第三单元探索规律（一）（同步练习）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

第三单元探索规律（一）同步训练 一、填空题 1．如果按照下图的方式用小棒摆出五边形。第n个图形需要( )根小棒。 2．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们画点或用小石子来表示数（如图的实心点），按照图中的规律，第5个图形有( )个实心点，第个图形有( )个实心点。 3．下列图案是用长度相同的小木棒按规律拼搭而成，图案①需要8根小木棒，图案②需要15根小木棒……按此规律，第n个图案需要的小棒的根数是__________。（用含n的式子表示） 4．如图，3个杯子叠起来高14厘米，5个杯子叠起来高20厘米，照这样计算，10个杯子叠起来的高度是_______厘米，n个杯子叠起来的高度是___________厘米。 5．如图，照这样画下去，第④幅图共有( )个圆点，第⑩幅图共有( )个圆点。 6．摆5个这样的三角形要( )根小棒，15根小棒能摆( )个三角形。 7．如图，一张方桌可坐4人，两张方桌拼在一起可坐6人，三张方桌拼在一起可坐8人，照这样拼下去，10张方桌拼在一起可坐( )人，n张方桌拼在一起可坐( )人。 8．围棋是一种起源于我国的棋类游戏，深受人们的喜爱。如图是笑笑用棋子在棋盘上摆出的图案，照这样的规律摆下去。第10个图案中有( )颗白棋，有36颗黑棋的是第( )个图案，第n个图案中有黑棋( )颗。 9．寻找规律解决问题是数学中常用的解题策略。如图是将一些正方形按规律排列，可以看出第1个图形共有3个小正方形，第2个图形中共有5个小正方形，第3个图形中共有7个小正方形⋯⋯，第10个图形中共有( )小正方形，第n个图形中共有( )个小正方形。 10．如图，每个图形都是由相同的小三角形组成，第1个图形由1个小三角形组成，第2个图形由4个小三角形组成，第3个图形由9个小三角形组成……依此规律，第4个图形由( )个小三角形组成，第10个图形由( )个小三角形组成，第n个图形由( )个小三角形组成。 二、选择题 11．观察下面图案，第1个图案上有5朵花，第2个图案上有8朵花，第3个图案上有11朵花……照这样的规律，第8个图案上有（    ）朵花。 A．23 B．26 C．29 12．如图，按照规律依次排下去，第9幅图有（    ）个。 …… A．27 B．28 C．29 13．古希腊的毕达哥拉斯喜欢用小石子摆数，他发现当小石子的数量是1、3、6、10…这些数时，都能摆成正三角形（如下图），于是把这样的数称为“三角形数”。第10个三角形数是（    ）。 A．55 B．54 C．50 14．如图排列，，第11个图形里共有（    ）个顶点。 A．44 B．34 C．24 15．小淘用小棒摆图形，如下图所示。照这样摆下去，摆第n个图形需要（    ）根小棒。 A．5n B．5n＋1 C．6n 三、解答题 16．如图，用小棒拼平行四边形，拼1个平行四边形需要4根小棒，拼2个平行四边形需要7根小棒，拼3个平行四边形需要10根小棒…… (1)拼5个平行四边形需要( )根小棒。 (2)拼9个平行四边形需要多少根小棒？ 17．用小棒摆五边形，按照下图所示的规律摆。 (1)摆5个五边形，需要几根小棒？摆n个呢？请写出思考过程。 (2)按这个规律摆60个五边形，需要几根小棒？ 18．观察下列长方形叠放的规律，用含有字母的式子表示各个图形的周长。 按照这样的方法叠放，第20个图形的周长是多少？ 19．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 20．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 (1)仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 (2)按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ (3)第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 21．如下图，用同样的小棒摆三角形。 （1）摆1个三角形，需要（    ）根小棒；摆2个三角形，需要（    ）根小棒；摆3个三角形，需要（    ）根小棒。 （2）像这样摆下去，摆n个三角形，需要（    ）根小棒。 （3）摆15个三角形需要多少根小棒？ 第4页（共5页） 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《第三单元探索规律（一）同步训练》参考答案 1．4n＋1/1＋4n 【分析】观察图形可知，摆1个、2个、3个五边形分别需要5根、9根、13根小棒，发现：每增加一个五边形，小棒的数量增加4根，据此得出规律。 【详解】第1个五边形需要5根小棒，5＝1×4＋1； 第2个五边形需要9根小棒，9＝2×4＋1； 第3个五边形需要13根小棒，13＝3×4＋1； …… 规律：第n个图形需要（4n＋1）根小棒。 2． 25 【分析】根据观察可以发现，第1个图形有1个实心点，可以写成；第2个图形有个实心点；第3个图形有个实心点；第4个图形有个实心点，按照此规律可以推算出，第几个图形就有几的平方个实心点，据此求解。 【详解】按照规律： 第5个图形有实心点的数量为：（个） 第个图形有个实心点。 3．7n＋1/1＋7n 【分析】先计算图案③的小木棒数量，结合已知的图案①、②的数量，整理出前3个图案的小棒数，观察相邻图案小棒数的差值，确定每增加1个正八边形时小棒数的增量是固定的，是7根，依此推导第n个图案的小棒数表达式，再代入已知的n＝1、n＝2、n＝3验证表达式是否符合条件。 【详解】第一个图形：个正八边形，需根小棒，表示为： 第二个图形：个正八边形，需根小棒，表示为： 第三个图形：个正八边形，需根小棒，表示为： …… 第个图形：个正八边形，需（）根小棒。 时需小棒： （根） 时需小棒： （根） 时需小棒： （根） 经验证第n个图案需要的小棒的根数是，是正确的。所以括号里填入：。 4． 35 3n＋5 【分析】用5个杯子叠起来的高度减去3个杯子叠起来的高度除以（5－3）求出每多叠1个杯子增加的高度，3个杯子叠放时有（3－1）个叠加部分，此时叠加部分的总高度为多叠放1个杯子增加的高度乘（3－1），再用14厘米减去这个高度就是单个杯子的高度，10个杯子叠加起来的高等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（10－1），n个杯子叠起来的高度等于单个杯子的高度加上多叠放1个杯子增加的高度乘（n－1）。 【详解】（20－14）÷（5－3） ＝6÷2 ＝3（厘米） 14－（3－1）×3 ＝14－2×3 ＝14－6 ＝8（厘米） 8＋（10－1）×3 ＝8＋9×3 ＝8＋27 ＝35（厘米） 8＋（n－1）×3 ＝8＋3n－3 ＝3n＋5 5． 17 41 【分析】由图可知，第1幅图有5个点子，第2幅图是在第1幅的基础上再增加4个点，即5＋4＝9个点子，第3幅图是在第2幅的基础上再增加4个点，即5＋4＋4＝9＋4＝13个点子，依此类推，下一幅图都是在前一幅图的基础上加4个点子。可以看成第几幅图就有几个4再加上1个点子。 【详解】由分析得，第④幅：4×4＋1＝16＋1＝17（个） 第⑩幅：10×4＋1＝40＋1＝41（个） 6． 11 7 【分析】第一个三角形需要3根小棒，以后每增加1个三角形就需要增加2根小棒。据此解答即可。 【详解】摆一个三角形需3根小棒； 摆二个三角形需5根小棒； 摆三个三角形时需要7根小棒； 摆四个三角形时需要9根小棒； 摆五个三角形时需要11根小棒； 摆六个三角形时需要13根小棒； 摆七个三角形时需要15根小棒。 7． 22 【分析】先整理题干给出的不同数量方桌对应的可坐人数，观察人数随方桌数量的变化规律；通过对比发现：每多拼接1张方桌，可坐人数固定增加2人，据此推导n张方桌对应的通用人数公式；最后将n＝10代入推导好的公式，即可得到10张方桌的可坐人数。 【详解】步骤1：整理已知数据，总结变化规律 我们把题干给出的信息对应整理变形： 1张方桌：可坐4人，变形可得： 2张方桌拼接：可坐6人，变形可得： 3张方桌拼接：可坐8人，变形可得： 规律验证：两张方桌拼接时，重合的边无法再坐人，因此每新增1张方桌，只会额外增加2个座位，和上述变化规律一致。 步骤2：推导n张方桌的可坐人数公式 根据归纳的规律，n张方桌拼在一起时，可坐人数为： 步骤3：计算10张方桌的可坐人数 将n＝10代入公式得：（人） 最终结论：10张方桌拼在一起可坐22人，n张方桌拼在一起可坐人或人。 8． 10 17 2n＋2 【分析】观察图案，第1个图案有1枚白色棋子，2×1＋2＝4枚黑色棋子，第2个图案有2枚白色棋子，有2×2＋2＝6枚黑色棋子，第3个图案有3枚白色棋子，有2×3＋2＝8枚黑色棋子，依次类推，第n个图案有n枚白色棋子，有（2×n＋2）枚黑色棋子。 【详解】根据分析： 第10个图案中有10颗白棋； n×2＋2＝36 两边同时减2得： 2n＝34 两边同时除以2得： n＝17 即有36颗黑棋的是第17个图案。 即第n个图案中有黑棋（2n＋2）颗。 9． 21 2n＋1 【分析】观察图形可知，每个图形都会比前一个图形多2个小正方形： 第1个图形共有3个小正方形，3＝2×1＋1； 第2个图形比第1个图形多2个小正方形，共有5个小正方形，5＝2×2＋1； 第3个图形比第2个图形多2个小正方形，共有7个小正方形，7＝2×3＋1； …… 据此分析 第10个图形有：（2×10＋1）个小正方形； 第n个图形有：2×n＋1个小正方形； 【详解】2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 2×n＋1＝2n＋1 第10个图形中共有21个小正方形，第n个图形中共有（2n＋1）个小正方形。 10． 16 100 【分析】观察可知，第1个图形需要1个小三角形， 第2个图形需要（1＋3）个小三角形，1＋3＝4， 第3个图形需要（1＋3＋5）个小三角形，1＋3＋5＝9， 第4个图形需要（1＋3＋5＋7）个小三角形，1＋3＋5＋7＝16， 以此类推， 第10个图形需要个小三角形， 第n个图形需要个小三角形，据此解答。 【详解】第4个图形由16个小三角形组成，第10个图形由100个小三角形组成，第n个图形由个小三角形组成。 11．B 【分析】观察图形可知从第二幅开始每一个图案的花朵数量都比前一个图案多朵：第个图案有朵花，第个图案有（）朵花，第个图案有（）朵花，第个图案有朵花，据此写出第个图案的花朵数量。 【详解】 （朵） 12．B 【分析】 由图知第1幅图有4个，第2幅图有7个，第3幅图有10个，第4幅图有13个……依次多3个，由此推导出规律表达式，再求出第9幅图有的个数。 【详解】 第1幅图有4个，4＝3×1＋1； 第2幅图有7个，7＝3×2＋1； 第3幅图有10个，10＝3×3＋1； 第4幅图有13个，13＝3×4＋1； …… 依次多3个， 因此第n个图中的数量是3×n＋1＝（3n＋1）个。 将n＝9代入上述规律式3n＋1中，得到第9个图中的数量为： 3×9＋1 ＝27＋1 ＝28（个） 第9幅图有28个。 13．A 【分析】观察给出的三角形数找规律： 第1个三角形数：1＝1 第2个三角形数：3＝1＋2 第3个三角形数：6＝1＋2＋3 第4个三角形数：10＝1＋2＋3＋4 规律：第n个三角形数＝1＋2＋3＋⋯＋n，由此代入n＝10即可求解。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 即第10个图形中三角形的个数为55。 14．B 【分析】先数出第1个、第2个、第3个图形的顶点数，找到相邻图形顶点数的变化规律。 根据得到的规律，推导第n个图形顶点数的通项公式。将n＝11代入通项公式，计算得到对应结果。 【详解】第1个图形4个顶点，第2个7个顶点，第3个10个顶点，规律为（3n＋1）个。 第11个图形：3×11＋1＝33＋1＝34（个） 15．B 【分析】观察图形可知，第1个、第2个、第3个图形分别需要6根、11根、16根小棒，发现：每增加一个六边形，小棒的数量增加5根，据此得出规律，并按规律解答。 【详解】观察图形可知： 摆第1个图形需要6根小棒，6＝5×1＋1； 摆第2个图形需要11根小棒，11＝5×2＋1； 摆第3个图形需要16根小棒，16＝5×3＋1； …… 规律：摆第n个图形需要（5n＋1）根小棒。 16．(1)16 (2)28根 【分析】观察规律：拼1个平行四边形用4根小棒，拼2个用7根，拼3个用10根。每多拼1个平行四边形，只需要增加3根小棒（因为相邻的平行四边形会共用1条边，节省1根小棒）。找出这个规律。因此，拼n个平行四边形的小棒数量公式为：3n＋1。 【详解】（1）n＝5时， 3×5＋1 ＝15＋1 ＝16（根） 所以拼5个平行四边形需要16根小棒。 （2）n＝9时， 3×9＋1 ＝27＋1 ＝28（根） 答：拼9个平行四边形需要28根小棒。 17．(1)21根； 摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆n个五边形，需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 (2) 241根 【分析】（1）根据图观察规律： 摆1个五边形，需要根小棒，整理得：； 摆2个相连的五边形，两个五边形共用1条边，因此只需要增加4根小棒，共根，整理得：； 摆3个相连的五边形，再增加4根小棒，共根，整理得：； 由此可得：每多摆1个五边形，需要增加4根小棒，根据规律解答即可。 （2）根据（1）中的规律，将数据代入求出答案即可。 【详解】（1）观察图形可知，摆1个五边形，需要5根小棒，整理得：； 摆2个五边形，需要9根小棒，整理得：； 摆3个五边形，需要13根小棒，整理得：； 摆4个五边形，需要17根小棒，整理得：17＝4×4＋1； 摆5个五边形，需要： 4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 摆n个五边形需要小棒的根数，可以写成：4n＋1 答：摆5个五边形，需要21根小棒。摆n个五边形，需要（4n＋1）根小棒。 （2）把代入公式： 4×60＋1 ＝240＋1 ＝241（根） 结论：摆60个五边形需要241根小棒。 18．4x＋4y；6x＋6y；8x＋8y； 40x＋40y 【分析】利用平移法，把图形中凹凸的线段向外平移，可以把每层叠放的图形转化成一个完整的大长方形。第1个图形周长是2x＋2y，每多一层，周长就增加2x＋2y，由此找到周长和层数的规律。 【详解】第1个图形（1层）周长：2x＋2y 第2个图形（2层）周长：4x＋4y 第3个图形（3层）周长：6x＋6y 第4个图形（4层）周长：8x＋8y 可以得出规律：第n个图形的周长＝2n（x＋y）＝2nx＋2ny。 当n＝20时： 2×20x＋2×20y＝40x＋40y 答：第20个图形的周长是40x＋40y。 19．(1)46 (2)19 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【详解】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 20．(1) (2)210块 (3)（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 21．（1）3；5；7     （2）2n＋1    （3）2n＋1＝2×15＋1＝31（根） 【分析】（1）先数出摆1个三角形的小棒数需要3根；摆2个三角形有一条边共用，第一个三角形3根，第二个三角形2根，总共需要5根；摆3个三角形，后面三角形都与前面三角形共用一边，此时需要3＋2＋2＝7（根）。依此发现规律：摆1个三角形用3根小棒，从摆2个三角形开始，每多摆1个三角形就增加2根小棒。 （2）摆n个三角形时，第一个三角形用3根小棒，后面（n - 1）个三角形每个都需要额外2根小棒。那么总共需要的小棒数就是。 （3）将n＝15代入关系式解答即可。 【详解】（1）摆1个三角形，需要（3）根小棒；摆2个三角形，需要（5 ）根小棒；摆3个三角形，需要（ 7 ）根小棒。 （2）摆n个三角形，总共需要的小棒数就是 （3）n＝15，代入关系式， 答案第10页（共12页） 答案第9页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $