2.5.1 第1课时直线与圆的位置关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

D项.圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x-y+ 2=0不过圆心，故不正确 4.x2+y=4设M(x,y),则1MA1=√(x-1)2+y2,IMB1= 可器二器分并 化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4. 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 210d<rd=rd>r4>04=0A<0 预习自测 1.B圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离d=51 /32+42 1.d=r,∴.直线与圆相切. 2.30由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1 -0,圆600.0)到省线的距资为4：1月号，则有 11=2-日=2V87。m 题型探究提技能 例1：【解析】解法一：联立直线和圆的方程组成方程 .「y=x+b, 组2+=2， 整理得2x+2bx+b2-2=0,△=4(4-b2) (1)当△=0，即b=±2时，直线和圆仅有一个公共点，圆与直 线相切； (2)当△>0，即-2<b<2时，直线和圆有两个公共点，圆与直 线相交； (3)当△<0，即b<-2或b>2时，直线和圆没有公共点，圆 与直线相离！ 解法二：圆x2+y2=2的圆心(0,0)到直线y=x+b的距离d =,圆的半径为=2 (1)当d==2,即6=±2时，直线与圆相切： 2 (2)当d=b <2,即-2<b<2时，直线与圆相交： (3)当d=>万，即6<-2或6>2时，直线与圆相离。 跟踪训练1：【解析】解法一：将已知圆的方程化为标准方程： (x-a)2+(y+1)2=a. 圆心为(a,-1),半径为√a,则圆的圆心(a,-1)到直线x+y -2a+1=0的距离为d=1a-1-2a+1山=lal=a √2 22 当疗=石，即a=2时，直线和图指切： 当疗>石，即0>2时，直我和圆指离： —22 当行<a,即0<a<2时，直线和圆相交。 解法二：将直线方程与圆的方程联立成方程组得 rx+y-2a+1=0,① x2+y2-2ax+2y+a2-a+1=0.② 将①代入②，得2x2-6ax+5a2-a=0. 4=(-6a)2-4×2×(5a2-a)=-4a2+8a=-4a(a-2), 当a=2时，△=0，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆 相切， 当0<a<2时，△>0，直线与圆有两个公共点，此时直线与圆 相交， 当a>2时，A<0,直线与圆没有公共点，此时直线与圆相离. 例2：【解析】由于(2-1)2+(4+3)=50>1，故点M在圆外 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=(x-2), 即kx-y+4-2k=0,由于直线与圆相切， 故34-2=1，解得k=斗 √+(-1) 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 综上所述，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 跟踪训练2：【解析】解法一：·点M(2,2)在圆x2+y2= 4上， .过点M的圆的切线方程为2x+2y=4, 整理，得x+y-22=0. 解法二：如图. M22) 2 .过点M的圆的切线斜率为-1. /2 .所求圆的切线方程为y-√2=-1· (x-2). 化简，得y=22-x, 即x+y-22=0. 例3：【解析】解法一：直线x-5y+25=0和圆x2+y2=4的 公共点坐标就是方程组B+2,5=0的解 lx2+y2=4 解这个方程组，得=-5，西=0， ly=1,ly2=2. 所以公共点的坐标为(-5,1)，(0,2)， 所以直线x-√5y+25=0被圆x2+y2=4截得的弦长为 /（-5-0)2+(1-2)2=2. 解法二：如图，设直线x-5y+25=0与圆 x2+y2=4交于A,B两点，弦AB的中点为 M,则OM⊥AB(0为坐标原点)， 又10M1=10-0+25L=5. √12+(-5)2 所以1AB1=21AM1=2√T0A2-I0M产=2√22-(3)2 =2. 解法三：同解法一 x-5y+2万=0，消去x, x2+y2=4 得y2-3y+2=0, .y1+2=3,y1y2=2, 0 1AB1=√1+(3)2√(y+2)2-45=2√32-4×2 =2. 跟踪训练3：D因为直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4 截得的弦长为25，所以圆心C(2,3)到直线的距离d= √4-5)=1，所以2-=3+3！=21=1，解得k= /2+1 √+1 随堂检测重反馈 1.B“圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=10-0+山 2 2<1,直线与圆2+y=1相交，又(0,0)不在y=+1 上，直线不过圆心 2.C(5)2+(-1)2=4,点P在圆上..P为切点.切 点与圆心连线的斜率为-切线的斜率为5切线方 程为y+1=5(x-3),即3x-y-4=0. 3.x-y+5=0由圆的方程可得，圆心为P(-1,2),所以kc= 子=-1，放直线1的斜率为=1，所以直线方程为y-3= x+2,即x-y+5=0. 4.2√2设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.当弦过点 A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，：1CAI= √(2-3)2+(2-1)=2，.半弦长为√P-1CA下= 4-2=√2..最短弦的长为22. 第2课时 直线与圆的方程的应用 教材梳理明要点 预习自测 C可画出示意图如图所示，通过勾股定理 解得0D=√0C-CD=√4.52-2.7= 3.6(米) 题型探究提技能 例1：【解析】(1)以圆弧的中点0为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， y 0 圆弧 o m A B 8m 故圆心在y轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为x2+y2+ Ey=0, 易知点(4，-2)在圆上，将(4，-2)的坐标代入圆的一般方程 得16+4-2E=0,E=10. 则该圆弧所在圆的一般方程为x2+y2+10y=0. (2)把x=3代入圆的方程得y2+10y+9=0,得y=-1或y= -9(舍)， 由于隧道的总高度为6米，且6-1-0.5=4.5（米）， 因此车辆通过隧道的限制高度为4.5米. 2 跟踪训练1：D建立如图所示的平面直角 坐标系，则A(-6,-2),B(6,-2),设圆 的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),将A 点坐标代入圆的方程，则有m=10,故圆 的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4, 则x=±8，故1EF1=16(米). 例2：【解析】(1)由已知0(0,0)，A(2,0), B(4,4) 解法一：设圆C的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0,将O, A,B三点代入得 rF=0, rD=-2, 4+2D+F=0. 解得E=-6. l32+4D+4E+F=0,【F=0, .圆C的方程为x2+y2-2x-6y=0. 解法二：设圆C方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),将0， A,B三点代入得 ra2+b2=r2, xa=1, (2-a)2+(0-b)2=2,解得b=3, (4-a)2+(4-b)2=2,2=10, .圆C的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. (2)该渔船没有触礁危险.理由如下： 由已知该船初始位置为点D(2,-2√3)，且该船航线所在直 线I的斜率为3. .渔船行驶路线l:y+25=√5(x-2),即3x-y-45=0, 圆心C(1,3)到1的距离d=5-3-41=3+3E 2 2 d=3+35>r=, 2 .没有触礁危险. 跟踪训练2：【解析】以海滨城市0的位置为坐标原点0，其正 东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角 坐标系Oy,如图所示， 则A(4002,0),B(0,4002). 可得14B:x+y=400√2，圆0：x2+y2 =250000. 记从N处开始被监测，到M处监测 结束， 因为0到la8的距离为100'1=400(km), 所以IMW1=2√M02-O02=600(km), 1A1=之(AB1-1MM)=10(km）), 100=2.5(小时) 40 故经过2.5小时后该城市开始受到台风侵袭，受台风侵袭时 长为贺-15（小时）》. 随堂检测重反馈 1.D圆的方程随圆在坐标系中位置的不同而不同. 2.B以半圆直径所在直线为x轴，过圆心 且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图 所示的平面直角坐标系.易知半圆所在 的圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0)，由 图可知，当货车恰好在隧道中间行走时 0 车篷最高，此时x=0.8或x=-0.8,代人x2+y2=3.62,得y ≈3.5（负值舍去）.故选B.072 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 新课程标准解读 学科核心素养 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系 数学运算、逻辑推理 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题. 数学运算、逻辑推理 教材梳理 明要点 ●情境导入 在平面几何学习中，我们知道直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系 [提示] 如何通过直线、圆的方程判断它们的位置关系呢？ P[提示] 可以利用圆心到直线 的距离与半径比较法 或求直线与圆交点的 个数的方法来判断. 台新知初探 知识点一直线与圆的位置关系及判断 已知直线Ax+By+C=0与圆：(x-a)2+(y-b)2=2 位置关系 相交 相切 相离 图示 公共点个数 个 几何法：设圆心到直线的 距离为d=IAa+Bb+C1 [知识点反思1] √A2+B2 判 代数法从交点个数来 断 考虑，比较直观，但 代数法：由 方 计算较为繁琐；几何 Ax +By+C=0, 法 法从几何的角度来考 (x-a)2+(y-b)2=r2, 虑，方法较为简单， 消元得到一元二次方程， 是判断直线与圆的位 可得方程的判别式△ 置关系的常用方法 ●[知识点反思1] ●073 知识点二圆的弦长问题 1.几何法：如图1，直线l与圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的半径为r, 弦长为A,则有2+f=产，即=2P-正 x1,y [知识点反思2] B(x2.y2) 代数法思路简单直 接，计算较繁；几何 图1 图2 法计算简便，需要较 2.代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别 强的直观想象力. 是A(x1,y),B(x2),则AB1=√(x-x)2+(y-y2)7=W1+R1x1-x2 安一方（直线的斜率存在） =/1+ P[知识点反思2] 自预习自测 1.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线1交圆于A,B两点.若直线1的倾斜角为135°，则弦AB 的长为 题型探究提技能 题型一 直线与圆位置关系的判断 [方法总结1] 例1已知圆的方程是父+=2，直线=+么当6为何值时，圆与直线相 判断圆与直线的位置关 系有以下两种方法： 交、相切、相离？ ●[方法总结1] (1)几何法：将圆心 到直线的距离d和半 径r的大小进行比较 来讨论位置关系 (2)代数法：用圆的 方程和直线的方程联 立成方程组进行消 )跟踪训练1 元，然后用判别式来 当a(a>0)分别取何值时，直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2-2a+2y+判断，这种方法计算 a2-a+1=0相切、相离、相交？ 量较大，但具有较普 遍的意义. 074 题型二 圆的切线方程 [方法总结2] 例2过点M(2,4)作圆：(x-1)P++3)°=1的切线，求此切线的方 过圆外一点(x0,y) 程 ●[方法总结2] 求圆的切线方程的 方法： 设切线点、斜式方程为 y-yo=k(x-x0),由 圆心到直线的距离等 于牛径建立方程，求 》跟踪训练2 出值，即得切线方 已知圆的方程是x2+y2=4,求经过圆上一点M(√2，√2)的圆的切线方程. 程.若只求得一条，意 味着漏掉了斜奉不存 在那条，需要补上， 因为过圆外一点的切 线有两条 题型三圆的弦长问题 例3.求直线x-5y+25=0被圆x+了=4截得的弦长。 [方法总结3] 直线与圆相交的弦长 [方法总结3] 问题 (1)代数法：求出直线 与圆的交点坐标，利 用两点间距离公式求 弦长 〉跟踪训练3 (2)几何法：由圆的半 径r,弦心距d,弦长l, 直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为25，则直线的斜 利用勾股定理2= 率为 + 求弦长 A.3 B.±3 C 3 D.± 3 随堂检测 重反馈 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 2.圆x2+y2=4在点P(√3，-1)处的切线方程为 A.√3x+y-2=0 B.√3x+y-4=0 C.√3x-y-4=0 D.√3x-y+2=0 3.直线l与圆x2+y+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点，若弦AB的中点为C(-2,3),则直线 1的方程为 4.过点(3,1)作圆C(x-2)2+(y-2)2=4的弦，其中最短弦的长为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[21]