专题07 计算题能力强化集训22大题型（期中专项训练·冲刺版）九年级数学上学期新教材人教版

专题07 计算题能力强化集训22大题型 题型1 由一元二次方程的解的定义求代数式的值 题型12根的判别式的综合应用 题型2 一元二次方程的解法---直接开平方法 题型13 根与系数关系求代数式的值 题型3 一元二次方程的解法---配方法 题型14 根与系数关系求参数 题型4 一元二次方程的解法---公式法 题型15 根与系数的关系与几何的综合 题型5 一元二次方程的解法---因式分解法 题型16 根的判别式与根与系数关系的综合 题型6 一元二次方程的解法---十字相乘法 题型17 一元二次方程中的新定义问题 题型7 用指定的方法解方程 题型18 求二次函数的解析式---一般式 题型8 用适当的方法解方程 题型19 求二次函数的解析式---顶点式 题型9 判断解方程的过程 题型20 求二次函数的解析式---交点式 题型10一元二次方程的解法---换元法 题型21 二次函数与一元二次方程的综合 题型11配方法的综合应用 题型22求反比例函数解析式、函数交点计算 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由一元二次方程的解的定义求代数式的值（共3小题） 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 2．已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 3．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 题型2 一元二次方程的解法---直接开平方法（共3小题） 4．（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型3 一元二次方程的解法---配方法（共3小题） 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 8．（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 9．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)． 题型4 一元二次方程的解法---公式法（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·周测）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 11．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用公式法解方程： (1)． (2) 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型5 一元二次方程的解法---因式分解法（共3小题） 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 15．用因式分解法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 一元二次方程的解法---十字相乘法（共3小题） 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即．例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为． 试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 17．用十字相乘法解方程： (1) (2) 18．（26-27九年级·全国·暑假作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 题型7 用指定的方法解方程（共3小题） 19．按要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程 (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． 21．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）用指定的方法解方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）． 题型8 用适当的方法解方程（共3小题） 22．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 23．（26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 24．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9 判断解方程的过程（共3小题） 25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 (1)小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法  C．配方法  D．公式法 (2)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (3)请你用“公式法”解该方程． 26．（24-25九年级上·河北保定·期末）解方程 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)任务一： ①上述解方程的方法是_______； A．直接开平方    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是________________； (2)任务二：请用不同于（1）中的方法解下列方程： ① ② 27．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 题型10一元二次方程的解法---换元法（共3小题） 28．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）请阅读以下材料，并解决相应的问题 【阅读材料】 “通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学解决问题的基本思维方式．例如：解方程，就可利用该方式，设，将原方程转化为关于的一元二次方程：， 解得，， 当时，，求得． 当时，，求得． 故原方程的解为，． 【解答问题】 (1)若，则的值为 ； (2)请利用以上知识解方程． 29．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解得：， 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)上面这种解方程的方法叫 _． (2)方程的解是________． (3)解方程 30．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 题型11配方法的综合应用（共3小题） 31．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值； (2)若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由． 32．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 33．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 题型12根的判别式的综合应用（共3小题） 34．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 35．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，关于x的方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状; （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求m的值． 36．已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． (1)当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； (2)若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 题型13 根与系数关系求代数式的值（共3小题） 37．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根．求： (1)的值 (2)的值 38．（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）若，是方程的两个根． (1)求和的值． (2)求的值． (3)求的值． 39．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）、分别是方程的两个根，请完成以下问题： (1)填空： ； (2)求值： 1）； 2）． 题型14 根与系数关系求参数（共3小题） 40．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 41．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为，，当，求的值． 42．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）对于一元二次方程，如果方程的两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540－1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， _，∴ ； (2)类比应用：一元二次方程的一个根为，则 ，另一个根 ； (3)思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 题型15 根与系数的关系与几何的综合（共3小题） 43．已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n． (1)若方程的两根m，n分别为矩形两条对角线的长，求k的值； (2)若方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． 44．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的一元二次方程 (1)证明：无论取何值，此方程必有实数根； (2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求m的值． 45．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)是“差根方程”的是 ．（填写序号） ①；② (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 题型16 根的判别式与根与系数关系的综合（共3小题） 46．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为，且，求m的值及方程的根． 47．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的两个根为，，则 ， _； (2)求证：方程必有两个不相等的实数根； (3)当时，方程的两个根记为，，求的值． 48．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则 _ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 题型17 一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 50．已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 51．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断方程是不是“差1方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（m是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 题型18 求二次函数的解析式---一般式（共3小题） 52．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 53．（26-27九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上． 54．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； 题型19 求二次函数的解析式---顶点式（共3小题） 55．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． (1)求这个二次函数表达式； (2)将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 56．（24-25九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，且最高点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为 ． 57．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，的取值范围为 ； (3)若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 题型20 求二次函数的解析式---交点式（共3小题） 58．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 59．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 60．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)为顶点，求三角形的面积． 题型21 二次函数与一元二次方程的综合（共3小题） 61．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求a和b； （2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，当直线恰与抛物线有一个交点时，求m． 62．已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 63．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线与该抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围． 题型22求反比例函数解析式、函数交点计算（共3小题） 64．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 65．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知反比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 66．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 计算题能力强化集训22大题型 题型1 由一元二次方程的解的定义求代数式的值 题型12根的判别式的综合应用 题型2 一元二次方程的解法---直接开平方法 题型13 根与系数关系求代数式的值 题型3 一元二次方程的解法---配方法 题型14 根与系数关系求参数 题型4 一元二次方程的解法---公式法 题型15 根与系数的关系与几何的综合 题型5 一元二次方程的解法---因式分解法 题型16 根的判别式与根与系数关系的综合 题型6 一元二次方程的解法---十字相乘法 题型17 一元二次方程中的新定义问题 题型7 用指定的方法解方程 题型18 求二次函数的解析式---一般式 题型8 用适当的方法解方程 题型19 求二次函数的解析式---顶点式 题型9 判断解方程的过程 题型20 求二次函数的解析式---交点式 题型10一元二次方程的解法---换元法 题型21 二次函数与一元二次方程的综合 题型11配方法的综合应用 题型22求反比例函数解析式、函数交点计算 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 由一元二次方程的解的定义求代数式的值（共3小题） 1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 2．已知是关于的方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将代入方程得到的值，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ． 3．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 题型2 一元二次方程的解法---直接开平方法（共3小题） 4．（26-27九年级上·云南德宏·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得 开方得 ， 即； （2）解：， 移项得， 开方得， 解得． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用直接开方法解一元二次方程，解题的关键是将方程化成的形式； 利用直接开平方法解方程，通过移项，系数化为1，将方程进行变形成上述形式，再进行开方，即可得出答案. 移常数项，二次项系数化为，直接开平方，即可求解； 移常数项后直接开平方，求出的值后再求. 【详解】【小题1】移项，得， 【小题2】移项，得， 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． （1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 题型3 一元二次方程的解法---配方法（共3小题） 7．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 8．（25-26九年级上·全国·期中）用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 9．用配方法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)无解 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用配方法求出解即可． 【详解】（1）解：方程， 开方得：， 解得：，； （2）解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； （3）解：方程变形得：， 配方得：，即， 此方程无实数根． 题型4 一元二次方程的解法---公式法（共3小题） 10．（25-26九年级上·全国·周测）用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． （2）解：， ∴方程有两个不相等的实数根 ， ． 11．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) (3) ， (4) 原方程无实数根 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ∴原方程的根为，； （2）解：， ，，， ， ， ∴原方程的根为； （3）解：， ， ，，， ， ， 或， ∴原方程的根为，； （4）解：， ， ，，， ， 因此原方程无实数根． 题型5 一元二次方程的解法---因式分解法（共3小题） 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 14．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力：用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先移项，再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项，再利用平方差公式进行因式分解，从而求得方程的解． 【详解】（1）解：， ， ，即， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 15．用因式分解法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， 或， 解得，； （3）解：， ， ， 或， 解得，； （4）解：， ， 或， 解得，． 题型6 一元二次方程的解法---十字相乘法（共3小题） 16．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即．例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为． 试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解： ， 或， 解得，； （3）解：， ， 或， 解得，. 17．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 18．（26-27九年级·全国·暑假作业）用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 题型7 用指定的方法解方程（共3小题） 19．按要求解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得，即， ， 所以，； （2）解：， 移项，得，，，， 则， 所以， 所以，； （3）解：， 因式分解，得， 或， 所以，． 20．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解方程 (1)用直接开平方法解； (2)用配方法解； (3)用公式法解； (4)用因式分解法解． 【答案】(1)x1=1+，x2=1-； (2)x1=3+，x2=3-； (3)x1=，x2=； (4)x1=0，x2=2.5． 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得； （3）利用公式法求解可得； （4）利用因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：∵3（x-1）2=6， ∴（x-1）2=2， 则x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-； （2）解：∵x2-6x=-3， ∴x2-6x+9=-3+9，即（x-3）2=6， 则x-3=±， ∴x1=3+，x2=3-； （3）解：∵9x2+10x-4=0， ∴a=9，b=10，c=-4， 则△=102-4×9×（-4）=244＞0， ∴x===， 即x1=，x2=； （4）解：∵2x2-5x=0， ∴x（2x-5）=0， 则x=0或2x-5=0， 解得x1=0，x2=2.5． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）用指定的方法解方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 解得； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得． 题型8 用适当的方法解方程（共3小题） 22．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）用适当的方法解下列一元二次方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， ， ， 解得：，； （2）解： ， ， 解得：，； （3）解： ， ， 解得：，； （4）解： ， ， ， 解得：，． 23．（26-27九年级上·山东潍坊·阶段检测）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2) (3)， (4)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可； 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）解：移项，得， ，，， ， ∴； （3）解： ， 移项，得， 方程左边因式分解，得， ∴或， ∴，； （4）解： ，，， ， ∴， ∴，． 24．（26-27九年级上·山西太原·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 或， ，． （2）解：， ， ， ， ， ，． （3）解：， ， ， 或， ，． （4）解：， ， 或， ，． 题型9 判断解方程的过程（共3小题） 25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）小明在解方程时，解答过程如下： ． ．第一步 ．第二步 ．第三步 ．第四步 ，．第五步 (1)小颖解方程的方法为 ；（填字母） A．直接开平方法  B．因式分解法  C．配方法  D．公式法 (2)解方程过程中，第二步变形的依据是 ； (3)请你用“公式法”解该方程． 【答案】(1)C (2)等式的基本性质 (3) ， ， ， 即． 【分析】本题考查了解一元二次方程的方法和步骤，掌握解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． （1）根据解题方法直接对应即可； （2）第二步是方程的左右两边同时加了一个数，利用的是等式的基本性质； （3）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：小颖解方程的方法是配方法， 故选：C； （2）解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质（或等式两边同时加（或减）同一个整式，所得结果仍是等式）， 故答案为：等式的基本性质； （3）略 26．（24-25九年级上·河北保定·期末）解方程 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)任务一： ①上述解方程的方法是_______； A．直接开平方    B．配方法    C．公式法    D．因式分解法 ②第二步变形的依据是________________； (2)任务二：请用不同于（1）中的方法解下列方程： ① ② 【答案】(1)①B；②等式的基本性质； (2)①，；②， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）根据解题过程即可得出答案； （2）①用公式法，先计算，再代入求根公式即可求解；②用因式分解法，先把方程变形为，再得两个一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：①由解题过程可知，解方程的方法是配方法， 故答案为：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）①解： ， ， ， ； ②解：原式可变为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 【答案】(1)①B；②等式的基本性质； (2)①，；②，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可； （2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质． （2）解：①（公式法） ∵，，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 或， ∴，． ②（因式分解法） ， ， ， ， 或， ，． 题型10一元二次方程的解法---换元法（共3小题） 28．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）请阅读以下材料，并解决相应的问题 【阅读材料】 “通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学解决问题的基本思维方式．例如：解方程，就可利用该方式，设，将原方程转化为关于的一元二次方程：， 解得，， 当时，，求得． 当时，，求得． 故原方程的解为，． 【解答问题】 (1)若，则的值为 ； (2)请利用以上知识解方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）按照题干所给整体代换的思想，将整体代换后转化为一元二次方程即可求解． （2）方程中含有的项都有公因式，可将整体代换后转化为一元二次方程求解． 【详解】（1）令，代入中， 则有， ， 得或， 解得或， ，故舍去， ． （2）设，将代入中， 得， 因式分解，得， 或， 解得或， ， 舍去，， ，． 29．（26-27九年级上·陕西渭南·阶段检测）阅读下面的材料，回答问题： 方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解得：， 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)上面这种解方程的方法叫 _． (2)方程的解是________． (3)解方程 【答案】(1)换元法 (2)， (3)， 【分析】（1）把一个方程中含有某个未知数的整体利用另一个未知数表示的方法叫换元法； （2）令，则，用换元法解方程即可； （3）仿照例题中的解法用换元法解方程． 【详解】（1）解：材料中解方程的方法叫“换元法”； （2）解：， 令，则， 则原方程可变为， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 经检验可知，是原分式方程的解， 方程的解是，； （3）解：， 令，则， 则原方程可变为， 解得：，， 当时， 可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， ， 方程无实数根， 原方程有个根：，． 30．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 题型11配方法的综合应用（共3小题） 31．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求的周长的最大值及最小值； (2)若a，b，c满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)周长的最小值为，周长的最大值为 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式变形求值，等边三角形的判定． （1）根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而作答即可； （2）根据完全平方公式将原式变为，可知，即是等边三角形． 【详解】（1）解：，，且c为整数， ，即， ，5，6， 当时，周长的最小值； 当时，周长的最大值； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ，， ∴， 是等边三角形． 32．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值 【探究】， 因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】略 33．（25-26九年级上·海南海口·期中）阅读与思考 配方法：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到． 即的最小值为2．进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： ； (2)用配方法因式分解：（写过程）； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，多项式有最小值，最小值为5 【分析】本题考查了配方法的应用，熟悉掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解答即可； （2）利用配方法因式分解即可； （3）利用配方法，先把原式化为，再利用平方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： 故答案为：25； （2）解： ； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为5． 题型12根的判别式的综合应用（共3小题） 34．关于的代数式，若存在实数，使得，则称为这个代数式的等根值． (1)代数式的等根值为____________； (2)已知关于的代数式． ①求证：无论取何值，此代数式总有两个不相等的等根值； ②已知是此代数式的一个等根值，求的值和这个代数式的另一个等根值． 【答案】(1)0或1 (2) ①令整理得： 因为 即， 所以有两个不相等的根， 即代数式总有两个不相等的等根值 ②的值为，另一个等根值为2 【分析】（1）根据“等根值”的定义，将问题转化为对应的一元二次方程，解方程即可； （2）①由题得到关于的一元二次方程，计算根的判别式，如果判别式恒大于0，那么方程总有两个不相等的实数根，即代数式总有两个不相等的等根值； ②将已知的等根值代入对应的方程求解的值，再将代回方程，再解方程求出另一个根即可． 【详解】（1）由题可得， 整理得， ， 解得，； （2）①略； ②由题意得 解得： 将代入 得 即： 解得：， 所以，该代数式的另一个等根值为2． 35．已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，关于x的方程3cx+2b＝2a的根为x＝0． （1）试判断△ABC的形状; （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1）等边三角形   （2）-12 【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根，即△=0，由△=0可以得到一关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0，代入即可得到关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系； （2）根据（1）中求出a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m． 【详解】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+x+2c-a=0有两个相等的实数根， ∴Δ=()2-4×1×(2c-a)=0， ∴a+b=2c， 又∵关于x的方程3cx+2b=2a的根为x=0， ∴a=b， ∴a=b=c，即△ABC是等边三角形； (2)∵a，b是关于x的一元二次方程x2+mx-3m=0的两个实数根， 又由（1）知a=b, ∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根， ∴Δ=m2+4×3m=0， 解得m=0或m=-12， 当m=0时,方程x2+mx-3m=0可化为x2=0, 解得x1=x2=0， 又由a，b，c是△ABC的三边长,得a>0，b>0，c>0，故m=0不符合题意； 当m=-12时,方程x2+mx-3m=0可化为x2-12x+36=0, 解得x1=x2=6， 可知m=-12符合题意， 故m的值为-12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两不相等的实数根；当△=0，方程有两相等的实数根；当△<0，方程有无实数根． 36．已知：矩形的两边，的长是关于方程的两个实数根． (1)当m为何值时，矩形是正方形？求出这时正方形的边长； (2)若的长为2，那么矩形的周长是多少？ 【答案】(1)，矩形是正方形，边长是 (2)5 【分析】（1）根据正方形的性质可得，则有关于x的方程有两个相等的实数根，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据题意把代入方程求解m，然后再求解方程的解，进而问题可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴． 又∵，的长是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴，此时四边形为正方形； 当时，原方程为， 解得：， ∴正方形的边长是． （2）∵的长为2， ∴把代入原方程，得， 解得． 将代入原方程，得， 解得 ∴方程的另一根， ∴矩形的周长是． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一元二次方程的应用，熟练掌握正方形的性质及一元二次方程的应用是解题的关键． 题型13 根与系数关系求代数式的值（共3小题） 37．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）已知，是一元二次方程的两个根．求： (1)的值 (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由根与系数的关系得到两根和与两根积，将变形后代入计算； （2）将通分变形，代入两根和与两根积计算． 【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得， ； （2）解：，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得， ． 38．（26-27九年级上·四川泸州·阶段检测）若，是方程的两个根． (1)求和的值． (2)求的值． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． （2）先将通分，再根据第一问得到的答案代入即可． （3）将展开，化为含有和的式子，再将第一问所得答案代入即可． 【详解】（1）解：原方程为， 则，，， ，是方程的两个根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， ． （2）解： ， 且，， ， 的值为． （3）解：将展开，得， 变形，得， ，， ， 的值为． 39．（23-24九年级上·湖北荆州·阶段检测）、分别是方程的两个根，请完成以下问题： (1)填空： ； (2)求值： 1）； 2）． 【答案】(1) (2)1）；2） 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系， （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系即可得出结论； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到、的值， 1）将化为，然后利用整体代入的方法计算即可； 2）先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，然后利用整体代入的方法计算即可； 解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，． 【详解】（1）解：∵、分别是方程的两个根， ∴， 故答案为：； （2）∵、分别是方程的两个根， ∴，，， 1）； 2）∵， ∴， ∴ ． 题型14 根与系数关系求参数（共3小题） 40．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 41．（26-27九年级上·山西临汾·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)证明：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的两个实数根为，，当，求的值． 【答案】(1)证明：将原方程化为一般形式为 ∵ ∴ 又∵ 对任意实数， ∴ ，即 ∴ 对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)的值为． 【分析】（1）先把方程整理成一元二次方程一般形式，计算判别式，根据，证得，得到方程总有两个不相等实数根； （2）根据根与系数的关系写出与，利用恒等式代入等式，解方程求出． 【详解】（1）证明：略 （2）解：由根与系数的关系得 ，． ， 代入， ， ． 把，代入： ， ， ， ， ， 解得． 42．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）对于一元二次方程，如果方程的两个实数根为，那么；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（1540－1603）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．小明给出了一部分解题思路： 解：一元二次方程的两个实数根分别为， ， _，∴ ； (2)类比应用：一元二次方程的一个根为，则 ，另一个根 ； (3)思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是21，求的值． 【答案】(1)3，， (2)， (3)2 【分析】（1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系可得，，即可求解； （3）由方程有两个实数根，可得，可得的取值范围，设方程两个实数根为，，利用根与系数的关系可得，，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴． （2）解：∵一元二次方程的一个根为，设方程的另一个根为， ∴，， ∴，， ∴，方程的另一个根为． （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， 设关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∵， ∴． 题型15 根与系数的关系与几何的综合（共3小题） 43．已知关于x的一元二次方程的两个根为m，n． (1)若方程的两根m，n分别为矩形两条对角线的长，求k的值； (2)若方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键． （1）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，可建立关于k的方程，求得答案即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，再由菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半建立关于k的方程，求得答案即可． 【详解】（1）解：，n分别为矩形两条对角线的长， ， ， ； （2）解：∵方程的两根m，n分别为菱形两条对角线的长，且菱形的面积为5， ∴，， ∴， ∴， ． 44．（24-25九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的一元二次方程 (1)证明：无论取何值，此方程必有实数根； (2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求m的值． 【答案】(1) 证明：由得， ∵ ， ∴无论取何值，此方程必有实数根； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、勾股定理，熟练掌握一元二次方程根式判别式与根的关系是解答的关键． （1）求得，然后根据根的判别式可得结论； （2）先求得方程的两个根，再根据勾股定理列方程求解m值即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得， 解得，， ∵的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5， ∴，，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即m的值为． 45．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)是“差根方程”的是 ．（填写序号） ①；② (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）计算方程两根差的绝对值，判断是否符合“差根方程”的定义； （2）先求出方程的两根，根据差根方程的定义列绝对值方程，求解的值； （3）设直角边长为方程的两根，结合勾股定理与差根方程的条件，利用完全平方公式变形求两根之和与两根之积，进而得到方程． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴ ①是“差根方程”； ②， 由根与系数的关系得，， ∵ ， ∴， ∴ ②不是“差根方程”． 故填①． （2）方程， 因式分解得， 解得，， ∵ 方程是“差根方程”， ∴，即， ∴， 解得． （3）设、（，），二者为该“差根方程”的两个实数根， ∵是直角三角形，斜边的长为， ∴． ∵ 方程是“差根方程”， ∴， ∴，即 ． 将代入，得， 解得． ∵，且 ， ∴ ． ∵ 方程的二次项系数为1， ∴ 该方程为，即． 题型16 根的判别式与根与系数关系的综合（共3小题） 46．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两实数根分别为，且，求m的值及方程的根． 【答案】(1)见解析 (2)或4 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数关系等知识． （1）求出，进一步即可得到结论； （2）根据根与系数关系得到，分和两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）由题意，得． 当时，原方程为，解得， 则不成立． 当时，， ∴方程的两根异号． ①若 ， ②若 ． 综上所述，m的值为或4． 47．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知关于的一元二次方程． (1)当时，方程的两个根为，，则 ， _； (2)求证：方程必有两个不相等的实数根； (3)当时，方程的两个根记为，，求的值． 【答案】(1)， (2)证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； (3)6 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）求出，从而得证； （3）根据方程根的定义可得出，，根据根与系数的关系，得，然后整体代入计算即可. 【详解】（1）解：当时，原方程为， 根据根与系数的关系，得，； （2）略 （3）解：当时，原方程为， ∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ∴ 48．若关于x的一元二次方程的两根为，则这就是一元二次方程根与系数的关系． (1)一元二次方程的两根为，则 _ ； (2)已知关于x的一元二次方程 ①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为，满足，求k的值． 【答案】(1)， (2)①证明：∵关于的一元二次方程为 ， ∴，，， ∴根的判别式， 展开化简得， 配方得， ∵无论为任何实数，总有 ， ∴， 即， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 【分析】（1）直接根据题干给出的根与系数关系代入计算即可； （2）①通过计算根的判别式，证明判别式恒大于0即可得证；②先根据根与系数关系得到两根和与两根积关于的表达式，代入已知等式求解关于的一元二次方程即可得到的值.． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，可得，， 根据根与系数的关系得 ，； （2）①略 ②根据根与系数的关系，得 ， ∵， 代入得 ， 化简得 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得或． 题型17 一元二次方程中的新定义问题（共3小题） 49．（26-27九年级上·河北廊坊·阶段检测）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 50．已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 51．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断方程是不是“差1方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（m是常数）是“差1方程”，求的值； (3)若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】(1) 该方程是“差1方程”，理由如下： 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得 ，， ， ， 即两根相差1，满足“差1方程”的定义 (2) 的值为或 (3) 的最大值为 【分析】（1）利用根与系数的关系计算两根差的平方，验证两根差的绝对值是否为1； （2）通过因式分解求出方程的两根，结合“差1方程”的定义列方程求解； （3）先由“差1方程”的条件推导与的关系式，代入的表达式后用配方法求最大值． 【详解】（1）略 （2）解：将方程左边因式分解，得 ， 解得，， 原方程是“差1方程”， ，即， 或， 解得或； （3）解：设方程的两根为，，根据根与系数的关系，得 ，， 原方程是“差1方程”， ， ， ， 代入得， 整理得，即， 将代入，得 ， ，且， 当时，取得最大值，最大值为． 题型18 求二次函数的解析式---一般式（共3小题） 52．已知二次函数的图像经过点，求该二次函数的解析式，并判断该函数图像的开口方向． 【答案】解析式；开口向下 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出函数解析式． 先由待定系数法求出函数解析式，再由a判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数图像的开口向下． 53．（26-27九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)判断点是否在该二次函数的图象上． 【答案】(1) (2) 解：点在该二次函数的图象上，理由如下： 当时，， 在该二次函数的图象上． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式即可判断点是否在该二次函数的图象上． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， 解得 ∴二次函数的解析式为：； （2）解：略． 54．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； 题型19 求二次函数的解析式---顶点式（共3小题） 55．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． (1)求这个二次函数表达式； (2)将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）已知顶点坐标，设二次函数顶点式，代入已知点求系数； （2）通过平移顶点坐标得到新抛物线顶点，结合二次项系数不变求解析式． 【详解】（1）解:∵二次函数图象的顶点坐标为. ∴设二次函数表达式为（）. 将点代入表达式,得. 解得. ∴二次函数表达式为,即. （2）解:∵抛物线平移时,顶点同步平移且二次项系数不变，原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得新顶点坐标为,即， ∴平移后的抛物线解析式为． 56．（24-25九年级上·吉林松原·期中）已知二次函数的图象经过点，且最高点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)将（1）中的二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为 ． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及待定系数法确定函数解析式．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）利用“左加右减，上加下减”的平移规律书写平移后抛物线解析式． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：将二次函数的图象先向左平移3个单位长度， 再向上平移4个单位长度后所得的抛物线的解析式为：， 即， 故答案为：． 57．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)观察图象，当时，的取值范围为 ； (3)若将该二次函数图象向左平移个单位长度后，恰好过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式； （2）求出当，时的函数值，结合图象得到因变量的取值范围． （3）设二次函数向左平移个单位长度后，根据二次函数的平移方法写成新的解析式，代入点坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据函数图象知顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将点代入得：， 解得：， 则二次函数的解析式为：， （2）解：当时，； 当时，， ∴当时，， 则当时，的取值范围为； （3）解：设二次函数向左平移个单位长度，则新的解析式为：， ∵恰好过点， 则， 解得：或． 题型20 求二次函数的解析式---交点式（共3小题） 58．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，求这条抛物线的 解析式． 【答案】y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2． 【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可交点式y＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分别代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出对应的a的值，从而可得抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1）， ∵OC＝2， ∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2； 把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2． 即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 59．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数的图象交x轴于点和，与y轴交于点． (1)试求该二次函数的表达式； (2)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的表达式为 (2)当时，的取值范围是 【分析】（1）已知二次函数与x轴的两个交点，设交点式代入C点坐标求解系数，即可得到函数表达式； （2）先确定抛物线的对称轴与开口方向，找到顶点的最大值，再结合范围内的增减性和端点函数值，确定y的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴设该二次函数的表达式为； 将代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为，即． （2）解：∵二次函数的图象交x轴于点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，取得最大值. 将代入，得； 当时，； 当时，； ∴在范围内，的取值范围是． 60．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)为顶点，求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）先将抛物线解析式转化为顶点式，得到抛物线的顶点坐标，从而得到三角形的高，根据，得到三角形的底长，最后利用三角形面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴设抛物线函数解析式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴三角形的高为的纵坐标绝对值，即， ∵， ∴三角形的底为点、之间的距离，即， ∴三角形的面积为； 题型21 二次函数与一元二次方程的综合（共3小题） 61．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1． （1）求a和b； （2）抛物线与y轴交于点B，将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度，当直线恰与抛物线有一个交点时，求m． 【答案】（1）a，b＝1； （2）m＝2． 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）利用抛物线的解析式求得B点的坐标，即可利用待定系数法求得直线AB的解析式，进一步求得平移后的直线解析式，根据题意得到﹣x﹣4﹣mx2+x﹣4，即x2+2x+m＝0，则Δ＝0，即可得出22﹣40，解得m＝2． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴， 解得a，b＝1； （2）在yx2+x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， 由A（﹣4，0），B（0，﹣4）得直线AB解析式为y＝﹣x﹣4， 将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得到y＝﹣x﹣4﹣m， ∵直线恰与抛物线有一个交点时， ∴令﹣x﹣4﹣mx2+x﹣4，即x2+2x+m＝0，则Δ＝0， ∴22﹣40， 解得m＝2． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，解题的关键是明确题意得到关于m的方程． 62．已知抛物线（是常数） (1)求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； (2)若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 【答案】(1)证明：令，得方程， ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点． (2)的值为或． 【分析】（1）令，得方程，可证，再根据二次函数与方程的关系，即可求证； （2）根据二次函数与方程的关系，可得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，得方程， 该抛物线与轴交于点、， ，是方程的两个根， ，， ， ，即， ， ，解得，， 则的值为或． 63．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B、C的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线与该抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围． 【答案】(1)，，. (2). (3). 【分析】（1）令可求x轴交点坐标，令可求y轴交点坐标； （2）结合抛物线开口方向与x轴交点，直接得到不等式解集； （3）将直线与抛物线的交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，通过判别式求解． 【详解】（1）解：令，则， 整理得， 解得，， ∵点A在点B左侧， ∴，； 令，得， ∴； （2）解：∵抛物线的二次项系数为， ∴开口向下，且与x轴交于，， ∴不等式的解集为； （3）解：将代入，得， 整理得， ∵直线与抛物线有两个不同的公共点， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 题型22求反比例函数解析式、函数交点计算（共3小题） 64．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 65．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知反比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求的值及反比例函数的解析式； (2)求这两个函数图象的另一个交点B的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入一次函数计算即可得出，再将代入反比例函数，计算即可得出解析式； （2）联立得，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入一次函数得， ∴， ∴， 将代入反比例函数得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：联立得， 整理得， 解得，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴． 66．（2025·河南周口·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)若将一次函数的图象向下平移1个单位长度，平移后的函数图象与反比例函数的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为．一次函数的解析式为 (2)存在，交点坐标为 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数解析式、一次函数图象平移问题、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握求函数解析式、正确计算是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数，求出解析式，然后求出点坐标，在代入直解析式中计算得出答案即可； （2）根据一次函数图象的平移，得出平移后直线的解析式，结合反比例函数的解析式计算求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； 反比例函数的解析式为． 在反比例函数中， 当时，， 点的坐标为． 把A，两点的坐标代入，得 解得． 一次函数的解析式为． （2）一次函数的图象向下平移1个单位长度后与的图象仍有一个交点，理由如下： 将直线向下平移个单位长度，平移后所得直线解析式为， 令，整理得， 解得． 把代入，得． 交点坐标为． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $