第2章 第6节 对数与对数函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

艺考生文化课成功方案 第六节 教材梳理 >>>>>> 知识点1对数与对数运算 (1)对数的运算性质 ①alog N= ;②log,av= ③log1= (a>0且a≠1)： 思考：logx2=2logx一定成立吗？ (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,则 ①log(MN)= M ②log.N ③logM"= (n∈R). (3)对数的换底公式 log,b= (a>0且a≠1，c c≠1，b>0) 知识点2对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y=log.x 图象 (1,0) (1,0) 对数与对数函数 续表 定义域： 值域： 图象过定点 ,即恒有log1=0. 性质①当x>1时，恒有 ②当x>1时，恒有 ;当0<x<1 ;当0<x< 时，恒有 1时，恒有 在(0，十∞)上是 在(0，十∞)上是 [常用结论] 1.换底公式的两个重要结论 (1)1ogb= ；(2)1og-b”=21ogb.其中 loga a>0且a≠1，b>0且b≠1，m,n∈R 2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图 象交点的横坐标为相应的底数，故0<c< d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第 象限内从左到右底数逐渐增大. y=1 y=logx y=logx 3.函数y=log。x与y=a'是互为反函数，其图 象关于y=x对称. >0且 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） (1)1og2.x2=21og2x. () (2)函数y=log2(x+1)是对数函数.() 3)函数y-lh与)y=lh1+x)-ln1-) 的定义域相同. () =log x (4)当x>1时，若logx>logx,则a<b. () 28 教材衍化 2.1og29X1og34+21og10+1og0.25=() A.0 B.2 C.4 D.6 3.(25一26高二下·山东德州·期末)已知 6"=a,l0g,b=n若m+n=-号则ab A品 R晋 C.√6 D.36 考题体验 4.(25-26高二下·河北·期末)设alog9=2, 则3= A.2 B.3 C.log23 D.log:2 5.(25一26高二下·海南海口·期末)已知 1k号分，则实数。的取值范图为() A.(0,2)U1,+∞) B.(-∞，-2)U(2,+) c.(2,+) D.(o,g)U(号) 典例精讲 [例1](1)计算： 2(lg√2)2+lg√2·lg5√(lg√2)2-lg2+1; (2)已知2g2=gx十lgy,求1ogs2 [思路点拨](1)观察式子的特征，利用对 数的运算性质将式子化简（如去根号、降幂等）， 然后求值， (2)利用已知条件求得工和值后，代入 工求值. 1og8-22 第二章函数、导数及其应用 [自主解答] [解题心得](1)对数的运算性质，以及有 关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的 前提下才成立. (2)在运算中要注意对数化同底和指数与 对数的转化. [例2幻已知函数f(x)= 1og2x,x☑0·关 3,x≤0， 于x的方程f(x)十x一a=0有且只有一个实 根，侧实数a的取值范围是 [思路点拔]画f(x)的图象，利用数形结 合来解决， [解题心得]应用对数型函数的图象可求 解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图 象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、 值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为 相应的函数图象问题，利用数形结合法求解， [例3](25一26高二下·天津·期末)已 知函数f(x)=log(2十x)-log(2-x)(a>0,且 a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性，并证明； (2)当a=3时，若f(m)-f(一m)<2,求 实数m的取值范围. 艺考生文化课成功方案 [思路点拨](1)利用函数的奇偶性定义3.（湖南·高考真题）函数f(x)=log3(1十x) 判断即得； 的定义域为 () (2)在a=3时，先利用复合函数的单调性 A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) 判断函数f(x)在（一2,2）上单调递增，再利用 C.[-1,+∞) D.(0,+∞) 奇函数性质和特殊值，将不等式转化成f(m)< 4.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大 f(1),根据函数的单调性即得参数m的范围. 语言模型训练N个单位的数据量所需要的 [自主解答] 时间T=klog2V(单位：h),其中k为常数.在 此条件下，已知训练数据量N从10个单位 增加到1.024×10°个单位时，训练时间增加 20h;当训练数据量N从1.024×10°个单位 增加到4.096×10°个单位时，训练时间增加 () A.2h B.4h C.20h D.40h 5.(天津卷)已知a=log27,b=log8,c=0.3.2, 则a,b,c的大小关系为 () A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 6(2024·北京卷)生物丰京度指数d-足 高考再现 河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表 >>>>>> 示河流中的生物种类数与生物全体总数生物 1.(2024·全国甲卷（文）)已知a>1且1oga 丰富度指数.d越大，水质越好，如果某河流 治理前后的生物种类数S没有变化，生物个 y 体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由 2.(2025·新高考I卷)若实数x,y,之满足 2.1提高到3.15，则 ( 2+log2x=3+1og3y=5+log5x,则x,y,之的 A.3N2=2N B.2N2=3N1 大小关系不可能是 () C.N=N D.N=N A.I>y B.y C.yx> D.y> 提醒：请完成课时作业 第七节 函数的图象 教材梳理 思考：函数y=lgx与y=21gr2的图象相同吗？ >>>>>> 知识点1描点法作图步骤 (1)确定函数的 (2)化简函数的 (3)讨论函数的 即奇偶性、周期性、单 调性、最值（甚至变化趋势） (4)描点连线，画出函数的图象 306.[分析]根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等 式分析判断AB;举例判断CD即可 [解析]由题意不妨设<2，因为函数y=2是增函数， 所以0<24<2，即0<<2，可得252头>√224 2 2学，即当业>2学>0，根据函数y=10g2.r是增函数，所 2 以10g21)业>10g2中=12，故B正确，A错误：例 2 2 如1=0g=1,则1=12=2，可得16影》吉2=6g号 3 ∈(0,1D,即1log2业<1=1十2，故D错误；例知r1 2 -1程=-2，则n=合%=子可得g:”2- 2 1g:是=log3-3e(-2.-10,即1og4”>-3=+ 2 t2,故C错误.故选B. 「答案1B 第六节对数与对数函数 教材梳理 知识点1(1)NN0(2)log.M+log N log.M-logN bMe台 思考：提示：不一定.如log(-5)2≠2log(-5). 知识点2(0，+∞)R(1,0)y>0y<0y<0y>0 增函数减函数 诊断自测 1.[解析](1)1og2x2=2log2x,故(1)错误. (2)形如y=log r(a>0,且a≠1)为对数函数，故(2)错误， (4)若0<b<1<a,则当x>1时，logar>logx,故(4)错误。 [答案](1)×(2)×(3)/(4)× 2.[解析]原式=2log23×(21og2)+log5(102×0.25)=4+ 10g525=4+2=6. [答案]D 3.[解折]由=a可得m=kga,由m十n=一号可得ga十 logeb=log ab=-- [答案]B 4.[解析]由alog29=2,可得1og29=2,所以9=4,3=2.故 选A. [答案]A 5.[解标]loe,号<号-log, a>1 aa>1: ① (0<a<1 @a<90ca<2 2 所以实数a的取值范国为(0，号)U(1,十∞).故选A 「答案]A 典例精讲 [例1][自主解答](1)原式=lg√2(2g√2+lg5)+ √(lg2)2-21g√2+1=lg√2(1g2+lg5)+lg2-1 =1g2+(1-lg2)=1. (2)由已知得g(2) =lg xy, (2）=x即2-6x叶y=0. (号）/-6（号）+1=0子=3+22或号=3-22 28 x-y>0, .x>0, .>1,.=3+22, y>0, y :.log(3-2)y =1og3-w,(3+22)=1og3-2w3-22 -1. [例2][自主解答]问题等价于函数y=f(x)与y=一x十a 的图象有且只有一个交，点，结合函数图象可知>1. [答案](1，十∞) [例3引[自主解答]4)由{仔+>0可得-2<<2，中西数 的定义域为（一2,2），关于原点对称，因为f(一x)十f(x)= log (2-x)-log(2+x)+log (2+x)-log (2-x)=0, 函数f(x)为奇函数. (2)当a=3时，f(x)=log(2+x)-l1og(2-x)=log2-7 2十x =1g(-12,因为画数y=-1-4 Γx-2在(-2,2)上 单调递增，又因为函数y=log3x在定义域内单调递增，故函 数f(x)在（一2,2）上单调递增； 又因为f(一m)=一f(m),且f(1)=1,故不等式f(n) f(-m)<2等价于2f(m)<2f(1),即f(m)<f(1),即可得 一2<n<1,故实数n的取值范围为（一2,1）. 高考再现 1.[分析]将log9a,log4利用换底公式转化成log2a来表示 即可求解. 31 解析]由题意得iogg410g,4og2421og2a=一2 整理得(log2a)2-5log2a-6=0,→log2a=-1或log2a=6, 又a>1,所以log2a=6,故a=26=64. [答案]64 2.[分析]法一：设2+log2x=3十log3y=5十log5之=m,对m 讨论赋值求出x,y,心，即可得出大小关系，利用排除法求出： 法二：根据数形结合解出. [解析]法一：设2十log2x=3十log3y=5十log5之=m,所以 令m=2.则x=1y=31=子=53=房此时>>， A有可能；令m=5,则x=8,y=9,之=1，此时y>x>z,C有 可能：令m=8,则x=26=64,y=35=243,之=53=125，此时 y>之>x,D有可能：故选B. 法二：设2+log2x=3十1ogy=5十log5之=m,所以，x= 2m-2,y=3m-3,之=5m-5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函 数y=2-2,y=313,y=5-5的图象，以上方程的根分别是 函数y=22,y=323,y=525的图象与直线x=m的交点 纵坐标，如图所示： /y=5*-5 y3* 0 x=m 易知，随着n的变化可能出现：x>y>之，y>x>之，yx>x, >y>x,故选B. [答案]B 3.[解析]由题意可得：1十x>0,解得：x>-1,所以函数f(x) =log3(1十x)的定义域为(-1，十o∞)，故选B. [答案]B 85 4.[解析]设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096× 109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3, 由题意，T1=klog2106=6klog210, T2=k1og2(1.024×109)=k1og2(210×106)=k(10+ 6log210) T3=klog2(4.096×109)=1og2(212×105)=k(12+ 6log210), 因为T2-T1=k(10+6log210)-6k1og210=10k=20, 所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096× 109个单位时，训练时间增加4小时.故选B. [答案]B 5.[解析]显然c=0.32∈(0,1).因为log33<log38<log39, 所以1<b2.因为log27>log24=2,所以a>2.故c<ba. [答案]A 6[分析]旅据题遮分折可格-2.1言 =3.15,消去 S即可求解 解折尚短意行合=21·品 .=3.15,则2.1nN =3.15lnN2,即2nN1=3lnN2,所以N=N?.故选D. [答案]D 第七节函数的图象 教材梳理 知识点1(1)定义域(2)解析式(3)性质 思考：提示：不相同.画数y=21gr2的定义城为{xx≠0，偶 画教只有当>0时y=2gr2=lg,两者的图象才相同. 知识点2(1)f(.x-a)f(.x)+b(2)-f(x)f(-x) -f(-x)(3)fx)1f(x)1(4)①伸长缩短1 f(x)②伸长A缩短AAf(x) 思考：提示：平移和伸缩的图象变换是一样的 诊断自测 1.[解析](1)令f(x)=-x,当x∈(0，十∞)时，y=f(x)| x,y=f(x)=一x,两者图象不同，(1)错误. (2)中两函数当a≠1时，y=uf(x)与y=f(a.x)是由y f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同， (2)错误. (3)y=f(x)与y=一f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误， [答案](1)×(2)×(3)×(4)/ 2.[解析]由图可知，二次函数f(x)图象的对称轴为x= 一1+2=1 2 ,又因为图象开口向上，所以f(x)在区间（一∞， 之)上单调道减，A对；由图知：不等式ax2十bx十c>0的解 集为（一o∞，一1）U(2,+o∞)，B对；由图知：f(1)=a十b+c <0,C错：根据二次函数与一元二次方程的关系，一1,2是 ax2十bx十c=0的两个根，所以一b =-1+2=1→b=-a, =-1X2=-2→c=-2a,且a>0,所以-2a.x2-ax+a> 0⊙2r2+x-1=(2x-1)(x+1<0,解条为(-1,2）， D对.故选C [答案]C 3.[解析]由题意可知：函数f(x)=log3x在定义域(0，十∞) 内单调递增，结合选项可知：A、B、C错误，D正确.故选D. [答案]D 4.[解析]观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴 上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图 象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y=f(一|x). [答案]B 28 5.[解析]当f(x)>0时，函数g(x)=log2f(x)有意义，由函 数f(x)的图象知满足f(x)0时，x∈(2,8]. 「答案](2,8] 典例精讲 ∫lgx(x≥1) [例1】[自主解答]1)y={gx01)如图1)， (2)由y=22的图象向左平移2个单位，如图(2). (3)y= x2-2x-1（≥00如图(3). x2+2.x-1(.x0)1 Ay 一2 (1) (2). (3) [例2][自主解答]因为f(x)为奇函数， 所以不等式田)=f-卫<0可化为 fC卫<0，即xf(x)<0,f(x)的大致图象如 -1 图所示.所以xf(x)<0的解集为（一1,0） U(0,1). [答案]D 例3][自主解答]由f(0)=(e0十e)cos0=2≠0，A排除； 由f()=-(e+e)sin受≠0，B排除；当x∈(0，受) 时，e一ex>0,cosx>0,则f(x)>0,C排除：当x日 (0,5)时，e-e<0,cosx>0,当x∈(-乏，0)时，e -e>0,cosx>0,f0)=(e°-e)cos0=0,f()=(e e)cos5=0,f(-)=(e-e)cos(-5)=0,D可 能.故选D [答案]D 高考再现 1.[解析]由题意及图得，函数y=f(x)为奇函数，且当x=1 时，f(x)<0,当x=1时，1十sinπ=1十0=1>0，与图象不 特，故A错误：当x=1时，1一sinπ=1一0=1>0，与图象不 符，故B错误：当x=1时，1×sinπ=1X0=0,与图象不符， 故D错误；在g(x)=一x十sinπx中，g(一x)=一(-x)十 sin(一元.x)=x-sin元x=一g(x),即该函数为奇函数，g(1)= 一1十sinπ=-1十0=-1<0，与图象相符，故C正确. [答案]C 2.[解析]由题图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 -2》=20.由吊且定义装为k.脚B中 画数为奇函数，排除B:当x>0时5(ee)>0,5(e十e) x2+2 x2+2 >0,即AC中(0，十∞)上函数值为正，排除A,C,故选D. [答案]D 3.[解析]因为y=9=322,所以将函数y=3的图象上所有 点的横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变，即可得到画数y 92的图象，故选A [答案]A 4.[解析]由图可知函数为偶函数，而画数f(x)=-工和 函数f(x)=t广与为奇函数，故排除选项AB:又：当x∈ 0,)时-2父0,2-1<0，此时f0)>0,f0园 x<0,由图可知当x∈(0,1)时，f()<0,故C不符 x2-1 合，D符合.故选D. [答案]D 设y=千2：则函数fx)的定义城为{xx 0,关于原点对款又-)白2)，将以品 36