第1章 第3节 不等关系与不等式-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第三节不等 教材梳理 >>>>>> 知识点1两个实数比较大小的方法 a-b>0台a b, (1)作差法a-b=0台a a-b<0台→a b. 8>1a∈R,b>0)a (a∈R,b>0), (2)作商法名-1台a b(a,b≠0)， <1(a∈R,b>0)=a b (a∈R,b>0). 知识点2等式的性质 (1)对称性：若a=b,则b=a. (2)传递性：若a=b,b=c,则a=c. (3)可加性：若a=b,则a十c=b十c. (4)可乘性：若a=b,则ac=bc;若a=b,c=d, 则ac=bd. 知识点3不等式的性质 (1)对称性：a>台ba; (2)传递性：a>b,b>c→a>c; (3)可加性：a>b台a+c b+c;a>b, c>d→a+c b+d; (4)可乘性：a>b,c>0→ac bc;a>b, c<0→ac<bc;a>b>0,c>dD>0→ac bd; (5)可乘方：a>b>0→a” b"(n∈N, n≥1)； (6)可开方：a>b>0→Va Wb(n∈N, n≥2). 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 关系与不等式 诊断自测 >)>)>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“、√”或“×”） (1)a>台ac2>bc2. ) (2)a=b=→ac=bc. ( (3)若号>1，则a>b. (4)0<a<x<b或a<x<b<0→}<L< 教材衍化 2.关于x的不等式ax<1的解集，下列说法不 正确的是 ( A.可能为心 B.可能为R C.可能为a,+∞) D可能为-∞，》 3.比较两数的大小：√7+√10 √3+14. 考题体验 4.(25一26高一上·北京·期中)若a,b,c为非 零实数，且a>c,b>c,则 A.a+b>c B.abc2 C.a+b>2c n+哈是 a 5.(2026·深圳调研)若a,b∈R,且a>|b,则 ( A.a<-b B.a>b C.a2<b2 D11 艺考生文化课成功方案 典例精讲 >>>>>> 例1](25一26高三上·黑龙江哈尔 滨期中)若x<y<0,设M=(x2十y)(x一y), N=xy-xy,则M,N的大小关系是 解题心得]1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中 关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等 方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个 式子都为正数时，有时也可以先平方再作差： 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小： (4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作 为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得 出大小关系 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取 符合条件的特殊值比较大小 [例2](1)(25-26高一上·河北秦皇 岛·期末)若a>b,c>0,a≠0且b≠0.则下列 正确的是 A.a26 B.11 a-b C.ac-bo D.C>9 b (2)(25一26高一上·上海·阶段练习)下 列命题是假命题的为 A.若ac2>bc2,则a>b R若。>b且时若则h0 C.若a>b>0且c<0,则5> D.若a>b>0>c>d,则ab>cd [感悟升华]解决此类题目常用的三种 方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等 式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前 提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式 的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对 数函数、幂函数等函数的单调性进行判断 高考再现 >>>>>> 1.(2026·北京卷)学校组织高一、高二学生参 观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一 处前往.已知高一学生总人数多于高二学生 总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往 乙地的全体学生总数，则 () A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高 一学生人数 B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高 二学生人数 C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的 高二学生人数 D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的 高二学生人数 2.(2026·上海卷)已知x>y>1,则下列不等 式恒成立的是 A.y B.xy>x-+y C.x2>y D.x+yxy 3.(全国新课标Ⅱ卷)若a>b,则 A.In(a-b)>0 B.3<3 C.a3-b3>0 D.a>b 4.(多选题)(2026·山东新高考模拟)已知x> y>,x十y十x=0,则下列不等式不成立 的是 () A.xyy B.xyxx C.xxyz D.xy>yz 5.若a>0,b>0,则p=(ab)学与g=d·b6的 大小关系是 A.≥q B.p≤q C.pq D.p<q 6.若a,b为正数，且a≠b,则a3+b ab十ab(用符号>、<、≥、≤填空). 提醒：请完成课时作业典例精讲 [例1][自主解答](1)本题隐含了全称量词“任意的”，其实 原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题， 且为真命题 (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且 为真命题， (3)命题中含有全称量词“V”,是全称命题，且为假命题，例 如：3x0=3,但x02=3是有理数. (4)命题中含有存在量词“]”，是特称命题，且为真命题】 [例2][自主解答](1)3x∈Z,x2十3=0，假命题 (2)存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题 (3)Vx∈R,1≤2，假命题. [例3][自主解答](1)若a十b=2,圆心(a,b)到直线x十 y=0的距离d=l时少=2=，所以直线与圆相切，反之，若 2 直线与圆相切，则|a十b=2,∴.a十b=士2， 故力是g的充分不必要条件」 (2)若|x=x,则x2十x=x2+x≥0成立. 反之，若x2+x≥0，即x(x十1)≥0，则x≥0或x≤-1. 当x≤-1时，x=一x≠x, 因此，p是q的充分不必要条件 (3).l∥a以m,但l∥m→l∥a, ∴力是q的必要不充分条件 (④：x(一受，乏)时，正切函数y=tmx是单调递增的， ∴当ae(-受，受)8e(-受，受），且a<B时tama< tan3,反之也成立 ∴.p是q的充要条件 [例4][自主解答]由题意得：“3x∈R,x2-ax-2a≤0”为 真命题，所以△=a2十8a≥0，解得a≤一8或a≥0. .实数a的取值范围为（一∞，一8]U[0,十∞）. [答案](-∞，-8]U[0,+o∞) 高考再现 1.[解析]由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 的充分条件；又当x=π时，sin2.x=sin2π=0，可知sin2x= 0→x=0,故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，综上可知 “x=0”是“sin2.x=0”的充分不必要条件.故选A. [答案]A 2.[解析]由x2十3x>0,解得：x<一3或x>0,即x>0时， x2十3x>0成立，反之不成立，所以“x>0”是“x2十3x>0”的 充分而不必要条件」 [答案]A 3.[解析]若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存 在xo∈D,使得f(x0)=M+1,则f(xo)川=M+1>M, 充分性成立；取f(x)=2r,D=R,则对任意M∈R,一定存在 x1∈D,使得f(x)=M+1,则|f(xo)|=M+1>M,但 此时函数f(x)的值域为(0，十∞)，必要性不成立；所以 “f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得 |f(x0)|>M”的充分不必要条件.故选A 4.[分析]对于两个命题而言，可分别取x= -1、x=1,再结合 命题及其否定的真假性相反即可得解。 [解析]对于p而言，取x=一1，则有x十1=0<1，故p是 假命题，p是真命题，对于q而言，取x=1,则有x3=13= 1=x,故q是真命题，一g是假命题，综上，一p和q都是真命 题.故选B. [答案]B 5.[分析]说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即 是充分必要条件」 [解析]根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3a= 3都和a=b是充分必要条件，所以二者互为充要条件.故 选C [答案]C 6.[解析]若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存 在x1∈D,使得f()=M十1，取x0=1,则|f(x0)= 21 M十1>M,充分性成立；取f(x)=2x,D=R,则对任意 M∈R,一定存在x∈D,使得f(x1)=M+1,取x0=x1, 则|f(x0)|=|M|十1>M,但此时函数f(x)的值域为 (0,十∞)，必要性不成立：所以“f(x)的值域为R”是“对任意 M∈R,存在xo∈D,使得|f(xo)|>M”的充分不必要条件. 故选A. [答案]A 第三节不等关系与不等式 教材梳理 知识点1(1)>=<(2)>= 知识点3(3)>>(4)>>(5)>(6)> 诊断自测 1.[解析](1)由不等式的性质，ac2>bc2ab:反之，c=0 时，a>b→ac2>bc2 (2)由等式的性质，a=→ac=bc;反之，c=0时，ac=bc中a=b. (3)a=一3，b=-1,则4>1，但a<b,故(3)错. [答案](1)×(2)×(3)×(4)√ 2.[解析]若a=0,不等式ax<1的左边=0，.x∈R,B正确； 若a>0,则x<,D正确：若a<0,则x>,C正确不 等式的解集不可能为心.A错误：故选A [答案]A 3.[解析](7+√10)2=17+2√70，(3+√14)2=17+ 2√/42，.(7+/10)2>(3+√/14)2，∴.7+/10>√3+/14. [答案]> 4.[解析]令a=b=一1，c=一2，则a>c,bc,因为此时a十 b=-2=c,故A不成立；ab=1<(-2)2=c2,故B不成立： 111 =一2<一1=2，故D不成立；根据不等式的基本性 质：ac,b>c→a+b2c,故C成立.故选C. [答案]C 5.[解析]由a>b|可知，当b≥0时，a>b:当b<0时，a> -b,则a>0>b,综上可知，当a>b|时，a>b恒成立，故 选B. [答案]B 典例精讲 [例1][自主解答]M-N=(x2+y2)(.x-y)-(x2y-xy2) =x-+y-=-[(-）+3￥ 4」 2 因为x<<0,所以x-y<0,(x- 2 0+3￥>0 所以”[()‘+￥1 4 <0,所以M<N. [答案]M<N 例2][自主解答](1)由a>b,不一定能得到a2>b2,如 a=1,6=-2,故A错误：由a>6不一定能得到>方，如 a=2,b=1,故B错误；由不等式的性质可知，ac>bc成立，故 C正确：由B选项知>不一定成主，所以号>号不一定 成立，故D错误.故选C (②)由a2>6r2.可知2>0.所以a>6:故A正确：由日>方 可得：1-=2>0，因为>b,所以b0,故B正确 ab 由>>0可得2>→<京又因为<0，所以行>之 a2 6京，故C正确；取a=2,b=1,c=-3,d=-4,则ab<cd.故 D错误.故选D. [答案](1)C(2)D 高考再现 1.[解析]由题意，设高一学生去甲地的人数为A,去乙地的人 数为B,高二学生去甲地的人数为C,去乙地的人数为D, ∴.高一总人数：A十B,高二总人数：C十D,前往甲地的学生人 数：A十C,前往乙地的学生人数：B十D,高一总人数多于高 二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学 A+B>C+D 生总数…A十C>B十D由不等式的性质，两侧分别相加 并化简得A>D,高一学生去甲地的人数多于高二学生去 乙地的人数，故B正确，A,C,D均错误」 [答案]B 2.[解析]取x=3,y=2,则x=3,y2=4,故x<y2,所以A错 误；取x=1.5,y=1.2,则xy=1.8,x+y=2.7,此时xy< x十y,故B错误；由于x>y>1,故x2>x,因此x2>y,故C 正确；取x=3,y=2,则x十y=5,xy=6,此时x十y<xy,故 D错误，故选C 答案]C 3.[解析]取a=0,b=一1，则ln(a一b)=ln1=0,排除A: 3=30=1>30=31=号，排膝B:3=02>(-1)3=-1= 6,故C对；a=0<-1=1=b,排除D.故选C [答案]C 4.[解析]因为x>y>心，x十y十之=0，所以x>0,之<0，y的 符号无法确定，因为x>之，若y0,则xy<0<yz,故A不正 确；因为y>之，x>0,所以xy>x之，故B正确；因为x>y, 心<0，所以xz<yz,故C不正确；因为x>,当y|=0时， xy=|y之，故D不正确. [答案]ACD .[解析]由题意知p>0,g>0,则2-ab)岂 (2)若>b20,则1，a-b>0,则2>1： a<b,则0<片<1a-bK0,则>1：若a=b,则=1综 上，p≥q,故选A. [答案]A 6.[解析](a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b), .a>0,b>0且a≠b,∴.(a-b)2>0,a+b>0, .∴.(a3+b)-(a2b+ab)>0,即a3+b3>a2b+ab2 [答案]> 第四节一元二次不等式及其解法 教材梳理 知识点1整式不等式 知识点2（-∞，x1)U(x2,十∞) （-∞，- )u(- +o∞）R(x1,x2)心0 知识点3{xx<a或x>b}{xx≠a} {xxb或x>a》 r a<x<b)g ix b<r<a) 诊断自测 1.[解析](3)错误.对于不等式x2≤a,当a>0时，其解集为 [一√a,wa]:当a=0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为. (4)若方程a.x2十br十c=0(a<0)没有实根，则不等式a.x2十 bx十c>0(a<0)的解集为⑦， [答案](1)√(2)√(3)×(4)× 2.[解析]由2x>0,得2x-1>0,得x>2 所以不等式2一>0的解集为（日十四小· g2x2 2x-i0, 所以不等式2≥1的解集为(21]】 [答案]（3，+∞）（分，1 9 3.[解析]由题意，得3x2一2x一2>0，令3x2一2.x一2=0，得 1=17.=1互3x2-2x-2>0的解集为(-∞. 3 3 [答案] (,)u(,+) 3 4.[解析]由题意知，一之，号是方程a2+c十2=0的两根，所 11 b 2+3= 以 1 22解得日-2武a-6-10 12 {-2×3= [答案]A 5.[解析]命题“3t∈R,t2一4t一a<0”是假命题，则命题 “Ht∈R,t2一4t-a≥0”是真命题，所以△=16十4a≤0→a≤ 一4，即实数a的取值范围为（一∞，一4]. [答案]（一∞，一4] 典例精讲 [例1][自主解答]-x2+x+2>0可化为x2-x-2<0,即 -2)+<0,可每8a8解得-1< x<2,所以不等式-x2十x十2>0的解集为{x-1<x<2}, 故选A. [答案]A [例刀[自主解答】①)油已知得方26+1》+1=0，解得 1 1 a=b=-2.a=b=-2 (2)由已知得f(x)=u.x2-(a+1)x+1, 由f(x)<0整理得：(a.x一1)(x-1)<0, (a.r-1)(x-1)=0的两根为x1=1,2= ①当0<<1时>1，解得1K<; ②当a=1时，不等式为(x-1)2<0,f(x)<0的解集为； ③当a>1时，<1，解得<x<1. a 综上， 当0<a<1时，fx)<0的解集为(1，)： 当a=1时，f(x)<0的解集为0； 当>1时f)0的解案为（日）， [例3][自主解答](1)C (2)由题意可知a.x2十2bx-c=0(a>0)的两个根分别为 x1=2,x2=6, 则2+6=-2弘，2X6=-二，得b=-4a,c=-12a, .cx2+2b.x-a=-12a.x2-8a.x-a<0, 整理得(2x十1)(6.x+1)>0, 解得-之或>-日，所以不等式c2+2hr-a<0的解 2 集为(-，-合)U(-合+).故选D [答案](1)C(2)D 高考再现 1.[分析] 移项后转化为求一元二次不等式的解即可 [解析] 22中为当0中200，故 x-1 -2x<1,故解集为[一2,1)，故选C. [答案]C 2.[解析] 由号<0可得：(x+2)(x-3)<0,解得：-2< x-3 <3,所以不等式±<0的解集为(-2,3). x-3 [答案](-2,3) 8