期中真题重组卷（广东广州专用，新教材人教版九上第25～26章：一元二次方程+二次函数）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A A A D C A C C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11． 12．/ 13．2020 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）加步骤分值 17．（6分）【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， ， 或， ，；······（3分） （2）， ， ， ， 或， ，．······（3分） 18．（6分）【详解】（1）解：∵， ∴，······（1分） ∴，······（1分） 解得：；······（1分） （2）解：∵， ∴，······（1分） ∵， ∴， 解得：，······（1分） ∵， ∴．······（1分） 19．（8分）【详解】（1）解：令，则， 解得或，······（2分） 点坐标为，点坐标为；······（2分） （2）解：由图象可得，时，抛物线在直线上方，······（2分） 的解集为．······（2分） 20．（8分）【详解】（1）解：以所在直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系，······（1分） 如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为，······（1分） 由题意得，，， ∴． ∴，．······（2分） ∴抛物线对应的函数关系式是．······（1分） （2）解：当水位比所在直线高出时，将代入函数关系式得 ，······（1分） ∴，······（1分） ∴由题意：， ∴位于水面上的拱肋的跨径是．······（1分） 21．（8分）【详解】（1）解：由题意把；代入， 可得， 解得， 故答案为：，；······（2分） （2）解：由题意，当时，由（1）得， ．······（1分） 当时，．······（1分） ；······（1分） （3）解：由题意，当时，． ， 当时，取最大值为400元．······（1分） 当时，令， ， 当时，取最大值为元，······（1分） 故第天的销售额最高，最高销售额是元．······（1分） 22．（10分）【详解】解：问题1：设小路宽度应为，依题意，得 ，······（1分） 即， 解得（不符合题意，舍去）．······（2分） 答：小路宽度应为．······（1分） 问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下：······（1分） 假设新劳动基地的面积可以为，······（1分） 设，则， 根据题意得：，······（1分） 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），······（1分） ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立，······（1分） 即当时，新劳动基地的面积不可以为．······（1分） 23．（12分）【详解】（1）解：①中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ②中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； ③中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ④中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； 故答案为：①③；······（2分） （2）解：当时，代入原方程得：，······（1分） 由得， 代入得，即，······（1分） 由材料2可知，；······（1分） （3）；······（1分） 理由：由材料2可得：，， ，······（1分） ， ；······（1分） （4）解：由得， 将代入得······（2分） 即， 解得，．······（2分） 24．（14分）【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：，······（2分） 解得或，······（2分） 当时，，不符合题意，舍去，······（1分） 当时，，符合题意，······（1分） 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为；······（1分） （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：，······（2分） 由①得：③， 将③代入②得：，即，······（2分） 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式，······（1分） 整理得：，······（1分） 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为．······（1分） 25．（14分）【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为，······（1分） 把代入，得， 解得， ∴；······（1分） （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得，······（1分） ∴， 作轴交于点，设，则， ∴，······（1分） ∴，······（1分） ∴当时，的面积最大，为，此时．······（1分） （3）解：存在，······（1分） ∵， ∴对称轴为直线，······（1分） 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） 综上：或或．······（3分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~26章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于两点，若，则点到直线的距离为（   ） A． B．4 C． D．9 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线交x轴于点和（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 13．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 14．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为________． 15．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 16．（25-26九年级上·广东梅州·期中）数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（25-26九年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根满足，求的值． 19．（8分）（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线交轴于、两点．交轴于点． (1)求点、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 20．（8分）（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 21．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期中）某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价为y（元/千克），当时，；当时，．销量z（千克）与x的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为W（元）． (1)______，______； (2)求出第x天的销售额W与x之间的函数关系式； (3)求在试销售的30天中，哪一天的销售额最高？最高销售额是多少元？ 22．（10分）（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 23．（12分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）材料1：规定：如果实数、、满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则， (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“等差”二次方程的有_____ ①；②；③；④ (2)【特例感知】问题2：若“等差”二次方程的一个根为2，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题3：若、是“等差”二次方程的两个根，请写出、的数量关系，并说明理由． (4)【综合运用】问题4：在（3）的条件下，若，求的值． 24．（14分）（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 25．（14分）（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~26章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：只含未知数x，且x的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程； 选项B：是一元一次方程； 选项C：含有两个未知数，是二元一次方程； 选项D：不是整式方程， 只有A符合． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程 ， 移项得 ， ∴ ， 即 ． 故选：A 4．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 5．（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴只有一个交点，与平行于轴的直线交于两点，若，则点到直线的距离为（   ） A． B．4 C． D．9 【答案】D 【详解】解：由题意，令时， ∴． ∵抛物线与轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 又设点M到直线l的距离为m， ∴， 令时， ∴， 又∵是该方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． ∴，即， ∴点M到直线l的距离为9， 故选：D． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故选：C． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． 8．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，，则，， 设实数，满足， 由根与系数关系得：、， 故A、B选项错误； ， 故C选项正确； ， 故D选项错误． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 10．（25-26九年级上·广东广州·期中）抛物线交x轴于点和（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①∵把代入得，， ∴抛物线过点，故①正确； ②当时，， 令，则，， 抛物线与x轴的两个交点坐标分别为、，顶点坐标为， 对称轴为， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③∵抛物线交x轴于点和， ∴a、b是方程的两个根， ∴，故③错误； ④抛物线开口向下，对称轴 ， ∵，， ∴ ，即 ， ∴ 离对称轴更远，故 ，即 ，结论正确． 综上，①②④正确，共3个正确结论． 故选：C． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（24-25九年级上·广东广州·期中）将一元二次方程化成一般形式为__ ． 【答案】 【详解】解：原方程为，移项得． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知和是抛物线上面的点，则、的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵和是抛物线上面的点，且， ∴； 故答案为： 13．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为________． 【答案】 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M．若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 ___________________． 【答案】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为，则 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴可设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当直线与二次函数只有一个交点时， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时直线的解析式为，当时，， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·广东梅州·期中）数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示： 则，， ， ， 即m就是的一个正根， ， 解得：，不符合题意，舍去， 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（25-26九年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）， 移项得，， 合并同类项得，， ， 或， ，；······（3分） （2）， ， ， ， 或， ，．······（3分） 18．（6分）（25-26九年级上·广东·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两根满足，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴，······（1分） ∴，······（1分） 解得：；······（1分） （2）解：∵， ∴，······（1分） ∵， ∴， 解得：，······（1分） ∵， ∴．······（1分） 19．（8分）（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线交轴于、两点．交轴于点． (1)求点、坐标； (2)若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：令，则， 解得或，······（2分） 点坐标为，点坐标为；······（2分） （2）解：由图象可得，时，抛物线在直线上方，······（2分） 的解集为．······（2分） 20．（8分）（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系，······（1分） 如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为，······（1分） 由题意得，，， ∴． ∴，．······（2分） ∴抛物线对应的函数关系式是．······（1分） （2）解：当水位比所在直线高出时，将代入函数关系式得 ，······（1分） ∴，······（1分） ∴由题意：， ∴位于水面上的拱肋的跨径是．······（1分） 21．（8分）（25-26九年级上·广东东莞·期中）某村民在网络直播平台推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价为y（元/千克），当时，；当时，．销量z（千克）与x的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为W（元）． (1)______，______； (2)求出第x天的销售额W与x之间的函数关系式； (3)求在试销售的30天中，哪一天的销售额最高？最高销售额是多少元？ 【详解】（1）解：由题意把；代入， 可得， 解得， 故答案为：，；······（2分） （2）解：由题意，当时，由（1）得， ．······（1分） 当时，．······（1分） ；······（1分） （3）解：由题意，当时，． ， 当时，取最大值为400元．······（1分） 当时，令， ， 当时，取最大值为元，······（1分） 故第天的销售额最高，最高销售额是元．······（1分） 22．（10分）（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 【详解】解：问题1：设小路宽度应为，依题意，得 ，······（1分） 即， 解得（不符合题意，舍去）．······（2分） 答：小路宽度应为．······（1分） 问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下：······（1分） 假设新劳动基地的面积可以为，······（1分） 设，则， 根据题意得：，······（1分） 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），······（1分） ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立，······（1分） 即当时，新劳动基地的面积不可以为．······（1分） 23．（12分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）材料1：规定：如果实数、、满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为、，则， (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“等差”二次方程的有_____ ①；②；③；④ (2)【特例感知】问题2：若“等差”二次方程的一个根为2，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题3：若、是“等差”二次方程的两个根，请写出、的数量关系，并说明理由． (4)【综合运用】问题4：在（3）的条件下，若，求的值． 【详解】（1）解：①中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ②中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； ③中，，，则，，故，属于“等差”二次方程； ④中，，，则，，故，不属于“等差”二次方程； 故答案为：①③；······（2分） （2）解：当时，代入原方程得：，······（1分） 由得， 代入得，即，······（1分） 由材料2可知，；······（1分） （3）；······（1分） 理由：由材料2可得：，， ，······（1分） ， ；······（1分） （4）解：由得， 将代入得······（2分） 即， 解得，．······（2分） 24．（14分）（25-26九年级上·广东清远·期中）综合与实践 【问题情景】 北师大版教材九年级上册第166页《综合与实践》对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？ 【猜想证明】 小明分别对长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1，6和1这五个矩形进行了探究．具体步骤如下： 设所求矩形的长为x，宽为y，当已知矩形长为2，宽为1时，周长为6，面积为2，则消去y，化简得，，所以方程无解．这说明，如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，那么不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半． 类比以上步骤小明分别探究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩形，但第五个存在． （1）请参照长和宽分别为2和1的方法，求出第五个存在所求矩形的长和宽分别是多少？ 【拓广延伸】 （2）若已知矩形的长为m，宽为n，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半？如果存在，请求出m与n应满足的关系式；如果不存在，说明理由． 【详解】解：（1）已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为，面积为， 设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为，则它的宽为， 由题意得：，······（2分） 解得或，······（2分） 当时，，不符合题意，舍去，······（1分） 当时，，符合题意，······（1分） 所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为；······（1分） （2）设另一个矩形的长为，宽为，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 由题意得：，······（2分） 由①得：③， 将③代入②得：，即，······（2分） 则当关于的一元二次方程有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半， 所以这个方程根的判别式，······（1分） 整理得：，······（1分） 综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时与应满足的关系式为．······（1分） 25．（14分）（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为，······（1分） 把代入，得， 解得， ∴；······（1分） （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得，······（1分） ∴， 作轴交于点，设，则， ∴，······（1分） ∴，······（1分） ∴当时，的面积最大，为，此时．······（1分） （3）解：存在，······（1分） ∵， ∴对称轴为直线，······（1分） 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴；······（1分） 综上：或或．······（3分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $