第2章 第2节 函数的单调性与最值-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第二章函数、导数及其应用 第一节函数及其表示 教材梳理 知识点1(1)任何唯一y=f(x),x∈A(2)定义域值 域对应关系 思考：提示：是，因为两函数的定义域和对应法则相同，故是同 一函数 知识点2图象法列表法解析法 知识点3对应关系 思考：提示：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各 段值域的并集， 诊断自测 1.[解析](1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x的定义 域为{xx≠0》，其定义域不同，故不是同一函数」 (2)错误.值域C二B,不一定有C=B. (3)错误.f(x)=√x-3十√2-x中x不存在 (4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相 等函数 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]根据y关于x的函数关系的图象可知，周老师先远 离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越 来越近)，所以D选项对应图象符合，故选D. [答案]D 3.[解析]函数y=x于和函数y=x音的定义域均为R,而y= x于=近，y=x=√，对应法则不同，故两个函数不是同 一函数 [答案]不是 4.[解析]<0时，反比例函数y=飞的图象经过二、四象限， 一次函数y=kx十k(k≠0)的图象经过二、三、四象限，没有选 项符合k>0时，反比例函数y=的图象经过一、三象限， 一次函数y=kx十k(k≠0)的图象经过一、二、三象限，C选项 符合：故选C [答案]C 5.[解析]因为函数f(.x)=√x2一ar十7的定义域为R, 则x2-ax十7≥0在R内恒成立， 故需使△=a2-28≤0，解得-2√7≤a≤2√7， 所以实数a的取值范围是[一2√7,2√7]. [答案][-2√7,2√7] 典例精讲 [例1[自主解答]①)由0得：<0且x≠-2， 所以画数f)=+22°的定义战为(-00，-2U(-2,0. √一x (2)由 -2-x≥0 /x-2 2+23≠0得≠1且≠-3 即x一2且x≠-3. 所以画数gx)=2三的定战是（一0，-3U-3.21 x2+2.x-3 [例2][自主解答](1)法一：f(x十3)=x2-2x十3 =(x+3)2-2x-6.x+3-9=(x+3)2-8.x-6 =(.x+3)2-8(x+3)+24-6=(x+3)2-8(.x+3)+18, ∴.f(x)=x2-8x+18. 法二：令x十3=t,则x=t-3, ∴.f(t)=(t-3)2-2(t-3)+3=t2-8t+18 ∴.f(x)=x2-8x+18. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 由f(0)=0,知c=0,f(x)=a.x2+bx, 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 得a(x+1)2+b(x+1)=a.x2+bx+x+1, 即a.x2+(2a+b)x+a+b=a.x2+(b+1).x+1, & 所以2a+1解得a==司 a+b=1, 所以f(x)= + 2x,x∈R 3:2f+(）=3,0 把①中的x换成，得2()+r)=是.@ 2fx)+f(）=3x, 联立①②可得 解此方程组可得f(x)=2x一 [例3][自主解答]1)因为2≤1， 所以f2)=1+1=2,又：2>1， 所以f(f(2)）=f2)=4-3=1, (3)=1 2)当≤1时，f)=2x+1=6,解得=号>1（含： 当x>1时，f(x)=x2-3=6, 解得x=士3，又因x>1,所以x=3. 综上：实数x=3. 高考再现 -x2+2.x+3≥0， 1.[解析]要使函数有意义，x需满足 x+1>0, 解得 x+1≠1， 一1<x<0或0x≤3，所以函数的定义域为（一1,0）U (0,3],故选B. [答案]B 2.[解析] 由题意得 -1<号1 1-2<x<2,.0∠ -1<x-1<1, {0<x2, x<2函数g(x)=f(受)+fx-1)的定义城为(0,2). 「答案]C 3.[分析]代入得到f(1)=1,f(2)=2,再利用函数性质和不 等式的性质，逐渐递推即可判断. [解析]因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2, 又因为f(.x)>f(x-1)+f(x-2),则f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+ f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)> 34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89, f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233, f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610, f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1597> 1000,则依次下去可知f(20)>1000,则B正确；且无证据 表明ACD一定正确.故选B. [答案]B 4.[解析]函数f(x)=4十lox,所以f （)=4t+los 2-1=1. [答案]1 5.[分析]根据已知条件，将x=3代入函数解析式，即可 求解. [解析]f(x)= 元>0，则f(3)=3. 1,x≤0， [答案]√3 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 知识点1(1)f(x1)>f(x2) 思考：提示：不成立，如f)= 80 知识点2①f(x)M②f(xO)=M③f(x)≥M ④f(xo)=M 思考：提示：是 诊断自测 1.[解析](2)此单调区间不能用“U”连接，故单调递减区间 为（一∞，0）和(0，十∞). (3)应对任意的x1<c2,f(x1)<f(x2)成立才可以. (4)若f(x)=x,在[1，十o∞)上为增函数，但y=f(x)的单调 递增区间是（一∞，十∞）. [答案](1)/(2)×(3)×(4)× 2.[解析]函数y=工在(0，十o∞)上单调递减，A不是；函数 y=r+9在(0,3)上单调递减，在(3，十∞)上单调递增，B不 是；函数y=x2-4x十1在(2，+o∞)上单调递增，C是；函数 yr-4={44在(-©，4)上单调递成，在 (4,十∞)上单调递增，D不是.故选C [答案]C 3.[解析]因为函数f(x)是定义在区间[0，十∞)上的增函数， 满足f(2x-1)<f(3）,所以0<2x-1<号，解得号<r< 号故选D [答案]D 4.[解析]|f(x-1)|<2→-2<f(x-1)2,又因为A(0,2), B(4,一2)是函数f(x)图象上两点，故f(4)<f(x一1) f(0),该函数是R上的减函数，故0<x一1<4，解得15. 即不等式解集为(1,5)，故选B. [答案]B 5.[解析]：f(x)的定义域为[1，十∞)，且y=9.x2与y= √x一1在[1，十∞)内均为增函数，.f(x)在[1，十∞)上单调 递增，故f(x)min=f(1)=9. [答案]9 典例精讲 [例1][自主解答](1)任取x1、x2∈(-o∞，1]且x1<x2,则 x1一x20且x1十x2<2, 所以，f(x1)-f(x2)=(x-2c1)-(3-2x2) =(.x1-x)-2(x1-x2) =(x1一x2)(x1十2)-2(x1-x2) =(x1-x2)(x1+x2-2)>0, 即f(.x1)>f(x2),所以，函数y=f(x)在区间（一∞，1]上是 严格减函数， (2)因为函数f(.x)=x2一2x在[一2,1]上为减函数，在[1,2] 上为增函数，所以，当x=1时，函数f(x)取最小值，且最小值 为f(1)=一1，又因为f(-2)=4+4=8,f(2)=4一4=0，所 以，当x=一2时，函数f(x)取最大值，且最大值为f(一2) =8. |-x2+2x+3,x≥0， [例2][自主解答](1)法-·fx)={-2-2x+3,x<0 ,∴.由二次函数性质知f(x)的增区间是（一o∞，一1]和[0,1]， 减区间是[一1,0]和[1，十∞. 法二：f(x)为偶函数，.其图象为 由图象知f(x)的增区间为（一o∞，一1]和[0,1]： 减区间为一1,0]和1，十∞). (2)函数f(x)的定义域为{xx≠0}： f)=1-是= 2 令f(x)>0得x-3或x>3. 令f(x)<0,得-3x0或0<x3. ∴.f(x)的增区间是（一∞，一3]和[3，十∞），减区间是 (一3,0)和(0,3). 28 [例3][自主解答](1)因为f(x)的图象关于直线x=1对 称，所以f(-号)=f().由2>>1时，[f(x2) f(1)]·(x2-x1)<0恒成立，知f(x)在(1，十∞)上单调 递减 12<<,f2>(受)>e.6>> {a2-a>0, (2)由已知可得{a十30， 解得-3<a<-1或a>3,所 a2-a>a+3, 以实数a的取值范围为（一3，一1）U(3,十o∞). x2,x≥1 (3)因为f(x)= +是-50K1 当≥1时，f)=t≥1，当0<x<1时，函数f(x)=x十4-5 单调递减，故f(x)>f(1)=0, 综上，函数f(x)的值域为(0，十∞). [答案](1)b>a>c(2)(-3,-1)U(3,+∞) (3)(0,+∞) 高考再现 1.[舞标糊]在f)=中中rER.则(-)=行 1 =2十-fx),通数为偶画数，故A错误；在f()=sinx 中，x∈R,函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故B错 误；在f(x)=2x一2中，x∈R,则f(一x)=2一2x=一f(x) 函数为奇函数，(x)=-2xln2-2rln2<0,函数单调递 减故C铅误：在f0=n当中. 5十>0，解得-5<x<5, f(x)=ln(5+x)-ln(5-x),则f(-x)=n(5-x)-ln(5+x)= 1=5-x+6+2= 一f(x)为奇函数，f(x)=5+十5一x 25-x2 2520,即函数在定义城上单调递增，故D正确， [答案]D 2.[解析]由题意得y=x(x一a)在区间(0,1)单调递减，所以 x=号>1，解得a>2故选D. [答案]D 3.[解析]因为y=lnx在(0，十∞)上单调递增，y=-x在 (0,十o∞)上单调递减，所以f(x)=一lnx在(0，十∞)上单调 递减，故A错误；因为y=2”在(0，十○)上单调递增y=在 （0,十)上单调道减，所以fx)=是在(0.十o∞)上单调选 减，故B错误；因为y=】在(0，十∞)上单调递减，y=一x在 (0,十∞)上单调递减，所以f(x)=一1在(0,0)上单调递 增，故C正确：因为(2）=3=3=f(1) 31-=30=1,f(2)=32-1=3,显然f(x)=3x-1在 (0,十∞)上不单调，D错误.故选C. [答案]C 4.[解析]逐个判断给出函数的单调性，选项A中，y=在 (-,101,十)上为增函级，故y己在(-11D上为 增函数；选项B中，y=cosx在（一1,1）上先增后减；选项C 中，y=ln(x十1)在（一1，十o∞）上为增函数，故y=ln(x十1) 在(-11)上为增函数：选项D中，y=2-(3)广在R上 为减函数，故y=2在（一1,1）上是减函数. [答案]D 5.[解析]若存在在R上的增函数f(x),满足f(x)十f(2x) =一x,则f(0)十f(2X0)=一0，即f(0)=0,故x>0时， f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+f(2.x)>f(x)+ f(2x),故一2x>-x即x0,矛盾，故①错误；取f(x) 一x,该函数为R上的减函数且f(x)一f(2x)=x,故该函数 符合，故②正确；取f(x)=号cosx十mx,m∈R,此时fx)十 f(一x)=cosx,由n∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确； 若存在f(x),使得f(x)-f(一x)=cosx,令x=0,则0= cos0,但cos0=1,矛盾，故满足f(x)-f(-x)=cosx的函 数不存在，故④错误」 [答案]②③ 6.[解割（香）=m吾-9（答+）=-m吾 夏则号不是M,中的元素 (2)因为M≠必，则存在实数0使得f(m十a)=f(m),且>0， 当x0时，f(x)=x十2，其在（一o∞，0）上严格单调递增， 当x≥0时，f(x)=√x,其在[0，十∞)上也严格单调递增， 则x0<0≤x0十a,则x0十2=√xo十a, 令x十2=0，解得x=-2,则-2≤x0<0,则a=(√十a)2-x0 -+8-w(+)》+子∈[子 第三节函数的奇偶性与周期性 教材梳理 知识点1f(x)y轴一f(x)原点 思考：提示：一定是.反之，也成立」 知识点2(1)f(x十T)=f(x) 思考：提示：不唯一，若T是y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.若函数y=f(x)是常数函数， 则y=f(x)是周期函数，且无最小正周期 诊断自测 1.[解析](1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2 在(0，十∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x=0处有意 义时才满足f(0)=0,(2)错误. [答案](1)×(2)X(3)(4) 2.[解析]因为f(x)的定义域为R,又因为f(一x)=f(x), 所以y=f(x)是偶函数，不符合题意：令F(x)=f(x2),则 F(一x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函数，不符合题意； 令M(x)=x·f(x),则M(一x)=一x·f(-x)=x·f(x) =M(x),所以M(x)是偶函数，不符合题意；令N(x)=f(x) 十x,则N(一x)=f(一x)一x=一f(x)一x=一[f(x)十x] 一N(x),所以V(x)是奇函数，符合题意.故选D. [答案]D 3.[解析]由f(x十3)=f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数 f(x)为奇函数，所以f(号)=f(-号)=-f(号) (合》=日 [答案]言 4.[解析]设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数， 则f(x十2)=f(x),f(-x)=一f(x). 由题意，(-吾)=-f()=-f(2+)=-f(2) [()-]= [答案]10.25 5.[解析]由f(x十1)与f(x十2)都为奇函数知函数f(x)的 图象关于点(1,0)，(2,0)对称，所以f(x)十f(2-x)=0, f(x)+f(4一x)=0,所以f(2-x)=f(4一x),即f(x) f(x十2)，所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x十3)， f(x十4)均为奇函数. [答案]ABC 28 典例精讲 [例1][自主解答]1)f()=2+的定义战为(-∞，0) U0,+).因为f(-)=(-x)3+=-(x3+） 一f(x),所以f(x)为奇函数. 2f)=是+r的定义为(-0.0)U0.+e).因为 f(-x)= +-=+=f所以fx)为g 1 函数. (3)f(x)=x一x的定义域为R,因为f(一x)=|一x| (一x)=x十x≠f(x),且f(一x)≠一f(x),所以f(x)为非 奇非偶函数. [例2][自主解答]设x<0,则-x>0, .f(-x)=-x-x-2=-xx十2. 又，f(x)是奇函数，有f(-x)=一f(x), ∴.-f(x)=-xx十2|，∴f(x)=xx+2 故当x<0时，f(x)=xx十2. [例3][自主解答]由函数f(x)是定义战为R上的奇函数， 可得f(一x)=一f(x),f(0)=0,再由f(1十x)=f(1一x)可 得：f(2+x)=f(一x),赋值可得f(2)=f(-0)=0, 由上两式可得：f(x十2)=一f(x),赋值可得f(3)=一f(1) =一2，再用x十2代替x得：f(x十4)=-f(x十2)， 由上两式可得：f(x十4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是一个周期为4的画数，因为2024=506， 所以f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2024)=506×(f(1)+ f(2)+f(3)+f(4))=506×(2+0-2+0)=0. [答案]0 高考再现 1.[解析] 由题知f(x)=f(-x),f(x十2)=f(x)对一切x∈R成 立，于是(-)=()=(4)=5-2x号=合 故选A. [答案]A 2.[解析]因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)=0,故A正 确；当x<0时，一x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2 3)ex+2]=-(.x2-3)ex-2,故B正确；f(-1)=-(1 3)e-2=2(e-1)>2,故C错误；，当x<0时，f(x)=(3 x2)ex-2,则f(x)=-(3-x2)ex-2.xex=(.x2-2x 3)e1,令f(x)=0,解得x=-1或3（舍去），当x∈(-o∞， 一1)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增，当x∈（一1,0)时， f(x)<0,此时f(x)单调递减，则x=一1是f(x)极大值点， 故D正确；故选ABD. [答案]ABD 3.[解折]设gx)=n易知g()的定义线为(-0， 号)u(分+)，且g(-)=n二 -h2一g.所以R)为奇画数若f)=(十@》 n为偶画数，则y=x十a也应为奇函数，所以a=0,故 In 2x+1 选B. [答案]B 4.[解析]f)=sin(受x),最小正周期为2红=4，因为f(2)= sin元=0，所以画数f(x)=sin(受x)的图象不关于直线 x=2对称，故排除A:f)=0s(受)，最小正周期为=4， 因为f(2)=0s元=-1，所以函数f(x)=cos(受x)的图象 32艺考生文化课成功方案 [自主解答] A.（-1,3] B.(-1,0)U(0,3] C.[-1,3 D.[-1,0)U(0,3 2.已知函数f(x)的定义域为（一1,1），则函数 g(x)=f受)+f(x-1)的定义域为() A.（-2,0) B.（-2,2) C.(0,2) [解题心得]分段函数“两种”题型的求解 D(-z.0) 策略 3.(2024·新课标I卷)已知函数f(x)的定义 (1)根据分段函数解析式求函数值 域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次 x<3时f(x)=x,则下列结论中一定正确 选定相应的解析式代入求解。 的是 ( (2)已知函数值或函数值范围求自变量的 值或范围 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 应根据每一段的解析式分别求解，但要注 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 4.(北京卷)已知函数f(x)=4+log2x,则 的自变量的取值范围！ 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时， 应分类讨论， 5.(2024·上海卷)已知f(x)= ,x0则 高考再现 1,x≤0， >>>>> f(3)= 1,函数y=√+2十3的定义域为 lg (x+1) ( 提醒：请完成课时作业 第二节 函数的单调性与最值 教材梳理 (2)单调区间的定义 >>>>>> 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减 函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 知识点1 函数的单调性 (严格的)单调性，区间D叫做函数y=f(x)的 (1)增函数、减函数 单调区间. 增函数 减函数 思考：若f(x)的单调递减区间为(a,b)和 一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 (c,d),设x1∈(a,b),x2∈(c,d),且x1<x2,则 f(x1)>f(x2)成立吗？ 定义 当x1<x2时，都有f(x1) <f(x2),那么就说函数 当x1<x2时，都有 那么就说函数f(x) f(x)在区间D上是增 函数 在区间D上是减函数 y=f(x) y=f(x) 图象 人fx2) 描述 x f)f) 0衣 02文 16 第二章函数、导数及其应用 知识点2函数的最值 教材衍化 2.(25一26高一上·北京·期中)下列函数中， 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 在(2，十∞)上单调递增的是 ( ①对于任意的x∈I,都③对于任意x∈1，都有 有」 A.y=1 B.y=x+9 C 条件 ②存在0∈1，使得 ④存在x0∈I,使得 C.y=x2-4x+1 D.y=x-4 3.(2026·全国·高三专题练习)已知函数 M为函数y=f(x)的最M为函数y=f(x)的最 f(x)是定义在区间[0，十∞)上的函数，且在 结论 大值 小值 该区间上单调递增，则满足f(2x一1) 思考：若函数的最值存在，那么它一定是值域中 f()的x的取值范围是 的元素吗？ A哈， B[哈，号) c(2) n[分) 考题体验 4.(25一26高一上·安徽铜陵·期末)已知 A(0,2),B(4,一2)是函数f(x)图象上两点， [常用结论] 且该函数是R上的减函数，则f(x一1)<2的 函数单调性的常用结论 解集是 ( (1)对Yz,∈D(G≠)，f）-f)<0 A.(-1,3) x1x2 B.(1,5) 台f(x)在D上是减函数， C.(-∞，-1)U(3,+∞) (2)对勾函数y=x十a(a>0)的增区间为 D.(-∞，1)U(5,+∞) 5.(2026·聊城检测)函数f(x)=9x2+√x-1 (一o,一√a]和[√a,+∞]，减区间为[一√a,0) 的最小值为 和(0，a]. (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数， 典例精讲 两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和 [例1](25一26高一上·上海宝山·期末) u=g(x)的单调性的关系是“同增异减” 已知函数f(x)=x2一2x. (1)用定义法证明函数y=f(x)在区间 诊断自测 (一∞，1]上是严格减函数； >>>>>> (2)写出函数y=f(x)在区间[一2,2]上的 思考辨析 最值，以及相应的x的值 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） [思路点拨](1)任取x1、x2∈（一∞，1] (1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,∈D, 且x1<x2,作差f(x)一f(x2),因式分解后判 断f(x1)一f(x2)的符号，结合函数单调性的定 且x1≠x2有(x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0, 义可证得结论成立； 则函数f(x)在区间D上是增函数.( (2)分析函数f(x)在区间[一2,2]上的单 (2)函数)y=的单调递减区间是（一∞，0）U 调性，即可求出函数f(x)的最大值、最小值以 及对应的x值， (0,+∞). [自主解答] (3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则 f(x)为增函数 ) (4)函数y=f(x)在[1，+∞)上是增函数，则 函数的单调递增区间是[1，十∞). 17 艺考生文化课成功方案 [例2]求下列函数的单调区间； [思路点拨](1)将自变量化到同一单区 (1)f(x)=-x2+2x+3: 间(1，十∞)上根据单调性比较a,b,c大小. (2)f(x)=x+9 (2)由增减性将“f”去掉，解关于a的不等 式求解 [思路点拨](1)去绝对值号，转化为二次 (3)根据二次函数性质求出x≥1时的值 函数求解，或画出函数图象求解；(2)利用导数 域，再根据对勾函数的单调性求出0<x<1时 法求解 的值域，然后利用分段函数的性质即可求解. [自主解答 [解题心得](1)比较大小.比较函数值的 大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然 后利用函数的单调性解决， (2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不 等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱 掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别 注意函数的定义域 (3)利用单调性求参数， 「解题心得]确定函数单调性（区间）的3 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单 种常用方法 调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变 间比较求参数： 形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形， ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的， 为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 乘（除）或平方和的形式，再结合变量的范围、假 (4)利用单调性求最值.应先确定函数的单 定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进 调性，然后再由单调性求出最值， 行判断.（如例1题） (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出 高考再现 >>>>>> 的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直 观性确定它的单调性.（如例2题） 1.(2026·北京卷)下列函数f(x)是奇函数且 (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数 在定义域上单调递增的是 () 的单调性.（如例1题） 1 A.f(a)= x2+1 B.f(x)=sin x [例3](1)已知函数f(x)的图象关于直 线x=1对称，当x2>x1>1时，[f(x2) C.f(x)=2-x-2 D.f(a)=In 5z 、5+x f)](-)<0恒成立，设a=f(-2),b 2.(新课标全国I卷)设函数f(.x)=2x在区 f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( (2)已知函数f(x)是定义在(0，十∞)上 A.(-0∞，-2] B.[-2,0) 的增函数，若f(a2-a)>f(a十3)，则实数a的 C.(0,2 D.[2,+∞) 取值范围为 3.(北京卷)下列函数中，在区间(0，十∞)上单 (3)(2026·上海松江·三模)已知函数 调递增的是 /x,x≥1 f(x)= x+1-5,0<<1则f(x)的值域为 A.f(x)=-In x B.f(z)= 2 C.f(x)=-1 D.f(x)=3x-1 18 第二章函数、导数及其应用 4.下列函数中，在区间（一1,1）上为减函数的是6.(2025·上海卷T21节选)已知函数y=f(x) ( 的定义域为R对于正实数a,定义集合M。= 1 A.y--x B.y=cos x {xf(x十a)=f(x)}. C.y=In(x+1) D.y=2 (1)若f(a)=sim,判断琴是否是M.中的元 5.(2025·北京卷)关于定义域为R的函数 素，请说明理由； f(x),给出下列四个结论： x十2，x< ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得 (2)若f(x)= ,Mn≠心，求a的 ,x≥0 f(x)十f(2x)=一x恒成立； 取值范围. ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得 f(x)一f(2x)=x恒成立； ③使得f(x)+f(一x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)一f(一x)=cosx恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个. 提醒：请完成课时作业 其中正确结论的序号是 第三节 函数的奇偶性与周期性 知识点2函数的周期性 教材梳理 >>>>>> (1)周期函数 对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当 知识点1 函数的奇偶性 x取定义域内的任何值时，都有 ,那 奇偶性 定义 图象特点 么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数 如果对于函数f(x)的定义域 的周期： 内任意一个x,都有f(一x)= 关于 (2)最小正周期 偶函数 ,那么函数f(x)就对称 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 叫做偶函数 最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 如果对于函数f(x)的定义域 最小正周期. 思考：函数y=f(x)(x∈R)是周期函数，则其 奇函数 内任意一个x,都有f(一x)=关于 那么函数f(x)对称 周期唯一吗？是否有最小正周期？ 就叫做奇函数 口诀奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心 记忆 偶函数，有对称 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的 函数一定是奇函数和偶函数吗？ [常用结论 1.函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(x|). 19