附录 高中数学常用公式及结论-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

附录高中数学常用公式及结论 附录 高中数学常用公式及结论 (1)A二A;如果A二B,且B二C,那么A二C (2)AUA=A;A∩A=A;AU0=A;A∩0=0 (3)Cu(ANB)=(CUA)U(CB); 集合中的 Cu(AUB)=(CA)∩(CuB). 集 合与 常用结论 (4)A∩B=A台AUB=B台ACB台CB二CA台A∩(Cu)B=O台 CA)UB=U. (5)集合{a1,a2,…,am}的子集有2”个；真子集有2”一1个；非空子集有2” 一1个；非空真子集有2”-2个 用语 全称量词命题 对于全称量词命题：Hx∈M,p(x),其否定为p; 3x∈M,(x); 与存在量词命 对于存在量词命题q:]x∈M,g(x),其否定为q; 题的否定 Vx∈M,g(x) (1)a>b台→a-b>0;a=b台a-b=0;a<b=a-b<0. (2)a-b<a;a>b,b>ca>c; a>b→a+c>b+c; 不等式性质 a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc; a>b,c>d→a+c>b+d; a>b>0,c>d>0→ac>bd; a>b>0→a">b(n∈N,n≥2) 不 基本不等式 a十b≥ab,a>0,b>0(当且仅当a=b时等号成立) 2 等 式 a2+b≥2ab(a,b∈R)； a+b≥2ab(a>0,b>0): 基本不等 式的变形 b≤(ay产a,R: 2ab a+b 2+8(a>0,b>0) 基本不等 x>0,y>0,积xy等于定值p和x十y有最小值2√p;和x十y等于定值 式的应用 S,积xy有最大值S. 173 艺考生文化课成功方案 续表 Vx1,x2∈D,c1<x2, 函数的 f(x)<f(x2)(或f(x)-f(x2)<0),f(x)单调递增； 单调性 f(x1)>f(x2)(或f(x1)一f(.x2)>0),f(x)单调递减 函数的 若f(x)为奇函数，则f(一x)=一fx)(或f(-x)十f(x)=0): 奇偶性 若f(x)为偶函数，则f(一x)=f(x)(或f(一x)-f(x)=0). 有理数指 (1)a·a=a+(a>0,r,s∈Q); 数幂的运 (2)(a)°=a(a>0,r,s∈Q); 算性质 (3)(ab)'=a'b'(a>0,b>0,r∈Q) 若a>0,a≠1，M0,N>0,则 函 对数的运 log,(MN)=log,M+log,N; 数 算性质 Iogl0gM-tog.N, log.M"=nlog,M(n∈R) 对数恒等式 alog,N=N(a>0,且a≠1，N>0) 对数的换 底公式 1ogN-1oXa>0,且a≠1m≥0，且m≠1，N0) log a 指数式与对 logN=b台a=N(a>0,且a≠1，N>0) 数式的互化 函数的零点 方程f(x)=0有实数解台函数y=f(x)有零点台函数y=f(x)图象与x 与方程的解 轴有公共点。 (1)C=0(C为常数)； (2)(x)'=ax2-1(a∈Q*)； (3)(sin x)'=cos x; 导数及其应 (4)(cos x)'=-sin x; 几种常见函 数的导数 6hw=; (6)1ogxy=(a>0,且a≠1： xln a (7)(e)'=e; (8)(a)'=a'lna(a>0,且a≠1) 174 附录高中数学常用公式及结论 续表 (1)(u土w)'=u土w'; 导数及其应 导数的运 (2)(uw)'='v+uw'; 算法则 3()/-4o,(≠0) 2 (4)对于y=f(g(x),令u=g(x),则y,=y· 扇形公式 1=R:S=}R=2aR, 三角函数值 符号 各象限为正情况：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 同角三角函数 的基本关系式 sincos0-1;tan 0-sin cos 0 公式一：sin(a+k·2x)=sina,cos(a十k·2π)=cosa,tan(a十k·2x)= tan a; 公式二：sin(π十a)=-sina,cos(x十a)=-cosa,tan(x十a)=tana; 公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana; 诱导公式 公式四：sin(元-a)=sina,cos(元-a)=-cosa,tan(π-a)=-tana; 三 公式五：sinl5-a)=cosa,cos(5-a=sina: 角 函 公式六：sin(5十a)=cosa,cos(5十a)=-sina: 数 记忆：奇变偶不变，符号看象限 两角和与差的 sin(a±B)=sin acos B-±cos asin B; 正弦、余弦和 cos(a土β)=cos acos3B干sin asin; 正切公式 tan(a±β) tana士tanB 1千tan atan B sin 2a=2sin acos a; 二倍角公式 cos 2a=cos2a-sin2a=2cos'a-1=1-2sin'a; tan 2a= 2tan a 1-tan a asin a十bcos a=√a+bsin(a十p)(辅助角e所在象限由点(a,b)所在的 辅助角公式 象限决定，tanp=么) 175 艺考生文化课成功方案 续表 6 sin A sin B sin C. 正弦定理 解 拓展：AB一C2R.其中R为三角形外接圆的半径 b 三 a2=b2+c2-2bccos A; 角 余弦定理 b2=c2+a2-2accos B; 形 c2=a2+62-2abcos C 三角形的 面积公式 2acsin B 数量积 a·b=al|bcos0 投影向量 a在b上的投影向量为1acos0,合 平 若a,b是非零向量，a=(x1y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角，则cos0 两向量的模 与夹角公式 a·b 向 =1a·1b x+”a=a…a=√+y √+好√+ 。 设a=(x1,y1),b=(x2y2),且a≠0，b≠0，则 向量的平 行与垂直 a∥b=b=a(∈R)台x12-x2y1=0: a⊥b→a·b=0台x1x2十y1y2=0 复数相等 a+bi=c+di台a=c,b=d(a,b,c,d∈R) 复数x=a十bi 的模及共轭 lx=a+bil=√a2+b 复数 3-a-bi (1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 数 复数的四则 (2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 运算法则 (3)(a+di)(c+di)=(ac-bd)+(bc-ad)i; 培+-c+r0 c+di c2+d 复数的几 复数=a十i一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应平面向 何意义 量Oz 176 附录高中数学常用公式及结论 续表 a,与sm关系 S1, n=1. an= Sn一S-1y n≥2. 通项公式：a,=a1十(n-l)d(n∈N*). 等差数列 数 前n项和公式：S-na,十a）=a,十n1Dd 2 2 列 通项公式：a,=a1g”-1(n∈N*). 等比数列 a1(1-q") 前n项和公式：S,= 1-g,9≠1， a1-a9 或Sn 19,9≠1， nai,q=1 7a1,q=1 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 多面体表面 Vu-Sh:Vpp-3Sh: 积与体积 V台=3五(S+SS+S). S圆往=2元r(r十)，V圆往=r2h; 旋转体表 S张=r(+0,V雕xh: 面积与体积 S6=x+r+1+0,W6h(++)） 立 Ss=4R,Ws青R 体 几 何 P为直线l外一点，A为l上一点，u为L的单位方向向量，设AP=a,则P 利用空间向 到L的距离d=√a-(a·u) 量求距离 P为平面a外一点，A∈a,n为平面a的法向量，则P到a的距离d AP·nl n 两异面直线所成角cos9=cos,吵=W； uv; 利用空间 向量求角 直线与Y面所成的角m&=osm,m=货： 两平面的夹角cos0=lcosm)|=n,n, n1·n2 177 艺考生文化课成功方案 续表 经过点P1(x1,y),P2(x2,2)的直线的斜率公式：当≠x2时，k 斜率公式 业二当；当x,=2时，斜率不存在.若倾斜角为a,则k=tan. 2一x1 若直线l1:y=k1x十b1,l2:y=k2x十b2,则 两条直线平 ①L1∥l2k1=k2,b≠b2； 行和垂直的 ②l1⊥l2台kk2=-1. 判定 若直线l1:A1x十B1y十C1=0,b2:Ax十B2y十C2=0,则①L1∥12台AB2一 A2B1=0,且AC2-A2C1≠0：②L1⊥L2台A1A2十B1B2=0. 两点P1(,y),P(2y2)间的距离； |PP2|=√(x2-x1)2+(y2-y)2; 点P(xo,yo)到直线l:Ax+By+C=0(A十B≠0)的距离d 距离公式 Axo+Byo+CI √A+B 直线与圆方程 两平行线Ax十By十C=0与Ax+By十C2=0间的距离d= IC-C2l √JA十B 点P(xoy),圆C:(x-a)2+(y-b)2=2. 点与圆位 若(x。-Q)2+(%一b)2>r2,则点在圆外： 置关系 若(x一a)十(-b)2=2,则点在圆上； 若(x一a)2+(-b)2<2,则点在圆内. 直线1：Ax十By十C=0,圆C:(x-x)2+(y-y)2=r2. 直线与圆 d- 位置关系 A+B6+C,若d>r,则直线与圆相离；若d=,则直线与圆相 VA+B 切；若d<r,则直线与圆相交， 圆O:(x-x1)2+(y-y1)2=斤，圆O2(x-x2)2+(y-y2)2=2. 圆与圆位 若OO2>m十r2,则两圆外离；若1O,O2=r1十2，则两圆外切： 置关系 若n一r2<O,O<r1十2，则两圆相交；若OO=r1一2，则两圆内 切；若1OO2<r1一2|，则两圆内含 圆锥 椭圆：Sa号PF,P5,sm0=6am号， 曲线 焦点三 与方 角形 双曲线S元-PFPE,sm-。(其中∠R,PF 程 tan 2 178 附录高中数学常用公式及结论 续表 对于抛物线y=2x(p>0),AB=,十十p=2(a为直线AB倾 sin a 焦点弦 斜角)，yy2=一p2,x1x2= 4· 通径 椭回、双曲线通径为2，抛物线通径为2办 圆 |AB-1十k1x1-2=√(1+b2)[(十x2)2-4x1x2J 曲 弦长公式 1AB1=1+1y-=/(1+点)[(0y+)2-4] 与方程 总体中第1层和第2层包含个体数分别为M,N,抽取的样本中包含个体 分层抽样 数分别为m,则贤为米 总体百 含n个数据的第p百分位数：i=n×p%, 分位数 i为整数，则为第i项与第i十1项数据的平均数， i不为整数，则为第i+1项数据 方差 =[x-+-)++红，-)门 标准差 )+(z-x)2+…十(z 计 经验回 归方程 y=bx+a,其中 (r,-x2 =1 a-y-bx 排列数公式 n! A=n(n-1)(n-2(n-m+1)=(m”m,m∈N,且m≤n) CnnDea 2)..m n! 组合数公式 A 1X2X…Xm m! Gn-mn,meN,且≤. 注规定C=1 组合数的 (1)Cw=C%m(m,n∈N*,且m≤n); 原理 两个性质 (2)C+C”-1=Cm1(m,n∈N,且m≤n) 馨 公式(a十b)”=Ca"+Ca-1b+…十Ca-b+…十Cb"(n∈N*)叫作二 二项式定理 项式定理 通项：T+1=Cab 各二项式系数的和：C十C十C%+…十C十…十C=2 二项式系数 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C”十C十C +…=C十C%十C十…=2-1 179 艺考生文化课成功方案 续表 古典概型的概 P(A)=A包含的基本事件的个数 率计算公式 基本事件的总数 P(A)≥0：P(2)=1;P()=0; 若事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)十P(B): 概率的基 若事件A与事件B对立，那么P(B)=1一P(A): 本性质 若A二B,那么P(A)≤P(B): 若A,B是一个随机试验中的两个事件，那么P(AUB)=P(A)十P(B) P(A∩B). 事件A与事件B相互独立台P(AB)=P(A)P(B) 条件概率与 P(BIA)= P(AB) P(A) 全概率公式 P(B)=P(A:)P(BIA, 二项分布 若XB(,p),则(X=k)=C(1-)”-(k=0,1,2,…,n) 原 离散型随机变 (1)p:≥0(i=1,2,…,n); 量的分布列的 两个性质 (2)p1十p2十…十p:十…十p,=1 率 IE)=aA+A十+zp.-2P: 数学期望 (2)E(a.x+b)=aE(x)+b; 及性质 (3)若x~B(n,),则E(x)=np (④)若X服从超几何分布，则E(x)= N -np. (1)D(X)=(x1-E(X)p1+(x2-E(X)2p2十…+(x,-E(X)2pn= 方差及 (-(X); 性质 (2)D(aX+b)=a2D(X); (3)若X~B(n,),则D(x)=(1一). 正态密度函数：f)=1e“； 正态分布 0√2元 若X~N(,G2),则E(X)=4,D(x)=g2. 180