第1章 第1节 集 合-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习学生用书

第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第一章 DI YI ZHANG 集合、常用逻辑用语与不等式 第一节集合 知识点3集合的基本运算 教材梳理 >>>>>> 集合的并集 集合的交集 集合的补集 知识点1集合的相关概念 符号 若全集为U,则集合 A的补集为CuA (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互 表示 异性 图形 (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属 表示 CuA 于，记为 (3)集合的三种表示方法： 意义 (4)五个特定的集合 [常用结论】 1.子集个数 集合自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 若集合A中含有n个元素，则它的子集个数 符号 N N*或N+ Q R 为2”，真子集个数为2”一1，非空真子集个数 知识点2 集合间的基本关系 为2”-2. 2.几个常用等价关系 表示 关系 文字语言 符号语言 记法 (1)A∩B=AUB台→A=B. 子集 集合A的元素都是集 A二B或 (2)A≤B台A∩B=A台AUB=B台→(CA)2 x∈A→ 合B的元素 BPA (CB)台A∩(CB)=O. 3.集合的运算性质 草 集合A是集合B的子 A二B,且3xoA至B或 (1)AU=A,AUA=A,AUB=BUA, 集，且集合B中至少 系 集 ∈B, B吴A 有一个元素不属于A A二(AUB),BC(AUB): (2)A∩0=0，A∩A=A,A∩B=B∩A, 集合A,B的元素完全 相等 x∈A台→x∈B A=B 相同 A∩B二A,A∩BCB. 不含任何元素的集合 (3)(CUA)(CUB)=Cu(AUB),CA)U Hx,x年0， 空集是任何集合A的 (CB)=C(A∩B). 空集 二A,B(B 是任何非空 (4)AU GA=U,AN GA=,(GA)=A, ≠⑦) 集合B的 CA-8,C-A. 艺考生文化课成功方案 [思路点拨]在解题过程中应根据a是否 诊断自测 >>>>>> 为0分情况进行讨论： [解题心得]如果题目条件中的集合是用描 思考辨析 述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素 1.判断下列结论正误（在括号内打“/”或“×”） 的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型. (1)任何一个集合都至少有两个子集.( (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y) [例2]若a,b∈R,集合{1，a+b,a}= y=x2+1. 0,会，求6-am的值 (3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1. (4)对于任意两个集合A,B,(A∩B)二(AUB) 思路点拔]由1a+6a=0,名，b可 恒成立 知a≠0，因此只能a十b=0,然后利用两集合相 教材衍化 等的条件列出方程组，分别求出a、b的值即可. 2.(25一26高二下·山西·期末)设集合A [自主解答] {xx=2k,k≤5，k∈N},B={x∈Z|x-1 ≤2}，则A∩B= A.{0,2,6} B.{4,8} C.{2,4,6} D.{0,2} 3.(25-26高二下·上海杨浦·期末)如图，已 知集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则图 中阴影部分所表示的集合 [解题心得]了解集合的概念，关键是把 握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素 的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺 考题体验 利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之 2026·全国I卷)已知集合A-sm7行， 时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确 保答案的正确性。 cos，mB={-.-1.则An [例3]已知集合A={x1≤x<5},B= {x-a<x≤a+3},若B二(A∩B),求a的取 B= 值范围 A--》 B.( [思路点拨]B二(A∩B)得出B二A再对 B是否为空集讨论来求a的范围 c.{-1 [自主解答] 典例精讲 >>>>>> ④ [例1]若集合A={x∈Rax2-3x十2=0} 中只有一个元素，则a等于 A B告 C.0 n0政号 2 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 [解题心得]在进行集合的运算时要尽可 A.(2,3) B.(-1,+∞) 能地借助Venn图或数轴使抽象问题直观化. C.[2,3) D.(-1,2] 一般地，集合元素离散时常用Venn图表示；集 5.(2026·上海卷)对于函数y=f(x),x∈D,设 合元素连续时常用数轴表示，用数轴表示时注 Ar={(x,y)川y≥f(x),x∈D}.对于点集M,若 意端点值的取舍 存在(xo,yo)∈M,使得任意(x,y)∈M,总有 y≥yo,则称(x,y)为“最低点”.对于函数 高考再现 y=f(x)和y=g(x),以下说法中正确的是 >>>>>> 1.(2026·上海卷)已知集合A={2,4},B A.若y=f(x)和y=g(x)都有最小值，则A∩ {2,3,m},若A二B,则m= A有最低点 2.(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A={0,1,3,6, B.若A∩A有最低点，则y=f(x)和y=g(x) 9},B={x√x=x},则A∩B= 都有最小值 A.{0,1} B.{3,6》 C.若y=f(x)或y=g(x)有最小值，则ArUA C.{0,1,9} D.{0,3,9 有最低点 3.(2026·天津卷)已知全集U={-2,-1,0,1, D.若AUA有最低点，则y=f(x)或y=g(x) 2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0, 有最小值 1},则(CA)UB= 6.(2025·上海卷)已知全集U={x|2≤x≤5， A.{-2} B.{-2,2} x∈R},集合A={x2≤x<4,x∈R},则A= C.{0,1,2} D.{-2,0,1,2} (即集合A的补集) 4.(2026·北京卷)已知集合M={x一1<x< 3},N={xx≥2}，则MUN= 提醒：请完成课时作业 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 教材梳理 思考：“p是q的充分不必要条件”与“p的充分 >>>>>> 不必要条件是g”有区别吗？ 知识点1 充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 p成立的对象的集合 若Pq,则p是g的充分条件，g 为A,g成立的对象的 是卫的必要条件 集合为B p是q的充分不 p→q且 A是B的真 知识点2全称量词命题与存在量词命题 必要条件 子集 命题量 p是q的必要不 pPg且 B是A的真 集合 命题结构 命题简记 命题的否定 词名称 充分条件 子集 与充 要条 p是g的充要 对M中任意一个 Hx∈M, A=B 件的 全称命题 条件 x,有(x)成立 p(x) 关系 p是q的既不充 存在量 存在M中的一个 ]x,∈M, pq且 A,B互不包含 分也不必要条件 词命题 xo,使(x)成立 p(zo) 3学生用书参考答案与详解 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 3.[解析]由题可得(CA)={一2,2}，又因B={一2,0,1}，则 (A)UB={-2,0,1,2. 第一节集合 「答案]D 4.[解析]因为M={x-1<x<3,N={xx≥2}，则MUN= 教材梳理 {.xx>-1}=(-1,+∞). 知识点1(3)列举法描述法图示法 [答案]B 知识点2x∈Bx0A子集真子集 5.[解析]取f(x)=x,x∈[0,1]，取g(x)=x,x∈[2,3]，则 知识点3AUBA∩B{x|x∈A,或x∈B}{xlx∈A,且 f(x)mim=0,g(x)min=2;而Ay∩Ag=必无最低点，故A错 x∈B}{xx∈U,且xtAy 误：取f(x)=x,x∈(0,3]，取g(x)=x,x∈[2,3]，则f(x)无 诊断自测 最小值，g(x)min=2;而Ar∩Ag=Ag有最低点(2,2)，故B错 1.[解析](1)错误.空集只有一个子集， 误；取f(x)=-x2,x∈R,取g(x)=x2,x∈R,则f(x)无最 (2)错误.{xy=x2+1=R,{yy=x2+1}=[1,+o∞)， {(x,y)ly=x2+1是抛物线y=x2+1上的点集， 小值，g(x)mim=0;因为f(x)=一x2的函数值可趋向于负无穷 大，所以Ay={(x,y)ly≥-x2,x∈R无最低点，则AUA,亦 (3)错误.当x=1时，不满足集合中元素的互异性 [答案](1)×(2)×(3)×(4)/ 无最低点，故C错误；设(x0,y%)为A,UA的最低点，则 2.[解析]由题意得A={0,2,4,6,8,10},B={-1,0,1,2,3}, (x0,0)∈Ay或(x0yo)∈Ag,若(0g)∈A,则30=f(x0) 所以A∩B={0,2.故选D. 且对任意的x∈D1,总有f(x)≥%，即f(x)mm=y0;若(x0, [答案]D )∈Ag,同理可知g(x)mim=o:则y=f(x)或y=g(x)必 3.[解析]由题意可得A∩B={2,3,4),C4(A∩B)={1〉. 有最小值，故D正确.故选D. [答案]{1 [答案]D 4.[解析] 因为m=n(x+）=-m吾=-号 1 6.[解析]根据补集的含义知A={x4≤x≤5，x∈R 「答案] {x4x5,x∈R}或[4,5] os=os(2r-）=os吾=iam=ia(x+） 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 教材梳理 =am=1脚条合A={1且条合B={号 2 知识点1q九q→p qq?p 思考：提示：有区别：前者是“→q且q沙”，而后者是“q→p且 -1,所以AnB={-1 知识点2 3xo∈M,7p(xo)Hx∈M,7p(x) [答案]C 诊断自测 典例精讲 1.[答案](1)/(2)/(3)/(4)× [例1][自主解答]若集合A中只有一个元素，则方程 ax2-3xr十2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a=0 2.[解析]因a2>1等价于a>1或a<一1，显然根据“a>1或 a<-1”推不出“a>1”;而由a>1可以推出a2>1,故“a2>1” 时=号特合题高当a≠0时，由△=(-3)2-80=0，得 是“a>1”的必要不充分条件.故选B. a=骨所以a的值为0或是 [答案]B 3.[解析]因为命题p:3x>1,x2-1>0,所以p:Hx>1, [答案]D x2-1≤0.故选B. [例2][自主解答]由1a+b,a={0,,b, [答案]B 4.[解析]由题意，{aw》,{b)是无穷数列，验证充分性： 可知a≠0，则只能a十b=0.则有以下对应关系： 当存在常数M,使an≤M≤bn(n=1,2,3,…)时， a+b=0 a+b=0 anM(n=1,2,3,…),Mbu(n=1,2,3,…), b =a①或{ b=a ② anb,(n=1,2,3,…)充分性成立. 验证必要性： b=1 b1 当anb,b,≤n2时，此时满足amb, {二一1符合题意，②无解， 由①得：b=1, 假设存在常数M,使a,≤Mb(n=1,2,3,…)成立， .b2011-a2011=1-(-1)=2. 当n→十∞时，a,=n→十∞，bn=n2→十∞， 此时，M需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， [例3][自主解答]因为B二(A∩B),所以B二A. 但不存在这样的固定常数M, ①当B=时，满足BA,此时-≥a十3，即a≤-是： 当a,<b时，无法必然推出“存在常数M”,即必要性不成立， -aa+3, “存在常数M,使an≤Mbn(n=1,2,3,…)"是“a1≤bn(n=1, ②当B≠时，要使B二A,则 3 -a≥1，解得- 2,3,…)”的充分不必要条件。 2 <a< a+35, 答案]A 一1.由①②可知，a的取值范围为（一o∞，一1]. 5.[解析]设之=x十yi,w=a十bi,x,y∈R,a,b∈R,则之一w 高考再现 (x一a)十(y-b)i∈R→y一b=0(虚部为0)或之-w=(x-a)十 1.[解析]A={2,4},B={2,3,m,A二B,.集合A中所有 (y十b)i∈R→y十b=0(虚部为0)，所以之和w伴随，有y一b=0 的元素都在集合B中，∴.集合A中的元素4在集合B中， 或y+b=0,又因为(w-i)-(之+i)=(a-x)+(b-y-2)i∈ ..n=4. R→b-y-2=0,(w-i)-+i=(a-x)+(b+y)i∈R→b十 [答案]4 y=0,所以w一i和之十i伴随的充要条件是b十y=0,即nw十 2.[解析]由题可得B={0,1),所以A∩B={0,1. m2=0. [答案]A L答案]C 276