第2章 第5节 指数与指数函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第二章函数、导数及其应用 高考再现 4.如图，正方形OABC的边长为a(a>1),函数 >>>>>> y=3x的图象交AB于点Q,函数y=x的 图象交BC于点P,则当|AQ+|CP|最小 1.(上海·高考真题)下列幂函数中，定义域为 时，a的值为 R的是 ( A.y=x-1 B.y=x支 C.y=x D.y=x 2.(天津卷)若a=1.01.5,b=1.01.6,c 0.6.5,则a,b,c的大小关系为 ( A.ca>b B.c>b>a 5.已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x) C.a-bc D.ba>c x号，则f(-8)的值是 3.(全国甲卷（文）)已知函数f(x)=e-).记 6.(山东·高考真题)若函数f(x)=a'(a>0, a≠1)在[-1,2幻]上的最大值为4，最小值为 a=f(号)，b=)c=),则 ( m,且函数g(x)=(1-4m)√x在[0，+∞)上 A.bca B.b>a>c 是增函数，则a C.c>b>a D.c>a>b 提醒：请完成课时作业 第五节 指数与指数函数 知识点2指数函数的图象与性质 教材梳理 >>>>>> 0<a<1 a>1 知识点1指数与指数运算 2 y=a 1.根式的性质 图 01.y21 0,1 …y=1 象 (1)(Wa)”= (a使a有意义) (2)当n是奇数时，Wa”=a;当n是偶数时， 定义域： a"= 值域： 2.分数指数幂的意义 当x=0时，y=1,即过定点 (1)a"=yam(a>0,m,n∈N*,且n>1). 质 ①当x>0时， ②当x>0时， (2a=1=La>0,m,m∈N,且>1D. 当x<0时， 当x<0时， a a" 在R上是 函数 在R上是 函数 (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指 常用结论] 数幂没有意义， 1.指数函数的图象与底数大小的比较 3.有理数指数幂的运算性质 在第一象限内，指数函数y= (2) 3 (1)a·a=a+s(a>0,r,s∈Q), a(a>0,a≠1)的图象越高，底 (2)(a)=a(a>0,r,s∈Q). 数越大 (3)(ab)'=a'b'(a>0,b>0r∈Q), 0 25 艺考生文化课成功方案 2.指数函数y=a(a>0,a≠1)的图象和性质 与a的取值有关，要特别注意应分a>1与 典例精讲 >>>>> 0<a<1来研究. [例1]化简下列恪式（其中各字母均为正数）， 诊断自测 >>>>>> （1)a·6…。寺.b片 Va·b 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） (2(2》”+2×(2)-0.01) (1(-4)4=-4. ( [思路点拨](1)因为题目中的式子既有 根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便 (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘， 用法则计算； ( (2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是 (3)函数y=2-1是指数函数. 否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下 (4)函数y=a+1(a>1)的值域是(0，十o∞). 去，如不符合应再假设条件去求. ( [自主解答] 教材衍化 2.(25一26高一上·全国·课前预习)下列各 函数中，是指数函数的是 ( ) A.y=x3 B.y=(-4) C.y=5+1 D.y=52x [解题心得](1)指数幂的运算首先将根 3.(2026·浙江丽水·高二统考期末)已知a, 式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法 b∈R,则“2>2”是“1<”的 则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数 ( 才能相加；②运算的先后顺序 A.充分不必要条件 (2)当底数是负数时，先确定序号，再把底 B.必要不充分条件 数化为正数. C.既不充分也不必要条件 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指 D.充要条件 数，也不能既有分母又含有负指数。 考题体验 [例2](25一26高一下·河北保定· 4.(25一26高一上·天津·期中)函数f(x) 期中)函数f(x)=3-45的单调递减区间是 a一b的图象如图所示，其中a,b为常数，则下 列结论正确的是 ) [思路点拨]利用指数函数、二次函数的 单调性，结合复合函数单调性求出减区间， [解题心得](1)已知函数解析式判断其 图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否 过这些点，若不满足则排除 A.a>1,b0 B.a>1,b>0 (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、 5.(2026·合肥冲刺)若0<b<a<1,则a,b, 伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1 a°，b中最大的是 的大小关系不确定时应注意分类讨论， A.a B.b (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往 C.a" D.B" 往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 26 第二章函数、导数及其应用 [例3](25一26高一下·安徽·开学2.(2026·天津卷)已知函数f(x)=|1nx,若 考试)已知函数f(x)=3+2ar-4(a∈R). a=f(23),b=f(30.3),c=f(30.5),则a,b, (1)当a=一1时，求函数f(x)的单调区间； c的大小关系为 () A.a<b<c B.b<a<c (2)若Vx∈R,f(x)≤号恒成立，求a的取 C.c<b<a D.C<a<b 值范围. 3.(2025·上海卷)设a>0,s∈R.下列各项中， [思路点拨](1)根据复合函数的单调性， 能推出a>a的一项是 () 即可求解； A.a>1,且s>0 (2)根据不等式恒成立，转化为求函数的最 B.a>1,且s<0 值，即可求解. C.0<a<1,且s>0 [自主解答] D.0<a<1,且s>0 4.(山东·高考真题)已知函数y=f(x)是偶函 数，当x∈(0，十∞)时，y=a(0<a<1),则该函 数在（一∞，0）上的图象大致是 [解题心得]1.函数y=af)的定义域与 y=f(x)的定义域相同. 2.(1)函数y=a)的值域的求解，先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，确定 y=af)的值域. (2)通过换元能转化为一元二次函数的，可 利用一元二次函数求值域或最值， 5.(江西·高考真题)已知函数f(x)= 3.与指数函数有关的复合函数的单调性的 a·2,x≥0， 求解步骤 a∈R),若f(f(-1)=1,则 2x,x<0 (1)求复合函数的定义域； a= () (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； A B司 C.1 D.2 (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间（注意“同增 6.(2024·北京卷)已知(x1y),(x2y2)是函 异减”)； 数y=2的图象上两个不同的点，则() 4.利用指数函数的单调性可以比较或应用 同底数幂值的大小 2 2 高考再现 B1og4十业。 2 >>>>>>： C.1og当y<x,+x 1.(2026·上海卷)a为不为1的任意实数，则 2 a.a= ( D,logy22>x1千4 A.a B.a C.a D.a 提醒：请完成课时作业 27高考再现 1.[解析]对选项A,则有x≠0，对选项B,则有x>0,对选项C, 定义域为R,对选项D,则有x≥0，故选C [答案]C 2.[解析]因为函数f(x)=1.012是增函数，且0.6>0.5，所 以1.01.6>1.019.5，即b>a;因为函数h(x)=x85在 (0,十∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.019.5> 0.6.5,即a>c.综上，b>a>c.故选D. [答案]D 3.[解析]函数f(.x)=e(红-)是由函数y=e“和u= 一(.x一l)2复合而成的复合函数，y=e”为R上的增函数，u 一(x一1)2在(-∞，1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减 所以由复合函数的单调性可知，f(x)在（一∞，1）上单调递 增，在(1，十∞)上单调递减.易知f(x)的图象关于直线x=1 对格，所以c=()=f(2-)又号<2<9<1 22 所以（号）<(2-)<f(),所以b>>,故选A [答案]A 4[解析]依题意得Q(√侣a)p(a,后，则AQ+CP √号+2爱+去2-0=40+1GP. ，当且仅当后 3 即P-时取等号北时a反 [答案]5 5.[解析]f8)=8=4,因为f(x)为奇函数，所以f(-8)= -f(8)=-4. [答案]-4 1 6.[解析]当a>1时，有a2=4,a1=m,此时a=2,m= 此时g(x)=一√元为减函数，不合题意.若0<a<1,则a1=4, a2=m,故a=1 6,检验知符合题意。 [答案]十 第五节指数与指数函数 教材梳理 知识点11.(1a2la{aaa0. a,a≥0， 知识点2R(0,+∞)(0,1)0<y<1y>1y>1 0<y<1减增 诊断自测 1.[解析](1)由于√(-4)=√4=4，故(1)错误. (2)当心<1时，不可以，故(2)错误。 (3)由于指数函数解析式为y=a(a>0,且a≠1)， 故y=221不是指数函数，故(3)错误 (4)由于x2+1≥1，又a>1,a+1≥a.故y=a2+1(a>1) 的值域是[a,十∞)，(4)错误. [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]根据指数函数的定义形如y=a2(a>0且u≠1)为 指数函数判断：y=x3为幂函数，故A错误；y=(一4)中一4 不能作为底数，故B错误；y=5+1=5×52中系数不为1，故 C错误；y=52x=25x是指数函数，故D正确：故选D. [答案]D 3.[解折]取a=2,6=-1可知2>2，但是>0>方所 以，由2>2推不出女<：取a=-1,6=1,可知<0< 28 方，但是2<20，所以，由日<方静不出>2必，所以，”> 2”是“1<上”的既不充分也不必要条件.故选C [答案]C 4.[解析]由于f(x)=a-b的图象单调递减，所以0<a<1, 又因为0<f(0)<1,所以0<ab<1=a°，即-b>0,b<0.故 选D. [答案]D 5.[解析].0<b<a<1,.指数函数y=a2和y=产均为减 函数，.ab>a4,b<P,.幂函数y=xb在(0，十o∞)上为增 函数，∴.a>b,即a,,a“,b中最大的是a」 [答案]A 典例精讲 [例】[自主解答]1)原式=Q·b·a+·过 a. =4寸-古-古，b使+古-晋=1 @=1片×（告）() =1+×号-0 -1+日0总 [例2][自主解答]函数f(.x)=3一4红5的定义域为R,令 u=x2-4x-5,函数u=x2-4x-5对称轴为x=2,所以在 (一∞，2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增，函数y=3”在 R上单调递增，因此函数f(x)在（一∞，2）上单调递减，在 (2,十∞)上单调递增，所以函数f(.x)=3-4红-5的单调递减 区间是（一∞，2）. [答案](-∞，2) [例3][自主解答](1)当a=-1时，f(.x)=3x-2x4, 令t=一x2一2x一4，易知其单调递增区间为（一∞，一1），单 调递减区间为（一1，十∞）. 又y=3为增函数，所以f(x)=3-2x-4的单调递增区间 为(-∞，一1)，单调递减区间为（一1，十∞）. (2)Vx∈R.fx)≤号恒成立，即fx)=3+2u1≤号= 3-2恒成立，所以-x2十2ax-4≤-2，即x2-2a.x十2≥0恒 成立，所以△=4a2一8≤0，解得一2≤a√2， 所以a的取值范围为[一√2，√2]. 高考再现 L.[解析]由a≠1，则a·a=a·a=al+寸=a. [答案]B Inr,r>1 2.[解析]由题意可得f()=巴ih,0之<1因为画数) x03在(0，十∞)上单调递增，所以1<20.3<30.3，又因函数 y=3在R上单调递增，则0<305<1<3.5，所以c= f(30.5)=-ln30.5=ln30.5=f(30.5),因1<20.3<30.3< 30.5,且f(x)在(1，十o∞)上单调递增，所以f(20.3)<f(303) <f(30.5),即f(20.3)<f(3.3)<f3a5),故a<b<c. [答案]A 3.[解析]：a>0,a>a,∴a1>1=a,当a∈(0，l)时，y=2 定义战上严格单调递减，此时若一1<0，则一定有a1> 1=a°成立，故D正确，C错误；当a∈(1，十o∞)时，y=a'定 义域上严格单调递增，要满足a1>1=a°，需s>1,即A、B 错误.故选D. [答案]D 4.[解析]当x∈(0，十∞)时，y=(0<a<1),所以f(x)在 (0,十∞)上递减，f(x)是偶函数，所以f(x)在（一∞，0）上递 增.注意到a°=1，所以B选项符合.故选B. [答案]B 5.[解析]由题意得f(-1)=2（-D=2,所以f(f(-1)= f(2)=a·22=4a=1,解得a=4.故选A [答案]A 64 6.[分析]根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等 式分析判断AB;举例判断CD即可 [解析]由题意不妨设<2，因为函数y=2是增函数， 所以0<24<2，即0<<2，可得252头>√224 2 2学，即当业>2学>0，根据函数y=10g2.r是增函数，所 2 以10g21)业>10g2中=12，故B正确，A错误：例 2 2 如1=0g=1,则1=12=2，可得16影》吉2=6g号 3 ∈(0,1D,即1log2业<1=1十2，故D错误；例知r1 2 -1程=-2，则n=合%=子可得g:”2- 2 1g:是=log3-3e(-2.-10,即1og4”>-3=+ 2 t2,故C错误.故选B. 「答案1B 第六节对数与对数函数 教材梳理 知识点1(1)NN0(2)log.M+log N log.M-logN bMe台 思考：提示：不一定.如log(-5)2≠2log(-5). 知识点2(0，+∞)R(1,0)y>0y<0y<0y>0 增函数减函数 诊断自测 1.[解析](1)1og2x2=2log2x,故(1)错误. (2)形如y=log r(a>0,且a≠1)为对数函数，故(2)错误， (4)若0<b<1<a,则当x>1时，logar>logx,故(4)错误。 [答案](1)×(2)×(3)/(4)× 2.[解析]原式=2log23×(21og2)+log5(102×0.25)=4+ 10g525=4+2=6. [答案]D 3.[解折]由=a可得m=kga,由m十n=一号可得ga十 logeb=log ab=-- [答案]B 4.[解析]由alog29=2,可得1og29=2,所以9=4,3=2.故 选A. [答案]A 5.[解标]loe,号<号-log, a>1 aa>1: ① (0<a<1 @a<90ca<2 2 所以实数a的取值范国为(0，号)U(1,十∞).故选A 「答案]A 典例精讲 [例1][自主解答](1)原式=lg√2(2g√2+lg5)+ √(lg2)2-21g√2+1=lg√2(1g2+lg5)+lg2-1 =1g2+(1-lg2)=1. (2)由已知得g(2) =lg xy, (2）=x即2-6x叶y=0. (号）/-6（号）+1=0子=3+22或号=3-22 28 x-y>0, .x>0, .>1,.=3+22, y>0, y :.log(3-2)y =1og3-w,(3+22)=1og3-2w3-22 -1. [例2][自主解答]问题等价于函数y=f(x)与y=一x十a 的图象有且只有一个交，点，结合函数图象可知>1. [答案](1，十∞) [例3引[自主解答]4)由{仔+>0可得-2<<2，中西数 的定义域为（一2,2），关于原点对称，因为f(一x)十f(x)= log (2-x)-log(2+x)+log (2+x)-log (2-x)=0, 函数f(x)为奇函数. (2)当a=3时，f(x)=log(2+x)-l1og(2-x)=log2-7 2十x =1g(-12,因为画数y=-1-4 Γx-2在(-2,2)上 单调递增，又因为函数y=log3x在定义域内单调递增，故函 数f(x)在（一2,2）上单调递增； 又因为f(一m)=一f(m),且f(1)=1,故不等式f(n) f(-m)<2等价于2f(m)<2f(1),即f(m)<f(1),即可得 一2<n<1,故实数n的取值范围为（一2,1）. 高考再现 1.[分析]将log9a,log4利用换底公式转化成log2a来表示 即可求解. 31 解析]由题意得iogg410g,4og2421og2a=一2 整理得(log2a)2-5log2a-6=0,→log2a=-1或log2a=6, 又a>1,所以log2a=6,故a=26=64. [答案]64 2.[分析]法一：设2+log2x=3十log3y=5十log5之=m,对m 讨论赋值求出x,y,心，即可得出大小关系，利用排除法求出： 法二：根据数形结合解出. [解析]法一：设2十log2x=3十log3y=5十log5之=m,所以 令m=2.则x=1y=31=子=53=房此时>>， A有可能；令m=5,则x=8,y=9,之=1，此时y>x>z,C有 可能：令m=8,则x=26=64,y=35=243,之=53=125，此时 y>之>x,D有可能：故选B. 法二：设2+log2x=3十1ogy=5十log5之=m,所以，x= 2m-2,y=3m-3,之=5m-5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函 数y=2-2,y=313,y=5-5的图象，以上方程的根分别是 函数y=22,y=323,y=525的图象与直线x=m的交点 纵坐标，如图所示： /y=5*-5 y3* 0 x=m 易知，随着n的变化可能出现：x>y>之，y>x>之，yx>x, >y>x,故选B. [答案]B 3.[解析]由题意可得：1十x>0,解得：x>-1,所以函数f(x) =log3(1十x)的定义域为(-1，十o∞)，故选B. [答案]B 85