第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第二章函数、导数及其应用 4.下列函数中，在区间（一1,1）上为减函数的是6.(2025·上海卷T21节选)已知函数y=f(x) ( 的定义域为R对于正实数a,定义集合M。= 1 A.y--x B.y=cos x {xf(x十a)=f(x)}. C.y=In(x+1) D.y=2 (1)若f(a)=sim,判断琴是否是M.中的元 5.(2025·北京卷)关于定义域为R的函数 素，请说明理由； f(x),给出下列四个结论： x十2，x< ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 (2)若f(x)= ,Mn≠心，求a的 ,x≥0 f(x)十f(2x)=一x恒成立； 取值范围. ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 f(x)一f(2x)=x恒成立； ③使得f(x)+f(一x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)一f(一x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个. 提醒：请完成课时作业 其中正确结论的序号是 第三节 函数的奇偶性与周期性 知识点2函数的周期性 教材梳理 >>>>>> (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 知识点1 函数的奇偶性 x取定义域内的任何值时，都有 ,那 奇偶性 定义 图象特点 么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数 如果对于函数f(x)的定义域 的周期： 内任意一个x,都有f(一x)= 关于 (2)最小正周期 偶函数 ,那么函数f(x)就对称 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 叫做偶函数 最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 如果对于函数f(x)的定义域 最小正周期. 思考：函数y=f(x)(x∈R)是周期函数，则其 奇函数 内任意一个x,都有f(一x)=关于 那么函数f(x)对称 周期唯一吗？是否有最小正周期？ 就叫做奇函数 口诀奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心 记忆 偶函数，有对称 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的 函数一定是奇函数和偶函数吗？ [常用结论 1.函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(x|). 19 艺考生文化课成功方案 (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的5.（多选题）函数f(x)的定义域为R,且f(x十1) 单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 与f(x十2)都为奇函数，则 反的单调性 A.f(x)为奇函数 B.f(x)为周期函数 2.函数周期性常用结论 C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+4)为偶函数 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). 典例精讲 >>>>>> 1 (2)若fx+a)=fm则T=2a(a>0). [例1] (25一26高一上·内蒙古赤峰· (3)若fx+a)= f则T=2a(a>0). 1 期未)判断下列函数的奇偶性： 3.函数对称性常用结论 x)=+ (1)函数y=f(x)满足f(x)=2b-f(2a-x) (2fx)=是+lxl; 台y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称. (2)函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)台 (3)f(x)=|x-x. y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称. [思路点拨](1)(2)(3)利用函数奇偶性 的定义可判断出函数f(x)的奇偶性. 诊断自测 [自主解答 >>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)函数y=x在x∈(0，十∞)上是偶函数. (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0. ( (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z, n≠0)也是函数的周期， () (4)若函数f(x)满足关系f(a十x)=-f(b [解题心得]判断函数奇偶性的方法 则函数f化)的图象关于点（士护0） (1)定义法 对称 ( 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过 教材衍化 定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先 2.(2026·天津河北·模拟预测)已知函数y 对其进行化简，再利用定义进行判断. f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 为奇函数的是 定义域 A.y=f(x) B.y=f(x2) 莎 既不是奇函数 确定定义域 关于原点对称 也不是偶函数 C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x 3.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足 浪 fx+3)=f),且当.x∈0,2)时，fx)= 确定f因)与f(-x)的关系 -x,则r(g） [结论 考题体验 (2)图象法 4.(25一26高二下·山东德州·期末)设f(x)》 关于原点对称 f(x)为奇函数 是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤ f 1时，f)=2-x,则f-) 关于y轴对称 fx)为偶函数 20 第二章函数、导数及其应用 (3)性质法 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那 高考再现 么在它们的公共定义域上，有下面结论： 1.(2025·新高考I卷)设f(x)是定义在R上 f(x)g(z)f(z)+g(z)f(x)-g(z)f()g(2)f(g(z)) 且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x) 偶函数偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 ) 偶函数奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 =5-2,则f-)= 奇函数偶函数不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数奇函数 A.一克 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 [例2]已知f(x)是奇函数，且当x>0时， c D2 f(x)=xx一2，求x<0时，f(x)的表达式 2.（多选题)(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是 [思路点拨]x<0一x>0→求f(一x) 定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)= →由奇函数求f(x)的表达式 (x2-3)e+2,则 [自主解答] A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)ex-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 3.(新课标全国Ⅱ卷)若f(x)=(x十a)· h为偶函数则a () [解题心得](1)在哪个区间求解析式，x A.-1 B.0 c D.1 就设在那个区间里， 4.(天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴 (2)然后要利用已知区间的解析式进行 为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则f(x) 代入 的解析式可能为 ) (3)利用f(x)的奇偶性把f(一x)写成 -f(x)或f(x).从而解出f(x). A.fx）=sin(t B.f(a)-cos(z) (4)也可利用奇偶函数的对称性求解，本题 C.fx）=sinl(Fzl D.f(z)=cos(z) 中f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，把 x>0时，f(x)的解析式：y=xx一2|中的x、y 5.(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为R的 分别换为一x,一y即得所求， 偶函数，f)+f-2》=0,且当[83时， [例3](25一26高一下·福建·期末)已 f(x)=x2+ax十b,则 ( 知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，满足 A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 f(1十x)=f(1-x),若f(1)=2,则f(1)+ C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 f(2)+f(3)++f(2024)= 6.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( [思路点拨]利用函数的奇偶性和对称性 可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋 A.y= e-x2 x2+1 By=cosx十x x2+1 值，即可计算结果 [解题心得]判断函数的周期性只需证明 C.y-e'-z x+1 D.y=sin z+4x e f(x十T)=f(x),函数的周期性常与函数的其 他性质综合命题！ 提醒：请完成课时作业 21f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+f(2.x)>f(x)+ f(2x),故一2x>-x即x0,矛盾，故①错误；取f(x) 一x,该函数为R上的减函数且f(x)一f(2x)=x,故该函数 符合，故②正确；取f(x)=号cosx十mx,m∈R,此时fx)十 f(一x)=cosx,由n∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确； 若存在f(x),使得f(x)-f(一x)=cosx,令x=0,则0= cos0,但cos0=1,矛盾，故满足f(x)-f(-x)=cosx的函 数不存在，故④错误」 [答案]②③ 6.[解割（香）=m吾-9（答+）=-m吾 夏则号不是M,中的元素 (2)因为M≠必，则存在实数0使得f(m十a)=f(m),且>0， 当x0时，f(x)=x十2，其在（一o∞，0）上严格单调递增， 当x≥0时，f(x)=√x,其在[0，十∞)上也严格单调递增， 则x0<0≤x0十a,则x0十2=√xo十a, 令x十2=0，解得x=-2,则-2≤x0<0,则a=(√十a)2-x0 -+8-w(+)》+子∈[子 第三节函数的奇偶性与周期性 教材梳理 知识点1f(x)y轴一f(x)原点 思考：提示：一定是.反之，也成立」 知识点2(1)f(x十T)=f(x) 思考：提示：不唯一，若T是y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.若函数y=f(x)是常数函数， 则y=f(x)是周期函数，且无最小正周期 诊断自测 1.[解析](1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2 在(0，十∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x=0处有意 义时才满足f(0)=0,(2)错误. [答案](1)×(2)X(3)(4) 2.[解析]因为f(x)的定义域为R,又因为f(一x)=f(x), 所以y=f(x)是偶函数，不符合题意：令F(x)=f(x2),则 F(一x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函数，不符合题意； 令M(x)=x·f(x),则M(一x)=一x·f(-x)=x·f(x) =M(x),所以M(x)是偶函数，不符合题意；令N(x)=f(x) 十x,则N(一x)=f(一x)一x=一f(x)一x=一[f(x)十x] 一N(x),所以V(x)是奇函数，符合题意.故选D. [答案]D 3.[解析]由f(x十3)=f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数 f(x)为奇函数，所以f(号)=f(-号)=-f(号) (合》=日 [答案]言 4.[解析]设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数， 则f(x十2)=f(x),f(-x)=一f(x). 由题意，(-吾)=-f()=-f(2+)=-f(2) [()-]= [答案]10.25 5.[解析]由f(x十1)与f(x十2)都为奇函数知函数f(x)的 图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所以f(x)十f(2-x)=0, f(x)+f(4一x)=0,所以f(2-x)=f(4一x),即f(x) f(x十2)，所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x十3)， f(x十4)均为奇函数. [答案]ABC 28 典例精讲 [例1][自主解答]1)f()=2+的定义战为(-∞，0) U0,+).因为f(-)=(-x)3+=-(x3+） 一f(x),所以f(x)为奇函数. 2f)=是+r的定义为(-0.0)U0.+e).因为 f(-x)= +-=+=f所以fx)为g 1 函数. (3)f(x)=x一x的定义域为R,因为f(一x)=|一x| (一x)=x十x≠f(x),且f(一x)≠一f(x),所以f(x)为非 奇非偶函数. [例2][自主解答]设x<0,则-x>0, .f(-x)=-x-x-2=-xx十2. 又，f(x)是奇函数，有f(-x)=一f(x), ∴.-f(x)=-xx十2|，∴f(x)=xx+2 故当x<0时，f(x)=xx十2. [例3][自主解答]由函数f(x)是定义战为R上的奇函数， 可得f(一x)=一f(x),f(0)=0,再由f(1十x)=f(1一x)可 得：f(2+x)=f(一x),赋值可得f(2)=f(-0)=0, 由上两式可得：f(x十2)=一f(x),赋值可得f(3)=一f(1) =一2，再用x十2代替x得：f(x十4)=-f(x十2)， 由上两式可得：f(x十4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是一个周期为4的画数，因为2024=506， 所以f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2024)=506×(f(1)+ f(2)+f(3)+f(4))=506×(2+0-2+0)=0. [答案]0 高考再现 1.[解析] 由题知f(x)=f(-x),f(x十2)=f(x)对一切x∈R成 立，于是(-)=()=(4)=5-2x号=合 故选A. [答案]A 2.[解析]因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0,故A正 确；当x<0时，一x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2 3)ex+2]=-(.x2-3)ex-2,故B正确；f(-1)=-(1 3)e-2=2(e-1)>2,故C错误；，当x<0时，f(x)=(3 x2)ex-2,则f(x)=-(3-x2)ex-2.xex=(.x2-2x 3)e1,令f(x)=0,解得x=-1或3（舍去），当x∈(-o∞， 一1)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增，当x∈（一1,0)时， f(x)<0,此时f(x)单调递减，则x=一1是f(x)极大值点， 故D正确；故选ABD. [答案]ABD 3.[解折]设gx)=n易知g()的定义线为(-0， 号)u(分+)，且g(-)=n二 -h2一g.所以R)为奇画数若f)=(十@》 n为偶画数，则y=x十a也应为奇函数，所以a=0,故 In 2x+1 选B. [答案]B 4.[解析]f)=sin(受x),最小正周期为2红=4，因为f(2)= sin元=0，所以画数f(x)=sin(受x)的图象不关于直线 x=2对称，故排除A:f)=0s(受)，最小正周期为=4， 因为f(2)=0s元=-1，所以函数f(x)=cos(受x)的图象 32 关于直线x=2对称，故选项B符合题意：画数y=sim(平x) 和y=c0s(于)的最小正周期均为2=8，均不符合题意，故 排除C,D.综上，选B [答案]B 5.[解析]f(x)十f(x一2)=0，则f(x十2)+f(x)=0,f(x+4) 一f(x十2)=f(x),即f(x)的周期为4，结合奇偶性，周期性 故f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5),在[1.5,3]上满足f(1.5) f(2.5),说明f(x)=x2+ax十b的对称轴为x=2,则一2 2,解得a=一4，又根据f(x)十f(x一2)=0知f(1)十f(一1) =0,而f(1)=f(-1),则f(-1)=0,于是f(3)=f(-1)= 0,即f(3)=9+3a十b=9一12十b=0,解得b=3. [答案]D 6.[分析]根据偶函数的判定方法一一判断即可. [解折]设f)-千，画数定又战为R:他了(-1) e1-1 2 2,f(1D)=e。,则f(二1)≠f1),故y=2十)不是 偶西数，故A错民：设g)=四牛产，函纸定又城为R,且 8(-r)=cos(x)(-r)2cos r+.r2 (-x)2+1 x2+1 =g(x),则g(x)为 偶画数，故B正确：设h()=,函数定义城为{≠-1， x+1 不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误；设p(x)= n+4虹，画数定义城为R,因为e(1)=n十4 e o(-1) 二sn1-4,则g(1)≠g(-1),则g(x)不是偶函数，故D错 e 误.故选B. [答案]B 第四节二次函数与幂函数 教材梳理 知识点1(1)y=x“自变量 思考：提示：不能.因为当x>0时，y=x“>0. 知识点2b=0 思考：提示：不一定.因为最值的取得还与自变量的取值区间有 关，当x=一品不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶 点处取到. 诊断自测 1.[解析](1)由于幂函数的解析式为f(x)=x“,故y=2.x 不是暴函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零，点 不能确定函数的解析式， (④)对搭轴=一会，当一品不在给定定义线内时，最值不是 4ac-b2 ,故(4)错误 Aa [答案](1)×(2)/(3)×(4)× 2.[解析]因为函数f(x)=(m十2)x2m为幂函数，所以m十 2=1,得m=1,所以fx)=?2三之，定义城为xx≠ 因为f(-)三()2=f,所以f)在定义域内为 偶函数，故C错误，D正确；根据暴函数的性质知f(x)=x2 在(0，十∞)单调递减，又f(.x)在定义域内为偶函数，所以 f(x)=x一2在（一∞，0）单调递增，故A错误，B错误.故选D. [答案]D 3.[解折1f)=-22+mr+3=-2(c-婴）+答+3 :0≤m<40≤≤1， 28 六当=号时)取得最大值管+3=4，解得m 2√2. 「答案12√2 4.[解析]不等式(x2十1)>(3.x+5)z等价于x2十1>3.x十 ≥0，解得-号<r<-1或x>4.所以原不等式的解集为 [-景-u4+》 [答案]A 5.[解析]由幕函数y=x3为R上的增画数，且号<号<2， 所以()<() <23,即b<a<c,故选A [答案]A 典例精讲 [例1][自主解答]由f(1十x)=f(1-x),知f(.x)图象关 于x=1对称，又其最大值为15， .设f(x)=a(x-1)2+15(a≠0) 即f(x)=a.x2-2a.x+a+15 设f代x)=0的两根为2，则：4十x2=2,1.2=1+5 而x月十x2=(.x1十x2)3-3x1x2(x1十x2) =2-32(1+9）=2-盟 a ∴2-90=17，即a=-6 .∴.f(.x)=-6.x2+12x+9. 例2][自主解答](1)暴函数y=x手的定义域是R,(-x) =-)严=π2=x专，函数y=x子是偶函数， 其图象关于y轴对称，在[0，十∞)上单调递增， 函数y=x的图象，如图： 0 1 (2)由(1)知，不等式(x-1)子≤(2x十1)子台|x-1子≤ |2.x+1台|x-1≤|2.x+1,因此(x-1)2≤(2x+1)2,整 理得3x2十6.x≥0，解得x≤一2或x≥0，所以原不等式的解 集为（一∞，一2]U[0,十∞）. [例3][自主解答]函数f(.x)在(0，十∞)上单调递减， m2-2m-3<0,解得-1<m<3.m∈N*,.m=1或2. 又函数f(x)的图象关于y轴对称，.m2一2m一3是偶数， 而22-2×2-3=一3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数， .m=1.令g(x)=x号，g(x)=x言在(-o,0),(0,十o∞) 上均为减函数， ∴.(a+1)言<(3-2a)言等价于a十1>3-2a>0,或0>a +1>3-2a,或a+1<0<3-2a.解得a<-1或号<a< 是故a的取值范周为aa<-1成号<a<受} 3 [例4][自主解答](1)：暴函数y=xm(m∈R)经过点 4”=之即22=2解得m=一合y=x 因为y=x士=子，所以y=r±的定义战为(0，十∞). √x (2)由于函数y=x±在其定义域(0，十∞)上单调递减，又因 为点A(a十2，y1),点B(3-2a,y2)(a∈R)在此幂函数的图 象上，且满足为<g,可得a十2>3-2a>0,解得号<a< 是所以a∈(3，是)月 3