第2章 第10节 导数的应用-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第二章函数、导数及其应用 第十节 导数的应用 教材梳理 知识点2函数的极值 >>>>>> (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在 知识点1利用导数研究函数的单调性 点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)=0; 在(a,b)内可导函数f(x). 而且在点x=a附近的左侧f'(x) 0,右 f(x)>0→f(x)在(a,b)上为 侧(x) 0,则点a叫做函数y=f(x)的 函数 极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值， f(x)<0→f(x)在(a,b)上为 (2)函数的极大值 函数 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在 f(x)=0→f(x)在(a,b)上为 函数 点x=b附近的其他点的函数值都大，(b)=O0, [注意](1)f(x)>0(<0)是f(x)在区间 而且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右 (a,b)内单调递增（减）的充分不必要条件 侧f(x) 0,则点 (2)f(x)≥0（≤0）是f(x)在区间(a,b)内单调 叫做函数y= 递增（减）的必要不充分条件 f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极 (3)由f(x)在区间(a,b)内单调递增（减）可得 大值. f(x)≥0（≤0）在该区间内恒成立，而不是 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极 f(x)>0(<0)恒成立，“=”不能少，必要时还 小值统称为极值. 需对“=”进行检验. 思考：导函数f'(x)的零点与可导函数f(x)的 思考1：若f(x)在(a,b)内的任意子区间都不 极值点有何关系？ 恒等于零（允许个别点x,,使f(x)=0),则 f(x)≥0（≤0）是f(x)在(a,b)内递增（递减） 的什么条件？ 知识点3函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 上必有最大值与最小值， 思考2：在区间(a,b)内f(x)的大小与在(a,b) (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则 内函数y=f(x)的图象的“陡峭”和“平缓”有什 为函数的最小值， 为函数的最 么关系？ 大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最 小值 (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可 导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步 骤如下： ①求f(x)在(a,b)内的 ②将f(x)的各极值与 进行比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 39 艺考生文化课成功方案 5.(多选题)(2026·新高考8省联考)已知函数 诊断自测 >>>>>> f(x)=xln(1+x),则 A.f(x)在(0，十∞)上单调递增 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） B.f(x)有两个零点 (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增，那么一 C.曲线)y=f)在点(-司(-号)》处的切 定有f(x)>0. 线的斜率为一1一ln2 (2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x) D.f(x)是偶函数 =0,则f(x)在此区间内没有单调性.( 6.(2026·青岛检测)已知函数f(x)=sin2x+ (3)函数的极大值一定大于其极小值.( 4cosx一ax在R上单调递减，则实数a的取 (4)对可导函数f(x),若f(x)=0,则x。为 值范围是 极值点 7.(25一26高二下·湖北·期未)若函数f(x)= (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最 a.x3+3x2一x+1恰好有三个单调区间，则实 小值也不一定是极小值 ) 数a的取值范围为 教材衍化 2.函数f(x)=x2一2lnx的单调递减区间是 &.已知x=是是函数f()=x1hax+1)的极 值点，则实数a的值为 A.(0,1] B.[1,+o∞) C.(-∞，-1] D.[-1,0)U(0,1] A.e 3.(25-26高三上·湖南常德·开学考试)函 D.e 数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图 所示，则 典例精讲 >>>>>> y=f'( [例1](25一26高二下·贵州贵阳·期末) 3-2-10 已知函数f(x)=a.x2-2x-lnx. (1)若函数f(.x)在点(1，f(1)处的切线与 A.一3是函数y=f(x)的一个零点 x轴平行，求a; B.一1是函数y=f(x)的极小值点 (2)若a>0,讨论f(x)的单调性， C.一2是函数y=f(x)的极大值点 D.函数y=f(x)在区间（一3,1）上单调递增 [思路点拨](1)利用导数的几何意义，在 考题体验 点(1，f(1))处的切线与x轴平行，即f(1)=0 4.(浙江卷)函数y=f(x)的导函数y=f(x) 代入即可求解； 的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可 (2)确定函数定义域，求导确定导函数的零 能是 点，根据导数确定函数单调性即可. [自主解答] 40 第二章函数、导数及其应用 [解题心得]解题“3步骤” (2)求f(x)在区间[一1,2]上的最小值和 (1)确定函数f(x)的定义域； 最大值： (2)求导数f(x),并求方程f(x)=0 (3)写出不等式|f(x)>2的解集.（不用 的根； 说明理由) (3)利用f'(x)=0的根将函数的定义域分 [思路点拨](1)计算f'(0),f(0),然后 成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x) 根据点斜式求出方程即可； 的正负，由f(x)的正负确定f(x)在相应子区 (2)利用导数判断函数单调性，然后计算； 间上的单调性， (3)根据(2)的结果，判断函数的单调性，然 [例2]已知函数f(x)=二1-1nx 后计算可得f(-1)=2,f(1)=一2，f(-2)= 一2，f(2)=2,判断即可. (1)求f(x)在的单调区间； [自主解答] (2)求函数fx)在[是d上的最大值和最 小值（其中e是自然对数的底数）， [自主解答] [思路点拨](1)可导函数的极值点x一 [解题心得]1.熟记运用导数解决函数极 定满足f(xo)=0. 值问题的一般流程 (2)方程f(x)=k的根的个数可以看成y1 求定义域 =f(x)与y2=k两函数的交点个数. 求导数f(x) [解题心得]掌握求函数f(x)在区间 [a,b]上的最值的方法 求极值 用极值 (1)若函数在区间[a,b]上单调递增或递 解方程f'(x)=0 知f'(x)=0根的情况 减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值； 验根左右f(x)的符号得关于参数的方程（不等式） (2)若函数在闭区间[a,b们内有极值，要先 求出[a,b们上的极值，与f(a),f(b)比较，最大 极值 参数值（范围〉 的是最大值，最小的是最小值，可列表完成： (3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个 2.掌握已知函数极值点或极值求参数的2 极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此 个要领 结论在导数的实际应用中经常用到， 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件 [例3](25一26高二下·北京丰台·期末) 列方程组，利用待定系数法求解 已知函数f(x)=x3一3x. 因为导数值等于零不是此点为极值点的充 (1)求曲线y=f(x)在(0，f(0)处的切线 验证 要条件，所以利用待定系数法求解后必须 方程； 验证根的合理性 41 艺考生文化课成功方案 高考再现 6.(2026·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=xe+ >>>>>> a.x十b,曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线 方程为y=-2x十1. 1.(2026·全国I卷)已知函数f()=十2的 (1)求a,b: e'十a (2)当x>0时，f(x十m)-f(x)>m,求m 最大值为1，则a= ( 的取值范围； 月 B.1 (3)当x>0时，f(k+x)+f(k-x)>2f(k), c 求k的最小值. D.2 2.(多选题)(2024·新课标I卷)设函数f(x) =(x-1)2(x-4),则 ( A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 3.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x) =2x3一3ax2+1,则 () A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对 称轴 D.存在a,使得点(1，f(1))为曲线y=f(x) 的对称中心 4.(2025·新高考Ⅱ卷)若x=2是函数f(x) (x-1)(x-2)(x一a)的极值点，则f(0)= 5.(2026·天津卷)已知f(x)=e-号sinx 2 (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线 方程： (2)当x∈[-3，+∞)时，证明f(x)≥ 1+ 提醒：请完成课时作业 42g(x)=xe2,则g(x)=(x十1)e.当x∈(1,2)时，g'(x)>0, g(x)单调递增，所以在(1,2)上，g(.x)>g(1)=e,所以1≤e, 即a≥1=el,故选C [答案]C 6.[解析]法一：对于y=e2十x十a,其导数为y=e2十1， 因为直线y=2x十5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y'=e2十1=2，即e2=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2.x十5，可得y=2X0十5=5， 所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e2+x十a上： 所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4. 法二：对于y=e十x十a,其导数为y'=ex十1， 假设y=2x十5与y=e2十x十a的切点为(x0), (e2。+1=2 则30=2x0十5 ,解得a=4. y0=e2。+xo+a [答案]4 7.[解]因为f(1)=0,故1一m一2十0=0，故m=一1，故f(x) =x2-x-lnx,故f(x)≤x2-1即为x十lnx≥1，设s(x) x十nx,x>0,则(x)=1十1>0，故(x在(0，+oo)上为 增函数，而x十lnx≥1即为s(x)≥s(1),故x≥1，故原不等式 的解为[1，+∞) 第十节导数的应用 教材梳理 知识点1单调递增单调递减常 思考1：提示：充要条件 思考2：提示：函数在某一范围内导数的绝对值较大，函数在这 个范围内变化得快，其对应函数的图象就比较“陡峭”（向上或 向下)即导函数y=f(x)在相应范围内是增函数，反之，函数的 图象就“平缓”一些 知识点2(1) (2)><b 思考：提示：可导函数f(x)的极值，点x0一定是导函数f(x)的 变号零点」 知识点3(1)[a,b](2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)极值 f(a),f(b) 诊断自测 1.[解析](1)f(x)在(a,b)内单调递增，则有f(x)≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值 (4)为f(x)的极值点的充要条件是f(0)=0,且x0两侧 导函数异号 [答案](1)×(2)/(3)×(4)×(5)/ 2.[解析]由题意知(r)=2r-2=22-2(x>0. 由f(x)≤0，得0<x1.故单减区间为(0,1] [答案]A 3.[解析]根据导函数的图象可知，当x∈（一∞，一3）时， f(x)0,当x∈（一3,1）时，f(x)≥0，所以函数y=f(x)在 (一∞，一3)上单调递减，在（一3,1）上单调递增，可知一3是 函数y=f(x)的极值，点，不足以说明一3是函数y=f(x)零 点.因为函数y=f(x)在（一3，一1）上单调递增，可知一1不 是函数y=f(x)的极小值点，一2也不是函数y=f(x)的极 大值点，所以A、B、C不正确，故D正确.故选D. 「答案1D 4.[解析]设导函数y=f(x)与x轴交点的横坐标从左往右 依次为x1·x2,x3,由导函数y=f(x)的图象易得当 x∈(-∞，x)U(x2,)时，f(x)<0;当x∈(x,x2)U (x3,十o∞)时，f(x)>0(其中x1<0<x2<x3),所以函数 f(x)在(-∞，t),(x2,x3)上单调递减，在(x1,x2),(x3, 十∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合】 「答案]D 5.[解析]f(x)=xln(x十1)，所以当x>0时，f(x)=ln(x十 1)十十≥0，所以fx)在(0，十∞)上单调递增，所以A正 确：令xln(x十1)=0，所以x=0或ln(x+1)=0,所以x=0, 2 故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；f(x)=ln(x十1)十 千所以了（-2)=n分-1=-1-ln2,所以C正确； 定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正 确.故选AC. [答案]AC 6.[解析]f(x)=2cos2x-4sinx-a=2(1-2sin2x)- 4sin x-a=-4sin2.r-4sin x+2-a=-(2sin .x++1)2+3-a. 题设，f(x)0在R上恒成立.因此a≥3-(2sinx+1)2恒 成立，则a≥3. [答案][3，十∞) 7.[解析]依题意知，当a=0时，f(x)=3x2一x十1，只有两个 单调区间，不符合题意，则当a≠0时，f(x)=3a.x2十6x-1, 因为函数f(x)恰有三个单调区间，即f(x)恰有两个极值点， 故了)必有两个不相等的零点.剥896+12a>0解得 a>-3且a≠0. [答案]（一3,0）U(0,十∞) 8.[解析]因为函数f(.x)=x(na.r十1)有极值点，所以f(x) (nax+1)+1=2+lnax.因为x=工是函数f(x)= r(nar+1)的极值点，所以f()=2+n(a·已)=0.所 以1h(a·上)=-2，解得a=已经检验a=。特合题意。 e [答案]B 典例精讲 例1][自主解答](1)由题可知函数f(x)定义域为 (0,十o∞)，f(x)=2ax-2-1,由于函数f(x)=a.x2-2.x lnx在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， 所以f(1)=0,即2a-3=0,所以a=之 3 (2)由(1)可知函数f(x)定义域为(0，十∞)， f(x)=2ar-2-1_2a22-1(a>0. 令g(x)=2a.x2-2.x-1, “4=4+80>0位成主，令f(x)=0,解得x=1-+2a< 2a 0(舍去》或x=1十牛2西>0. 2a 若x(0,1十+2@)，fx)<0,fx)单调递减： 2a 若x(+2匹，+∞)f(x>0fr)单调递增. 2a [例2】[自主解答]a)f(x)=号-1nx=1-士-nx f(x)的定义城为(0，十∞).f(x)=马-1=1 t-T2 由f(x)>0,得0x<1,由f(x)<0,得x>1, f(x)=1-1-nx在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单 调递减。 (2)由(1)得f(x)在「1,1]上单调递增，在[1，e]上单调 L e 递减， …fx)在「1,7 [e,e上的最大值为f1)=1-1-ln1=0. 又f(）=-e-ln是=2-ee-1-&-lne=- e e e 且f()<fe, fu)在[是d上的最小准为()=2-e .f(x)在上的最大值为0，最小值为2一e [例3][自主解答](1)f(x)定义域为R,f(.x)=3x2-3, f(0)=一3，又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在(0，f(0) 处的切线方程为y=一3x. 0 (2)令f(x)=0得，x=土1 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (-1,1) 1 (1,2) f(x) 0 f(x) -2 又因为f(一1)=2，f(2)=2, 所以f(x)在区间[一1,2]上的最小值为一2，最大值为2. (3)由(2)可知，函数f(x)在（一∞，一1），(1，十o∞)单调递增， 在（一1,1）单调递减，f(-1)=2,f(1)= -2,f(-2)=-2, f(2)=2,所以不等式f(x)>2的解集为{xx<一2或x>2. 高考再现 2 1.[解析]由选项知a>0,则定义找为R,由f(0)=十a≤ 1(a>0),解得a≥1.验证：当a=1时，由不等式ex≥x十1可 得e十1≥x十2，故f()=土2≤1，当且权当x=0时等号 ex+1 成立，故《=1满足题意，由选项唯一可得. [答案] B 2.[分析」 求出函数f(x)的导数，得到极值点，即可判断A:利 用函数的单调性可判断B:根据函数f(x)在(1,3)上的值域 即可判断C,直接作差可判断D. [解析]因为函数f(x)的定义域为R,而f(x)=2(x一1) (x-4)+(x-1)2=3(.x-1)(x-3),易知当x∈(1,3)时， f(x)0,当x∈（一∞，1）或x∈(3，十∞)时，f(x)0,函 数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 (3,十∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值，点，A正 确；当0<x<1时，x一x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x) f(x2),B错误；当1<x2时，1<2x一1<3，而由上可知，函 数f(x)在(1,3)上单调递减，所以f(1)>f(2x一1)>f(3), 即一4<f(2x-1)<0,C正确：当-1<x<0时，f(2-x) f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2 2x)>0,所以f(2-x)>f(x),D正确；故选ACD. L答案]ACD 3.[分析]A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a,根据 零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在（一1,0），(0，a), (a,2a)上各有一个零，点：B选项，根据极值和导函数符号的关 系进行分析：C选项，假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x) 的对称轴，则f(x)=f(2b一x)为恒等式，据此计算判断；D选 项，若存在这样的a,使得(1,3一3a)为f(x)的对称中心，则 f(x)十f(2一x)=6一6a,据此进行计算判断，亦可利用拐点 结论直接求解 [解析]f(x)=6x2一6ax=6x(x一a),由于a>1,故x∈ (一o∞，0)U(a,十o∞)时f(x)>0,故f(x)在（一o∞，0）， (a,十o∞)上单调递增，x∈(0，a)时，f(x)<0,f(x)单调递 减，则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，由 f(0)=1>0,f(a)=1-a3<0,则f(0)f(a)<0,根据零点存 在定理f(x)在(0，a)上有个零点，又f(一1) -1-3a<0, f(2a)=4a3十1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0,则 f(x)在(-1,0)，(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)》 有三个零，点，A选项正确；f(x)=6x(x一a),a<0时，x∈(a, 0),f(x)<0,f(x)单调递减，x∈(0，十∞)时f(x)>0, f(x)单调递增：此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错 误：假设存在这样的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，即存在这 样的a,b使得fx)=f2b-x),即2x3-3a.x2+1=2(2b-x)3 3a(2b一x)2+1,根据二项式定理，等式右边(2b一x)3展开式 含有x3的项为2C(2b)0(一x)3=一2.x3,于是等式左右两边 x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，所以不存在这样 的a,b,使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误： 法一：利用对称中心的表达式化简f(1)=3一3a,若存在这样 的a,使得(1,3一3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2一x) =6-6a,事实上，f(x)+f(2-x)=2x3-3.x2+1+2(2-x)3 3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,于是 6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,即 12-6a=0, {12a24=0. 解得a=2,即存在a=2使得(1，f(1))是 118-12a=6-6a, f(x)的对称中心，D选项正确」 29 法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数 的零点，f(.x)=2x3-3a.x2+1,(x)=6x2-6a.x,f(x) 12r一6u,由(x)=0台x=号，于是该三次函数的对称中心 为（号（受）)，由题意1f1)也是对称中心，故号-1台 a=2,即存在a=2使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D选项 正确.故选AD. [答案]AD 4.[解析]由题意有f(x)=(x一1)(x一2)(x一a), 所以f(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)十(x-a)(x-2), 因为2是函数f(x)极值点，所以f(2)=2一a=0,得a=2, 当a=2时，f(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4), 当r(-o,青)(x)>0,fx)单调递增， 当x(告，2f(x)<0,f(x)单调递减， 当x∈(2，十∞)，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x一1)(x一2)(x一a)的极小值点， 符合题意； 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. [答案]-4 5.[解]（)由于f()=C-号cos∈R 所以f0)=1f0)=1-号-子 则南线)y-)在点@，10)处的切线方程为：y一1=宁（x 0),即x-3y十3=0； (2)令gx)=c-号nx-合r-1 1 则gu=d-号o 当≥0时e21,-音≤-号w≤号别g)=e 号w-}≥1-号-=0， 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)=1-0- 0-1=0, 所以gx)≥0在[0.十o)上恒减立，即心-号m≥号十 1在[0，十∞)上恒成立： 当-}长x<0时，令m)=g()=g-号osr一子 所以m)=心+号血，因为y=心和y=号n工在 [令0)上单羽运增， 所以i=e号mr在[-方)上华阴港路 所以m)=心+号mr≥e寸+号sn(-子）=et 因为3>2e,所以>（号）°，所以e>号，由于0< e 所以m)=+号m≥e-号m>0 2 则)=e-号osx一号<g0)=0,即g(x)<0在 （-号0)恒成立， 所以g(x)在一子，0)上单调递减， 所以g(x)-g(0)=1-0-0-1=0, 即g>0在[一号0)成主. 故er-2 综上，e-子sin≥号r+1在[-子+o)上恒成立. 6.[解](1)f(x)=xe+ax十b,.x∈R, 由切点(0，f(0)在直线y=一2x十1上，也在函数f(.x)图 象上， 可知f(0)=-2×0+1=1且f(0)=0·e+a·0+b=b,可 得b=1: 由f(x)=(x十1)e十a,则切线的斜率为f(0)=1十a 一2，解得a=一3；故a=-3,b=1 (2)由(1)知，f(x)=xe2-3.x+1, 则f(x+n)一f(.x)一m=(.x十n)e+m-xe2一3(x+n)+ 3x-m=(x+m)er+m-xex-4m, 故题意可转化为(x十m)e+m一xe2一4m>0对任意x∈R 恒成立， g(r)=(x+m)e+m-xer-4m.x>0, 则g(.x)=(x十m十1)e+m-(.x+1)e=e[(.x十m十1)e (x十1)]， ①当m>0时，由x十m十1>x十1>0且e">1>0, 则(x十n+1)em-(x+1)>0,即g(x)>0, 则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又因为g(0)=nem-4m, 要使g(x)>0对任意x∈R恒成立， 则nem一4m≥0，解得m≥2ln2; ②当m=0时，f(x十m)一f(x)=0>0不成立： ③当m<0时，0<em<1,x+m十1<x+1,且x十1>0， 则(x+n+1)em-(x+1)<(x十1)em-(x+1)=(x+1)· (em-1)<0, 即g'(x)<0,则g(x)在(0，十∞)上单调递减， 又因为当x十∞时，g(x)→一∞，不满足题意； 综上所述，m的取值范围为[2ln2,十∞). (3)设F(x)=f(x十k)+f(k-x)-2f(k),x>0, 则F(x)=f(x+k)一f(k一x) =(x十k十1)e+k-(k-x十1)e-x =(x十k十1)e2++(x-k-1)ex, 令x(x)=(.x十k+1)e2++(x-k-1)e-x, 则t'(x)=(x十k十2)e++(2十k-x)e&x 其中F(0)=0,F(0)=0,x'(0)=2(k+2)e ①当k=-2时，r'(x)=xe-2+(-x)e2=x=xe2(e- ex)>0. 则F'(x)在(0，十o∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 故F(x)在(0，十∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 即当x>0时，f(x十k)十f(k一x)>2f(k)恒成立，满足题意； ②当k>-2时，设p(k)=(x十k十2)e+十(2十k-x)ex =[e2(k+x+2)+ex(k-x+2)]e =[(ex+e x)(k+2)+x(ex-e x)Jee, 由x>0,k>一2，可知e2十ex>0且k十2>0， 则(e2+ex)(k+2)+x(e2一ex)>0,可知p(k)在(-2， 十∞)上单调递增， 故e(k)>e(-2)=xe-2+(-x)e2-x=.xe2(e-ex)>≥ 0,即x(x)>0, 故F(x)在(0，+∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0 故F(x)在(0，十∞)上单调递增，故F(x)>F(0)=0, 即当x>0时，f(x十k)+f(k-x)>2f(k)恒成立，满足题意： ③当k<-2时，此时t'(0)=2(k十2)e<0,又因为F(0)=0, 则存在正实数0，使得Hx∈(0,0)，F(x)<0, 则F(x)在(0，xo)上单调递减，则F(x)<F(O)=O, 即当0<x<x0,f(x十k)十f(k一x)<2f(k),不满足题意； 综上所述，k≥一2，即k的最小值为一2. 20 第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形 第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 教材梳理 知识点1(1)端点(2)正角负角零角象限角轴线角 (3)S={3BB=a+2kπ，k∈Z 知识点2(1)半径长(2)ar 知识点31yr兰 诊断自测 1.[解析](1)锐角的取值范固是(0，牙） (2)第一象限角不一定是锐角. [答案](1)×(2)×(3)/(4)/ 2.[解标]周为音-(-1g)-臣：所以-1与角吾终边不 6 相同，故A错民音-(-5)-2，所以-5与商吾终边 6 相同，故B正确：吾一要=一子，所以晋与角晋终边不相同。 6 故C错误；6 一7廷=一，所以与角晋终边不相同，故D错 6 误.故选B. [答案]B 3.[解析]所有与角α终边相同的角可表示为：3=45°十k× 360°(k∈Z),则令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得 -765°≤k×360°<-45°(k∈Z)」 解得k=-2或k=-1,∴B=-675°或B=-315°. [答案]{-675°，-315} 4.[解析]时钟经过两个小时，时针转过的角是一60°，故A错 误：钝角一定大于锐角，显然B正确：若三角形的内角为90° 则是终边在y轴正半轴上的角，故C错误；，角α的终边在第 二象限2kπ+受<a<2kx十x,k∈乙，kr+至<号<km +受，k∈乙.当k=2,n∈Z时，2x+子<号<2m+受，n 乙，得受是第一象限角：当k=2n十1，n∈Z时，(2m十1)元十平 <号<(2m十1)x十，n∈乙，得号是第三象限角，故D正确， [答案]BD 5.[解析]由题设x+∈(-子，晋)，又因为cos(x+) 号=子可= [答案]/- 典例精讲 [例1][自主解答](1)当角的终边在第一象限时，角的集合 为0a=2kx十号k∈Z,当角的终边在第三象限时，角的集合 为aa=2版+号k∈才故所求角的集合为aa=2张x寸 于k∈ZU{a=2kx+暂k∈Z={aa=x+5k∈Z. (2):a是第二象限角，2kπ十2<a<2kr十πk∈Z), x+受<+2xe. 当飞为偶数时，号是第一象限角；当飞为奇数时，号是第三象 限角 综上知，当α是第二象限角时，号是第一或第三象限角。 (3)由图可知，角。用集合表示为(2kx十至，2kπ十F） (k∈Z). 2