微专题七 如何解决直线与圆中的最值问题导学案-2027届高三数学一轮复习

微专题七 如何解决直线与圆中的最值问题 教学目标 1.掌握米勒最大角问题、将军饮马（对称法）两类几何最值模型，能识别题型，利用几何方法求解距离、角度最值。 2.熟练掌握点关于直线求对称点的方法；掌握直线定点、三条直线不能构成三角形、截距、距离相关计算。 3.掌握圆的标准方程，点与圆、直线与圆的位置关系，理解解析几何常见代数式的几何意义（斜率、距离）。 4.会用基本不等式解决解析几何中的最值问题，理解恒成立问题的转化方法。 5.能够处理绝对值曲线、光线反射、三角形周长 / 面积最值、直线过定点等综合题型。 教学重点 1.将军饮马模型：单动点距离和差最值、双动点三角形周长最小、平移定长线段最值，会做对称转化。 2.米勒问题：最大张角模型——过两定点且与定直线相切的圆，切点为最大角点。 3.点关于直线的对称点求解（垂直 + 中点在直线上），反射问题等价于对称变换。 4.直线核心考点：直线过定点求法；三条直线不能围成三角形的三种情况；截距、点线距离、平行线距离。 5.圆的几何意义：斜率、距离表达式的几何含义；点与圆位置关系。 6.基本不等式"一正二定三相等"在解析几何最值中的应用；恒成立问题转化。 教学难点 区分不同将军饮马变式：周长最小需要两次对称；平移型将军饮马要先平移再对称，学生容易混淆。 米勒问题多解筛选：算出两个解，要舍去钝角对应的解。 解析几何综合题：不会优先用几何模型，只会硬算代数，计算量大容易出错。 容易忽略斜率不存在的情况，直接设 造成漏解。 恒成立逻辑搞反；基本不等式忘记检验等号能否取到。 复杂综合题，把实际问题（光线反射、三角板切割）转化为解析几何数学模型。 必掌握知识点 一 米勒最大角问题 1.米勒问题结论：过两定点且与定直线相切的圆，切点对两定点张角最大。 2.切割线定理。 3.弦的垂直平分线性质；圆与坐标轴相切的半径条件。 二 将军饮马（对称求距离最值） 1.单饮马：同侧作对称求 最小值； 最大值利用三角形三边关系。 2.双饮马（周长最小）：两个定点分别作两条直线的对称点，两对称点距离 = 周长最小值。 3.平移将军饮马：直线上有定长线段，先平移点再用"两点之间线段最短"。 4.光线反射模型：反射等价于做对称点。 三 点关于直线对称 1.两点连线与已知直线垂直（斜率乘积 ）。 2.两点中点落在已知直线上。 四直线综合 1.含参直线求定点：分离参数，联立方程组求解。 2.三条直线不能围成三角形：① 两直线平行；② 两直线重合；③ 三线共点。 3.点到直线距离，两平行线间距离。 4.截距式方程：截距可正可负，不等于距离。 5.直线与坐标轴正半轴相交，面积、截距、线段长的最值（基本不等式）。 五 圆与直线和圆位置关系 1.圆标准方程，圆心、半径。 2.点与圆位置关系判定。 3.圆上点的切线（点在圆上，切线垂直半径）。 4.代数式几何意义：：两点连线斜率；：两点间距离。 六 基本不等式与恒成立 ，，一正二定三相等。 恒成立： 恒成立 恒成立 七 曲线几何意义 1. 正方形图像，分段去绝对值。 2.根式配方识别距离的几何含义。 八 解析几何解答题综合 1.设直线要分斜率存在、斜率不存在两类讨论。 2.三角形面积计算（坐标法、底乘高）。 3.直线过定点证明：整理为参数恒等式，令参数系数等于 0。 4.换元法求函数值域，注意新元取值范围。 易错点汇总： 1.米勒问题 容易忽略钝角情况，算出两个解时，要检验角度是否为锐角，钝角要舍去（第2题）。 分不清"张角最大"的几何模型，直接用斜率夹角公式暴力计算，计算量大容易算错，优先用米勒圆模型。 圆与坐标轴相切，半径条件写错：与x轴相切 ，与y轴相切 。 2.将军饮马 周长最小题型：忘记做两次对称，只做一次对称导致结果错误。 平移将军饮马：平移方向、平移长度搞错，分不清向哪个方向平移。 最大值：混淆"最大"和"最小"；异侧点没有先做对称直接连线。 反射问题：分不清哪个点做哪条直线的对称点。 求出对称点后，算直线方程、联立求交点计算失误。 3.点关于直线的对称点 垂直斜率算错，尤其直线斜率为0或者不存在（水平/竖直直线）的特殊情况。 中点代入直线方程计算出错。 对称点坐标求错，后续距离、直线方程全部连锁错误。 4.直线综合 三条直线不能围成三角形，容易漏掉"三线共点"这种情况。 截距 ≠ 距离，截距是坐标，可以是负数，做题看到"正半轴"才限定 。 用基本不等式求最值，忘记验证等号能否取到。 求直线过定点，展开整理参数方程时计算出错。 5.圆的方程与直线圆位置 判断点在圆外，忘记圆方程要求 ，只代入点的不等式。 求斜率范围，忽略斜率不存在的切线情况。 混淆"圆上点到定点距离"和"到直线距离"。 6.基本不等式 忽略"一正"，直接套用基本不等式，负数不能直接用。 忽略等号成立条件，算出最值，但是等号取不到。 恒成立搞反逻辑： 恒成立，要小于等于最小值，不是最大值。 7.曲线几何意义 绝对值曲线，不分类讨论直接画图，图像搞错。 根号式子不会配方，看不出几何意义，硬代数运算，计算量大。 方程转化为直线距离模型，容易漏掉"不过原点"的限制条件。 8.解答题综合 漏讨论斜率不存在，直接设 ，漏掉垂直x轴的直线。 处理直线过定点，不会分离参数。 换元之后忘记新元的取值范围。 必考题型全归纳： 题型一、米勒问题（最大角问题） 1.米勒问题结论：在定直线上找一点，使得该点对两定点的张角最大；过两个定点且与定直线相切的圆，切点即为取到最大角的点。 2.切割线定理：从圆外一点引圆切线和割线，切线长的平方 = 割线长 × 它的外段长。 3.圆的方程、弦的垂直平分线：圆的圆心一定在弦的垂直平分线上；圆与x轴相切，则半径等于圆心纵坐标。 1．在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面几何知识可知，当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点，再由切割线定理可求得点的横坐标. 【详解】当过、两点的圆与轴相切时，切点即为所求点. 易得过、两点的直线方程为，其与轴交点为，易得，，由切割线定理得，所以，进而可得，点的横坐标为3. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是确定点的位置. 2．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出线段的垂直平分线，依题意圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径，根据，得到方程求出的值，即可得解. 【详解】由题意可知，点为过两点且和轴相切的圆的切点，线段中点坐标为，又， 所以线段的垂直平分线方程为， 所以以为弦的圆的圆心在直线上， 故设该圆圆心为，又因为该圆与轴相切，所以圆的半径， 又，所以，解得或， 当时，是钝角，故舍去. 所以此时圆的方程为.    故选：C 题型二、将军饮马（对称转化求距离最值） 核心知识点 1.单将军饮马：直线 上动点 ，求 最小值。 两点在直线同侧：作其中一点关于直线对称点，两点连线与直线交点即为 ，最小值 = 对称点到另一点距离。 两点在直线异侧：直接连线求交点。 2.求 最大值：三角形两边之差小于第三边；同侧直接连线延长交直线；异侧做对称再连线。 3.三角形周长最小（双饮马）：， 在x轴、 在另一条定直线，求周长最小。作定点分别关于两条直线的对称点，两个对称点之间的距离就是周长最小值。 4.平移型将军饮马：直线上两点 ， 为定值，求 最小值。把其中一个点沿着直线方向平移线段 长度，再做对称，转化两点之间线段最短。 5.光线反射问题：反射等价于对称，入射光线 + 反射光线等价于经过对称点的直线。 3．如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 4．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】配方转化为平面上点到两定点距离之和，用对称点求最小值，的最大值就是这个最小值. 【详解】对两个根号内的二次式分别配方， ，， 原式表示轴上动点到点、的距离之和， 作关于轴的对称点，由对称性可知， 因此，当且仅当、、三点共线时取等号， ，因此的最小值为5， 若不等式对任意实数恒成立，则，即的最大值为5. 题型三、点关于直线的对称点 已知点 ，关于直线 对称点 ，满足两条： 1. 与直线 垂直：； 2. 中点 落在直线 上。 5（多选）．已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．-2 【答案】AC 【分析】设点，利用的中点坐标满足方程，及垂直直线，得到方程组，解出即可. 【详解】因为点在直线上，设点， 又， 则的中点坐标为， 其必在直线上， 则， 化简为，① 又垂直直线， 故，化简为，② 联立①②，解得 ，或， 又当时，根据垂直直线， 必有，此时直线方程为， 的中点坐标为，不在直线上，不满足题意， 故， 故选：AC. 6．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    题型四、直线综合（定点、围成三角形、截距、距离） 1.直线过定点：含参数直线整理成 ；令 解出定点。 2.三条直线不能围成三角形：三种情况 ① 其中两条平行； ② 其中两条重合； ③ 三条直线交于同一点。 3.点到直线距离公式、两平行线之间距离公式。 4.截距式：， 为x轴截距， 为y轴截距；截距可以负数，不能直接当成距离。 5.直线与坐标轴正半轴相交，求面积、截距和、线段长 的最值，常用基本不等式。 7．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为__________________． 【答案】 【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时. 【详解】由极限思想可得，两直线的距离， 而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即， 所以，． 故答案为： 8．已知点，直线，，，. (1)若这三条直线不能围成三角形，求实数的值； (2)点关于直线的对称点为，求的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）由已知三条直线不能围成三角形，则或或三条直线交于一点，分情况研究动直线即可； （2）由已知可得直线恒过定点，再根据对称可知，即可得动点的轨迹，利用三角换元设，结合三角恒等变换可得向量数量积的范围. 【详解】（1）由已知三条直线不能围成三角形，则或或三条直线交于一点， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当三条直线交于一点时，由，解得，即与相交于点， 则也过，即，解得； （2）由直线可化为， 令，解得， 即直线恒过点， 又点与点关于直线对称， 即， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 即点满足方程， 又直线若斜率存在，则斜率， 过点，斜率为的直线， 设此时点的对称点， 即，解得，即， 综上所述，动点的轨迹方程为，且不包括点， 设点，，且，不同时成立， 则，， 即，其中，， 所以， 即， 则. 题型五、圆的方程、直线与圆位置关系 1.圆标准方程 ，圆心 ，半径 。 2.点和圆位置关系：点 代入 ，大于 在圆外；等于在圆上；小于在圆内。 3.圆的切线：点在圆上，切线与该点和圆心连线垂直。 4.几何意义： ：圆上动点 与定点 连线斜率； ：圆上点到定点距离； ：线性目标函数，平移直线求最值。 9（多选）．已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线C的切线，则切线方程为 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】求出的范围，再利用一次函数性质求出最大值判断A；利用目标函数的几何意义求出最大值判断B；求出切线方程判断C；利用点到直线距离求出最小值判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，由，得，解得， 因此，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，表示圆上的点与点确定直线的斜率，如图，    设，即，由圆心到直线的距离， 即，解得，因此的最大值为，B正确； 对于C，显然点在圆C上，与圆心确定直线的斜率为， 因此所求切线斜率为，方程为，即，C正确； 对于D项，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图，    又圆心C到直线的距离， 则圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 因此的最小值为，D错误. 故选：ABC 10．已知实数满足方程，求： （1）的最大值和最小值； （2）的最大值与最小值. 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）    当直线OP的斜率k与圆C相切时，斜率取得最值，即取最值. （2）    代数式表示圆C上的点到定点的距离，则可求出的最大值和最小值. 【详解】解：（1）设，则表示圆上点与原点连线的斜率，直线OP的方程为，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值. 由点到直线的距离，得，即时，直线OP与圆C相切，所以，. （2）代数式表示圆C上的点到定点的距离，圆心与定点的距离为，又圆C的半径是，所以.， 【点睛】考查直线和圆的关系，点到直线的距离.知识点较为基础，题目难度一般. 题型六、基本不等式 1.，，当且仅当 取等。 2.变形：；一正、二定、三相等。 3.条件等式约束下求代数式最值；恒成立问题： 恒成立 ； 恒成立 。 11．设实数满足，则的最小值等于(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：用代入消元法化为二次函数，由二次函数性质得最小值；法二：利用距离的几何意义. 【详解】法一：，代入， 得， 当时，的最小值为. 法二：可看作是射线上的点与原点O距离平方的最小值， 显然 故选：D. 12（多选）．若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】BCD 【分析】已知等式约束条件，逐个选项利用基本不等式，求解最值并验证等号成立的条件. 【详解】A选项：因为，，所以，则，解得， 当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项A错误； B选项：因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项B正确； C选项：由，得， 即，得， 当且仅当，即，时取等号，有最小值为，故选项C正确； D选项：因为，，所以，， 则，当且仅当，即，时取等号，有最大值为，故选项D正确. 题型七、曲线几何意义（绝对值曲线、距离几何意义） 1. 表示正方形，分段打开绝对值，分四个象限讨论。 2. 代表动点到两定点距离之和。 3. 代表两点之间距离。 13．若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 【答案】D 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角； 当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确. 故选：D.    14．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 【答案】，， 【解析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去；设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，， 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键，本题难度属于困难 题型八、解答题综合（面积、斜率、定点、参数范围） 1.设直线方程，分斜率存在、斜率不存在两种情况，不要漏斜率不存在。 2.三角形面积：底乘高；联立求交点；坐标法。 3.直线过定点证明：整理成关于参数恒等式，令参数系数全部等于0。 4.换元法求函数值域，结合函数单调性求范围。 15．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1）；（2）； （3）因为，所以， 所以当直线斜率不存在时，即时，直线方程为（①）， 当直线斜率存在时，即时，直线方程为， 整理可得（②）（①满足②，所以对②都成立）， 同时除以得③， 又因为，所以代入③整理得 ，对于任意都成立， 所以，解得， 所以直线过定点，定点坐标为. 【分析】（1）当直线斜率不存在时，求出点坐标得三角形面积，当斜率存在时，设直线为，由题意可得，然后求出，，由得的取值范围，计算出面积，令，换元后利用函数的性质求得取最小值时的值； （2）设，则，用正弦定理表示出，把表示为的函数，由三角函数知识求得最大值； （3）写出坐标，，，斜率不存在进写出方程，斜率存在时，写出方程，可得斜率不存在时方程也适合此式，代入，化方程为的方程，由它关于恒成立可得定点坐标． 【详解】解：（1）因为O为坐标原点且，则所在直线方程为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，点B坐标为， 的面积为， 当直线斜率存在时，设直线为，由题意可得， 令，解得， 联立，可得， 由得或，由得或，所以或． 所以的面积 令，则， 则 因为，所以当时，面积最小， 此时，即，则，所以的面积的最小值时所在的直线的斜率为. （2）下面用弧度表示角，设，则， 由正弦定理得， 所以， 因此 当即时，的面积的最大，最大值为. （3）略 【点睛】本题考查直线的斜率，直线过定点问题，三角形面积的最值问题，掌握直线方程是解题关键．与三角形面积有关的问题，一般先把面积表示出来，可表示为直线斜率的函数，也可引入点的坐标，线段的长度，或角度为参数，用参数表示出三角形面积，再根据函数的性质或基本不等式求得最值及取得最值时的参数值．定点问题，首先由参数写出直线方程，然后把直线方程转化为关于参数的恒等式，利用恒等式知识可得． 16．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)若的面积为，求的表达式； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，． 【分析】（1）利用点斜式直接写出直线的方程，通过分析直线和的斜率确定的范围. （2）联立直线与，的方程，求出交点的坐标，再结合两点间距离公式和点到直线距离公式计算的面积． （3）先表示出的面积，通过换元法确定其取值范围，再将不等式进行变形，结合面积的取值范围求解的取值范围． 【详解】（1）依题意，点，直线的斜率为， 由直线的点斜式方程，可得直线MN的方程为． 因为，所以． （2）由已知， 可得直线方程为，直线方程为， 联立方程组，解得， 又由，解得， 由两点距离公式可得， 又由点P到直线OM的距离为， 所以． （3）由题意，可得， 设， 令，即，函数在为单调递增函数， 所以当时，的最小值为，当时，的最大值为， 即，所以， 又且，所以， 可得的最大值为，所以实数的取值范围是． 巩固提升： 1.（多选）．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 【答案】AC 【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D； 【详解】由关于，的对称点分别为，而，    从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对； 从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错； 由关于，的对称点分别为，    从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对； 从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错. 故选：AC 2（多选）．下列说法中正确的为（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．已知正数，满足，则的最大值为4 D．已知任意正实数，，且满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：从充分性与必要性两方面讨论即可；对于B：利用基本不等式，说明等号取不到即可；对于C：利用基本不等式可得的范围，即得最值；对于D：先用基本不等式求出的最小值，再根据一元二次不等式恒成立，数形结合求出参数范围即可.. 【详解】选项A：若 ，则 且 ，因此 成立， 当 ，时，满足 ，但 显然不成立，故A正确； 选项B：令，因， 当且仅当时，取得最小值 2， 但，的最小值不为 2，故B错误； 选项C：因且，则， 当且仅当时取等，此时， 解得，故，即的最大值为4，故C正确. 选项D：由 可得， 因，由， 当且仅当时，即时取等，即. 因不等式 对 恒成立， 则对 恒成立， 即对 恒成立， 故需使，解得，故D正确. 故选：ACD 3．若恰有三组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为________. 【答案】，， 【分析】把看成点到直线的距离，根据题意，即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 故答案为：，，. 4．如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为____________． 【答案】 【分析】求出关于直线的对称点，过作平行于的直线为，将的值转化为的最小值，利用数形结合以及根据两点间的距离公式，求解出的坐标. 【详解】关于直线的对称点为，则有.过作平行于的直线为，由得，即此时直线为.过作，则，则.由于是常数，要使的值取最小，则的值取最小，即三点共线时最小.设，由得，即，解得（舍去.），即.设，则，解得，即，设，.由得，得，解得或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查两点间距离公式的应用，考查对称性，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 5．已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，由对称性可得，，结合“将军饮马”可得出周长的最小值. 【详解】作点关于轴的对称点， 作点关于直线的对称点， 由对称性可知，， 所以的周长为， 当且仅当、分别为线段与轴、直线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 6．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解. 【详解】因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ， 有，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 因为，，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解. 7．若点在圆外，则实数的取值范围为________；分别在直线与直线上，且．当圆的半径为3时，已知点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】①根据点在圆外列不等式求解即可；②根据与和的位置得到为两直线间的距离，，根据圆的半径为得到，然后将的最小值转化为的最小值，最后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】因为点在圆外，所以，解得； 由和的方程可知，又，所以为两直线间的距离，， 因为圆的半径为，所以，解得，则， 过点作直线垂直于直线，如图， 则直线为，倾斜角为，将点沿直线向上平移个单位得到， 连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，则的最小值即的最小值， 因为两点之间线段最短，所以， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：第一个空关键在于要考虑圆的方程表示的是圆的方程； 第二个空关键在于通过构造平行四边形，将的最小值转化为的最小值，再根据两点之间线段最短求最小值. 8．已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为__________，此时点的坐标为__________. 【答案】 【分析】利用对称性求出点关于直线的对称点，再利用两点的距离说明最小值的位置，求解即可． 【详解】解：如图所示：     ， 设点关于轴的对称点为，，点关于直线直线的对称点为，， 连接交于点，交轴于点，则此时的周长取最小值，且最小值为． 与关于直线对称， ，解得，， 与关于轴对称，， 此时直线的方程为即 由解得即 的最小周长，此时点的坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的问题，体现了数形结合的思想，属于中档题． 9．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 【答案】 【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：. 10．已知直线，，． (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程． (2)当为何值时，原点到直线的距离最大． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过、的中点和直线与平行两种情况讨论，分别计算即可； （2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出. 【详解】（1）因为，，所以、的中点为， 若直线过、的中点为， 则，解得，此时直线为，满足条件； 又，所以当时直线的方程为， 此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等， 综上可得直线的方程为或. （2）由，得， 联立，解得，则直线过定点， 由，得，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，    最大值为， 因为，所以，即当时原点到直线l的距离最大． 11．已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)存在，且直线的方程为 (3) 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； （2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可； （3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． （2）解：设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． （3）解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值. 12．过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1)4； (2)， (3)最小值为4，线l的方程为， 【分析】（1）方法一：设直线l的方程为，可得，，利用基本不等式运算求解；方法二：设，可得，利用基本不等式运算求解； （2）方法一：由（1）可知，，利用基本不等式运算求解；方法二：由（1）可知，利用基本不等式运算求解； （3）由（1）可知，，可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】（1）方法一：由题意可知：直线l的斜率存在，且为负数， 设直线l的方程为，可得，， 则， 当且仅当，即时，面积有最小值为4， 此时直线l的方程为，即； 方法二：设， 则所求直线l的方程为，可得． 则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以面积有最小值为4， 此时直线l的方程是，即. （2）方法一：因为，（）， 则截距之和为． 当且仅当，即时，等号成立， 所以截距之和的最小值为， 此时l的方程为，即； 方法二：因为， 则截距之和， 当且仅当，时，等号成立． 此时，直线l的方程为，即． （3）因为，（）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，此时，直线l的方程为. 13．（1）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最小． （2）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最大． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先取作点关于对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解；（2）先取作点关于对称点，根据对称的性质结合不等式分析可得，运算求解. 【详解】（1）如图1：，位于直线的同侧 作点关于对称点，则，连接交于， ∵，则最小值为 直线的斜率，直线的方程：，即 联立，得，即． （2）如图2：，位于直线的异侧 作点关于对称点，则，连接延长交于， ∵，即最大值为， 直线的斜率，直线的方程：，即 联立，得，即． 【点睛】 14．已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过找出点A关于直线l的对称点为，将的最小值转化为的最小值，利用三角形三边的关系可知，即可求点P的坐标; （2）利用三角形的三边关系可知，再求出直线AB的方程，即可求出点P的坐标. 【详解】（1）设A关于直线l的对称点为，则， 解得，故， 又∵P为直线l上的一点，则， 当且仅当B，P，三点共线时等号成立，此时取得最小值， 点P即是直线与直线l的交点． 由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． （2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点， 则，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立， 此时取得最大值，点P即是直线AB与直线l的交点, 又∵直线AB的方程为，∴由 ，解得， 故所求的点P的坐标为． 15．已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意先作出点关于直线的对称点，然后连接，则直线与的交点为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，点、在直线的同一侧． 由平面几何的知识可知，先作出点关于直线的对称点， 然后连接，则直线与的交点为所求． 设，则且， 解得，，， 直线的方程为． 由，解得，即为所求； （2）连接，则与直线的交点即为所求， 易得直线的方程为，联立，解得， 即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题七 如何解决直线与圆中的最值问题 教学目标 1.掌握米勒最大角问题、将军饮马（对称法）两类几何最值模型，能识别题型，利用几何方法求解距离、角度最值。 2.熟练掌握点关于直线求对称点的方法；掌握直线定点、三条直线不能构成三角形、截距、距离相关计算。 3.掌握圆的标准方程，点与圆、直线与圆的位置关系，理解解析几何常见代数式的几何意义（斜率、距离）。 4.会用基本不等式解决解析几何中的最值问题，理解恒成立问题的转化方法。 5.能够处理绝对值曲线、光线反射、三角形周长 / 面积最值、直线过定点等综合题型。 教学重点 1.将军饮马模型：单动点距离和差最值、双动点三角形周长最小、平移定长线段最值，会做对称转化。 2.米勒问题：最大张角模型——过两定点且与定直线相切的圆，切点为最大角点。 3.点关于直线的对称点求解（垂直 + 中点在直线上），反射问题等价于对称变换。 4.直线核心考点：直线过定点求法；三条直线不能围成三角形的三种情况；截距、点线距离、平行线距离。 5.圆的几何意义：斜率、距离表达式的几何含义；点与圆位置关系。 6.基本不等式"一正二定三相等"在解析几何最值中的应用；恒成立问题转化。 教学难点 区分不同将军饮马变式：周长最小需要两次对称；平移型将军饮马要先平移再对称，学生容易混淆。 米勒问题多解筛选：算出两个解，要舍去钝角对应的解。 解析几何综合题：不会优先用几何模型，只会硬算代数，计算量大容易出错。 容易忽略斜率不存在的情况，直接设 造成漏解。 恒成立逻辑搞反；基本不等式忘记检验等号能否取到。 复杂综合题，把实际问题（光线反射、三角板切割）转化为解析几何数学模型。 必掌握知识点 一 米勒最大角问题 1.米勒问题结论：过两定点且与定直线相切的圆，切点对两定点张角最大。 2.切割线定理。 3.弦的垂直平分线性质；圆与坐标轴相切的半径条件。 二 将军饮马（对称求距离最值） 1.单饮马：同侧作对称求 最小值； 最大值利用三角形三边关系。 2.双饮马（周长最小）：两个定点分别作两条直线的对称点，两对称点距离 = 周长最小值。 3.平移将军饮马：直线上有定长线段，先平移点再用"两点之间线段最短"。 4.光线反射模型：反射等价于做对称点。 三 点关于直线对称 1.两点连线与已知直线垂直（斜率乘积 ）。 2.两点中点落在已知直线上。 四直线综合 1.含参直线求定点：分离参数，联立方程组求解。 2.三条直线不能围成三角形：① 两直线平行；② 两直线重合；③ 三线共点。 3.点到直线距离，两平行线间距离。 4.截距式方程：截距可正可负，不等于距离。 5.直线与坐标轴正半轴相交，面积、截距、线段长的最值（基本不等式）。 五 圆与直线和圆位置关系 1.圆标准方程，圆心、半径。 2.点与圆位置关系判定。 3.圆上点的切线（点在圆上，切线垂直半径）。 4.代数式几何意义：：两点连线斜率；：两点间距离。 六 基本不等式与恒成立 ，，一正二定三相等。 恒成立： 恒成立 恒成立 七 曲线几何意义 1. 正方形图像，分段去绝对值。 2.根式配方识别距离的几何含义。 八 解析几何解答题综合 1.设直线要分斜率存在、斜率不存在两类讨论。 2.三角形面积计算（坐标法、底乘高）。 3.直线过定点证明：整理为参数恒等式，令参数系数等于 0。 4.换元法求函数值域，注意新元取值范围。 易错点汇总： 1.米勒问题 容易忽略钝角情况，算出两个解时，要检验角度是否为锐角，钝角要舍去（第2题）。 分不清"张角最大"的几何模型，直接用斜率夹角公式暴力计算，计算量大容易算错，优先用米勒圆模型。 圆与坐标轴相切，半径条件写错：与x轴相切 ，与y轴相切 。 2.将军饮马 周长最小题型：忘记做两次对称，只做一次对称导致结果错误。 平移将军饮马：平移方向、平移长度搞错，分不清向哪个方向平移。 最大值：混淆"最大"和"最小"；异侧点没有先做对称直接连线。 反射问题：分不清哪个点做哪条直线的对称点。 求出对称点后，算直线方程、联立求交点计算失误。 3.点关于直线的对称点 垂直斜率算错，尤其直线斜率为0或者不存在（水平/竖直直线）的特殊情况。 中点代入直线方程计算出错。 对称点坐标求错，后续距离、直线方程全部连锁错误。 4.直线综合 三条直线不能围成三角形，容易漏掉"三线共点"这种情况。 截距 ≠ 距离，截距是坐标，可以是负数，做题看到"正半轴"才限定 。 用基本不等式求最值，忘记验证等号能否取到。 求直线过定点，展开整理参数方程时计算出错。 5.圆的方程与直线圆位置 判断点在圆外，忘记圆方程要求 ，只代入点的不等式。 求斜率范围，忽略斜率不存在的切线情况。 混淆"圆上点到定点距离"和"到直线距离"。 6.基本不等式 忽略"一正"，直接套用基本不等式，负数不能直接用。 忽略等号成立条件，算出最值，但是等号取不到。 恒成立搞反逻辑： 恒成立，要小于等于最小值，不是最大值。 7.曲线几何意义 绝对值曲线，不分类讨论直接画图，图像搞错。 根号式子不会配方，看不出几何意义，硬代数运算，计算量大。 方程转化为直线距离模型，容易漏掉"不过原点"的限制条件。 8.解答题综合 漏讨论斜率不存在，直接设 ，漏掉垂直x轴的直线。 处理直线过定点，不会分离参数。 换元之后忘记新元的取值范围。 必考题型全归纳： 题型一、米勒问题（最大角问题） 1．在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点，使得最大”.如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（    ）    A． B． C． D． 题型二、将军饮马（对称转化求距离最值） 3．如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 4．对于任意，不等式恒成立，则m最大值为（） A．3 B． C．5 D． 题型三、点关于直线的对称点 5（多选）．已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（ ） A． B．2 C． D．-2 6．已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 题型四、直线综合（定点、围成三角形、截距、距离） 7．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为_____ 8．已知点，直线，，，. (1)若这三条直线不能围成三角形，求实数的值； (2)点关于直线的对称点为，求的取值范围. 题型五、圆的方程、直线与圆位置关系 9（多选）．已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．过点作曲线C的切线，则切线方程为 D．的最小值是 10．已知实数满足方程，求： （1）的最大值和最小值； （2）的最大值与最小值. 题型六、基本不等式 11．设实数满足，则的最小值等于(　　) A． B． C． D． 12（多选）．若正实数，满足，则下列说法正确的是（     ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最大值为 题型七、曲线几何意义（绝对值曲线、距离几何意义） 13．若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 14．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为________ 题型八、解答题综合（面积、斜率、定点、参数范围） 15．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，. （1）若过点，当的面积取最小值时，求直线的斜率； （2）若，求的面积的最大值； （3）设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点坐标. 16．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形锯成，设直线的斜率为，问： (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)若的面积为，求的表达式； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 巩固提升： 1.（多选）．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（    ） A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7 C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是 2（多选）．下列说法中正确的为（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．已知正数，满足，则的最大值为4 D．已知任意正实数，，且满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 3．若恰有三组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为________. 4．如图，平面上两点，在直线上取两点使，且使的值取最小，则的坐标为____________． 5．已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为________. 6．已知P，Q分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为________. 7．若点在圆外，则实数的取值范围为________；分别在直线与直线上，且．当圆的半径为3时，已知点，则的最小值为________． 8．已知点，点在轴上，点在上，则的周长最小值为__________，此时点的坐标为__________. 9．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______. 10．已知直线，，． (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程． (2)当为何值时，原点到直线的距离最大． 11．已知动直线过定点. (1)求的坐标： (2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. (3)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 12．过点作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点． (1)求面积的最小值及此时直线l的方程； (2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求的最小值及此时直线l的方程． 13．（1）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最小． （2）已知两点，，直线，在直线上求一点，使最大． 14．已知直线和点，． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大． 15．已知点，直线． (1)在上求一点，使的值最小； (2)在上求一点，使的值最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $