第三章 圆锥曲线的方程（复习讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程 复习要点 一圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用； 二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解； 三掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础； 四直线和圆锥曲线的位置关系， 五考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题. 复习重难点 重点： 重点是最值与范围问题，主要考查长度、周长、面积、角度、斜率、向量等相关的最值 难点： 定值、定点的证明与探究，考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养. 知识点 椭圆 1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数: ①若a>c，则集合P为椭圆; ②若a＝c，则集合P为线段; ③若a<c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 要点速测 1．（26-27高二上·河北保定期末）已知椭圆C：的焦距为2，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设椭圆的半焦距为，由焦距为2得，即． 由于，椭圆的焦点在轴上，故，即，结合，得． 2．（26-27高二上·陕西渭南期末）已知椭圆的一个焦点是，则（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的一个焦点是， 所以焦点在x轴上，则，，所以，则. 3．（26-27高二上·山东青岛期中）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 4．（26-27高二上·北京西城期末）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，选C. 5．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的短轴的长为6，所以，解得， 所以，所以离心率. 知识点双曲线 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线; ②若a＝c，则集合P为两条射线; ③若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 要点速测 1．（26-27高二上·云南红河·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为2，得 ，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即. 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【解析】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 4．（2026·河北邢台·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 知识点 抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0 y0＋ －y0 焦点弦长 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2 要点速测 1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．（26-27高三上·云南昆明期末）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 3．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 4．（26-27高三上·云南昭通期末）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 5．（2026·山东济南模拟）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 知识点直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ>0时，直线l与曲线C相交;Δ＝0时，直线l与曲线C相切;Δ<0时，直线l与曲线C相离. ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或 |AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. 3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，并整理，则椭圆中k＝－·;双曲线中k＝·;抛物线中k＝. 要点速测 1.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】由题，长轴长为，所以，由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点.故选：B 2.（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得.故选：B. 3.（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，，则通径长为.故选：D 4.（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足，直线的方程为.故选C 题型1 椭圆的定义的及应用 【例1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 解题要点：椭圆定义的应用技巧 1.椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. 2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及｜PF1｜，｜PF2｜的相关问题. 3.利用定义实现距离的转化，利用三点共线关系求距离和差的最值问题. 【变式1】（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【变式3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【变式5】（2026高三·全国·专题练习）已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 题型2 椭圆的标准方程 解题要点： 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 第一步(作判断)：根据条件判断焦点的位置； 第二步(设方程)：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)； 第三步(找关系)：建立关于a，b，c或m，n的方程组；第四步：求解，得方程. 2.椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆＝1(a＞0，b＞0，a≠b)与＝λ(a＞0，b＞0，a≠b，λ＞0)有相同的离心率. (2)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算更简便 【例2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·广东江门期中）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 题型3 椭圆的几何性质 解题要点：求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【例3】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【变式4】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【变式5】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型4 与椭圆有关的最值（范围）问题 解题要点：与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式2】（25-26高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式3】（2016·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 题型5 双曲线的定义 解题要点：双曲线定义的主要应用 1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系. 2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. 3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 【例1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【变式2】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【变式4】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式5】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 题型6 双曲线的标准方程 解题要点：求双曲线标准方程的常用方法 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程.2.待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出双曲线的标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)，再根据条件求解. 【例5】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 题型7 双曲线的渐近线 解题要点：渐近线的求法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0(y＝±x). 【例6】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三上·江西·开学考试）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）双曲线的虚轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型8 双曲线的离心率 解题要点：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 【例8】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·云南昆明·模拟预测）若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 题型9 与双曲线有关的最值（范围）问题 解题要点：与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【例9】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4】（25-26高一下·江西景德镇·期末）、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、．当取最小值时，的周长为______． 【变式5】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 题型10 抛物线的定义 解题要点：利用抛物线的定义可解决的常见问题 1.轨迹问题：用抛物线的定义确定轨迹是不是抛物线. 2.距离问题：在解决涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的问题时，注意利用两者之间的关系相互转化. 注意：(1)一定要检验定点是否在定直线上.(2)“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题可根据定义简捷、直观的转化求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径. 【例10】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为______. 题型11 抛物线的标准方程 解题要点：求抛物线标准方程的方法 1.定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可. 2.待定系数法：先定位、再定形、定量，若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论. 【例11】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型12 抛物线的几何性质 解题要点：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. 【例12】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【变式3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5】（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 题型13 圆锥曲线中的轨迹问题 459 462 解题要点：1.若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制. 2.如果动点运动的限制条件是一些几何量的等量关系或动点满足的限制条件不容易直接列出等式，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程. 【例13】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 题型14 直线与圆锥曲线位置关系 解题要点：1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆(圆)必相切；若直线与双曲线(抛物线)有两种可能情况(相切或相交). 【例14】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式2】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（    ）． A． B．或 C．且 D．且 【变式5】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型14 中点弦问题 解题要点：解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解； （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量. 【例4】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 题型15 求值问题（弦长、面积等） 解题要点：弦长的求法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解. 【例3】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】（25-26高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式4】（2026·河北承德·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【变式5】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 难点一 最值范围 处理圆锥曲线中最值、范围问题的方法：(1)几何法：利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.(2)代数法：把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数法、不等式法等进行求解. 难点精练 【例1】（2026·湖南长沙一模）已知在平面直角坐标系xOy中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【变式1】（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【变式2】（2026·新疆·三模）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 【变式4】已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 难点二 定点定值 处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设直线方程为y＝kx＋m，然后利用条件建立k，m的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 处理圆锥曲线中定值问题的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 难点精练 【例2】已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式2】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【变式3】（25-26高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【变式4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 难点三 探索性问题 求解含参数的探究性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. 难点精练 【例3】（2026·河南开封·模拟）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【变式4】（2026·重庆·模拟）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 基础达标 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 9．（多选）（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 10．（多选）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为 11．（多选）（2026·四川南充·模拟预测）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知双曲线（，），为坐标原点，为右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线与双曲线在第一象限的渐近线及轴分别交于点，，且满足，则该双曲线的离心率为________． 13．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 14．（湖北云学联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段训练数学试题）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 15．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 16．（26-27高二上·江西抚州·阶段检测）设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 能力进阶 1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，A，B是C上不同的两点（其中A在第一象限），点．当A，B关于x轴对称，且时，． (1)求C的方程； (2)已知Q为轴上一点（点Q与F不重合），D，E是C上不同的两点（其中D在第一象限），且，若D，E，F三点共线，，求证：轴． 2．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 3．（2026·湖南怀化·三模）已知椭圆C：（）的过焦点且垂直于长轴的弦长为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，若P，Q，M为椭圆上的点，且圆M与直线，相切，当直线，的斜率均存在且时，求圆M的半径． 4．（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 5．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 6．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 7．（2026·山西晋中·三模）已知椭圆的上､下焦点与左顶点是等腰直角三角形的三个顶点，且过点. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于两点，求证：. 8．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率； (3)若，求点到直线的距离的最大值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 复习要点 一圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用； 二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解； 三掌握圆锥曲线的定义与方程，这是定义法求解轨迹方程的基础； 四直线和圆锥曲线的位置关系， 五考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题. 复习重难点 重点： 重点是最值与范围问题，主要考查长度、周长、面积、角度、斜率、向量等相关的最值 难点： 定值、定点的证明与探究，考查数学运算、直观想象、数学建模等核心素养. 知识点 椭圆 1.椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数: ①若a>c，则集合P为椭圆; ②若a＝c，则集合P为线段; ③若a<c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1 (a>b>0) ＝1 (a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 要点速测 1．（26-27高二上·河北保定期末）已知椭圆C：的焦距为2，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设椭圆的半焦距为，由焦距为2得，即． 由于，椭圆的焦点在轴上，故，即，结合，得． 2．（26-27高二上·陕西渭南期末）已知椭圆的一个焦点是，则（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】D 【解析】因为椭圆的一个焦点是， 所以焦点在x轴上，则，，所以，则. 3．（26-27高二上·山东青岛期中）焦点在轴上，中心在原点，长轴长为10，短轴长为8的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因焦点在轴上，则椭圆方程为， 由条件得：，，则椭圆方程为. 4．（26-27高二上·北京西城期末）与椭圆有公共焦点的椭圆是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆，，，，，焦点在y轴上. 选项A、B和D的焦点在x轴上，不符合题意，排除. 选项C：椭圆，，，，，焦点在y轴上，符合题意，选C. 5．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的短轴的长为6，所以，解得， 所以，所以离心率. 知识点双曲线 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (2)其数学表达式:集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①若a<c，则集合P为双曲线; ②若a＝c，则集合P为两条射线; ③若a>c，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b;a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 要点速测 1．（26-27高二上·云南红河·期中）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线的离心率为2，得 ，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即. 2．（25-26高二下·陕西汉中·期末）若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 3．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【解析】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 4．（2026·河北邢台·二模）已知曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线，点在上，则的实轴长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】因为曲线是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的等轴双曲线， 所以可设其方程为， 因为点在上，所以，即， 所以曲线的方程为，则， 所以的实轴长为. 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得双曲线的焦点在轴上，且， 设双曲线， ， ， 由双曲线的定义得，解得， ，所以双曲线. 知识点 抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式:{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x0＋ －x0 y0＋ －y0 焦点弦长 x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2 要点速测 1．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴正半轴上，且，所以， 所以抛物线的准线方程为． 2．（26-27高三上·云南昆明期末）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由抛物线，得抛物线的焦点为， 设，因为，所以， 所以，所以线段的中点横坐标为， 所以线段的中点到轴的距离为． 3．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）若抛物线上一点与焦点的距离，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由抛物线，得， 因为，所以，解得，又，所以， 所以的面积为. 4．（26-27高三上·云南昭通期末）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，焦点，则， 即点到准线的距离为，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入，则， 所以. 5．（2026·山东济南模拟）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为圆的圆心，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为， 则该圆的圆心为，即抛物线的焦点为， 又抛物线的顶点为坐标原点，则设其标准方程为， 则，解得，所以的标准方程为． 知识点直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点. (2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ>0时，直线l与曲线C相交;Δ＝0时，直线l与曲线C相切;Δ<0时，直线l与曲线C相离. ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或 |AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0. 3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，并整理，则椭圆中k＝－·;双曲线中k＝·;抛物线中k＝. 要点速测 1.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】由题，长轴长为，所以，由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点.故选：B 2.（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得.故选：B. 3.（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，，则通径长为.故选：D 4.（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为.故选C 题型1 椭圆的定义的及应用 【例1】（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长，所以. 解题要点：椭圆定义的应用技巧 1.椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等. 2.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题以及｜PF1｜，｜PF2｜的相关问题. 3.利用定义实现距离的转化，利用三点共线关系求距离和差的最值问题. 【变式1】（25-26高三上·云南楚雄·期末）椭圆C：的两个焦点为，，椭圆上有一点，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆C：，所以，，所以， 故的周长为．故选：C 【变式2】（25-26高二上·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为上一点.若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【解析】由椭圆可得：， 根据椭圆的定义，，则.故选：D 【变式3】（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义可知，，又，解得，．故选：A． 【变式4】（多选）下列说法中正确的是（　　） A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段 B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案】AC 【解析】对于A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确， 对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误， 对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为|F1F2|＝8，其轨迹为椭圆，故C正确，对于D，轨迹为线段的垂直平分线，故D错误．故选：AC 【变式5】（2026高三·全国·专题练习）已知中顶点和顶点，顶点在椭圆上，则________． 【答案】 【解析】椭圆中，，得，， 因此椭圆的两个焦点恰好就是和，则，且， 根据正弦边角关系，得. 题型2 椭圆的标准方程 解题要点： 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 第一步(作判断)：根据条件判断焦点的位置； 第二步(设方程)：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)； 第三步(找关系)：建立关于a，b，c或m，n的方程组； 第四步：求解，得方程. 2.椭圆的标准方程的两个应用 (1)椭圆＝1(a＞0，b＞0，a≠b)与＝λ(a＞0，b＞0，a≠b，λ＞0)有相同的离心率. (2)与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算更简便 【例2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为．故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式1】（26-27高二上·河南驻马店·开学考试）椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，所以.又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 【变式2】（25-26高二上·甘肃张掖·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 根据椭圆定义知，故，．因此所求椭圆方程为．故选：B. 另解  由焦点坐标知焦点在轴上，且，设椭圆的标准方程为． 直接代入 因为椭圆过点，所以，解得，所以所求椭圆方程为． 故选： 【变式3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为．故选：D. 【变式4】（25-26高二上·广东江门期中）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【解析】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 题型3 椭圆的几何性质 解题要点：求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解. (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解. (3)构造a，c的齐次式，可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 【例3】（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 【变式1】（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，，所以，则，解得：， 所以. 【变式2】（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以，所以椭圆的焦点在y轴上，所以. 【变式3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【解析】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以，故选：C. 【变式4】（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【解析】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 【变式5】（2026·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆：的一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，短半轴，长半轴为 因为一个长轴端点与一个短轴端点之间的距离为，所以，代入，两边平方得，解得，即，即离心率 题型4 与椭圆有关的最值（范围）问题 解题要点：与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知椭圆的左、右焦点为、，过点的直线与椭圆交于、两点且的周长为，点是椭圆上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，的周长为， 故，又因为，所以，则、， 如下图所示： 要使得取最小值，则与直线垂直， 所以点为椭圆的右顶点且与直线垂直时，取最小值，且最小值为. 故选：D. 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【解析】，，，， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号，，，， ，的最大值为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】椭圆C的左焦点为，则，于是， 当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值， 最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1. 故选：A 【变式3】（2016·辽宁沈阳·三模）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．63 【答案】B 【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上， 又因为，所以，PM为圆的切线， ，所以当PF最长时，切线长PM最大． 当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为． 此时的最大值为．故选B． 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【解析】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 【变式5】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是__________． 【答案】/ 【解析】设是椭圆的右焦点，则，. 根据椭圆的定义得，所以. 所以. 因为， 所以，所以的最大值为， 故的最大值为. 题型5 双曲线的定义 解题要点：双曲线定义的主要应用 1.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系. 2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. 3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 【例1】（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【解析】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以.综上，. 【变式1】（25-26高二上·广东·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（ ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【解析】点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， ，， 则．故选：B． 【变式2】（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【解析】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为，故选D 【变式3】（25-26高二上·河北保定·期中）若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【解析】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为.故选：A 【变式4】（25-26高二上·江西赣州·期中）已知分别是双曲线的左､右焦点，是上一点，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【解析】由题意得，得.故选：D 【变式5】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【解析】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 题型6 双曲线的标准方程 解题要点：求双曲线标准方程的常用方法 1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程.2.待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出双曲线的标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”.如果焦点的位置不确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn＞0)，再根据条件求解. 【例5】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【解析】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为，所以，即a=2，所以b=， 故所求的双曲线方程为=1.故选：B. 【变式1】（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为.故选：A 【变式2】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以，所以双曲线为. 【变式3】（25-26高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为，故选D. 【变式4】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为.故选：A. 【变式5】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【解析】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得，所以双曲线的标准方程为. 题型7 双曲线的渐近线 解题要点：渐近线的求法：求双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0(y＝±x). 【例6】（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为.故选：B 【变式1】（25-26高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：A. 【变式2】（25-26高三上·江西·开学考试）双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，所以双曲线的标准方程为， 双曲线的渐近线方程为，即.故选：D． 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）双曲线的虚轴长为2，焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为双曲线的虚轴长为2，焦距为4， 所以，即，所以，即 因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为.故选：C 【变式4】（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 题型8 双曲线的离心率 解题要点：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 【例8】（青海西宁市青海师范大学附属第二实验中学2025-2026学年高三年级十一月月考数学试卷）已知双曲线 （）的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】双曲线 的渐近线方程为 . 由得 ，又，所以离心率. 【变式1】（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意，设，，， 则，则，则. 【变式2】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，，则，则该双曲线的离心率为. 【变式3】（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 【变式4】（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以. 【变式5】（2026·云南昆明·模拟预测）若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】由双曲线的一个焦点坐标为， 得，且，解得， 所以双曲线的离心率. 题型9 与双曲线有关的最值（范围）问题 解题要点：与双曲线有关的最值(范围)问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解. (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【例9】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 【变式1】（2026·广东·模拟预测）记双曲线的右焦点为为上一点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】记的左焦点为，显然， 而，于是点在右支的右侧，如下图：    则. 当且仅当三点共线时，等号成立，故选B. 【变式2】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ，故的最小值为，故选B. 【变式3】（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 【变式4】（25-26高一下·江西景德镇·期末）、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、．当取最小值时，的周长为______． 【答案】 【解析】由条件可知，，， ， 当最小时，取得最小值， 由条件可知通径最短，即当直线轴时，最小，此时， 所以的最小值是，此时的周长是. 【变式5】（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 题型10 抛物线的定义 解题要点：利用抛物线的定义可解决的常见问题 1.轨迹问题：用抛物线的定义确定轨迹是不是抛物线. 2.距离问题：在解决涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的问题时，注意利用两者之间的关系相互转化. 注意：(1)一定要检验定点是否在定直线上.(2)“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题可根据定义简捷、直观的转化求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径. 【例10】（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离，故 . 【变式1】（2026·湖南永州·一模）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为，则，由于，故. 【变式2】（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 【变式3】（26-27高三上·浙江杭州·阶段检测）已知，，为抛物线上一动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由抛物线的方程为，其焦点坐标为，准线为，所以为抛物线的焦点， 因为在抛物线内部，作出示意图如下， 过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线定义可知，， 当且仅当三点共线时等号成立. 【变式4】（25-26高二上·北京·期末）已知，抛物线：，为抛物线上一个动点，过作轴的垂线，垂足为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得抛物线：，故该抛物线的焦点F的坐标为， 准线方程为，设点P的坐标为，则， 点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可得， 则，故， 当P，F，A三点共线，且在之间时等号成立，则的最小值为. 【变式5】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为______. 【答案】 【解析】将点的坐标代入抛物线的方程，得，解得. 所以抛物线的方程为，即，其焦点为，准线为. 所以点到抛物线焦点的距离等于点到其准线的距离，为. 题型11 抛物线的标准方程 解题要点：求抛物线标准方程的方法 1.定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可. 2.待定系数法：先定位、再定形、定量，若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论. 【例11】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线过焦点， 所以，所以，所以抛物线方程为． 【变式2】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线的定义结合题意可得，所以抛物线的方程为. 【变式3】（25-26高二上·山西太原·期末）以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆中心是原点，右顶点是， 它是抛物线的焦点，则，，所以抛物线标准方程是．故选：D． 【变式4】（25-26高二上·四川资阳·期末）已知顶点在坐标原点、准线方程为的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，其准线方程为， 则，即，所以抛物线的标准方程为.故选：B 【变式5】（2026·广西柳州·二模）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为抛物线准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为， 则，即，所以抛物线的标准方程为.故选：C 题型12 抛物线的几何性质 解题要点：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. 【例12】（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：，所以. 【变式1】（2026·甘肃·模拟预测）若抛物线和直线交于，两点，且，则原点到直线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】将代入，得， 设，则， 由，解得， 于是原点到直线的距离为. 【变式2】（2026·江苏扬州·三模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为5，则（O为坐标原点）的面积为（     ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】抛物线，焦点，准线方程为， 因为抛物线上一点到焦点的距离为5，所以点到准线的距离也为5， 即点的横坐标为4，代入可得，因此. 【变式3】（25-26高三下·贵州·阶段检测）已知抛物线，其焦点为，若点在抛物线上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为点在抛物线上，将其代入,可得， 则，故. 【变式4】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）点在抛物线上，为的焦点，轴，过且与轴平行的直线与的准线交于点的面积2，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由抛物线的定义可得，所以. 【变式5】（多选）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 【答案】ABD 【解析】因为是抛物线的焦点，所以，解得，A正确； 设，因为点在抛物线上，故， 所以，B正确； 当与轴的正半轴夹角为时，此时，又， 故为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知，故点在的垂直平分线上，D正确． 题型13 圆锥曲线中的轨迹问题 459 462 解题要点：1.若动点运动的限制条件与某一类圆锥曲线的定义吻合，可直接根据定义建立动点的轨迹方程，利用定义法求轨迹方程时，要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制. 2.如果动点运动的限制条件是一些几何量的等量关系或动点满足的限制条件不容易直接列出等式，这时可用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程求得动点的轨迹方程. 【例13】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆是圆的一条动弦，，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接，则，且， 在中，，因， 故的中点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，其方程为. 【变式1】（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知，若直线相交于点P，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为 由已知，可得，化简整理可得， 所以动点的轨迹方程为． 【变式2】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知圆，，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为8． 依题意知：， 点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，，所求点的轨迹方程为． 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以.又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离.所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，，故动圆圆心M的轨迹方程为. 【变式4】（25-26高二下·河北邯郸·期末）已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 【变式5】已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【解析】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线，A正确. 题型14 直线与圆锥曲线位置关系 解题要点：1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到. 2.直线与圆锥曲线只有一个公共点，若直线与椭圆(圆)必相切；若直线与双曲线(抛物线)有两种可能情况(相切或相交). 【例14】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，消去后整理为， 当时，或， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 当时，，，，直线与双曲线只有1个交点， 所以不满足条件； 当时，有，可得或. 故选：B 【变式1】（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】由题，长轴长为，所以，由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点.故选：B 【变式2】（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，可得， 当时，，此时方程为一次方程，有一个解，不符合题意， 当时，即时，， 即，解得.故选：B. 【变式3】（25-26高二上·福建龙岩·期中）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得， 故，故或，故选：D. 【变式4】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为（    ）． A． B．或 C．且 D．且 【答案】C 【解析】因为直线过定点， 要使直线与椭圆恒有公共点，只需点在椭圆内部或椭圆上即可， 所以，解得且，故选：C 【变式5】（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件.故选：A 题型14 中点弦问题 解题要点：解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法 （1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解； （2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量. 【例4】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 【变式1】（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得，化简得， 因为，，所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 【变式2】（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为.故选C 【变式3】（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得；故选C 【变式4】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为.故选：A. 【变式5】（26-27高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆交于，两点．若线段的中点的横坐标为，则________． 【答案】 【解析】由椭圆的标准方程知，，， 设，，则. 由椭圆第二定义可得：，. 所以． 题型15 求值问题（弦长、面积等） 解题要点：弦长的求法 （1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解； （2）当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解. 【例3】（25-26高二上·江苏南京·期末）过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意得，，则通径长为.故选：D 【变式1】（25-26高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】由渐近线方程化简得，即， 同时平方得， 又双曲线中，故，解得或（舍去）， 所以双曲线， 所以双曲线C的右焦点为， 右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点， 则，故弦的长度为.故选：A. 【变式2】（25-26高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知，可化为， 即，解得，故双曲线方程为：，故选：C 【变式3】（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过的直线与相交于，两点，若线段的中点到轴的距离为3，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】首先抛物线满足，即，因此焦点为，准线方程为. 设，，线段的中点为，由题意得到轴的距离为3，故. 根据抛物线的定义可得：，, 弦长， 由中点坐标公式得，即，代入得. 【变式4】（2026·河北承德·一模）已知抛物线 的焦点为F，准线为，过且与C 的对称轴垂直的直线l交C于A，B两点，则|AB|=________. 【答案】 【解析】抛物线 的准线为，，， ， 是过且与C 的对称轴垂直的直线，且l交C于A，B两点，且， ，，，， 当时，，； 当时，，. 故答案为：. 【变式5】（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程. 【解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得，， 设，则， 所以，解得， 由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意. 综上所述，直线的方程为或或. 难点一 最值范围 处理圆锥曲线中最值、范围问题的方法：(1)几何法：利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.(2)代数法：把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数法、不等式法等进行求解. 难点精练 【例1】（2026·湖南长沙一模）已知在平面直角坐标系xOy中，动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数． (1)求动点M的轨迹G的方程： (2)过点作斜率为k的直线与M的轨迹G相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【解】（1）由已知可得，整理得，即， 化简可得，即动点的轨迹的方程为； （2）（i）过点斜率为的直线方程为， 由得， 则，得或， 设，则，， 设， 由得：，整理得：， 所以化简得，对任意满足条件的恒成立， 故，即Q点坐标为； （ii）Q到直线AB的距离，， 因此面积 由韦达定理 令，则，代入得： 由基本不等式，当且仅当即时取等号， 因此，即面积的最大值为. 【变式1】（2026·广东佛山·二模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于、两点，且是直角三角形． (1)求双曲线的方程； (2)、是右支上的两动点，设直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围． 【解】（1）依题意，，焦半径， 由，得，得， 解得：（其中舍去）， 所以， 故双曲线的方程为； （2）显然直线不可能与轴平行， 故可设直线的方程为， 联立，消去整理得， 在条件下，设，， 则，， 由，得， 即， 整理得， 代入韦达定理得，， 化简可消去所有的含的项，解得：或（舍去）， 则直线的方程为，得， 又都在双曲线的右支上，故有，， 此时，， 所以点到直线的距离的取值范围为. 【变式2】（2026·新疆·三模）已知椭圆的中心在原点，离心率为，右焦点为. (1)求的标准方程； (2)若直线与交于，两点，，是上位于直线两侧的两点，直线的斜率为，且，关于原点对称，求四边形面积的最大值. 【解】（1）设椭圆的方程为， 由题意得，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）因为，关于原点对称，且直线的斜率为，所以直线的方程为， 因为，是上两点，所以联立 ，解得或， 取，则，， 因为直线与交于，两点， 为了便于讨论，不妨设在直线的上方，所以， 即，且， 则在直线的下方，所以，即 又因为点到直线的距离，点到直线的距离， 所以四边形面积 ， 因为， 所以当时，四边形面积的最大值为. 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别是、，，O是坐标原点，直线l过O且与椭圆C相交于P、Q两点． (1)若，求证：； (2)求周长的最小值． 【解】（1）依题意，，，则椭圆方程为， 由点P在椭圆上，得点P的坐标满足，即，其中， 则，由，得， 所以． （2）依题意，四边形是平行四边形， 则的周长， 又设，则， 由（1）得，当，即点P落到椭圆的上下顶点时，取得最小值1， 所以的周长最小值为6. 【变式4】已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． (1)求椭圆C上的点到直线距离的最大值. (2)过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【解】（1）由椭圆的长轴长为4，焦距为2， 可得，，又由， 可得椭圆C的标准方程为； 设椭圆C上的点，， 点到直线的距离为 ， 其中，故有. （2）设直线的方程为， 设点A，B的坐标分别为，点Q的坐标为，如下图所示： （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 难点二 定点定值 处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设直线方程为y＝kx＋m，然后利用条件建立k，m的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 处理圆锥曲线中定值问题的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 难点精练 【例2】已知抛物线C：（）经过点（），F为焦点，且. (1)求C的方程及； (2)设O为原点，过F作斜率不为0的直线l交C于M，N两点，直线分别交直线OM，ON于A，B. 证明：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【解】（1）因为抛物线C：（）经过点，F为抛物线的焦点，且， 所以由抛物线的定义，可得，解得，所以， 又因为P的横坐标为1， 所以，解得， 又，所以. （2）因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为， 设直线l的方程为， 与抛物线方程联立可得， 故，， 可得，， 设，，则，， 可得直线OM的方程为， 与联立，可得，同理可得. 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为，则圆的方程为. 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【变式2】（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【解】（1） 因为椭圆，则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得，解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. （2）证明： 由题意得，设点，点在椭圆上，则满足，即， 斜率，斜率，所以，所以为定值. 【变式3】（25-26高三上·内蒙古包头·期末）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【变式4】（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）   设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 难点三 探索性问题 求解含参数的探究性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. 难点精练 【例3】（2026·河南开封·模拟）已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． （2）设直线的方程为， 由得， 则，且，， 假设存在，使，则． 因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得．   由，解得．故存在，使． 【变式1】（2026·上海黄浦·一模）已知双曲线的中心位于坐标原点，焦点，分别在轴的正、负半轴上，，直线是的一条渐近线，直线与有且只有一个公共点． (1)求的方程； (2)若点在轴上，且为直角，求点的坐标； (3)设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）依题意，，解得， 所以的方程为. （2）联立，消去并化简得， 由题意可得，解得，因为， 所以，代入上式，解得， 所以，设， 因为为直角， 所以， 解得或， 所以或. （3），设，， 联立，消去并化简得， ， ， 联立，解得， 所以， ， 代入点坐标及韦达定理得 ， ， 所以，使得. 【变式2】已知椭圆过点，其右焦点为．过点作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，且直线与直线交于点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)是否存在实数，使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）将点代入，可得，解得，故. （2）设，，，由为的中点，则， 分别将，代入，则， 两式相减可得，整理可得， 由，则，设直线的斜率为， 由图可知直线过，由（1）易知，则， 可得，解得，则， 所以直线的方程为. （3）由（2）易知，则，即， 故直线的方程为，将代入，可得， 由，则直线的斜率为，由，则， 由，则易知，即. 【变式3】（2026·陕西榆林·模拟）设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． (1)求抛物线的标准方程； (2)斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【解】（1）因为抛物线，所以， 设，由抛物线的定义可知， 已知，，则，解得， 将代入抛物线方程，得，因为，所以， 所以，已知的面积为，因为， 又因为，解得，所以抛物线方程为：. （2）    设，，，设直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为：， 因为为直线交直线的交点， 令，则，所以， 因为平分，所以有：， ，，，代入上式有：， 因为在抛物线上，所以，又因为， 将，代入，有：， 整理有：，解得：. 【变式4】（2026·重庆·模拟）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 基础达标 1．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得：， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 2．（26-27高二上·江苏·阶段检测）已知椭圆的焦距等于4，则其离心率的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解析】椭圆的焦距，即， 当焦点在轴上时，其短半轴长， 则长半轴长，离心率； 当焦点在轴上时，其长半轴长，则离心率， 所以椭圆的离心率为或. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 4．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知双曲线：（）的实轴长为2，且两条渐近线夹角为，则该双曲线的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由实轴长为2，得，所以． 双曲线的渐近线方程为．两条渐近线的锐角夹角为， 所以渐近线方程为的倾斜角为，所以，所以． 由双曲线关系，得，从而． 双曲线的焦距为． 5．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 6．（26-27高二上·浙江绍兴·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若面积是面积的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，所以，， 由题可得点到直线的距离为点到直线距离的2倍， 所以，即， 两边平方得，因为， 所以，即，解得（舍去）或. 7．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【解析】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 8．（26-27高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上的一个动点，当的面积最大时，其内切圆的半径是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，设的内切圆的半径为， 由，则，，，所以，， 由，即， 若的面积最大，即最大，又因为，所以， 所以，故D正确. 9．（多选）（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】AD 【解析】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B不正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 10．（多选）（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆的离心率为 B．存在点使得 C．若，则 D．面积的最大值为 【答案】BD 【解析】由椭圆，可知焦点在轴上，，，， 焦点，. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：设，则，， 若，则，又在椭圆上， 即，联立解得，满足， 故存在满足条件的点，B正确； 选项C：根据椭圆定义，，， 两式相加得，即， 由，可得， 同时过焦点的弦的最大值为，所以不可能等于12，C错误； 选项D：的底，高为点横坐标的绝对值，最大值为， 故面积最大值为，D正确. 11．（多选）（2026·四川南充·模拟预测）已知点是抛物线∶的焦点，、是经过点的弦且，直线的斜率为，且，，两点在轴上方，则（     ） A．抛物线的焦点到准线的距离为2 B． C．为一个定值 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】由抛物线的方程为，，抛物线的焦点到准线的距离为，A正确. 如图所示； 由题知点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为. 设点，点的坐标分别为，，联立方程组， ，由韦达定理得，. . ，B错误. 由过焦点的弦长公式得. ，直线的斜率为，同理推出. ，C正确. ，，， ，，由 ，直线的斜率为，D正确. 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知双曲线（，），为坐标原点，为右焦点，过右焦点作倾斜角为的直线与双曲线在第一象限的渐近线及轴分别交于点，，且满足，则该双曲线的离心率为________． 【答案】或 【解析】由题可设过点且倾角为的直线方程为， 联立方程，解得，所以， 从而， 又，所以由，得，即， 化简得，或，所以或. 13．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）焦点在x轴上的椭圆，离心率为，点分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任一点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】由椭圆的焦点在x轴上，得， 由，解得， 所以椭圆的方程为，则. 设， 则 ， 由可得， 则的取值范围为. 14．（湖北云学联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段训练数学试题）已知点在抛物线上，过点作抛物线的切线交轴于点． (1)求抛物线及切线的方程； (2)过抛物线的焦点F作直线，且与交于两点，求的面积． 【解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 所以C的方程为， 显然切线的斜率存在，设其方程为， 由，消去得， 则，故， 因此切线的方程为． （2）由（1）得C的焦点为，由于，故直线的方程为， 设，， 由，消去得， 则，， 故， 又切线的方程为，则，故 因此的面积．    15．（26-27高三上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线，O为坐标原点． (1)求的右焦点到渐近线的距离； (2)若点P是上位于第一象限的一点，且、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点P的横坐标； (3)若过点的直线与交于不同的两点A、B，求的取值范围． 【解】（1）由题知，，右焦点为，渐近线方程为， 根据双曲线对称性不妨取，则右焦点到渐近线的距离. （2）设，则，， 若，，解得， 若，则，代入双曲线方程解得，矛盾； 若，，解得， 综上，点P的横坐标为或. （3）易知直线的斜率存在，故设直线的方程为， 得， 令且，得且， 设，则，， ， 当时，，当时，， 所以的取值范围为：. 16．（26-27高二上·江西抚州·阶段检测）设椭圆的左，右焦点是，，离心率为，上顶点坐标为 (1)求椭圆的方程； (2)设P为椭圆上一点，且，求的面积． 【解】（1）由题意知，解得. 故椭圆的方程为 （2）由（1）知，所以 . 又为椭圆上一点，所以， 在中，由余弦定理，得， 即①. 将平方，得 ②. ①—②，整理得， 所以. 能力进阶 1．（2026·福建厦门·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，A，B是C上不同的两点（其中A在第一象限），点．当A，B关于x轴对称，且时，． (1)求C的方程； (2)已知Q为轴上一点（点Q与F不重合），D，E是C上不同的两点（其中D在第一象限），且，若D，E，F三点共线，，求证：轴． 【解】（1）因为，关于轴对称，，所以轴，且点纵坐标为. 令，则，解得，于是直线过焦点． 在中，，， 则，解得， 故的方程为． （2）由题意得，与轴不垂直，不妨设直线，，，，， 联立，整理得，则， 所以，．取中点，连接，则，，由，，得，又，则， 所以，即，则，因为， 则，则，则轴，即轴． 2．（2026·上海·三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． (1)设，若经过的焦点，求与的准线的交点的坐标； (2)设，已知与轴负半轴相交于点，与有、两个交点，若，求直线的方程； (3)设，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，试将表示为的函数，并求的最小值． 【解】（1）抛物线的焦点坐标为，准线为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 将代入得， 故直线与准线的交点坐标为. （2）设，，由，得到是的中点， 因为，所以， 所以，解得，则， 此时直线的方程为，即. （3）设的方程为，而， 由消去得：，显然 ， ，解得， 于是直线的方程， 由消去得， 设点的纵坐标为， 由，得， 因此， 设，求导得， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 故. 3．（2026·湖南怀化·三模）已知椭圆C：（）的过焦点且垂直于长轴的弦长为，短轴长为2． (1)求C的方程； (2)设O为坐标原点，若P，Q，M为椭圆上的点，且圆M与直线，相切，当直线，的斜率均存在且时，求圆M的半径． 【解】（1）由已知可得，， 所以，． 所以C的方程为. （2）设，圆M的半径为r（）．过原点O作圆M的切线， 由圆心到直线的距离等于半径，可得 ．    整理得，即， 由题可知，即为方程的两个根， 所以由根与系数的关系可得，所以．         因为在椭圆上，所以，即， 所以，． 故圆M的半径为． 4．（2026·陕西渭南·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【解】（1）抛物线的焦点为， 由抛物线定义，点到焦点的距离为. 点到直线的距离为. 由题设距离关系，得， 解得，. 因此，抛物线的方程为. （2）由(1)得抛物线方程为，即，求导得. 设切点，，则抛物线在处的切线方程为，整理得. 结合，切线方程可化为. 切线过点，代入得，即. 同理可得. 因此，直线的方程为. 联立，消去得, 可得，，，， 以线段为直径的圆过点，等价于. ，， 则 ， 因此，，即以线段为直径的圆过点.    5．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【解】（1）由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 6．（2026·安徽合肥·三模）已知抛物线，过点的直线交E于A，B两点． (1)设，，证明：为定值； (2)过点的另一条直线交E于C，D两点，且，求的最小值． 【解】（1）证明：直线不垂直于轴，设直线AB方程为， 由消去x并化简得， 则，因此， 所以为定值. （2）由（1）得， 设直线的方程为，同理， 由，得，则， 又， 同理，则． 当时，，， 且当且仅当时取等号，当时，，， 所以的最小值为. 7．（2026·山西晋中·三模）已知椭圆的上､下焦点与左顶点是等腰直角三角形的三个顶点，且过点. (1)求的方程； (2)过点且不与坐标轴垂直的直线交于两点，求证：. 【解】（1）由是等腰直角三角形， 可得，故. 由过点，有，解得， 故的方程为 （2）证明如下： 由题可知，的斜率存在且不为0，设其方程为， 与的方程联立可得， ， 设，则， 由（1）可知，所以， 又因为， 故 从而有. 8．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知抛物线上的一点到的焦点的距离为，点是上不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线与直线的倾斜角互补，求直线的斜率； (3)若，求点到直线的距离的最大值. 【解】（1）由题意知，解得，所以的方程为. （2）因为是上的一点，所以，解得，故. 设直线的方程为， 由，得， 所以. 因为直线与直线的倾斜角互补， 所以， 即，解得，则直线的斜率为. （3）由（2），， 因为，所以，即， 化简得，所以，即， 所以直线的方程可化为，即， 故直线过定点，又， 所以点到直线的距离的最大值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $