第1章 第2节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 [解题心得]在进行集合的运算时要尽可 A.(2,3) B.(-1,+∞) 能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化. C.[2,3) D.(-1,2] 一般地，集合元素离散时常用Venn图表示；集 5.(2026·上海卷)对于函数y=f(x),x∈D,设 合元素连续时常用数轴表示，用数轴表示时注 Ar={(x,y)川y≥f(x),x∈D}.对于点集M,若 意端点值的取舍 存在(xo,yo)∈M,使得任意(x,y)∈M,总有 y≥yo,则称(x,y)为“最低点”.对于函数 高考再现 y=f(x)和y=g(x),以下说法中正确的是 >>>>>> 1.(2026·上海卷)已知集合A={2,4},B A.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，则A∩ {2,3,m},若A二B,则m= A有最低点 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A={0,1,3,6, B.若A∩A有最低点，则y=f(x)和y=g(x) 9},B={x√x=x},则A∩B= 都有最小值 A.{0,1} B.{3,6》 C.若y=f(x)或y=g(x)有最小值，则ArUA C.{0,1,9} D.{0,3,9 有最低点 3.(2026·天津卷)已知全集U={-2,-1,0,1, D.若AUA有最低点，则y=f(x)或y=g(x) 2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0, 有最小值 1},则(CA)UB= 6.(2025·上海卷)已知全集U={x|2≤x≤5， A.{-2} B.{-2,2} x∈R},集合A={x2≤x<4,x∈R},则A= C.{0,1,2} D.{-2,0,1,2} (即集合A的补集) 4.(2026·北京卷)已知集合M={x一1<x< 3},N={xx≥2}，则MUN= 提醒：请完成课时作业 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 教材梳理 思考：“p是q的充分不必要条件”与“p的充分 >>>>>> 不必要条件是g”有区别吗？ 知识点1 充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 p成立的对象的集合 若Pq,则p是g的充分条件，g 为A,g成立的对象的 是卫的必要条件 集合为B p是q的充分不 p→q且 A是B的真 知识点2全称量词命题与存在量词命题 必要条件 子集 命题量 p是q的必要不 pPg且 B是A的真 集合 命题结构 命题简记 命题的否定 词名称 充分条件 子集 与充 要条 p是g的充要 对M中任意一个 Hx∈M, A=B 件的 全称命题 条件 x,有(x)成立 p(x) 关系 p是q的既不充 存在量 存在M中的一个 ]x,∈M, pq且 A,B互不包含 分也不必要条件 词命题 xo,使(x)成立 p(zo) 3 艺考生文化课成功方案 [常用结论] 考题体验 1.充分条件与必要条件的两个特征 4.(2026·北京卷){an},{b,}是无穷数列，则 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p “存在常数M,使am≤M≤bn(n=1,2,3,…)” 是“a,≤b,(n=1,2,3,…)的 () 的必要条件，即“→q”台“q←p”. A.充分不必要条件 (2)传递性：若p是g的充分（必要）条件，q B.必要不充分条件 是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必 C.充分必要条件 要)条件，即“→q且q→r”→“p→r”(“←q D.既不充分也不必要条件 且g←=r”→“p←-r”). 5.(2026·上海卷)对于任意两个复数x,w,如 2.(1)→q等价于q户7p. 果满足“x一w∈R”或“之一o∈R”,那么就称之 (2)gp等价于p书7g. 和ω伴随.则当之和ω伴随，则w一i和之+i 伴随的充要条件是 ( 诊断自测 A.Rew+Rez=0 B.Rew-Rez=0 >>>>>> ⊕ C.Imo+Imx=0 D.Imo-Im3=0 思考辨析 典例精讲 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） >>>>> (1)若已知p:x>1和q:x≥1，则p是q的充 [例1]判断下列命题是全称量词命题还 分不必要条件。 ( 是存在量词命题，并判断其真假， (2)已知集合A,B,则AUB=A∩B的充要 (1)对数函数都是单调函数； 条件是A=B. (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又 ( 能被5整除； (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全 (3)Hx∈{xx是无理数}，x2是无理数； 称量词. ( (4)3x∈{x|x∈Z},log2x>0. (4)“长方形的对角线相等”是存在性命题. [思路点拨]判断一个命题是全称量词命 ) 题还是存在量词命题，主要看命题中是否含有 教材衍化 全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全 2.(25-26高二下·天津和平·期末)已知 称量词或存在量词，要注意对其进行改写来找 到.对于(1)隐含了全称量词“任意的”，因此需 a∈R,则“a2>1”是“a>1”的 要对其进行改写，(2)(3)(4)则从题目中可以看 A.充分不必要条件 出全称量词与存在量词. B.必要不充分条件 [自主解答] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026·高三·北京·专题练习)已知命题 p:3x>1,x2-1>0,则p是 A.Vx≤1，x2-1≤0 B.Hx>1,x2-1≤0 C.3x≤1，x2-1≤0 D.3x>1,x2-1≤0 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 [例2](25一26高一上·广东广州期中) [自主解答] 写出这些命题的否定，并判断其否定命题的 真假： (1)Vx∈Z,x与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都为60°； (3)存在一个实数x,使1>2. [自主解答] [解题心得]解决此类题目首先要分清条 件与结论，然后分析由前者能否推出后者，由后 者能否推出前者，或利用反例来推证 [例4幻(2026·高三·全国·专题练习) 若“Hx∈R,x2-a.x一2a>0”是假命题，则实数 a的取值范围是 [思路点拨]根据“Hx∈R,x2一a.x一2a [解题心得]对于全称命题p:Hx∈M,>0”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利 p(x),其否定为p:月x∈M,p(x);对于特 用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出 称命题q:3x∈M,q(x),其否定为q:Hx∈M, 实数a的取值范围. q(x).当一个命题中的量词省略时，要注意不 [自主解答] 能出错，应先补全量词，再进行否定 [例3]指出下列各组命题中，p是q的什 么条件？ (1):a+b=2,q:直线x+y=0与圆 (x-a)2+(y-b)2=2相切； (2)p:x=x,q:x2+x≥0； (3)设l,m均为直线，α为平面，其中中a, mCa,p:l∥a,q:l∥m; (④)设a∈(-，)9e(-受，)，p:a<B, q:tan a<tan B. [思路点拨](1)先分清命题的条件与 结论； (2)分析由前者能否推出后者，由后者能否 推出前者，也可利用反例来推证. 5 艺考生文化课成功方案 [解题心得]1.解题“2关键” 在x∈D,使得|f(x)|>M”的 ( (1)把充分、必要条件转化为集合之间 A.充分不必要条件 关系。 B.必要不充分条件 (2)根据集合之间关系列出关于参数的不 C.充要条件 等式（组）求解 D.既不充分也不必要条件 2.解题“1注意” 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R, 求解参数的取值范围时，一定要注意区间 lx+1|>1,命题g:3x>0,x3=x,则( ) 端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关 A.力和g都是真命题 系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取 B.力和q都是真命题 等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏 C.p和一g都是真命题 解或增解的现象， D.p和g都是真命题 高考再现 5.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b”是 >>>>>> “34=3”的 1.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是 A.充分不必要条件 “sin2x=0”的 B.必要不充分条件 A充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充要条件 6.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为 D.既不充分也不必要条件 D,则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 2.(2026·天津卷)设x∈R,则“x>0”是“x2十 在x∈D,使得|f(x)>”的 () 3.x>0”的 A.充分不必要条件 A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为 提醒：请完成课时作业 D,则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 6学生用书参考答案与详解 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 3.[解析]由题可得(CA)={一2,2}，又因B={一2,0,1}，则 (A)UB={-2,0,1,2. 第一节集合 「答案]D 4.[解析]因为M={x-1<x<3,N={xx≥2}，则MUN= 教材梳理 {.xx>-1}=(-1,+∞). 知识点1(3)列举法描述法图示法 [答案]B 知识点2x∈Bx0A子集真子集 5.[解析]取f(x)=x,x∈[0,1]，取g(x)=x,x∈[2,3]，则 知识点3AUBA∩B{x|x∈A,或x∈B}{xlx∈A,且 f(x)mim=0,g(x)min=2;而Ay∩Ag=必无最低点，故A错 x∈B}{xx∈U,且xtAy 误：取f(x)=x,x∈(0,3]，取g(x)=x,x∈[2,3]，则f(x)无 诊断自测 最小值，g(x)min=2;而Ar∩Ag=Ag有最低点(2,2)，故B错 1.[解析](1)错误.空集只有一个子集， 误；取f(x)=-x2,x∈R,取g(x)=x2,x∈R,则f(x)无最 (2)错误.{xy=x2+1=R,{yy=x2+1}=[1,+o∞)， {(x,y)ly=x2+1是抛物线y=x2+1上的点集， 小值，g(x)mim=0;因为f(x)=一x2的函数值可趋向于负无穷 大，所以Ay={(x,y)ly≥-x2,x∈R无最低点，则AUA,亦 (3)错误.当x=1时，不满足集合中元素的互异性 [答案](1)×(2)×(3)×(4)/ 无最低点，故C错误；设(x0,y%)为A,UA的最低点，则 2.[解析]由题意得A={0,2,4,6,8,10},B={-1,0,1,2,3}, (x0,0)∈Ay或(x0yo)∈Ag,若(0g)∈A,则30=f(x0) 所以A∩B={0,2.故选D. 且对任意的x∈D1,总有f(x)≥%，即f(x)mm=y0;若(x0, [答案]D )∈Ag,同理可知g(x)mim=o:则y=f(x)或y=g(x)必 3.[解析]由题意可得A∩B={2,3,4),C4(A∩B)={1〉. 有最小值，故D正确.故选D. [答案]{1 [答案]D 4.[解析] 因为m=n(x+）=-m吾=-号 1 6.[解析]根据补集的含义知A={x4≤x≤5，x∈R 「答案] {x4x5,x∈R}或[4,5] os=os(2r-）=os吾=iam=ia(x+） 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 教材梳理 =am=1脚条合A={1且条合B={号 2 知识点1q九q→p qq?p 思考：提示：有区别：前者是“→q且q沙”，而后者是“q→p且 -1,所以AnB={-1 知识点2 3xo∈M,7p(xo)Hx∈M,7p(x) [答案]C 诊断自测 典例精讲 1.[答案](1)/(2)/(3)/(4)× [例1][自主解答]若集合A中只有一个元素，则方程 ax2-3xr十2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0 2.[解析]因a2>1等价于a>1或a<一1，显然根据“a>1或 a<-1”推不出“a>1”;而由a>1可以推出a2>1,故“a2>1” 时=号特合题高当a≠0时，由△=(-3)2-80=0，得 是“a>1”的必要不充分条件.故选B. a=骨所以a的值为0或是 [答案]B 3.[解析]因为命题p:3x>1,x2-1>0,所以p:Hx>1, [答案]D x2-1≤0.故选B. [例2][自主解答]由1a+b,a={0,,b, [答案]B 4.[解析]由题意，{aw》,{b)是无穷数列，验证充分性： 可知a≠0，则只能a十b=0.则有以下对应关系： 当存在常数M,使an≤M≤bn(n=1,2,3,…)时， a+b=0 a+b=0 anM(n=1,2,3,…),Mbu(n=1,2,3,…), b =a①或{ b=a ② anb,(n=1,2,3,…)充分性成立. 验证必要性： b=1 b1 当anb,b,≤n2时，此时满足amb, {二一1符合题意，②无解， 由①得：b=1, 假设存在常数M,使a,≤Mb(n=1,2,3,…)成立， .b2011-a2011=1-(-1)=2. 当n→十∞时，a,=n→十∞，bn=n2→十∞， 此时，M需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， [例3][自主解答]因为B二(A∩B),所以B二A. 但不存在这样的固定常数M, ①当B=时，满足BA,此时-≥a十3，即a≤-是： 当a,<b时，无法必然推出“存在常数M”,即必要性不成立， -aa+3, “存在常数M,使an≤Mbn(n=1,2,3,…)"是“a1≤bn(n=1, ②当B≠时，要使B二A,则 3 -a≥1，解得- 2,3,…)”的充分不必要条件。 2 <a< a+35, 答案]A 一1.由①②可知，a的取值范围为（一o∞，一1]. 5.[解析]设之=x十yi,w=a十bi,x,y∈R,a,b∈R,则之一w 高考再现 (x一a)十(y-b)i∈R→y一b=0(虚部为0)或之-w=(x-a)十 1.[解析]A={2,4},B={2,3,m,A二B,.集合A中所有 (y十b)i∈R→y十b=0(虚部为0)，所以之和w伴随，有y一b=0 的元素都在集合B中，∴.集合A中的元素4在集合B中， 或y+b=0,又因为(w-i)-(之+i)=(a-x)+(b-y-2)i∈ ..n=4. R→b-y-2=0,(w-i)-+i=(a-x)+(b+y)i∈R→b十 [答案]4 y=0,所以w一i和之十i伴随的充要条件是b十y=0,即nw十 2.[解析]由题可得B={0,1),所以A∩B={0,1. m2=0. [答案]A L答案]C 276 典例精讲 M十1>M,充分性成立；取f(x)=2r,D=R,则对任意 [例1][自主解答](1)本题隐含了全称量词“任意的”，其实 M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M十1，取x0=x1, 原命题应为：“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题， 则|f(.x0)|=M|十1>M,但此时函数f(x)的值域为 且为真命题. (0,十∞)，必要性不成立；所以“f(x)的值域为R”是“对任意 (2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且 M∈R,存在x0∈D,使得|f(xo)>M”的充分不必要条件. 为真命题. 故选A (3)命题中含有全称量词“H”,是全称命题，且为假命题，例 「答案1A 如：3x0=√3，但x02=3是有理数. (4)命题中含有存在量词“彐”，是特称命题，且为真命题 第三节不等关系与不等式 [例2][自主解答](1)3x∈Z,x2十3=0，假命题， 教材梳理 (2)存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题 知识点1 (1)> =(2)>= (3)Vx∈R,1≤2，假命题. 知识点3(3)>>(4)>>(5)>(6)≥ 诊断自测 例3][自主解答](1)若a十b=2,圆心(a,b)到直线x+1.解析] (1)由不等式的性质，ac2>bc2a>b:反之，c=0 y=0的距离d=时=2=，所以直线与圆相切，反之，若 时，a>bac2>bc2. 2 (2)由等式的性质，a=→ac=bc;反之，c=0时，ac=bca=b, 直线与圆相切，则|a十b=2,∴.a十b=士2， 故D是g的充分不必要条件 (3)a=一3，b=-1,则4>1，但a<b,故(3)错. (2)若|x=x,则x2十x=x2+x≥0成立。 [答案](1)×(2)×(3)×(4)/ 反之，若x2+x≥0，即x(x十1)≥0，则x≥0或x≤-1. 2.[解析]若a=0,不等式ax<1的左边=0，.x∈R,B正确： 当x≤一1时，x=一x≠x, 因此，p是q的充分不必要条件 若a>0,则x<,D正确；若a<0,则x>,C正确；.不 (3).'l∥a以∥m,但l∥m→l∥a, 等式的解集不可能为心.A错误；故选A ∴力是q的必要不充分条件. [答案]A (④：xE(一受，受）时，正切画数y=mx是单调递增的， 3.[解析](7+√0)2=17+2√70，（√3+√4）2=17+ 242,∴.(W7+/10)2>(3+/14)2,.N7+/10√3+/14. ∴当ae(-受，受8e（-受，受)，且a<B时iama< 「答案】≥ 4.「解析1令a=b=一1，c=一2，则a>c,b>c,因为此时a十 tanB,反之也成立. b=一2=c,故A不成立：ab=1(-2)2=c2,故B不成立； .p是q的充要条件 [例4][自主解答]由题意得：“x∈R,x2-ax-2a≤0”为 =一2<-1=2，故D不成立：根据不等式的基本性 b 真命题，所以△=a十8a≥0，解得a≤-8或a≥0. 质：ac,b>c→a+b>2c,故C成立.故选C ∴.实数a的取值范围为（一o,一8]U[0,十∞）. [答案]C [答案](-∞，-8]U[0,十∞) 5.[解析]由a>|b|可知，当b≥0时，a>b;当b<0时，a≥ 高考再现 -b,则a>0>b,综上可知，当a>b|时，a>b恒成立，故 1.[解析]由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0” 选B. 的充分条件；又当x=π时，sin2.x=sin2r=0,可知sin2x L答案]B 0→x=0,故“x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，综上可知， 典例精讲 “x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条件.故选A [例1][自主解答]M-N=(x2+y2)(.x-y)-(x2y-xy2) [答案]A 2.[解析]由x2十3x>0,解得：x<一3或x>0,即x>0时， =+y-=r-w[(-）+￥] 4」 x2十3x>0成立，反之不成立，所以“x>0”是“x2十3x>0”的 充分而不必要条件」 因为x<y<0,所以x一y<0,（x- )‘+8￥>0 [答案]A 3.[解析]若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定有 所以-”[(x-)+￥ 4 <0,所以M<N! 在xo∈D,使得f(x0)=M十1，则|f(xo)|=|M+1>M, 充分性成立；取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在 「答案]MN x1∈D,使得f(x1)=M+1,则f(xo)=M+1>M,但 [例2][自主解答](1)由a>b,不一定能得到a2>b,如 此时函数f(x)的值域为(0，十∞)，必要性不成立；所以 “f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得 a=1,b=一2，故A错误：由0>b,不一定能得到上> a=2,b=1,故B错误：由不等式的性质可知，ac>bc成立，故 |f(xo)>M的充分不必要条件.故选A. 4.[分析]对于两个命题而言，可分别取x= 一1、x=1,再结合 C正确：由B选项知日>古不一定成立，所以台>后不一定 命题及其否定的真假性相反即可得解. 成立，故D错误.故选C. [解析]对于p而言，取x=一1，则有x十1=0<1，故p是 假命题，力是真命题，对于q而言，取x=1,则有x3=13 （2)由ac2>br2,可知2>0所以a>6,故A正确：由合>方 1=x,故q是真命题，一g是假命题，综上，一p和q都是真命 题.故选B. 可得：上-=>0，因为u>b,所以ab<0,故B正确： a b ab [答案]B 5.[分析]说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即 由a心>0可得：2>→过<分，又周为<0，所以5> 是充分必要条件， [解析]根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3a= ,故C正确：取a=2,b=1c=-3,d=-4则abcd.故 3都和a=b是充分必要条件，所以二者互为充要条件.故 D错误，故选D, 选C. [答案](1)C(2)D [答案]C 高考再现 6.[解析]若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存 1.[解析]由题意，设高一学生去甲地的人数为A,去乙地的人 在x1∈D,使得f(1)=|M十1，取0=x1,则|f(x0)|= 数为B,高二学生去甲地的人数为C,去乙地的人数为D, 277