2026-2027学年人教版九年级数学上册期中考试模拟试题

绝密★启用前 2026-2027学年度人教版第一学期期中考试模拟试题九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.已知、、是反比例函数的图象上的三点，则、、的大小关系是(    ) A. B. C. D. 4.如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，，则等于(    ) A. B. C. D. 5.把抛物线的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 6.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是(    ) A. B. C. D. 7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，米为半径的圆，旦圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.如图是某博物馆为游客提供的圆锥形饮水纸杯经测量发现该圆锥体的底面半径为，母线长为，则该圆锥形纸杯侧面展开图的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，分别过点、、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线对于下列结论：；；多项式可因式分解为；当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若关于的方程的一个根是，则另一个根是           ． 12.如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于，两点，若的面积是，则的值为        ． 13.已知与是抛物线上的两点，且若，则与的大小关系是           ． 14.如图，正八边形和正方形的边长均为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为          结果保留 15.如图，正五边形内接于，连接，则的度数为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 16.解下列方程： ； ． 四、解答题：本题共7小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： 画出绕点顺时针旋转后得到的，并直接写出、的坐标； 计算点旋转到点位置时，经过的路径长． 18.本小题分 根据以下素材，探索完成任务和任务： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材 经统计，该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为 杯， 月份的销售量为 杯； 素材 为了去库存，决定 月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯 元．当每杯售价 元时，月销售量 杯，经试验，发现该款水果茶每降价 元，月销售量就会增加 杯． 问题解决 任务 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务 拟定降价幅度 为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到 元，该款水果茶应该降价多少元？ 19.本小题分 已知关于的方程有两个实数根． 求的取值范围； 设方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 20.本小题分 如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于，两点，与轴交于点． 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象直接写出不等式解集． 设为线段上的一个动点不包括，两点，过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值． 21.本小题分 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，，，且，，，在同一水平面上经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路图中虚线部分． 求，两点间的距离； 求该条待建环山路的长度结果保留． 22.本小题分 问题提出 如图，点，分别在正方形的边，上，，琳琳把绕点逆时针旋转到的位置，从而发现，，之间的数量关系是        ； 问题探究 如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，当时，中的结论是否仍然成立，并说明理由； 问题解决 如图，某公园的四条通道围成了四边形，已知，，，，道路，上分别有景点，，满足，，为了游客们能更方便的游玩这两个景点，现要在、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 23.本小题分 如图，抛物线经过点，，是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点． 求抛物线的解析式； 若点在第四象限，连接，当线段的值最大时，求的面积； 已知点在直线上，点在抛物线上，点在轴上，在满足的条件下，是否存在这样的点，，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，  选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，  故选：． 根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 所以，， 所以． 故选：． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，接着把方程左边写成完全平方的形式，则可得到，，然后根据乘方的意义计算即可． 本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、、是反比例函数的图象上的三点，  ，在每个象限内，随的增大而减小，  、、的大小关系是  故选：． 先根据、、是反比例函数的图象上的三点，求得三个点的纵坐标，再比较大小． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 4.【答案】  【解析】解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ， ， ， 故． 故选：． 先通过旋转得到，，，再通过等边对等角以及三角形外角的性质得到，代入已知的数据即可求解． 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：把抛物线的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得的抛物线的函数关系式是，即． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，， ， ∽， ， ，，， ， ， 的长为． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：过点作半径于，如图， 米， 在中，米， 米， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为米． 故选：． 过点作半径于，如图，由垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后即可计算出的长． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由题知， 因为圆锥体的底面半径为，母线长为， 所以圆锥形纸杯侧面展开图的面积为： 故选：． 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：过点、、的垂线，交的图象于点，交直线于点； 令，可得：纵坐标为，纵坐标为， ，， ． ， ． 故选：． 由、、可得：，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可． 本题考查了一次函数和二次函数与垂直于轴直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由图像可知：，，， ，故正确， 时，， ， ，故正确， 函数图象经过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 多项式可因式分解为，故错误， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 观察图象可知当时，关于的方程无实数根，故正确． 11.【答案】  【解析】解：方程的一个根是，设另一根是，  ，；  故答案为：． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与的方程组，即可求解． 考查了一元二次方程的解及根与系数的关系的知识，解答此题要熟知一元二次方程根与系数的关系． 12.【答案】  【解析】解：连接、，如图， 轴， ， 而， ， 而， ． 故答案为：． 连接、，如图，由于轴，根据三角形面积公式得到，再利用反比例函数系数的几何意义得到，然后解关于的绝对值方程可得到满足条件的的值． 本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 13.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质， 根据二次函数的性质，由于，抛物线开口向下，顶点处函数值最大，点离对称轴越近，函数值越大． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 因为， 所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值， 由已知，可知点比点离对称轴更近， 因此． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正方形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据正八边形、正方形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：八边形是正八边形，四边形是正方形， ，， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：正五边形内接于， ，， ， ， 故答案为：． 16.【答案】【小题】 解： ； 【小题】 解： 或， ．   【解析】  本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． 用求根公式解方程即可；   将方程右边移项至等号左边，用因式分解法求解． 17.【答案】解：如图，为所作，，； ， 点经过的路径长  【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，然后写出、的坐标； 先计算出的长，然后利用弧长公式计算点经过的路径长． 本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18.【答案】任务：设该店“满杯杨梅” 月份到 月份销售量的月平均增长率是 ， 根据题意得： ， 解得： ， 不符合题意，舍去． 答：该店“满杯杨梅”月份到 月份销售量的月平均增长率是 ； 任务：设该款水果茶应该降价 元，则每杯的利润为 元，月销售量为 杯， 根据题意得： ， 整理得： ， 解得： 不符合题意，舍去． 答：应该降价 元．   【解析】任务：设该店“满杯杨梅” 月份到 月份销售量的月平均增长率是 根据该奶茶店 月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为 杯， 月份的销售量为 杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务：设该款水果茶应该降价 元，则每杯的利润为 元，月销售量为 杯，根据为了使该店 月份“满杯杨梅”的利润达到 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 19.【答案】【小题】 根据题意得， 解得， 即的取值范围为； 【小题】 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 整理得， 解得，， ， 的值为．   【解析】  本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，． 根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；   根据根与系数的关系得，，再利用得到，解关于的方程，然后根据的取值范围确定的值即可． 20.【答案】【小题】 解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ， 解得：， 在一次函数的图象上 解得 一次函数的解析式为； 【小题】 解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， 不等式的解集为或； 【小题】 解：把代入得， ， 设，则， ， ， 当时，的面积最大，此时，面积最大值为．   【解析】  本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式；   运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答．   根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 21.【答案】解：如图，连接，过点作，垂足为点． ， ，， 在中，， ， ， ， 所以，两点之间的距离为； 答：，两点之间的距离为； 如图，连接， ，， ， 在中，， 的长， 答：待建环山路的长度为．  【解析】连接，过点作，垂足为点由，，得出，，在中，，即可求出和，即可求解； 连接，先求出，再在中利用勾股定理求出，利用圆周长的一半即可求的长，即可解决． 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些定理与性质，并可以通过正确作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】【小题】 【小题】 中的结论仍然成立；理由如下： 如图，延长至，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 即， 故中的结论仍然成立 【小题】 如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则，， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，即点在的延长线上， 在中，， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， 又， 根据的结论有， 即这条道路的长为，   【解析】在正方形中，，， 把绕点逆时针旋转到的位置， ≌， ，，， ， ， ， 即， ， 在和中，  ， ≌， ， ， 故答案为：； 中的结论仍然成立；理由如下： 如图，延长至，使，连接， ，， ，  在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 在和中，  ， ≌， ， 即， 故中的结论仍然成立； 如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则，， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，即点在的延长线上， 在中，， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， 又， 根据的结论有， 即这条道路的长为， 由旋转的性质可得≌，得到，，，进而得到，即得到≌，得到，据此得到，即可求证； 延长至，使，连接，证明≌，得到，，再根据，可得，进而证明≌，即得到； 如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据结论即可求解． 本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含度角直角三角形性质，勾股定理，正确添加辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 23.【答案】解：将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，最大值为， 的面积； 存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 当时，， ， 由知，， 设， 当为平行四边形时，， ； 当为平行四边形时，， 解得， ； 当为平行四边形时，， 解得， ； 综上所述：点坐标为或或．  【解析】用待定系数法求函数的解析式即可； 设，则，则，当时，最大值为，的面积； 求出，，设，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况，利用中点坐标求出相应的值即可确定点坐标． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $