第9章 第2节 用样本估计总体-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第九章 统计与统计案例 第二节 用样本估计总体 教材梳理 (2)方差和标准差 >>>>>> 方差和标准差反映了数据波动程度的大小 知识点1常用统计图表 ①方差： (1)频率分布表 ②标准差： ①含义：把反映 的表格称为频 率分布表， 1[(x1一x)2+(x2-x)2十+(x-x)2] 1 ②频率分布表的画法步骤： 第一步：求 ,决定组数和组距，组距 诊断自测 ④ 极差 组数 思考辨析 第二步： 通常对组内数值所在区间取 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） 左闭右开区间，最后一组取闭区间. 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表 (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述 (2)频率分布直方图：能够反映样本的频率分布 了一组数据的集中趋势， ( 规律的直方图！ (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越 横轴表示样本数据，纵轴表示 ,每个 集中 () 小矩形的面积表示样本落在该组内的 (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大， 各小矩形的面积和为1. 表示样本数据落在该区间的频率越大() (3)频率分布折线图：将频率分布直方图中各相 邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得 (4)在频率分布直方图中，最高的小长方形底 到频率分布折线图， 边中点的横坐标是众数， ( 知识点2样本的数字特征 教材衍化 (1)众数、中位数、平均数 2.(25一26高二下·河北邯郸·期末)某同学 数字特征 样本数据 频率分布直方图 记录了以下数据，分别为12,10,13,11,6,8,16， 14,则该组数据的第80百分位数为( 出现 的 取最高的小矩形底 众数 数据 边中点的横坐标 A.10 B.13 C.13.5 D.14 把频率分布直方图 将数据按大小依次排 划分为左右两个面 3.(2026·湖北武汉·高一统考期末)一组数据 列，处在 中位数 积相等的部分，分 按从小到大的顺序排列为1、2、4、4、4、x、7、 界线与x轴交点的 横坐标 8,8,9,若该组数据的中位数是众数的倍， 每个小矩形的面积 则x为 样本数据的算术平 平均数 乘小矩形底边中点 均数 A.4 B.5 的横坐标之和 C.6 D.7 163 艺考生文化课成功方案 考题体验 [自主解答] 4.(多选题)(2026·常州调研)甲、乙两人在 次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计 表如下表所示， 甲 环数 4 5 6 8 6 9 频数 下列说法正确的有 ( [解题心得]一般用频率分布直方图反映 A.甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 样本的频率分布，从而对总体的频率分布作出 B.甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数 估计.其具体步骤如下： C.甲成绩的方差小于乙成绩的方差 (1)将数据分组，确定合适的组距，列出频 D.甲成绩的极差等于乙成绩的极差 率分布表，本题中已经给出频率分布表； 典例精讲 (2)明确纵横轴的意义，纵轴表示害频 >>>>>> [例1](25一26高一下·黑龙江哈尔滨· 率= 样本容量，横轴表示样本数据，画出直 频数 期末)某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从 方图； 中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花 (3)直方图中每一个矩形的面积是样本数 纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得 据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面 积之和等于1，即频率之和为1，由此可以估计 数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图 样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体 如图所示， 的数字特征 频率 [例2]某良种培育基地正在培育一种小 0.06 组距 0.05 麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进 0.04 0.03 行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩 0.02 0.01 产数据（单位：千克）如下： 0 ■■ 510152025303540长度/mm 品种A:357,359,367,368,375,388,392,399, (1)估计此批棉花纤维长度的众数； 400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430, 434,443,445,445,451,454 (2)估计此批棉花纤维长度的下四分位数 品种B:363,371,374,383,385,386,391, 和中位数；（保留整数） 392,394,394,395,397,397,400,401,401,403, (3)估计此批棉花纤维长度的平均数.（保 406,407,410,412,415,416,422,430 留整数) (1)用茎叶图表示品种A、B的亩产数： [思路点拨](I)由众数的定义即可求解； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (2)由百分位数、中位数的定义即可求解； (3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩 (3)由平均数的定义即可求解. 产量及其稳定性进行比较，写出统计结论， 164 第九章统计与统计案例 画茎 [自主解答] [思路点拨] 确定茎→确定叶 叶图 观察A、B的 作出结论 平均值、方差 [自主解答】 [解题心得]茎叶图较好地保留了原始数 据.所以可以帮助我们分析样本数据的大致概 率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字 特征 [例3](25一26高一下·吉林长春· 期末)某所学校为了解高三年级学生数学第二 次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成 [解题心得]频率分布直方图与众数、中 绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如 位数、平均数的关系 下频率分布直方图： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标为 0.020频率/组距 众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积 0.010 和是相等的 0.005 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等 0.003 于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以 0507090110130150分数 小长方形底边中点的横坐标之和 (1)求a的值： (2)求这50名学生的数学成绩的第80百 高考再现 >>>>>> 分位数； (3)根据频率分布直方图，估计这所学校高 1.(2026·全国I卷)样本数据6,8,4,5,12的 三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分. 中位数为 ( [思路点拨](1)算出每一组的频率，根据 A.5 B.6 频率之和为1求解a的值； C.8 D.9 (2)确定第80百分位数所在区间，列方程 2.(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16， 求解即可； 20的平均数为 () (3)根据求频率分布直方图平均数的公式 A.8 B.9 求解平均分即可」 C.12 D.18 165 艺考生文化课成功方案 3.(多选题)下列统计量中，能度量样本x1,2,…, 整理如下： 工，的离散程度的是 甲分厂产品等级的频数分布表 A.样本x1,x2,…,xn的标准差 等级 A B c D B.样本x1,x2,,xm的中位数 频数 40 20 20 20 C.样本x1,x2,…,xm的极差 乙分厂产品等级的频数分布表 D.样本x,x2,…,x,的平均数 4.(全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家 庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产 直方图： 品为A级品的概率； ↑频率/组距 (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产 品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选 0.20 哪个分厂承接加工业务？ 0.14 0.10 0.04 0.02 02.53.54.55.56.57.58.59.510.511.512.513.514.5收人/万元 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确 的是 () A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的 农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超 过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收 入介于4.5万元至8.5万元之间 5.已知一组数据4,2a,3一a,5,6的平均数为 4,则a的值是 6.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品 (单位：件)按标准分为A,B,C,D四个等级. 加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品， 厂家每件分别收取加工费90元，50元，20 元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失 费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工 业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂 加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个 分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级， —166 第九章统计与统计案例 7.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生8.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检 产情况，随机调查了100个企业，得到这些企 验新设备生产产品的某项指标有无提高，用 业第一季度相对于前一年第一季度产值增长 一台旧设备和一台新设备各生产了10件产 率y的频数分布表 品，得到各件产品该项指标数据如下： y的 -0.20, [0, [0.20, [0.40 [0.60 旧设 9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 分组 0 0.20) 0.40) 0.60) 0.80) 备 企业数 2 24 53 14 7 新设 10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 备 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； 平均数分别记为x和y,样本方差分别记为 (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差 s和s. 的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表).（精确到0.01） (1)求x,y,s,s2; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值 附：√J74≈8.602， 较旧设备是否有显著提高（如果y一x≥ +,则认为新设备生产产品的该项指 210 标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为 有显著提高)， 提醒：请完成课时作业 167典例精讲 [例1][自主解答]总体中个体数较小，用抽签法 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30： 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小 纸条上，揉成小球状，制成号签： 第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌； 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的 号码： 第五步，找出和所得号码对应的篮球」 [例2][自主解答]用分层抽样方法抽取。 具体实施抽取如下：(1)20：100=1：5， =2,29=14,20 :10 4 ∴.从副处级以上干部中抽取2人，从一般千部中抽取14人， 从工人中抽取4人 (2)因副处级以上千部与工人的人数较少，他们分别按1一10 编号与1~20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人：对 一般千部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表 法抽取14人. (3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20 的样本」 高考再现 1.[解析]由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学 生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且 每组抽到的学生号构成等差数列{an〉，公差d=10,所以an 6+10n(n∈N*),若8=6+10n,解得n= 5,不合题意；若 200=6+10n,解得n=19.4,不合题意：若616=6+10n,则 n=61,符合题意；若815=6十10n,则n=80.9,不合题意.故 选C. [答案]C 2.[解析]本题考查统计数据的比例分布.该校60%的学生喜 欢足球，82%的学生喜欢游泳，这两组数据包含既喜欢足球 又喜欢游泳的学生，而96%的学生喜欢足球或游泳，则该校 既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 60%+82%一96%=46%.故选C [答案]C 3.[解析]由题可知x=十2十十工 y=当十y+…+业=西+x+…+五+c=十c, 77 77 因为c≠0，所以x≠y,所以A错，若x1x2,…x的中位数 为x6,因为y=x:十c,所以y,y2,…,yw的中位数为y% xk十c≠xk,所以B错； 1y2…,y的标准差为3y √(y1-y)2士(y2-y)2+…+（y一y)2= 1 √[(x1十c)-(x+c)]+[(x2十c)-(x十c)]++[(x十c)-(x十c)] A-2)2+(m-)2++(,-=,所以C正确： 设样本数据x1x2,…,x,中最大为x,最小为x1,因为y: c十c,所以样本数据1，y2,…,ym中最大为y,最小为y1 极差为yn一y1=(x十c)一(x1十c)=x一x1,所以D正确. 「答案1CD 4.[解析]在样本中，仅阅读过《西游记》的学生人数为90一80 =10,又由既阅读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数 为60，得阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70，所以在 样本中，阅读过《西游记》的学生人数所占的比例为00 70 0.7,即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数 比值的估计值」 [答案]C 5.[解](1)由题意，数据的最大值为216.93，最小值为206.78， 则极差为216.93一206.78=10.15： 数据中间两数为209.35与210.78， 则中位数为209.35210.68=210.015. 2 故极差为10.15，中位数为210.015. 3 (2)由题意，数据共10个，211以上数据共有4个， 故设事件A=“恰有2个数据在211以上”， 则PA)=C:C_3」 C010 故拾有2个数据在21以上的概率为0： 3 (3)由题意，成绩的平均数 20678+207.46+20795+209.34+209.35+21068+213.73+214,84+216.93+216.93 =211.399, 由直线y=一0.311x十b过(2006,211.399)， 则b=211.399+0.311×2006=835.265, 故回归直线方程为y=-0.311.x十835.265. 当x=2028时，y=-0.311×2028+835.265=204.557≈ 204.56. 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 第二节用样本估计总体 教材梳理 知识点1 (1)0总体频率分布②极差分组(2)频率 组距 频率 知识点2(1)次数最多最中间位置的一个数据（或最中间两 个数据的平均数)(2)2=1[(-x)2十(x2-x)2+…十 (x-x)2] 诊断自测 1.[解析](1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反 映了数据的集中趋势. (2)错误，方差越大，这组数据越离散 《③)正确，小短形的面积=组距X须鞋=频率，一 [答案](1)/(2)×(3)/(4)/ 2.[解析]根据定义，这些数据由小到大的排序为6,8,10,11， 12,13,14,16,因为8×80%=6.4，所以第80百分位数为第7 个数14.故选D. [答案]D 3.[解析]从小到大排列数据为：1、2、4、4、4、x、7、8、8、9,所以 众数为4，中位数为4，该组数据的中位数是众数的号倍， :告=寻×4=6，故选C 2 [答案]C 4解折1由表中载据，得x甲=吉×(4十5+6+7+8)=6， x2=号X(5X3+6+9)=6,所以xp=x乙，A错误：甲成绩 的中位数是6，乙成绩的中位数是5，所以甲成绩的中位数大 于乙成绩的中位数，B错误；吊=5×[(4-6)2+(5-6)2十 (6-6)2+(7-62+(8-6)2]=2,元=号×[3×(5-6)2+ (6-6)2+(9-6)2]=2.4,所以昂<2，C正确；甲成绩的极 差为8一4=4，乙成绩的极差为9一5=4，所以甲成绩的极差 等于乙成绩的极差，D正确 [答案]CD 典例精讲 [例1][自主解答](1)由图可知，区间[20,25)对应的矩形 最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为20十25 22.5mm. (2)因为前两组的频率之和为0.01×2×5=0.1<0,25，前三 组的频率之和0.1十0.04×5=0.3>0.25， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间[15,20)， 且为15+0250,1=18.75≈19mm, 0.04 因为前三组的频率之和0.3<0.5，前四组的频率之和0.3十 0.06×5=0.6>0,所以估计此批棉花纤维长度的中位数在 区间[20,25)，且为20+0.503≈23mm 0.06 6 (3)估计此批棉花纤维长度的平均数为7.5×0.05+12.5× 0.05+17.5×0.2+22.5×0.3+27.5×0.25+32.5×0.1+ 37.5×0.05=23.25≈23mm. [例2][自主解答](1) A B 97353 873614 537356 838124457 92397 5040011367 542410256 7331422 400430 55344 4145 (2)茎叶图保留了原始数据，所有的数据信息都可很容易的 从表中获得 (3)①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高；②品种A 的亩产标准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性 较差。 [例3][自主解答](1)分数在[50,70)的学生频率：0.003× 20=0.06, 分数在[70,90)的学生频率：a×20=20a, 分数在[90,110)的学生频率：0.02×20=0.4， 分数在[110,130)的学生频率：0.01×20=0.2， 分数在[130,150]的学生频率：0.005×20=0.1， 频率之和为1，故0.06+20a+0.4十0.2+0.1=1，即20a 0.24,解得a=0.012,故a=0.012. (2)因为0.06+0.24+0.4=0.7<0.8,0.06+0.24+0.4+ 0.2=0.9>0.8,所以这50名学生的数学成绩的第80百分位 数在[110,130)内，设为x,则0.7+(x一110)×0.01=0.8， (x一110)×0.01=0.1，x-110=10,解得x=120,故这50名 学生的数学成绩的第80百分位数为120. (3)这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分 为：0.06×60+0.24×80+0.4×100+0.2×120+0.1×140 =3.6+19.2+40+24+14=100.8 高考再现 1.[解析]将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数 为6. [答案]B 2.[解析]样本数据2,8,14,16,20的平均数为 2+8+14+16十20_60=12.故选C 5 [答案]C 3.[解析]由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散 程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋 势：由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度：由平均数 的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势.故选AC [答案]AC 4.[解析]由频率分布直方图，有0.02十0.04=0.06=6%，故 A正确；由频率分布直方图，有0.02×3十0.04=0.10= 10%,故B正确：由频率分布直方图，有0.10十0.14十0.20× 2=0.64=64%,故D正确；故选项C错误 [答案]C 5.[解析]由题意得4十2a+(3-)+5+6=4,解得a=2. 5 [答案]2 6.[解]本题考查频数分布表、由频率估计概率及样本的数字 特征. 34 (1)由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为把 =0.4; 乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 28 100 =0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布 表 利润 65 3 -5 -75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 65×40+25×20-5×20-75X20=15. 100 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 -70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 70×28+30×17+0×34-70×21=10. 100 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接 加工业务 7.[解](1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企 业中产值增长率不低于40%的企业频率为14十7=0.21 100 产值负增长的企业频率为：100×100%=2%. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低 于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%. (2)y=100 -0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+ 0.70X7)=0.3,2=2m:(y-y)2 I- =[(-0.40)2×2+(-0.202×24+02×53+0.202× 14+0.402×7]=0.0296 s=√0.0296=0.02×w74≈0.17， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别 为0.30,0.17. [解](1)由表中的数据可得： x=9g8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7 10 =10.0, y-101+04+10.1+00+10.1+0,3+10.6+10.5+10,4+10.5 10 =10.3, 号=0[(9.8-10.02+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+ (10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0 10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2] =0.036, 号=10.1-10.3+10.4-10.302+(10.1-10.32+ (10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6 10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2] =0.04. (2)由(1)中的数据可得y-x=10.3-10.0=0.3, 3+=2心10 210 /0.036+0.04=2√0.0076， 则0.3=√0.09>2√0.0076=√0.0304，所以可判断新设备 生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.