第1章 第5节 基本不等式及其应用-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

3.[解析]原不等式转化为(x一1)(x一3)<0，解得1<x<3, 则其解集为(1,3)】 [答案](1,3) 4.[解析]设t=2a十b,原题转化为求t的最小值，原不等式可 化为对任意的-2≤x≤2，tx2+(1-2a)x-a-1≤0， 不妨代入x=一 号，得-合1-2a)-a-1<0,得≥-4， 当t=一4时，原不等式可化为一4x2十（一4一2a)x一a一10，即 -[2x+(2a十1】+子a2≤0.观察可知，当a=0时， -(2x十1)2<0对-2≤x≤2一定成主，当且仅当x=-司 取等号，此时，a=0,b=一4，说明t=一4时，a,b均可取到，满 足题意，故t=2a十b的最小值为一4. [答案]一4 第五节基本不等式及其应用 教材梳理 知识点1(2)a=b(3)4十b 2 √ab 知识点2(1)2ab 知识点3(1)小 (2)x=y大 诊断自测 1.[解析](1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R: 不等式2生>√ab成立的条件是a>0,6>0. (2)画数y=x十的值城是(-∞，-2]U[2,十∞)，没有最 小值 (3)温载f)=sin十品没有装小位 (4)x>0且y>0是工十上≥2的充分不必要条件」 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]因为a>0,b>0,a十4b=2,由基本不等式可得2 a十4h≥24ab=4va瓜，可得ah≤子，当且仅当a=4b.即 u=1b=子时，等号成立，所以b的最大值为子，故选A [答案]A 3.[解析]由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3， 故A正确；当0>≥y时，专>√心不成主，故B错误；当 0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2十y2-2.xy= -y)2≥0成立，即x2十y2≥2.xy成立，故D正确. [答案]AD 4.[解桥]0>0,6>0，且+号-2a+6=(日十 a ,b.驰+10)=8， 号)a+(++)≥（会· 岂且仅当人=90即心=2，b=6时等号成立，故选 [答案]A 5.[解析]设长方形的长、宽分别为a,b(0<a,b<3),则2a十 2b=6→a十b=3,根据均值不等式有：矩形面积S=ab≤ a+b)2 2 是，当且仅当a=6=受时取等号 [答案]9 典例精讲 [例1][自主解答](1)原式xy十2x十y=6变形可得 (x十1)(y十2)=8，由x>0,y>0,得x+1>1,y+2>2,所以 2x+y=2(x+1)+(y+2)-4≥2√2(x+1)(y+2)-4 2(x+1)=y+2 2√/2×8一4=4，当且仅当 1Dy+2》=8即时取 x>0 y>0 等号；所以(2x十y)mm=4.故选C 3 (2)由a2+b2=1,可得1=a2+=a2+1b2≥2a·1bl, 所以a:≤分当且纹当1a=6=号时，等号成立，所 以-号所以a6的范因是[，] 案ace[】 [例2][自主解答]周为a十么=1，所以日十古 (日+古)+0)=2+（台+÷）≥2+2√2·号=2+ 2=4当且仅当a=6=合时，取等号. [答案]4 [例3】[自主解答】由y十一y=-1有=，则 y-y4-[片++可@当温收多y =1时，等号成立.故选D. [答案]D 高考再现 1.[解析]由已知得(x十y)2-3.xy=1,所以1=(x十y)2- 3xy≥(x+y)2-_3+卫，即1≥+，所以-2≤+ 4 4 y≤2，所以A不正确，B正确：由x2十y2-xy=1,得x2十 -1=<告兰，当且仅当=y时取等号，所以2十 y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，选BC [答案]BC 2.[解析]因为(+)+)=+是+≥2·十 5=9,当且仅当r2=号时，即r2=2,x=士厄时，等号成立， 所以(x+)(x+生)的最小值为. [答案]B 3.[解析]当a=b时，a2+=2ab,故A错误；取a=号，b 此时+=2+1=6<工=8=+ 2+4=6> 2=42=2,故BD错误；由基本不等 11 √ab 式可得a十b>2√ab>√ab,故C正确.故选C. [答案]C 4.[解析].a>0,b>0,a+2b=4,∴.4=a十2b2√2ab, .ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取等号. [答案]2 .解折]因为m+=8,所以品+女-（侣+日）Xm m n 8 -合×(+0+兴)≥古×(4+2V供×只)-言× (4十4)=1，当且仅当扭=”，即m=4,n=2时等号成立. 172 [答案]1m=2n 6.[解析]易知6+日-(6+)(a+公）=b+品+2≥ 2√ab~品+2=4，当且仅当a6=1,脚a=之6=2时取得 最小值. [答案]4 9艺考生文化课成功方案 第五节 基本不等式及其应用 教材梳理 (3)函数f(z)=sinx十、4的最小值为4. sin x >>>>>> 知识点1 基本不等式a力 (4)x>0且y>0是工+y≥2的充要条件. (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取 教材衍化 等号 2.(2026·陕西榆林·高二校联考期中)已知 (3)其中 称为正数a,b的算术平均数， a>0,b>0,a十4b=2,则ab的最大值为 称为正数a,b的几何平均数. ( 知识点？两个重要的不等式 (1)a2+b≥ (a,b∈R),当且仅当a=b A B号 时取等号 C.1 D.2 (2)a6≤)(a,bER),当且仅当u=b时取 3.(多选题)若x≥y,则下列不等式中正确的是 ( 等号 A.3≥3 知识点3利用基本不等式求最值 告≥网 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y C.x2≥y D.x2+y≥2xy 时，x+y有最 值是2√p(简记：积定和 考题体验 最小). 4.(25一26高二下·安徽合肥·期末)已知实 (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当 数a>0,b>0,且1+9=2，则a十b的最小 时，xy有最 值是（简记：和 a 值为 ( 定积最大)： A.8 B.16 诊断自测 C.5 D.10 >>>>>> 5.(25-26高二下·云南·期中)若一个长方 思考辨析 形的周长为6，则该长方形面积的最大值为 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） (1)两个不等式a2+≥2ab与8≥/a而成 典例精讲 立的条件是相同的， [例1](1)(25-26高一下·湖南长沙· (2)函数y=x十的最小值是2. 期末)已知x>0,y>0,xy十+2x+y=6,则2x十 12 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 y的最小值是 [解题心得]通过消元法利用基本不等式 A.2 B.3 求最值的策略 C.4 D.5 当所求最值的代数式中的变量比较多时， (2)(2026·上海杨浦·三模)已知a2+b 通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出 =1,则a·b的范围是 “和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等 [思路点拨](1)将xy十2x+y=6拼凑成 式求最值， (x十1)(y十2)=8，再结合基本不等式即可求解. (2)利用重要不等式即可求解. 高考再现 >>>>>> [解题心得]配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变 1.(多选题)（新高考Ⅱ卷）若x,y满足x2十y 形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为 xy=1,则 ( 定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 数、凑常数是关键， 2.(2026·天津卷)(x+1)(x+4)的最小值为 [例2](2026·江准十校第三次联考)已 知>0，b>0,a+b=1,则是+号的最小值为 A.10 B.9 C.8 D.6 [思路点拨]a十b=1;a十b=m时要进行 3.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则() 适当的转化为右端为1. [解题心得]常数代换法求解最值的基本 A.a2+6>2ab B+8品 步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值 C.a+b-ab D.1+12 ab ab (常数)； 4.(2026·上海卷)若a>0,b>0,且a十2b=4, (2)把确定的定值（常数）变形为1： 则ab的最大值是 (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相 5.(2026·盐城模拟)已知正数m,n满足m十 乘或相除，进而构造和或积为定值的形式： (4)利用基本不等式求解最值 2=8,则2+1的最小值为 ,等号 例3](25一26高二下·重庆·期末)若 成立时m,n满足的等量关系是 正实数x,y满足xy十x一3y=-1,则x一y的 最大值为 6.(2025·上海卷)设a,b>0.a十2-1.则 A.3 B.2 b十上的最小值为 C.1 D.0 [思路点拨]整理等式，根据基本不等式， 可得答案。 提醒：请完成课时作业 13