． 9．用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第5个图形需要棋子　 　枚，则第n个图形需棋子　 　枚．（n为正整数） 10．如图所示，下列图形是由大小相同的棋子按一定规律摆成的“上”字，通过观察，则第n个图形中的“上”字所用的棋子数为　 　． 11．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是　 　． 12．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 　 　 13.认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 (1)设中间的数是x，则左边的数是( )，下边的数是( )。 (2)当中间的数是a时，这5个数的和是( )，若5个数的和是105，则这5个数分别是( )。 三．解答题 1．下列图案是晋商大院窗格的一部分．其中，“o”代表窗纸上所贴的剪纸． 探索并回答下列问题： （1）第6个图案中所贴剪纸“o”的个数是　 　； （2）第n个图案中所贴剪纸“o”的个数是　 　； （3）是否存在一个图案，其上所贴剪纸“o”的个数为2012个？若存在，指出是第几个；若不存在，请说明理由． 2.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去： （1）摆成第4个图案需要 　 　个三角形，摆成第6个图案需要 　 　个三角形． （2）摆成第n个图案需要 　 　个三角形． （3）摆成第203个图案需要几个三角形？ 3.小谨用火柴棒按下图的方式摆三角形。 （1）按规律填写下表。 三角形的个数 1 2 3 4 5 6 …… 用火柴棒的根数 （2）照这样的规律摆下去，摆n个三角形需要多少根火柴棒？ 4．餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 5．（1）照如图的样子摆一摆。 （2）把每组中的扣子数填在如表中。 图号 ① ② ③ ④ …… n 每边扣子数 …… 扣子总数 …… （3）当n＝8时，摆出的图形要用多少个扣子？ 6．生活中有很多规律是可以用字母来表示的。观察下列用摆成的图案，回答问题。 （1）根据图中的规律，第n个图中有（_______ ）个。 （2）列举一个可以用这个字母式表示的生活中的具体问题。 7．用小木棍摆房子，根据规律填一填。 8．小艺在学习图形的周长时，借助边长1厘米的正方形学具，分别摆出如图的图形，并依次写出计算每个图形周长的算式。观察图形，找规律，能把表格填完整吗？ 正方形个数 1 4 9 16 周长（厘米） 4 4+6 4+6×2 4+6×3 9．如图是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的。照此规律排下去，第5个图形中有（_______ ）个实心圆，第n个图形中有（_________ ）个实心圆。 10．下图是一种细胞自我复制过程中的分子结构演变图，小强发现其中隐藏着一定的规律，并用表格进行了记录。请根据图表提供的信息，把表格填写完整。 ●数量/个 1 2 3 4 …… 15 n 〇数量/个 4 6 8 10 …… 11．小智用若干根同样长的小棒搭图形。（如图） （1）仔细观察，你发现了什么？____________________ 。 （2）照这样继续搭下去，第7个图形需要 _______ 根小棒；第n个图形需要小棒的根数可以用式子表示为 _________ 。 12.观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 13.下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 14.（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 15．现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $