第7章 第2节 两条直线的位置关系 点到直线的距离-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

艺考生文化课成功方案 第二节 两条直线的位置关系 点到直线的距离 教材梳理 m的值为 >>>>>> A.-2 B.1 C.-1 D.2 知识点1两条直线的交点 3.(2026·天津红桥·模拟预测)直线y=x十1 (1)交点：直线L1:A1x十By十C=0和l2:A2x 的倾斜角为 () 十By十C,=0的公共点的坐标与方程组 Ax+BIy+C=0, 的解一一对应， A至 c n呀 A2x+B2y+C2=0 考题体验 (2)相交台方程组有 ,交点坐标就是 4.(2026·河南新乡·高二统考期末)已知直线 方程组的解 l1:x+ay+1=0,l2:x+2y-2=0,若l1⊥L2, (3)平行台方程组 则a= ) (4)重合台方程组有 A.2 B.-2 知识点2 三种距离 三种距离 条件 公式 c n 两点间 A(x1,y1),B(x2 5.（2024·淮南二模)设λ∈R,则“λ=-3”是 IABI= 的距离 y2) “直线2λx+(-1)y=1与直线6.x+(1-λ)y P(xo,y)到直线 =4平行”的 点到直线 的距离 Ax+By+C=0的 d A.充分不必要条件 距离为d B.必要不充分条件 直线Ax+By十C C.充要条件 两平行线 =0到直线Ax十By D.既不充分又不必要条件 d 间的距离 十C,=0的距离为d 典例精讲 >>>>> 诊断自测 >>>>>> [例1] (1)(25-26高二下·河南濮阳· 期中)经过点（一1,2）且与直线x+2y一7=0垂 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） 直的直线方程为 (1)当直线11和l2的斜率都存在时，一定有 A.x-2y-5=0 B.2x-y-4=0 k1=k2→L1∥L2 ( C.x-2y+5=0 D.2x-y+4=0 (2)如果两条直线1与2垂直，则它们的斜 (2)(2026·宁夏中卫·三模)若直线l1: 率之积一定等于一1. ( (m-2)x十3y+3=0与直线L2:2x+(m-1)y (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解， +2=0平行，则m= 则两直线相交， ( A.4 B.1 (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小 C.1或-4 D.-1或4 值就是点到直线的距离. () [思路点拨](1)利用两直线垂直得出所 教材衍化 求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果 2.(2026·天津红桥·模拟预测)若直线1：x (2)根据直线一般方程的平行关系求m的 y+1=0与直线2：x+my=0互相平行，则值，并代入检验即可. 116 第七章平面解析几何 [自主解答] (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0 (B≠0)的对称点A'(m,n), 0=-1, 则有 m-a A· a+m+B· 2 b+n+C=0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直 [解题心得](1)当直线的方程中存在字 线的对称问题来解决， 母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况， [例3]已知三条直线：：2x-y+a=0 也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要 (a>0),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0, 注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直 接利用直线方程的系数间的关系得出结论.设 且1与么的距离是调 (1)求a的值； L1:A1x+B1y+C=0,l2:A2x+B2y+C2=0. (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三 ①L1∥L2→AB2一AB=0且BC-B,C≠0. 个条件： ②L1⊥L2台A1A2+BB2=0. ①点P在第一象限； [例2]已知直线l:3x一y+3=0,求： (1)点P(4,5)关于l的对称点； ②点P到4的距离是点P到，的距离的； (2)直线x一y一2=0关于直线l对称的直 ③点P到L的距离与点P到l,的距离之比 线方程； 是2：5. (3)直线1关于(1,2)的对称直线 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由. [思路点拨](1)直线l为线段PP'的垂 [自主解答] 直平分线，利用垂直关系，中点坐标公式解方程 组求出P点坐标；(2)转化为点关于直线的对 称；(3)转化为点关于点的对称， 「自主解答 [解题心得](1)要熟记点P(xo,y%)到直 线l:Ax十By十C=0(其中A、B不同时为0)的 距离公式d=A。+B+C √WA+B (2)在应用平行线间的距离公式求两条平 行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在 [解题心得]解决对称问题的方法 两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对 (1)中心对称 应相等的条件下，才能应用该公式， ①点P(x,y)关于Q(a,b)的对称点P(x',y) 如本例中求两条直线2x一y十a=0与 满足女2a- 一4x十2y十1=0间的距离时，需将前一条直线 y'=2b-y. 化为一4x+2y一2a=0,或将后一条直线化为 ②直线关于点的对称可转化为点关于点的 对称问题来解决， 2x一y一2=0后，再应用平行线间的距离公式 117 艺考生文化课成功方案 高考再现 已知双周线C若苦-1。>0,6>0)的岗 >>>>>> 心率为√2，则点(4,0)到C的渐近线的距 1.(全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都 离为 相切，则圆心到直线2x一y一3=0的距离为 ( A.2 B.√2 A号 R2 C36 n c D.2√2 2.(湖南·高考真题)点(0，一1)到直线3x一4y 4.(2026·上海卷)在平面直角坐标系中，点(1， +1=0的距离为 ( 2)到直线4x一3y十5=0的距离为 A号 c D.1 提醒：请完成课时作业 第三节 圆的方程 教材梳理 ②(x-a2)+(y-b)2 r2台点在圆外： >>>>>> ③(xo-a)2+(y-b)2 x2台点在 圆内 知识点1 圆的定义及方程 思考：点M(xoyo)与圆x2+y2+Dx十Ey十F 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 =0的关系如何确定？ 标准(x-a)2+(y一b)2 圆心C:(a,b) 方程=2(>0) 半径：x z2+y2+Dx+Ey 圆心： 般 +F=0 方程 D2+E2-4F>0) 半径：，-D+E-4E 思考：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是什么？ 诊断自测 >)))>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“X”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.() 知识点2点与圆的位置关系 (2)方程x2+y2=a2表示半径为a的圆. (1)理论依据： 么 的距离与半径 () 的大小关系 (3)方程x2+y2+4m.x-2y+5m=0表示圆. (2)三种情况 () 圆的标准方程(x一a)2十(y一b)2=2,点 (4)方程Ax2+Bxy十Cy2+Dx+Ey+F=0 M(o,yo), 表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0,D+ ①(x。-a)2+(y。一b)r2台点在圆上； E-4AF>0. () 118(3)AB=(4,3),AC=(6,-8), AB 设m 则A=m+n)-(-），所以c=(号-吉)为AD的方 5 向向量，则kD= 子，所以AD:y-4= (x 5 1),整理得x十7y一29=0. [例3][自主解答]依题意，当m≠0时， 设l1:y=m.xl2:y= [y=mr =六+1消去m得+-y=0 由 当m=0时，l1与l2的交点为(0,0). 经验证，符合x2十y2-y=0 点P的桃蓬方程为：2十(-合）》=子，所以点P的软 遮是以(0，）为圆心，以号为丰径的圈，即存在定点Q(0, 之)，使得1PQ为定值 高考再现 1.[解析]由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k=tan30° -5,所以直线1与x轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式 3 方程可得：y一0=5(r-1D,即一5y一1=0.故选D 3 [答案]D 2.[辐新们]因为方程组什y2有无安解，片以直线十 my=2与直线m.x十16y=8重合，所以1X16=m2且1×8 2×n,解得m=4. [答案]4 3.[解析]本题考查直线与圆的位置 关系.由题意可知⊙M:(x一1)2十 (y一1)2=4，所以圆心M(1,1),半径 为2.因为PA,PB是⊙M的切线，所 以PA⊥AM,PB⊥BM.由圆的对称 -3-21 性可知PM⊥AB,所以S四边形PAMB= 号IPMIIABI-2S△mw=|PAILAMI, 所以PM·|AB|取得最小值时， PA·AM取得最小值.又AM=2为定值，所以当PA 最小时，PM·|AB|最小.因为PA|=√IPM2一AM2 =√PM2-4,所以当|PM取得最小值时，|PA|最小又 因为P为直线2x十y十2=0上的动点，所以当PML1时， PM取得最小值，此时直线PM的方程为y一1=合一1)， 与直线1联立，可得P(一1,0). 法一：由圆的切线结论知切，点弦AB所在直线方程为 (-1-1)·(x-1)+(0-1)(y-1)=4,即2x+y十1=0.故选D. 法二：以线段PM为直径的圆的方程为(x一1)(x十1)十 y(y-1)=0,整理得x2十y2-y-1=0,与⊙M的方程x2十 y2-2x-2y-2=0作差可得直线AB的方程为2x十y十1=0. 故选D. [答案]D 4.[解析]因为区域{(x,y)|1≤x2+ y2≤4}表示以O(0,0)圆心，外圆半径 R=2,内圆半径r=1的圆环，则直线 OA的领斜角不大于平的部分如阴影 39 所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON=平，结合对称 3πX 性可得所求概率P= 4=1 3π =4故选C [答案]C 5.[解析]点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程 为x2十y2=5,设所求直线为y-2=k(x-1),即kx-y-k十 2=0,圆心到直线的距离d=一+2=5，解得k=一 √k2+1 2, 直线为-2x一y十2 5 =0,即x十2y-5=0. [答案]x十2y一5=0 第二节两条直线的位置关系 点到直线的距离 教材梳理 知识点1(2)唯一解(3)无解(4)无数组解 知识点2√(-x2)2+(y1-2)2 A.xo+Byo+C √/A2+B2 IC-C2 √/A2+B2 诊断自测 1.[解析](1)两直线11，l2有可能重合. (2)如果11⊥12，若11的斜率k1=0,则12的斜率不存在 [答案](1)×(2)×(3)/(4)/ 2.L解析]由题意，1×n一（一1）×1=0，解得n=一1，此时 l1:x一y十1=0，l2:x一y=0,满足题意.故选C [答案]C 3.[解析]直线y=x十1的斜率为1，则直线y=x十1的倾斜 角为工.故选A [答案]A 4.[解析]由直线l1:x十ay十1=0，l2:x十2y一2=0，l1⊥l2, 可得1×1+2a=0,解得a= 上，故选D. [答案]D 5.[解析]当入=一3时，两条直线的方程分别为6x十4y+1=0, 3x十2y一2=0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λX (1一入)=一6(1一入)，所以入=一3或入=1，经检验，两者均符 合，综上，“入=一3”是“直线2λx十（入一1）y=1与直线6x十 (1一入)y=4平行”的充分不必要条件，故选A 「答案1A 典例精讲 例1门[自主解答](1)由题意可知x十2y一7=0的斜率为 k=一 合，所以与其套直的直线斜率为及=2，由点针式可知孩 直线方程为y=2(x十1)十2→2x-y十4=0，故选D. (2)依题意得，(m-2)(m-1)=2×3, 得m2-3n-4=0,解得m=4或m=-1, 若n=4时，直线11：2x十3y十3=0与直线l2:2.x+3y+2=0 平行，符合题意； 若m=一1时，直线11：x一y-1=0与直线l2:x一y十1=0 平行，符合题意； 综上所述：n=4或m=一1.故选D, [答案](1)D(2)D L例2][自主解答](1)设P(x,y)关于直线1：3x-y+3=0 的对称点为P(x,y), :kp·k=-1,即二×3=-1. T-I ① 又PP'的中点在直线3x一y十3=0上， 3x-yy+3=0. 2 ② x'= -4x十3y-9 5 ③ 由①②得 y=3x十4y+3 ④ 26 把x=4,y=5代入③④得x=-2,y=7, .点P(4,5)关于直线1的对称，点P'的坐标为（一2,7） (2)用③④分别代换x一y一2=0中的x,y, 得关于（对称的直线方程为 二4十3y-9_3z+4y+3-2=0,化简得7x+y十22=0. 5 (3)在直线1：3.x一y十3=0上取，点M(0,3), 关于(1,2)的对称，点M(x,y), 9=1x=2,3=2,y=1M2,1. 2 1关于(1,2)的对称直线平行于1，∴.k=3, .对称直线方程为y一1=3×(x一2)， 即3x-y-5=0. [例3][自主解答](1)：l:4.x-2y十2a=0(a>0), l2:4x-2y-1=0, …两条平行线（与2间的距离为d=2a+1 2√5 由已知，可得2a十1山_7⑤ 2√5 10 又a>0,可解得a=3. (2)设点P的坐标为(x,y),由条件①，可知x>0,y>0. 由条件②和③，可得 2.x-y+3_4.x-2y-1 √5 4√5 5.l2x=y+8-2.lz+x山 5 √2 化简得42x-J十31=14r-2-1 12.x-y+3|=1x+y-1| 于是可得，4x+y-1|=|4x-2y-1 也就是4(x十y一1)=4x一2y一1， 或4(x+y-1)=-4.x+2y+1, 解得y=7或8.x十2y-5=0., 当y=号时，代入方程2x-y+3到=x十y一1， 解得x=-3<0,或x=-吕<0均舍去. 3 由/8.x+2y-5=0 |2.x-y+3|=|x+y-1' 化商释。”成计。5-0。 1 2 x=-<0 解得 舍去) 37 31 \y=18 \y一6 即存在满足题设条件的点P,共坐标为（日韶）】 高考再现 1.[解析]本题考查圆的方程、性质以及点到直线的距离公 式.因为过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，所以可设圆心坐 标为(a,a)(a>0),且圆的半径r=a,所以圆的标准方程为 (x-a)2+(y一a)2=a.将点(2,1)的坐标代入圆的方程，得 (2-a)2+(1-a)2=a2,得a2-6a十5=0，解得a=1或 a=5,所以圆心坐标为(1,1)或(5,5).故点(1,1)到直线2x y一3=0的距高为2X11二3-25，点(5,5)到直线2x W22+12 5 一y一3=0的距离为2X5-53到=25.故选B √/22+12 5 「答案1B 2.[解析]点(0，一1)到直线3x一4y十1=0的距离为d= 3X0-4x1十1=；1.故选D √32+(-4)2 [答案]D 3.[解析]由题意，得e=￡=2，c2=a2十2，得a2=b2.又因 为a>0,b>0,所以a=b,渐近线方程为x士y=0,点(4,0)到 渐近线的距离为生=2√2.故选D. √2 [答案]D 4.[解析]根据，点到直线的距离公式可得 d=14X1-3×2+51= /42+(-3)2 导故答案为子 [答案]3/0.6 5 第三节圆的方程 教材梳理 知识点1 (9) 思考：提示：方程Ax2+Bxy十Cy2十Dx十Ey十F=0表示圆的 充要条件是A=C≠0，B=0,且D2+E2一4AF>0. 知识点2(1)点圆心(2)①=②>③ 思考：提示：若x名十y呢十Dx0十E%十F=O台点在圆上；若x哈十 后十Dxo十E0+F>0台点在圆外：若x+哈+Dx0+Eyo+ F<0台点在圆内. 诊断自测 1.[解析](2)当a=0时，x2十y2=a2表示点(0,0)；当a<0 时，表示半径为a的圆. (3)当(4m2+(-2)2-4X5m>0,即m<或m>1时表 示圆. [答案](1)/(2)×(3)×(4)/ 2.[解析]把圆C:x2十y2-2y一3=0的方程化为标准方程为 x2十(y一1)2=4，所以圆C的圆心C的坐标为(0,1)，因为圆 C:x2十y2一2y一3=0关于直线1对称，则直线1一定过圆心 C(0,1).故选A. [答案]A 3.[解析]设所求圆的方程为x2十y2十Dx十Dy十F=0, 因为该圆过，点P(3,1),(Q(1,一1)， 所以十0P。解得D=P=-2· 所以该圆的方程为x2十y2一2x一2y一2=0.故选A [答案]A 4.[解析]由圆M的一般方程为x2十y2一8x十6y=0,则圆 M:(x-4)2+(y十3)2=52，故圆心为(4，-3)，半径为5，则 AC正确；令x=0,得y=0或y=一6，弦长为6，故D正确； 令y=0,得x=0或x=8,弦长为8，故B错误. [答案]ACD 5.[解析] 由题意知PA=(2-x,一y),PB=(-2-x,-y), 所以PA·PB=x2十y2一4，由于点P(x,y)是圆上的点，故其 坐标满足方程x2十(y一3)2=1，故x2=一(y一3)2十1，所以 PA·PB=-(y-3)2+1十y2-4=6y-12.由圆的方程 x2+(y-3)2=1,易知2≤y≤4，所以当y=4时，PA·PB的 值最大，最大值为6×4一12=12. [答案」12 典例精讲 [例1][自主解答]因圆心在直线x十y=4上，设圆心C坐 标为(a,4一a), 圆C标准方程为：(x一a)2十(y十a一4)2=r2, 66 a=2 解得：7=2后 所以圆C的标准方程为(x一2)2十(y一2)2=20. [答案](x-2)2+(y-2)2=20 [例2][自主解答](1)，M的坐标为（√3,1）， .M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程 为(x-3)2十(y一1)2=1. 设圆N的半径为R,连接MA,NC,OM,则MA⊥x轴，NC x轴， 由题意知：M、N,点都在∠COD的平分线上， .O,M,N三，点共线.由Rt△OAMORt△OCN可知， 7