第六章 概率的进一步认识 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级数学上册 第六章《概率的进一步认识》单元测试卷 （满分 100 分 考试时间 90 分钟） 班级：____________ 姓名：____________ 成绩：____________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．太阳从东方升起 C．三角形的内角和是 360° D．在一个只装有红球的袋子中摸出一个白球 2．一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外都相同。从袋中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（　　） A．1/5　　B．2/5　　C．3/5　　D．1/2 3．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（　　） A．1/2　　B．1/3　　C．1/4　　D．1/8 4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（　　） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是 3 的倍数 C．从一个装有 1 个红球和 2 个白球的袋子中随机摸出一个球，摸到红球 D．从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽出一张，抽到红桃 5．在“石头、剪刀、布”的游戏中，两人同时随机出其中一种手势，则两人出相同手势的概率是（　　） A．1/2　　B．1/3　　C．1/6　　D．1/9 6．有两组卡片，每组三张，三张卡片上分别写有数字 1，2，3。从每组卡片中各随机抽取一张，则两张卡片上数字之和为 4 的概率是（　　） A．2/9　　B．1/9　　C．4/9　　D．1/3 7．如图，一个转盘被平均分成 4 个扇形，分别标有红、黄、蓝、绿。自由转动转盘两次（指针指向分界线时重转），则两次指针都指向红色区域的概率是（　　） A．1/2　　B．1/4　　C．1/8　　D．1/16 8．一个不透明的袋子中装有 2 个红球和 1 个白球，它们除颜色外都相同。从袋中随机摸出一个球不放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（　　） A．1/4　　B．1/3　　C．1/2　　D．2/3 9．小颖有两件上衣（红色、白色）和两条裤子（黑色、白色），她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（　　） A．1/4　　B．1/3　　C．1/2　　D．1/8 10．一个不透明的盒子中装有 2 个红球和 1 个绿球，它们除颜色外都相同。甲先从盒中随机摸出一个球（不放回），乙再从盒中随机摸出一个球，则（　　） A．甲摸到红球的概率比乙大 B．甲摸到红球的概率比乙小 C．甲、乙摸到红球的概率相等 D．无法确定谁摸到红球的概率大 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于 4 的概率是____________。 12．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的 6 个黄球和若干个白球。每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色再放回袋中，经过大量重复试验发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3，则袋中白球的个数约为____________。 13．从数字 1，2，3 中任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率是____________。 14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚正面朝上的概率是____________。 15．如图，一个转盘被平均分成 6 个扇形，其中 3 个红色、2 个蓝色、1 个黄色。自由转动转盘两次（指针指向分界线时重转），则两次指针都指向蓝色区域的概率是____________。 16．在一个不透明的口袋中装有分别标有数字 1，2，3，4 的 4 个小球，它们除所标数字外都相同。从中随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则第二次摸出的数字大于第一次摸出的数字的概率是____________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，它们除颜色外都相同。 （1）从袋中随机摸出一个球，求摸到红球的概率； （2）从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，用列表或画树状图的方法，求两次都摸到红球的概率。 18．（8 分）小明和小华做游戏：在一个不透明的盒子中装有 4 个除所标数字外完全相同的小球，上面分别标有数字 1，2，3，4。小明先从盒中随机摸出一个小球记下数字后不放回，小华再从盒中随机摸出一个小球。若两人摸出的数字之和为奇数，则小明获胜；若数字之和为偶数，则小华获胜。这个游戏公平吗？请说明理由。 19．（9 分）如图，转盘甲被平均分成 4 个扇形，分别标有数字 1，2，3，4；转盘乙被平均分成 3 个扇形，分别标有数字 1，2，3。同时自由转动两个转盘，转盘停止后，将两个指针所指区域的数字相加（指针指向分界线时重转）。 （1）用列表或画树状图的方法，列出所有等可能的结果； （2）求两个数字之和为 5 的概率。 20．（9 分）某生物兴趣小组为了估计一个池塘中鱼的数量，采用如下方法：第一次从池塘中随机捕捞出 100 条鱼，做上标记后全部放回池塘；待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次从池塘中随机捕捞出 200 条鱼，发现其中有 8 条带有标记。 （1）请估计这个池塘中鱼的数量大约是多少条； （2）若该池塘中鱼的数量约为 2500 条，第三次又捕捞出 300 条鱼，请估计这 300 条鱼中带标记的鱼大约有多少条。 21．（8 分）甲袋中装有 2 个除字母外完全相同的小球，分别标有字母 A，B；乙袋中装有 3 个除字母外完全相同的小球，分别标有字母 C，D，E；丙袋中装有 2 个除字母外完全相同的小球，分别标有字母 H，I。 （1）从 3 个袋子中各随机摸出 1 个小球，用画树状图的方法列出所有等可能的结果； （2）求摸出的 3 个小球上恰好有 1 个元音字母的概率（在字母 A，B，C，D，E，H，I 中，A，E，I 为元音字母，其余为辅音字母）。 22．（10 分）某班级要从两名男生（甲、乙）和两名女生（丙、丁）中随机选取两名同学担任学校运动会开幕式的主持人。 （1）请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的选取结果，并求恰好选到一名男生和一名女生的概率； （2）求选到的两名同学都是男生的概率； （3）求至少选到一名女生的概率。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．A　　2．B　　3．C　　4．A　　5．B　　6．D　　7．D　　8．B　　9．A　　10．C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．1/3　　12．14　　13．1/3　　14．3/4　　15．1/9　　16．1/2 三、解答题（共 52 分） 17．（8 分） （1）袋中共有 3＋2＝5（个）球，其中红球有 3 个， ∴ 从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率 P＝3/5。……（3 分） （2）列表如下（第一次摸出的球放回后再摸第二次）： 共有 5×5＝25（种）等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有 3×3＝9（种）。……（6 分） ∴ 两次都摸到红球的概率 P＝9/25。……（8 分） 【解析】(1)属一步试验，直接套用公式；(2)属放回的两步试验，注意每次摸球时袋中球的总数不变，且前后两次互不影响。 18．（8 分） 列表或画树状图列出所有等可能的结果。小明、小华依次摸球（不放回），共有 4×3＝12（种）等可能的结果。……（3 分） 其中两数之和为奇数（一奇一偶）的结果有：(1，2)、(1，4)、(2，1)、(2，3)、(3，2)、(3，4)、(4，1)、(4，3)，共 8 种； 两数之和为偶数（同奇或同偶）的结果有：(1，3)、(2，4)、(3，1)、(4，2)，共 4 种。……（5 分） ∴ P(和为奇数)＝8/12＝2/3，P(和为偶数)＝4/12＝1/3。……（7 分） ∵ 2/3≠1/3，∴ 两人获胜的可能性不相同，这个游戏不公平，它对小明有利。……（8 分） 【解析】判断游戏是否公平，关键在于比较双方获胜的概率是否相等。本题为不放回的两步试验，注意第二次摸球时总数减少为 3。 19．（9 分） （1）用列表法列出所有等可能的结果（横行表示转盘甲，竖列表示转盘乙）： 共有 4×3＝12（种）等可能的结果。……（4 分） （2）其中两个数字之和为 5 的结果有：(2，3)、(3，2)、(4，1)，共 3 种，……（6 分） ∴ 两个数字之和为 5 的概率 P＝3/12＝1/4。……（9 分） 【解析】转盘甲有 4 种等可能结果，转盘乙有 3 种等可能结果，两步试验可用列表法，共有 12 种等可能结果，做到不重不漏。 20．（9 分） （1）设这个池塘中鱼的数量大约为 x 条。 第二次捕出的 200 条鱼中带标记的鱼占 8/200＝0.04，可认为带标记的鱼在鱼群中所占的比例约为 0.04， ∴ 100/x≈0.04，解得 x≈2500。 答：估计这个池塘中鱼的数量大约是 2500 条。……（4 分） （2）带标记的鱼所占的比例约为 100/2500＝0.04，……（6 分） ∴ 300×0.04＝12（条）。 答：估计这 300 条鱼中带标记的鱼大约有 12 条。……（9 分） 【解析】用样本中带标记的鱼所占的频率估计鱼群中带标记的鱼所占的比例，是“用频率估计概率”思想在估计总量中的应用。 21．（8 分） （1）画树状图如下：从甲袋取 1 个字母有 2 种结果，从乙袋取 1 个字母有 3 种结果，从丙袋取 1 个字母有 2 种结果， ∴ 所有等可能的结果共有 2×3×2＝12（种）。……（4 分） （2）在 12 种结果中，恰好有 1 个元音字母（A、E、I）的结果有：(A，C，H)、(A，D，H)、(B，C，I)、(B，D，I)、(B，E，H)，共 5 种，……（6 分） ∴ 摸出的 3 个小球上恰好有 1 个元音字母的概率 P＝5/12。……（8 分） 【解析】当试验涉及 3 个步骤（三个口袋各取 1 个）时，用列表法不便，应选用树状图法，按“甲—乙—丙”的顺序分层列举。 22．（10 分） 从 4 名同学中随机选取 2 名（不分先后顺序），所有等可能的结果共有： (甲，乙)、(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，丁)、(丙，丁)，共 6 种。……（2 分） （1）恰好选到一名男生和一名女生的结果有：(甲，丙)、(甲，丁)、(乙，丙)、(乙，丁)，共 4 种， ∴ P(一男一女)＝4/6＝2/3。……（4 分） （2）两名同学都是男生的结果只有 (甲，乙)1 种， ∴ P(两名都是男生)＝1/6。……（7 分） （3）至少选到一名女生的结果有 6－1＝5（种）， ∴ P(至少一名女生)＝5/6。……（10 分） 【解析】从 4 人中选 2 人属“组合”问题，结果不分先后顺序，共 6 种。(3)用对立事件的概率公式求解更简便。 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $