第三单元探索规律（二）（同步练习）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

第三单元探索规律（二）同步训练 一、填空题 1．加法算式1＋2，2＋5，3＋8，1＋11，2＋14，3＋17，…是按一定规律排列的，则第40个加法算式是( )。 2．某电影院的第一排有m个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第k排的座位数是________________个。 3．观察一组数：0，3，8，15，24，…，第n个数是( )。 4．1把椅子4条腿，2把椅子8条腿，3把椅子12条腿，n把椅子( )条腿。 5．一些圆点如下图排列： 那么第n个图形中共有( )个圆点。 6．用小棒按照下图方式摆八边形。摆10个八边形需要( )根小棒。 7．按下图的规律，第5个图形中涂色正方形有( )个，第n个图形中空白正方形有( )个。 8．如图用用小棒搭房子，搭3间用13根小棒，照这样搭20间要( )根小棒，搭n间房要( )根小棒（用含有n的式子表示）。 9．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第6个图案由( )个基本图形组成，第个图案由( )个基本图形组成。 10．如图，小鲁同学将同样大小的黑色棋子按照一定的规律摆放，第①个图形中有7颗棋子，第②个图形中有12颗棋子，第③个图形中有17颗棋子，……按照此规律，第⑪个图形中有( )颗棋子。 二、选择题 11．田田计算，方法是：，结果错误。观察下图，田田出错是因为少算了图中的（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 12．毕业联欢会布置场地，同学们将长方形餐桌按下图方式拼接摆放。下列关于拼接桌子数量与可坐人数的说法中，正确的是（    ）。 A．6张桌子拼在一起，可坐24人。 B．8张桌子拼在一起，可坐32人。 C．若有34名同学参会，至少需要8张桌子。 D．若有48名同学参会，至少需要11张桌子。 13．按下图的规律拼图，用10个小等腰梯形拼成的图形的周长是（    ）厘米。 A．50 B．15 C．35 D．32 14．1＋3＋5＋7＋…＋29＋31＝（    ） A．144 B．256 C．265 D．326 15．如图，摆一个正五边形用5根小棒，摆两个用9根小棒，摆a个正五边形需要（    ）根小棒。 A．4a＋1 B．5a－1 C．5a＋1 D．5a 三、解答题 16．某网店销售服装，快递公司计费标准：全国区域内统一为2千克及以内收费a元，超过2千克的部分，每千克收费b元。（不足1千克的按1千克算） (1)若寄出重5千克的快递，用含有字母的式子表示需要支付快递费( )元。 (2)若该网店要寄出的1件快递重m千克（m为大于0的整数），当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，这件快递重多少千克？ 17．用同样长的火柴棒依次摆出下面的图形。 （1）探索规律，把下表填写完整。 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 根 根 …… 根 （2）王老师摆到第（    ）次时用到了52根火柴棒。 18．每2人之间握一次手，用画图和列表的方法发现握手次数的规律。 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 （1）将表格中的示意图和握手次数填写完整。 （2）若有n人相互握手，握手的次数是（     ）次，当n＝10时，握手次数是（    ）次。 19．探究长龙宴的规律。 (1)按照上图方式继续摆桌子，完成下表。 桌子张数/张 1 2 3 4 … n 计算人数的算式 2＋4 2＋4×2 … 可坐人数/人 6 10 … (2)按照上图方式摆150张桌子，可坐多少人？ (3)要坐下150人，至少像这样摆多少张桌子？ 20．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗格上所贴的剪纸。 (1)第5个图中所贴剪纸“○”的个数是( )。 (2)第n个图中所贴剪纸“○”的个数是多少？请写出你发现的规律。 21．如下图所示摆放餐桌和椅子。 1张餐桌可坐10人，2张餐桌拼起来可坐16人，3张餐桌拼起来可坐22人。按照这样的拼法： (1)4张餐桌可坐( )人，9张餐桌可坐( )人。 (2)m张餐桌可坐多少人？如果有64人需要多少张这样拼起来的餐桌？ 第4页（共5页） 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《第三单元探索规律（二）同步训练》参考答案 1． 【分析】观察给出的加法算式序列，可以将每个算式的第一个加数和第二个加数分别看作两组有规律的数列。第一个加数按的顺序循环排列；第二个加数是从开始，依次增加的数列。要求第个加法算式，需分别求出第个算式的第一个加数和第二个加数。 【详解】 商是，余数是，说明第个算式的第一个加数是第个周期的第个数，即。 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： 第个算式第二个加数： …… 第个算式第二个加数： 所以，第个算式的第二个加数是： 所以第个加法算式是。 2．m＋2k－2 【分析】第一排座位的个数：m个； 第二排座位的个数：m＋2＝m＋2×（2－1）个； 第三排座位的个数：m＋4＝m＋2×（3－1）个； … 【详解】第k排座位的个数：m＋2（k－1）＝m＋2k－2。 所以，第k排的座位数是（m＋2k－2）个。 3． 【分析】观察一组有序数列，寻找项的序号和数的大小之间固定的数量关系，归纳通用规律。 【详解】把序号和数一一对应：第1个数（）：； 第2个数（）：； 第3个数（）：； 第4个数（）：； 第5个数（）：； ……依次类推，第n个数是：。 4．4n 【分析】已知1把、2把、3把椅子分别有4条、8条、12条腿，发现每增加1把椅子，腿的条数就增加4条，据此得出规律，并按规律解答。 【详解】1把椅子4条腿，4＝1×4； 2把椅子8条腿，8＝2×4； 3把椅子12条腿，12＝3×4； …… 规律：n把椅子（4n）条腿。 5．n2＋1 【分析】由图可知，第1个图形中有2个圆点，2＝12＋1； 第2个图形中有5个圆点，5＝22＋1； 第3个图形中有10个圆点，10＝32＋1； 第4个图形中有17个圆点，17＝42＋1； 由此得出规律，第n个图形中有（n2＋1）个圆点。 【详解】分析可知，第n个图形中共有（n2＋1）个圆点。 6． 【分析】根据图示，相邻的两个八边形共用根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒。用乘加上算出摆个八边形需要的数量。 【详解】 （根） 摆10个八边形需要根小棒。 7． 6 2n＋8/8＋2n 【分析】由图可知，第1个图形中共有正方形3×4个，涂色的有2个，空白的有3×4－2个； 第2个图形中共有正方形3×5个，涂色的有3个，空白的有3×5－3个； 第3个图形中共有正方形3×6个，涂色的有4个，空白的有3×6－4个； …… 第n个图形中共有正方形3×（n＋3）个，涂色的有（n＋1）个，空白的有3×（n＋3）－（n＋1）个。 【详解】根据规律，第5个图形中涂色正方形有5＋1＝6（个） 空白的有： 3×（n＋3）－（n＋1） ＝3n＋9－n－1 ＝3n－n＋9－1 ＝（3n－n）＋（9－1） ＝2n＋8（个） 8． 81 4n＋1 【分析】据图分析可得：每多搭一间房子就多4根小棒；搭3间房子用13根小棒，即1＋3×4；搭4间用17根小棒，即1＋4×4根；搭5间要用21根小棒，即1＋5×4根，由此得出搭n间房子要用（1＋4n）根小棒；据此解答即可。 【详解】搭1个房子用5根小棒 搭2个房子用了9根小棒 搭3个房子用了13根小棒。 搭4个房子用了17根小棒。 9－5＝4 （根） 13－9＝4 （根） 17－13＝4 （根） 发现：每多搭一个房子，就增加4根小棒。 根据以上条件可知，小棒的数量＝房子的数量×4＋1 据此可得搭n个房子要用（4n＋1）根小棒。 所以搭20间房子用4×20＋1＝80＋1＝81（根）小棒，搭n个房子要用（4n＋1）根小棒。 9． 19 / 【分析】①先对比相邻两个图案的基本图形数量，确定数量的增长规律；第1个图案数量已知是4个基本图形，且后面图案是在前面的图案上增加3个基本图形，所以可以推导第n个图案的基本图形的总个数与n的关系； ②将n＝6代入得到的第n个图案的数量表达式，计算得到第6个图案的基本图形数量。 【详解】①第1个图形：有4个基本图形； 第2个图形：有4＋3即：4＋（2－1）×3个基本图形； …… 第n个图形的基本图形个数是： ②第6个图形基本图形的个数： （个） 所以第6个图形由19个基本图形组成，第n个图形由（1＋3n）个基本图形组成。 10．57 【分析】对比已知图形棋子数，发现后一个图形比前一个多5颗棋子，得出第n个图形棋子数量的式子是5n＋2，再把n＝11代入式子计算求出结果。 【详解】第①个：7 第②个：12 第③个：17 每次增加5颗棋子。 公式：棋子数＝5n＋2 5×11＋2 ＝55＋2 ＝57（颗） 11．C 【分析】通过将转化为求边长为36的正方形面积，同时将边长36拆成30＋6，将正方形面积分割成4个区域的面积，对比后得出田田少算的部分。 【详解】观察图形可知，①是边长为30的正方形，面积为30×30，即302； ②是长为30，宽为6的长方形，面积为30×6； ③是长为30，宽为6的长方形，面积为30×6； ④是边长为6的正方形，面积为6×6，即62； 整个正方形的面积为：302＋30×6＋30×6＋62；对比田田的方法，少算了2个长为30，宽为6的长方形面积，因此少算了图中的②和③。 12．C 【分析】先观察图形找出桌椅摆放的规律：1张桌子能坐6人，2张桌子拼起来坐10人，3张桌子拼起来坐14人。左右两头始终固定坐2人，每拼接1张桌子，上下一共多坐4人。总结数量关系式：总人数＝4×桌子张数＋2。再把各个选项的数字代入公式计算，判断对错。 【详解】A．4×6＋2＝24＋2＝26，6张桌子拼在一起，可坐26人，原说法错误。 B．4×8＋2＝32＋2＝34，8张桌子拼在一起，可坐34人，原说法错误。 C．（34－2）÷4＝32÷4＝8，若有34名同学参会，至少需要8张桌子，原说法正确。 D．（48－2）÷4＝46÷4＝11.5，桌子张数必须是整数，最少需要12张桌子，原说法错误。 13．D 【分析】根据图示发现：1个等腰梯形的周长为：1＋1＋1＋2＝1×3＋2＝5（厘米） 2个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＝8（厘米） 3个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＋3＝8＋3＝11（厘米） 4个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋3＋3＋3＝8＋3＋3＝11＋3＝14（厘米） …… n个等腰梯形拼成的图形比前一个图形的周长增加（1＋2）厘米，周长为：5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝3n＋2，求用10个小等腰梯形拼成的图形的周长，即把n＝10，代入求解即可。 【详解】由分析可知：n个等腰梯形拼成的图形周长为：（3n＋2）厘米。 当n＝10时，3n＋2＝3×10＋2＝30＋2＝32 所以10个小等腰梯形拼成的图形的周长是32厘米。 故答案为：D 14．B 【分析】1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32，1＋3＋5＋7＝42，可得规律：从1开始的连续奇数之和，等于数字个数的平方，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31，一共是16个数字的和。 1＋3＋5＋7＋…＋29＋31 ＝162 ＝256 故答案为：B 15．A 【分析】观察图形可知，摆1个正五边形用5根小棒，摆2个正五边形用9根小棒，摆3个正五边形用13根小棒……发现规律：5＝4×1＋1，9＝4×2＋1，13＝4×3＋1……；据此找到规律并解答。 【详解】摆1个正五边形用5根小棒，5＝4×1＋1； 摆2个正五边形用9根小棒，9＝4×2＋1； 摆3个正五边形用13根小棒，13＝4×3＋1； …… 规律：摆a个正五边形需要（4a＋1）根小棒。 故答案为： A 16．(1)a＋3b/3b＋a (2)10千克 【分析】（1）若寄出重5千克的快递，5千克＞2千克，分两段计费：第一段，首重2千克，收费a元；第二段，超过2千克的部分为（5－2）千克，单价b元，根据“总价＝单价×数量”求出第二段的费用；最后把这两段的费用相加，即是一共需要支付的快递费。 （2）当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，即寄快递重2千克及以内收费12元，超过2千克的部分，每千克收费3元，寄一件快递支付快递费36元，求这件快递重多少千克。 先用支付的快递费减去重2千克的收费，剩下的费用就是超过2千克部分的费用，单价3元，根据“数量＝总价÷单价”求出这部分的快递重量，再加上2千克，就是这件快递的重量。 【详解】（1）若寄出重5千克的快递需支付的快递费为：a＋（5－2）×b＝（a＋3b）元。 （2）当a＝12，b＝3时，需要支付快递费36元，即： （36－12）÷3＋2 ＝24÷3＋2 ＝8＋2 ＝10（千克） 答：这件快递重10千克。 17．（1）12；17；32 （2）10 【分析】（1）从图中可知，摆第1次用到火柴棒7根，摆第2次用到火柴棒12根，摆第3次用到火柴棒17根……，发现：每次的火柴棒都比前一次多5根，由此可得到第6次用到的火柴棒数量，把表格补充完整。 （2）由上一题可得出规律：摆第n次用到火柴棒是（5n＋2）根，那么n＝（火柴棒的总数－2）÷5，把火柴棒的总数＝52代入式子中，求出n的值。 【详解】（1）摆第1次用到火柴棒的根数： 5×1＋2 ＝5＋2 ＝7（根） 摆第2次用到火柴棒的根数： 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（根） 摆第3次用到火柴棒的根数： 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（根） 摆第6次用到火柴棒的根数： 5×6＋2 ＝30＋2 ＝32（根） 填表如下： 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 12根 17根 …… 32根 （2）规律：摆第n次用到火柴棒有（5n＋2）根，摆的次数n＝（火柴棒总数－2）÷5。 （52－2）÷5 ＝50÷5 ＝10（次） 王老师摆到第10次时用到了52根火柴棒。 18．（1）10；15； （2）n（n－1）÷2；45 【分析】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果数量比较少我们可以用枚举法解答，比如5个人握手求相互握手的次数；如果数量比较多，我们可以用公式 n（n－1）÷2解答。 【详解】（1）如下表所示： 示意图 人数 2 3 4 5 6 相互握手次数 1 3 6 10 15 （2）若有n人相互握手，握手的次数是n（n－1）÷2次； 当n＝10时，握手次数是： 10×（10－1）÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（次） 【点睛】每2人之间握一次手，相当于两两组合，根据握手问题的公式n（n－1）÷2解答。 19．(1)2＋4×3；2＋4×4；2＋4n； 14；18；2＋4n (2)602人 (3)37张 【分析】（1）由图可知，每增加一张桌子，可坐人数就增加4人。规律如下： 1张桌子可坐人数是2＋4； 2张桌子可坐人数是2＋4×2； 3张桌子可坐人数是2＋4×3； …… n张桌子可坐人数是2＋4n； （2）把n＝150代入4n＋2计算即可； （3）把可坐人数150人代入，可得等式2＋4n＝150，利用等式的性质1和2解方程即可。 【详解】（1）根据规律按如下填表：2＋4×3；2＋4×4；2＋4n； 14；18；2＋4n （2）当n＝150时，2＋4n＝2＋4×150＝2＋600＝602 答：按照上图方式摆150张桌子，可坐602人。 （3）2＋4n＝150 2＋4n－2＝150－2 4n＝148 4n÷4＝148÷4 n＝37 答：要坐下150人，至少像这样摆37张桌子。 20．(1)17 (2)3n＋2； 规律：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 【分析】（1）观察可知，第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，可见每增加一个图形，“○”的数量就增加3个，因此用第3个图“○”的数量连续加2个3，即可求出第5个图中“○”的数量。 （2）根据（1）中分析，将每个图形的数量写成3×n＋2的形式，总结出第n个图中所贴剪纸“○”的个数，并写出规律。 【详解】（1）第1个图有5个“○”，第2个图有8个“○”，第3个图有11个“○”，依次多3个“○”，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为： 11＋3＋3＝17（个） （2）第1个图有5个“○”，5＝3×1＋2； 第2个图有8个“○”，8＝3×2＋2； 第3个图有11个“○”，11＝3×3＋2； …… 第n个图中“○”的个数为3×n＋2，即（3n＋2）个。 规律为：第n个图中所贴剪纸“○”的个数是（3n＋2）个，每个图形都比前一个图形增加3个“○”。 21．(1) 28 58 (2)（6m＋4）人；10张 【分析】观察可知，每多一张桌子，就会多坐6人。 1张桌子坐10人，10＝1×6＋4； 2张桌子拼起来坐16人，16＝2×6＋4； 3张桌子拼起来坐22人，22＝3×6＋4，… 由此可知，坐的人数＝桌子数×6＋4。 【详解】（1）4张餐桌： 4×6＋4 ＝24＋4 ＝28（人） 9张餐桌： 9×6＋4 ＝54＋4 ＝58（人） 4张餐桌可坐28人，9张餐桌可坐58人。 （2）m张餐桌： m×6＋4＝（6m＋4）人 解：设如果有64人需要x张这样拼起来的餐桌。 6x＋4＝64 6x＋4－4＝64－4 6x＝60 6x÷6＝60÷6 x＝10 答：m张餐桌可坐（6m＋4）人，如果有64人需要10张这样拼起来的餐桌。 答案第10页（共11页） 答案第11页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $