第六章 概率的进一步认识 章末核心考点与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

章末核心考 01分点突破 考点一用列表法和树状图法求概率 1.不透明的袋子中装有红、绿小球各两个，除颜 色外小球无其他差别，随机从中同时摸出两个 球，两个球的颜色相同的概率是 A.2 B c 2.小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵 渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种 民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验 “瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为 A.3 B c D合 3.柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出 2只，那么取出的鞋是同一双的概率为( A.3 B是 c D.g 4.郑州地铁1号线火车站站口 分布如图所示，有A,B,C,D, 郑火车站 E五个进出口，小明要从这里 D B 乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站， 则他恰好选择从同一个出口进出的概率是 ( A. B是 c D 5.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片 的正面分别标有数字一1,0,1,3.把四张卡片 背面朝上，随机抽取一张，记下数字且放回洗 匀，再从中随机抽取一张.则两次抽取卡片上 的数字之积为负数的概率是 6.一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同 的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中 一次性摸出两个小球， 109 点与素养提升 (1)请用列表格或画树状图的方法列出所有可 能性； (2)若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到 两个小球颜色不同，乙获胜.这个游戏对甲、乙 双方公平吗？请说明理由. 考点二用频率估计概率 7.在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这 些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发 现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子 中红球的个数最有可能是 A.4个 B.8个 C.12个D.16个 02真题演练 8.(2026·河南模拟)将分别标有“建”、“设”、 “大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球装在一个不 透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每 次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随 机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成 “河南”的概率是 () A. B号 C.g n立 110 9.【跨物理·天平】(2025·安徽)在一个平衡的 天平左、右两端托盘上，分别放置质量为20g 和70g的物品后，天平倾斜（如图所示）.现从 质量为10g,20g,30g,40g的四件物品中，随机 选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢 复平衡的概率为 主持人 回 ①口 ▣③ □ ② 第9题图 第10题图 10.(2025·武汉)一次圆桌会议设有4个座位， 主持人坐在了如图所示的座位上，嘉宾甲、 乙、丁3人等可能地坐到①、②③中的3个座位 . 上.嘉宾甲与乙相邻而坐的概率是 11.(2025·深圳)现有4张化 学仪器的示意图卡片，正 面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把 这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两 张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称 图形的概率是 12.(2025·攀枝花)如图，在正方 形ABCD中，分别以四个顶点 为圆心，以边长的一半为半径 画圆弧，若随机向正方形AB CD内投一粒米（米粒大小忽略不计），则米粒 落在图中阴影部分的概率为 13.(2025·吉林)从2,3,4,6中随机选取两个数 记作a和b(a<b),那么点(a,b)在直线y=2x 上的概率是 14.【情景题·科技创新】近日，国产AI大模型 DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关 注.人工智能(AI)是一种模拟人类智能行为 的科学和技术.它通过计算机系统模拟、延伸 和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能 能力，使机器能够像人一样进行思考和处理 问题.现有四场网络直播，这四场直播分别以 A.机器人技术，B.计算机视觉，C.自然语言 处理，D.专家系统为主题，对这四类人工智能 分别进行讲解，这四场直播同时开始.晓玲和 梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相 分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直 播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机 选择一类进直播间听讲解， A机器人技术B计算机视觉C.自然语言处理D.专家系统 (1)晓玲选择机器人技术的概率是 (2)请用画树状图法，求晓玲和梅梅中有一人 选择自然语言处理的概率。 03素养提升 15.已知电流在一定时间段内正常通过电子元件 一的概率是0.5，则在一定时间段内，A、B 之间电流能正常通过的概率为 A ]-8第2课时利用概率判断游戏 6.2用频率估计概率 的公平性 1.D2.D3.124.0.92 1.D2.B3.不公平 5.B6.A 4.A方案对阳阳更有利. 7.(1)0.90.9(2)①4.5 5.B6.B7.A ②18÷0.9-5=15（万棵） 8.(1)画树状图或列表略，所有情况专题十一 跨学科融合的概率问题 有12种：AB、AC、AD、BA、BC、 1.1)号 (2)2 BDCA、CB、CD、DA、DB、DC; (2)这个规则对小强有利.理由2.(1) 2 略 9.(1)2B(2)36 3.1) 2)号 (3)画树状图略.抽取到两名学 章末核心考点与素养提升 生恰好来自同-学校的概率为1.B2.D3.A4.C5号 4 6.(1)总共12种情况.列表略； 第3课时利用概率玩转盘游戏 (2)这个游戏对甲、乙双方不公 1.D2.D3哥 4.6 平，明显乙获胜的概率更高.理 由略. 5.15 6.80° 7D&B9号 7.她的做法不对，因为左边转盘 中黄色和蓝色出现的概率不相 11.2 12. 13号 等，正确的做法是；将左边转盘 14.(1) (2)2 中的蓝色区域平均分成三份， 分别记为蓝1、蓝2、蓝3. 15.8 夹册《提分专练》参考答案 专练01 菱形的判定与性质 :=BC=EC=2,∠B=60°，.∠ACB= 典例导练 90,AC=3BC=23,.SAr=2 (1)证明：，E为AB中点，.AB= 2AE=2BE,.'AB=2CD,..CD=AE, ×ACX RC=-号×2X25=23. 又：AE∥CD,∴四边形AECD是平 知能检测 行四边形，易证AD=CD,.平行四(1)证明：在△ABC中，点D是AC的 边形AECD是菱形； 中点，AD=DC,AF∥BC, (2),四边形AECD是菱形，∠D=∴.∠FAD=∠ECD,∠AFD 120°，∴.AD=CD=CE=AE=2,∠D:∠CED,.△AFD≌△CED(AAS), =120°=∠AEC,∴.AE=CE=BE,,∴.DF=DE,又，AD=CD,且EF⊥1 ∠CEB=60°，.∠CAE=30°=AC,.四边形AECF是菱形 ∠ACE,△CEB是等边三角形，.BE:(2)过点A作AG⊥BC于点G,CF= 64 2,∠FAC=30°，∴.AF∥EC,AE=CF :.DE=DH-HE-PD-(CD- =2,∠FAE=2∠FAC=60°， .∠AEB=∠FAE=60°，.AG⊥BC, PD)-/3PD-CD. .∠AGB=∠AGE=90°， 专练03矩形的判定与性质 ∴∠GAE=30,∴GE=2AE=1,AG 典例导练 =3GE=√3，.∠B=45°， (1)证明：，AB⊥OM于B,DE⊥ON ∴.∠GAB=∠B=45°，∴.BG=AG=于E,∴∠ABO=∠DEA=90°.在Rt 3,∴.AB=√2BG=6. LAO-AD △ABO与Rt△DEA中， 专练02利用菱形的对称性解题 OB-AE 典例导练 '.Rt△ABO≌Rt△DEA(HL) 过点D作DE⊥AB于点E,连接BD, ∴.∠AOB=∠DAE..AD∥BC .菱形ABCD中，∠ABC=120, 又.AB⊥OM,DC⊥OM,∴.AB∥DC .∠DAB=60°，AD=AB=DC=BC, .四边形ABCD是平行四边形， .△ADB是等边三角形，∴.∠MAE ,∠ABC=90°， =30°，∴.AM=2ME,.MD=MB, ∴.四边形ABCD是矩形； ∴.MA+MB+MD=2ME+2DM= (2)由(1)知Rt△AB≌Rt△DEA, 2DE,根据垂线段最短，此时DE最 ∴.AB=DE=3,设AD=x,则OA=x, 短，即MA+MB十MD最小， AE=OE-OA=9-x.在Rt△DEA ,菱形ABCD的边长为6， 中，由AE+DE=AD得(9-x)2+ .DE=√AD-AE=√6-3 32=x,解得x=5.即AD的长为5. =3√5，∴.2DE=6√/5.∴.MA+MB 知能检测 +MD的最小值是6√. (1)证明：，O是对角线AC上的中 知能检测 点，BE=CE.OE∥AB,OE=号AB, 1.6 ,OE⊥BC,∴.AB⊥BC,,四边形 2.(1)易证AP=PC,∴.AP+PE= ABCD是平行四边形，∴.四边形AB PC十PE,∴当点P、C、E共线， CD是矩形： 且CE⊥AD时，PC+PE有最小 值为CE,易求CE=,AP+ (2).□ABCD是矩形，QA=23,OE =2,∴.AC=2OA=4√3，AB=2OE= PE的最小值为√3； (2)DE=√5PD-CD,理由如下：过 4,.BC=√AC-AB=4√2，故四 点P作PH⊥AD于H,,∠ADB 边形的周长为2(AB+BC)=2(4+ =30,PHLAD,PH=号PD, 4V2)=8+8/2 专练04话用斜边的中线解题 DH5PH号PD.:AP=PE, 典例导练 PH⊥AE,.AH=HE,∴.HE= 证明：(1)延长AF交BC的延长线 于点H.AD∥CH,.∠D= AH-AD-DH-CDPD. ∠FCH,在△ADF和△HCF中， 65 ∠D=∠FCH =√2AB=√2×3√2=6是定值. DF=FC 知能检测 ∠DFA=∠CFH 证明：(1)作AG⊥EF于G,则 ∴.△ADF≌△HCF,∴.AF=HF, ∠AGE=∠AGF=90°，.AB⊥CE, :∠AEH=90°，∴.EF=AF=HF, AD⊥CF,∴.∠B=∠D=90°= ..AF-EF. ∠C,.四边形ABCD是矩形，易证 (2),FH=FE,∠H=∠FEH, AB=AG,AD=AG,..AB-AD, ∴.∠AFE=∠H+∠FEH=2∠CEF. .四边形ABCD是正方形； 知能检测 (2)设DF=x,易证BE=EG=3, 1.C DF=GF=x,在Rt△ECF中，由勾 2.取AB的中点F,连接CF,DF,易股定理可解得x=2. 证CF=DF=CD= 号AB,从而 专练06正方形与“十字架”问题 典例导练 ∠CFD=60°，由∠AFC=∠FCB+ (1)BE=AFBE⊥AF ∠FBC=2∠FBC,同理∠BFD= (2)①作AR∥EF,交CD于R,作DT 2∠DAF,可知∠EAB+∠EBA= ∥MN,交BC于T,DT和AR交于点 3∠AFC+号∠BFD=号(180- O,四边形ABCD是正方形，∴.AB∥ ∠CFD)=60°，所以∠AEB=120°. CD,AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°， 专练05正方形的判定与性质 AD=CD,.四边形AFER、四边形 典例导练 MNTD是平行四边形，.DT=MV, AR=EF,DT∥MN,AR∥EF,,MN (1)作EM⊥BC于M,EN⊥CD于 ⊥EF,∴.AR⊥DT,∴.∠DOR=90°， N,∴.∠MEN=90°，点E是正方 形ABCD对角线上的点，.EM= ∴.∠RDO+∠ARD=90°，.∠ADC= 90°，∴.∠DAR+∠ARD=90°， EN,.∠DEF=90°，∴.∠DEN= .∠RDO=∠DAR,.△ADR≌ ∠MEF,在△DEN和△FEM中， △DCT(ASA),∴.DT=AR, ∠DNE=∠FME ∴.MN=EF; EN=EM ②连接DN,.D、N关于EF对称， ∠DEN=∠FEM ∴.DN⊥EF,EN=DE,由①知：DN ∴.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF EF=13,.∠C=90°，DC=12,∴.CN =DE,,四边形DEFG是矩形， =5,设EV=DE=a,则CE=12-a, .矩形DEFG是正方形； 在Rt△CEV中，由勾股定理得，a2- (2)CE+CG的值是定值，定值为6， 理由如下，：正方形DEG和正方12-a=5a”DE架 24 形ABCD,.DE=DG,AD=DC, 专练07正方形与夹半角问题 :∠CDG+∠CDE=∠ADE十：典例导练 ∠CDE=90°，∴∠CDG=∠ADE,成立.证明：将△ADF绕点A顺时 易证△ADE≌△CDG(SAS),∴.AE针旋转120得到△ABM,∴.△ABM =CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC:≌△ADF,∠ABM=∠D=90°， 66