第1章 第4节 一元二次不等式及其解法-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

∴.高一总人数：A十B,高二总人数：C十D,前往甲地的学生人 数：A十C,前往乙地的学生人数：B十D,高一总人数多于高 二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学 A+B>C+D 生总数…A十C>B十D由不等式的性质，两侧分别相加 并化简得A>D,高一学生去甲地的人数多于高二学生去 乙地的人数，故B正确，A,C,D均错误」 [答案]B 2.[解析]取x=3,y=2,则x=3,y2=4,故x<y2,所以A错 误；取x=1.5,y=1.2,则xy=1.8,x+y=2.7,此时xy< x十y,故B错误；由于x>y>1,故x2>x,因此x2>y,故C 正确；取x=3,y=2,则x十y=5,xy=6,此时x十y<xy,故 D错误，故选C 答案]C 3.[解析]取a=0,b=一1，则ln(a一b)=ln1=0,排除A: 3=30=1>30=31=号，排膝B:3=02>(-1)3=-1= 6,故C对；a=0<-1=1=b,排除D.故选C [答案]C 4.[解析]因为x>y>心，x十y十之=0，所以x>0,之<0，y的 符号无法确定，因为x>之，若y0,则xy<0<yz,故A不正 确；因为y>之，x>0,所以xy>x之，故B正确；因为x>y, 心<0，所以xz<yz,故C不正确；因为x>,当y|=0时， xy=|y之，故D不正确. [答案]ACD .[解析]由题意知p>0,g>0,则2-ab)岂 (2)若>b20,则1，a-b>0,则2>1： a<b,则0<片<1a-bK0,则>1：若a=b,则=1综 上，p≥q,故选A. [答案]A 6.[解析](a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), .a>0,b>0且a≠b,∴.(a-b)2>0,a+b>0, .∴.(a3+b)-(a2b+ab)>0,即a3+b3>a2b+ab2 [答案]> 第四节一元二次不等式及其解法 教材梳理 知识点1整式不等式 知识点2（-∞，x1)U(x2,十∞) （-∞，- )u(- +o∞）R(x1,x2)心0 知识点3{xx<a或x>b}{xx≠a} {xxb或x>a》 r a<x<b)g ix b<r<a) 诊断自测 1.[解析](3)错误.对于不等式x2≤a,当a>0时，其解集为 [一√a,wa]:当a=0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为. (4)若方程a.x2十br十c=0(a<0)没有实根，则不等式a.x2十 bx十c>0(a<0)的解集为⑦， [答案](1)√(2)√(3)×(4)× 2.[解析]由2x>0,得2x-1>0,得x>2 所以不等式2一>0的解集为（日十四小· g2x2 2x-i0, 所以不等式2≥1的解集为(21]】 [答案]（3，+∞）（分，1 9 3.[解析]由题意，得3x2一2x一2>0，令3x2一2.x一2=0，得 1=17.=1互3x2-2x-2>0的解集为(-∞. 3 3 [答案] (,)u(,+) 3 4.[解析]由题意知，一之，号是方程a2+c十2=0的两根，所 11 b 2+3= 以 1 22解得日-2武a-6-10 12 {-2×3= [答案]A 5.[解析]命题“3t∈R,t2一4t一a<0”是假命题，则命题 “Ht∈R,t2一4t-a≥0”是真命题，所以△=16十4a≤0→a≤ 一4，即实数a的取值范围为（一∞，一4]. [答案]（一∞，一4] 典例精讲 [例1][自主解答]-x2+x+2>0可化为x2-x-2<0,即 -2)+<0,可每8a8解得-1< x<2,所以不等式-x2十x十2>0的解集为{x-1<x<2}, 故选A. [答案]A [例刀[自主解答】①)油已知得方26+1》+1=0，解得 1 1 a=b=-2.a=b=-2 (2)由已知得f(x)=u.x2-(a+1)x+1, 由f(x)<0整理得：(a.x一1)(x-1)<0, (a.r-1)(x-1)=0的两根为x1=1,2= ①当0<<1时>1，解得1K<; ②当a=1时，不等式为(x-1)2<0,f(x)<0的解集为； ③当a>1时，<1，解得<x<1. a 综上， 当0<a<1时，fx)<0的解集为(1，)： 当a=1时，f(x)<0的解集为0； 当>1时f)0的解案为（日）， [例3][自主解答](1)C (2)由题意可知a.x2十2bx-c=0(a>0)的两个根分别为 x1=2,x2=6, 则2+6=-2弘，2X6=-二，得b=-4a,c=-12a, .cx2+2b.x-a=-12a.x2-8a.x-a<0, 整理得(2x十1)(6.x+1)>0, 解得-之或>-日，所以不等式c2+2hr-a<0的解 2 集为(-，-合)U(-合+).故选D [答案](1)C(2)D 高考再现 1.[分析] 移项后转化为求一元二次不等式的解即可 [解析] 22中为当0中200，故 x-1 -2x<1,故解集为[一2,1)，故选C. [答案]C 2.[解析] 由号<0可得：(x+2)(x-3)<0,解得：-2< x-3 <3,所以不等式±<0的解集为(-2,3). x-3 [答案](-2,3) 8 3.[解析]原不等式转化为(x一1)(x一3)<0，解得1<x<3, 则其解集为(1,3)】 [答案](1,3) 4.[解析]设t=2a十b,原题转化为求t的最小值，原不等式可 化为对任意的-2≤x≤2，tx2+(1-2a)x-a-1≤0， 不妨代入x=一 号，得-合1-2a)-a-1<0,得≥-4， 当t=一4时，原不等式可化为一4x2十（一4一2a)x一a一10，即 -[2x+(2a十1】+子a2≤0.观察可知，当a=0时， -(2x十1)2<0对-2≤x≤2一定成主，当且仅当x=-司 取等号，此时，a=0,b=一4，说明t=一4时，a,b均可取到，满 足题意，故t=2a十b的最小值为一4. [答案]一4 第五节基本不等式及其应用 教材梳理 知识点1(2)a=b(3)4十b 2 √ab 知识点2(1)2ab 知识点3(1)小 (2)x=y大 诊断自测 1.[解析](1)不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R: 不等式2生>√ab成立的条件是a>0,6>0. (2)画数y=x十的值城是(-∞，-2]U[2,十∞)，没有最 小值 (3)温载f)=sin十品没有装小位 (4)x>0且y>0是工十上≥2的充分不必要条件」 [答案](1)×(2)×(3)×(4)× 2.[解析]因为a>0,b>0,a十4b=2,由基本不等式可得2 a十4h≥24ab=4va瓜，可得ah≤子，当且仅当a=4b.即 u=1b=子时，等号成立，所以b的最大值为子，故选A [答案]A 3.[解析]由指数函数的单调性可知，当x≥y时，有3x≥3， 故A正确；当0>≥y时，专>√心不成主，故B错误；当 0≥x≥y时，x2≥y2不成立，故C错误；x2十y2-2.xy= -y)2≥0成立，即x2十y2≥2.xy成立，故D正确. [答案]AD 4.[解桥]0>0,6>0，且+号-2a+6=(日十 a ,b.驰+10)=8， 号)a+(++)≥（会· 岂且仅当人=90即心=2，b=6时等号成立，故选 [答案]A 5.[解析]设长方形的长、宽分别为a,b(0<a,b<3),则2a十 2b=6→a十b=3,根据均值不等式有：矩形面积S=ab≤ a+b)2 2 是，当且仅当a=6=受时取等号 [答案]9 典例精讲 [例1][自主解答](1)原式xy十2x十y=6变形可得 (x十1)(y十2)=8，由x>0,y>0,得x+1>1,y+2>2,所以 2x+y=2(x+1)+(y+2)-4≥2√2(x+1)(y+2)-4 2(x+1)=y+2 2√/2×8一4=4，当且仅当 1Dy+2》=8即时取 x>0 y>0 等号；所以(2x十y)mm=4.故选C 3 (2)由a2+b2=1,可得1=a2+=a2+1b2≥2a·1bl, 所以a:≤分当且纹当1a=6=号时，等号成立，所 以-号所以a6的范因是[，] 案ace[】 [例2][自主解答]周为a十么=1，所以日十古 (日+古)+0)=2+（台+÷）≥2+2√2·号=2+ 2=4当且仅当a=6=合时，取等号. [答案]4 [例3】[自主解答】由y十一y=-1有=，则 y-y4-[片++可@当温收多y =1时，等号成立.故选D. [答案]D 高考再现 1.[解析]由已知得(x十y)2-3.xy=1,所以1=(x十y)2- 3xy≥(x+y)2-_3+卫，即1≥+，所以-2≤+ 4 4 y≤2，所以A不正确，B正确：由x2十y2-xy=1,得x2十 -1=<告兰，当且仅当=y时取等号，所以2十 y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，选BC [答案]BC 2.[解析]因为(+)+)=+是+≥2·十 5=9,当且仅当r2=号时，即r2=2,x=士厄时，等号成立， 所以(x+)(x+生)的最小值为. [答案]B 3.[解析]当a=b时，a2+=2ab,故A错误；取a=号，b 此时+=2+1=6<工=8=+ 2+4=6> 2=42=2,故BD错误；由基本不等 11 √ab 式可得a十b>2√ab>√ab,故C正确.故选C. [答案]C 4.[解析].a>0,b>0,a+2b=4,∴.4=a十2b2√2ab, .ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取等号. [答案]2 .解折]因为m+=8,所以品+女-（侣+日）Xm m n 8 -合×(+0+兴)≥古×(4+2V供×只)-言× (4十4)=1，当且仅当扭=”，即m=4,n=2时等号成立. 172 [答案]1m=2n 6.[解析]易知6+日-(6+)(a+公）=b+品+2≥ 2√ab~品+2=4，当且仅当a6=1,脚a=之6=2时取得 最小值. [答案]4 9第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第四节一元二次不等式及其解法 教材梳理 2)x≥0（≤0）→f(x)·g(x)≥0（≤0）且 >>>>>> g(x)≠0. 知识点1 一元二次不等式 [常用结论] 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 1.绝对值不等式|x>a(a>0)的解集为(-∞， 2的 叫做一元二次不 -a)U(a,+∞)；|x|<a(a>0)的解集为 等式 (-a,a). 知识点2 三个“二次”间的关系 记忆口决：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax十bx+c>0(<0)时不要忘记 判别式 △>0 △=0 △<0 △=b2-4ac 当a=0时的情形. 3.不等式ax2+bx十c>0(<0)恒成立的条件 二次函数 y=ax2+bz+c 要结合其对应的函数图象决定 (a>0)的图象 Ox=x 01 (1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒 一元二次方程 有两相异 有两相等 a=b=0,1a>0, 成立台 或 没有 c>0 △<0. ax2+bx+c=0 实根x1 实根x1= 实数根 (2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒 (a>0)的根 x2(x1<x2） b x2= 2a a=b=0, a<0 ax2+6x+c>0 成立台 或 c<0 △<0. (a>0)的解集 ax2+bx十c<0 诊断自测 (a>0)的解集 >>>>>> 知识点3(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b) 思考辨析 <0型不等式的解集 1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”） (1)若不等式a.x+bx十c>0的解集是(-∞， 解集 不等式 a<b a=b a>b x)U(x2,十∞)，则方程a.x2+bx十c=0的 (x一a)· 两个根是x1和x2 () (x-b)>0 (2)若不等式ax2+bx十c<0的解集为(.x1, (xa)· x2),则必有a>0. (x-b)<0 (3)不等式x2≤a的解集为-√a,Wa.( 知识点4分式不等式与整式不等式 (4)若方程a.x2+bx十c=0(a<0)没有实数 根，则不等式a.x2十bx十c>0(a<0)的解集 >0(<0)台f)·g(>0(<02 为R ) 9 艺考生文化课成功方案 教材衍化 [例2](25一26高二下·安徽·期末)设 2.(25-26高一下·河南新乡·期末)不等式 函数f(x)=a.x2-(b+1)x+1. 2x—>0的解集为 '2x7≥1的 (1)若f(x)=0的两根分别为一2和1，求 实数a,b的值； 解集为 (2)若b=a>0,解关于x的不等式f(x)<0. 3.y=log2(3x2-2.x-2)的定义域是 [自主解答] 考题体验 4.(2026·大连质检)若不等式ax2+bx十2>0 的解集为x ,则a一b的值是 A.-10 B.-14 C.10 D.14 5.(25-26高二下·江西萍乡·期末)若命题 “]tR,t2一4t一a<0”是假命题，则实数a 的取值范围为 典例精讲 >>>>>> [例1](2026·高二下·天津南开·学业 考试)不等式一x十x+2>0的解集为 () A.{x|-1<x<2 B.{x|-2<x<1》 C.{xlx<-1或x>2} D.{xx<-2或x>l} [解题心得]解一元二次不等式的一般 步骤 (1)化为标准形式. (2)确定判别式△的符号，若△≥0，则求出 [解题心得]解含参数的一元二次不等式 该不等式对应的一元二次方程的根，若△<0， 的步骤 则对应的一元二次方程无根」 讨论二次 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0， 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系 (3)结合二次函数的图象得出不等式的 项系数 数为正的形式 解集，特别地，若一元二次不等式左边的二 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△与0 根的个数 的关系 次三项式能分解因式，则可直接写出不等式 确定无根时可直接写出解集，确定方程有 写出解集 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 的解集， 确定解集形式 10 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 [例3](1)(2026·清远一模)关于x的 第二步：审条件—挖掘题目信息 不等式a.x一b<0的解集是(1，十∞)，则关于x 利用一元二次方程的根与一元二次不等式 的不等式(ax十b)(x-3)>0的解集是() 的解集的关系列出关于a,b,c的方程组，用a A.(-∞，-1)U(3,+o∞) 表示b,c; B.(1,3) 第三步：建联系一 找解题突破口 C.(-1,3) 由给定不等式的解集形式→确定关于a, D.(-∞，1)U(3,+∞) b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求不等式 (2)(2026·江苏宿迁期末)已知函数y →求解ax2+bx十c<0的解集， a.x2+bx一c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0), B(6,0)两点，则不等式cx2+2bx一a<0的解 高考再现 集为 >>>>>> A.(-6,-2) B(-∞，若U(2+∞） 1.(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解 集是 c(是-》 A.{x-2≤x≤1}》 D.(-∞，-2)U(-6,+∞ B.{xx≤-2} [思路点拨](2)题的关键是利用根与系 C.{x|-2≤x<1} 数的关系得到b=一4a,c=一12a,再代入不等 D.(x2>1 式cx2+2bx-a<0化简后进行求解.本题考查 2.(2026·上海卷)关于x的不等式号<0的 二次函数的图象和一元二次不等式的解集， [解题心得]一元二次不等式解集逆向应 解集为 用问题的解法及步骤 3.(2025·上海卷)不等式}<0的解集为 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程 的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a, 4.(2025·天津卷)若a,b∈R,对Vx∈[-2,2] b,c之间的关系，写出不等式的解集； 均有(2a十b)x2十bx一a一1≤0恒成立，则 (2)求解步骤 2a+b的最小值为 第一步：审结论 明确解题方向 如要解ax2十bx十c<0,首先确定a的符 提醒：请完成课时作业 号，最好能确定a,b,c的值： 11