专题03 一元一次不等式（11知识&16题型&5易错&3方法）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题03 一元一次不等式（11知识&16题型&5易错&3方法清单） 【清单01】不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、 不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 3、 【清单02】不等式的解（解集）与解不等 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单03】不等式的基本性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 【清单04】解简单的不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【清单05】一元一次不等式的定义 ★一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】一元一次不等式的解法 ★1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ★2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的实际应用 ★1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ★2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ★3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 【清单08】一元一次不等式组的定义 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 【清单09】一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 【清单10】一元一次不等式组的解法 ★1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单11】一元一次不等式组的实际应用 ◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型一】不等式的识别 【例1】下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【题型二】不等式的解与不等式的解集 【例2】关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【变式2-1】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】以下关于不等式的判断错误的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．是这个不等式的解集； C．大于1的数都是这个不等式的解 D．小于1的数都不是这个不等式的解． 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例3】不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 【变式3-2】下面数轴上所表示的不等式正确的是（　　） A．x＞1 B．x≤4 C．1≤x＜4 D．1＜x≤4 【变式3-3】如图，该数轴表示的不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x≥2 【题型四】利用不等式的性质判断正误 【例4】已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型五】不等式的性质的应用 【例5】阅读下面的材料： 小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B； 若A﹣B＜0，则A＜B． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与2的大小． 解：∵（2） 2 ＝220， ∴　 　2． 回答下面的问题： （1）请完成小明的解题过程； （2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）． 【变式5-1】阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知x＞y，试比较﹣7x+2与﹣7y+2的大小． 解：因为x＞y，① 所以﹣7x＞﹣7y，② 所以﹣7x+2＞﹣7y+2③． （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请写出正确的解题过程． 【变式5-2】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）若a﹣b＞0，则a　 　b； （2）若a﹣b＝0，则a　 　b； （3）若a﹣b＜0，则a　 　b． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”． 请运用这种方法尝试解决下面的问题： 比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小． 【题型六】一元一次不等式的识别 【例6】下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型七】解一元一次不等式 【例7】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式7-2】解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【变式7-3】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【题型八】求一元一次不等式的特殊解 【例8】不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-2】解不等式：，并写出它的负整数解 【变式8-3】（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【题型九】列一元一次不等式解决代数问题 【例9】m的3倍与m+1的差不大于13，则m的值可能为（　　） A．9 B．6 C．5 D．3 【变式9-1】要使式子1的值不小于式子的值，则x的取值范围是（　　） A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29 【变式9-2】已知y1＝x+2，y2＝3x﹣4，解答下列问题： （1）当x取何值时，y1＝y2？ （2）x取何值时，y1不小于y2？ 【题型十】求含字母常数的一元一一次不等式的解集 【例10】 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】不等式ax+b＞0的解集为，则关于x的不等式bx＜a的解集为 　 　． 【变式10-2】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为，则关于x的不等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为　 　； 【题型十一】由实际问题列不等式 【例11】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】 对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开，问导火索的长度至少要多少？设导火索的长度为，则列出的不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【题型十二】一元一次不等式的实际应用 【例12】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润不低于160元，则至多可打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【变式12-1】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式12-2】辽阳广佑寺的门票每张元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该寺除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法．年票分为A、B、C三种：A年票每张元，持票进入不用再买门票；B类每张元，持票进入寺内需要再买门票，每张2元，C类年票每张元，持票进入寺内时，购买每张3元的门票． (1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用元花在该寺的门票上，试通过计算，找出可使进入该寺的次数最多的购票方式． (2)求一年中进入该寺至少多少时，购买A类年票才比较合算． 【变式1-3】某中学组织七年级全体师生开展红色教育活动，活动需要租车，某旅游公司有A，B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需租金6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需租金3500元． (1)求每辆A型，B型客车的租金各是多少元？ (2)该学校根据实际情况，计划租用A型，B型两种客车共7辆，在保证总租金不超过9000元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？ 【题型十三】一元一次不等式组的识别 【例13】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列不等式中，是一元一次不等式组的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型十四】求一元一次不等式组的解集 【例14】在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】解不等式组，在如图所示的数轴上表示该不等式组的解集，并写出该不等式组所有整数解的和． 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如下图所示． 所以这个不等式组的解集是 ，该不等式组所有整数解的和是 ． 【变式14-2】解不等式组： 【变式14-3】解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【题型十五】求一元一次不等式组的特殊解 【例15】不等式组的最大整数解是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【变式15-1】不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【变式15-2】解不等式组：，并写出它的整数解． 【变式1-3】求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解． 【题型十六】列不等式组解决实际问题 【例16】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式16-1】某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 　名女生． 【变式16-2】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【变式16-3】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【题型一】根据一元一次不等式的定义求参数的值 【例1】已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【变式1-1】若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【变式1-3】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【题型二】不等式与绝对值的综合应用 【例2】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【变式2-1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【变式2-2】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【变式2-3】小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【题型三】一元一次不等式与方程（组）的综合应用 【例3】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【变式3-1】若方程组的解满足不等式：，求的最小整数值． 【变式3-2】已知关于x，y的方程组的解中，x为非负数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）当a取哪些整数时，不等式（a﹣1）x＜2a﹣2的解集为x＞2？ 【变式3-3】已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当k＝1时，解这个方程组； （2）若3x＞2y，求k的取值范围． 【题型四】由一元一次不等式的整数解求参数 【例4】若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【变式4-2】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【题型五】由一元一次不等式组的整数解求参数 【例5】若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】关于x的不等式组恰有三个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，则a的取值范围是 ． 【变式5-3】若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 【题型一】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 【例1】已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　） A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3 【变式1-1】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】关于的不等式组的解集为，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【题型二】 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 【例2】已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【变式2-2】已知关于字母的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【变式2-3】已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【题型三】一元一次不等式组与新定义问题 【例3】对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 【变式3-2】 对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），已知， (1)求的值； (2)若关于的不等式组 恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【变式3-3】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（11知识&16题型&5易错&3方法清单） 【清单01】不等式的定义 ★不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 【注意】1、凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2、 不等式表示式子之间的不等关系，与方程表示的相等关系相对应. 3、 【清单02】不等式的解（解集）与解不等 ★1、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. ★2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． ★3、解不等式的定义：求不等式的解集的过程叫做解不等式． ★4、不等式的解和解集的区别和联系:不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． ★5、在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法: 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单03】不等式的基本性质 ★1、不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±c＞b±c； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或； ★2、不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． ★3、不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c． 【清单04】解简单的不等式 ★1、利用不等式的性质解不等式，就是利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式转化． ★2、应用时要注意把握两关： ①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的． 【注意】应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【清单05】一元一次不等式的定义 ★一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【概念解析】 （1）一元一次不等式必须具备的4个条件：①不等式左右两边都是整式；②只含一个未知数；③未知数的次数都是1；④未知数的系数不为0. （2）它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． （3）它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】一元一次不等式的解法 ★1、一个较复杂的一元一次不等式，利用不等式的性质逐步转化为x＞a或x＜a的形式的过程叫做解一元一次不等式． ★2、根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 【注意】 （1）在以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到不等式的性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． （2）符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的实际应用 ★1、列不等式解决实际问题是一元一次不等式的重要应用，应根据实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． ★2、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． ★3、列一元一次不等式解实际问题的步骤： （1）审题：弄清题意及题目中的 不等关系. （2）设未知数：可直接设，也可间接设. （3）列出不等式. （4）解不等式，并检验解（集）的 合理性 . （5）写出答案. 【清单08】一元一次不等式组的定义 ★一元一次不等式组的定义：一般地，把同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 【注意】 一个一元一次不等式组包含三个条件： （1）不等式组中所有的不等式都是一元一次不等式； （2）不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； （3）不等式组中的一元一次不等式的个数至少是两个. 【清单09】一元一次不等式组的解集 ★1、一元一次不等式组的解集：一般地，几个不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是 求不等式组的解集 . ★2、确定几个不等式解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共的部分. ★3、不等式组解集的四种基本类型：（已知：a＞b ） 不等式 组 数轴 表示 解集 解集 x＞a x＜a b＜x＜a 无 解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 【清单10】一元一次不等式组的解法 ★1、求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. ★2、求一元一次不等式组解集的方法： ①分别求出各个不等式的解集； ②在数轴上寻找各不等式解集公共部分； ③写出不等式组的解集. ★3、一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单11】一元一次不等式组的实际应用 ◆1、列一元一次不等式组解应用题，主要是从题意中寻求不等关系，列出不等式组，并且解不等式组，最后从解集中找出符合实际条件的答案． ◆2、列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【题型一】不等式的识别 【例1】下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 【变式1-2】下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的识别，掌握不等式的定义是关键．根据不等式的定义：用不等号连接而成的式子，即可作出判断． 【详解】解：不等式有：①；③；④；⑤；⑥，共5个． 故选：A． 【题型二】不等式的解与不等式的解集 【例2】关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　） A．是的解 B．是的解集 C．是的解集 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的解集，解一元一次不等式和不等式的性质的知识，逐项判断，进行作答，即可求解； 【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误； B、是的解集，选项B错误； C、是的解集， 选项C错误； D、是的解集，选项D正确，符合题意； 故选：D； 【变式2-1】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】下列不等式的解集中，不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集的定义进行判断即可． 【详解】解：中不包括， 故选：C． 【变式2-3】以下关于不等式的判断错误的是（   ） A．0是这个不等式的解 B．是这个不等式的解集； C．大于1的数都是这个不等式的解 D．小于1的数都不是这个不等式的解． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，首先解不等式求出解，然后逐项分析求解即可． 【详解】解： 解得 ∴0是这个不等式的解，故A正确； ∴是这个不等式的解集，故B正确； ∴大于1的数都是这个不等式的解，故C正确； ∴小于1的数中有这个不等式的解，故D错误． 故选：D． 【题型三】在数轴上表示不等式的解集 【例3】不等式x＞4的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】解：不等式x＞4的解集在数轴上表示， 故选：D． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提． 【变式3-1】如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（　　） A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1 【答案】A． 【分析】根据在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案． 【解答】解：由题意，得：x＜1， 故选：A． 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【变式3-2】下面数轴上所表示的不等式正确的是（　　） A．x＞1 B．x≤4 C．1≤x＜4 D．1＜x≤4 【答案】D． 【分析】根据数轴上表示的解集确定出不等式即可． 【详解】解：如图，数轴上所表示的不等式是1＜x≤4． 故选：D． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提． 【变式3-3】如图，该数轴表示的不等式组的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．﹣1＜x≤2 C．﹣1≤x＜2 D．x≥2 【答案】D． 【分析】由两个解集的公共部分为x≥2，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：该数轴表示的不等式的解集为： x≥2； 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键要明确：需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【题型四】利用不等式的性质判断正误 【例4】已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 【变式4-1】已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误； B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误； C：当时，，则，则错误，因此，C错误； D：由得，，则，因此，D正确． 故选D． 【变式4-2】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：因为，两边同时减，根据不等式基本性质1，不等号方向不变，所以，A选项错误． 因为，两边同时乘，根据不等式基本性质2，不等号方向不变，所以，B选项错误． 因为，两边同时乘，根据不等式基本性质3，不等号方向改变，所以，C选项错误． 因为，两边同时加，根据不等式基本性质1，不等号方向不变，所以，D选项正确． 故选：D． 【变式4-3】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 【题型五】不等式的性质的应用 【例5】阅读下面的材料： 小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若A﹣B＞0，则A＞B； 若A﹣B＝0，则A＝B； 若A﹣B＜0，则A＜B． 下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较与2的大小． 解：∵（2） 2 ＝220， ∴　 　2． 回答下面的问题： （1）请完成小明的解题过程； （2）试比较2（2a2﹣ab+7）与﹣3a2﹣2ab+7的大小（写出相应的解答过程）． 【分析】（1）根据“A﹣B＞0，则A＞B”作答； （2）利用作差法进行解答． 【详解】解：（1）根据题意可知：若A﹣B＞0， 则A＞B， ∵（2）＝220， ∴2． 故答案为：＞； （2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7， ∵a2+1＞0， ∴7a2+7＞0． ∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0， ∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7． 【点睛】本题考查不等式的性质和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解决本题的关键． 【变式5-1】阅读下列解题过程，解答下列问题： 已知x＞y，试比较﹣7x+2与﹣7y+2的大小． 解：因为x＞y，① 所以﹣7x＞﹣7y，② 所以﹣7x+2＞﹣7y+2③． （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，错误的原因是什么？ （2）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变，可得第②步开始出现错误； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】解：（1）上述解题过程中，从第 ②步开始出现错误， 故答案为：②； 错误的原因是不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）正确的解题过程如下： 因为x＞y， 所以﹣7x＜﹣7y， 所以﹣7x+2＜﹣7y+2． 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键． 【变式5-2】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： （1）若a﹣b＞0，则a　 　b； （2）若a﹣b＝0，则a　 　b； （3）若a﹣b＜0，则a　 　b． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”． 请运用这种方法尝试解决下面的问题： 比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小． 【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可； （2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，等式的两边同时加上b即可； （3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可； （4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小． 【详解】解：（1）因为a﹣b＞0， 所以a﹣b+b＞0+b， 即a＞b； （2）因为a﹣b＝0， 所以a﹣b+b＝0+b， 即a＝b； （3）因为a﹣b＜0， 所以a﹣b+b＜0+b， 即a＜b． （4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1） ＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1 ＝b2+3 因为b2+3＞0， 所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1． 故答案为：＞、＝、＜． 【点睛】（1）此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． （2）此题还考查了“求差法比较大小”方法的应用，要熟练掌握． 【题型六】一元一次不等式的识别 【例6】下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 【变式6-1】下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、化简得，是一元一次不等式，故A正确； B、含有二次项，不是一元一次不等式，故B错误； C、不含未知数，不是一元一次不等式，故C错误； D、化简后为，不含未知数，不是一元一次不等式，故D错误； 故选：A． 【变式6-2】下列式子（）；（）；（）；（），是一元一次不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的次数是，且用不等号连接的整式不等式；根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：()不含有未知数，不符合“含有一个未知数”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； ()未知数的最高次数是，不符合“未知数的次数是”的要求，不是一元一次不等式，故本小题不符合题意； ()含有一个未知数，未知数的次数是，且是用不等号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，是一元一次不等式，故本小题符合题意； 综上，是一元一次不等式的有()和()，共个． 故选：B． 【题型七】解一元一次不等式 【例7】解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集为 在数轴上表示不等式的解集，应从表示的点向右画，并且不包含的点，即表示的点画空心圆圈即可. 【详解】解： ， 则解集在数轴上表示如下： 故选C 【变式7-1】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． （）根据去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解； （）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】解不等式，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 解得， 把解集表示在数轴上如图： （2）解：， ， ， ， 解得， 将解集表示在数轴上如图： 【变式7-3】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1，得； ∴在数轴上表示出来： （2）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 系数化1得，； ∴在数轴上表示出来： （3）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，． ∴在数轴上表示出来： 【题型八】求一元一次不等式的特殊解 【例8】不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．根据去括号、移项、合并同类项即可求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 则正整数解有3，2，1，一共3个． 故选：C． 【变式8-1】已知关于x的不等式，则x可取的最大整数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的整数解，掌握解一元一次不等式是解题的关键． 去括号，移项，合并同类项，解不等式可得：，从而可得的最大整数解，从而可得答案． 【详解】解： 为整数， 可取的最大整数为 故选：C． 【变式8-2】解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 【变式8-3】（1）解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． （2）求不等式的非正整数解． 【答案】（1）；1，2，3，4；（2）；，0． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，利用解一元一次不等式的一般解法即可求解，熟练掌握一元一次不等式的一般解法是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得正整数解，即可求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，并求得非正整数解，即可求解；． 【详解】解：（1） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1， ∴正整数解为：1，2，3，4； （2） 去分母，得：． 去括号，得：． 移项、合并同类项，得：． 系数化为1，得． 所以不等式的非正整数解为，0． 【题型九】列一元一次不等式解决代数问题 【例9】m的3倍与m+1的差不大于13，则m的值可能为（　　） A．9 B．6 C．5 D．3 【答案】D． 【分析】根据文字表述得到题中存在的关系为：3m﹣（1）≤13，解不等式即可． 【详解】解：根据题意，得3m﹣（1）≤13， 解得m≤4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键． 【变式9-1】要使式子1的值不小于式子的值，则x的取值范围是（　　） A．x≥29 B．x≤17 C．x≥17 D．x≤29 【答案】C． 【分析】先根据题意列出不等式，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】解：根据题意，得1， 去分母，得3（x﹣9）+6≥2（x+1）﹣6， 去括号，得3x﹣27+6≥2x+2﹣6， 移项，得3x﹣2x≥2﹣6+27﹣6， 合并同类项，得x≥17， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式9-2】已知y1＝x+2，y2＝3x﹣4，解答下列问题： （1）当x取何值时，y1＝y2？ （2）x取何值时，y1不小于y2？ 【答案】（1）x＝3． （2）x≤3． 【分析】（1）根据y1＝x+2，y2＝3x﹣4，若y1＝y2，列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据y1不小于y2，列出关于x的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）由题意得x+2＝3x﹣4． ∴x＝3． （2）由题意得：x+2≥3x﹣4， ∴x≤3． 【点睛】本题考查解一元一次方程以及一元一次不等式，关键根据y1和y2的关系，可列出关于x的方程和不等式求解． 【题型十】求含字母常数的一元一一次不等式的解集 【例10】 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【详解】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 【变式10-1】不等式ax+b＞0的解集为，则关于x的不等式bx＜a的解集为 　 　． 【答案】x＜﹣2． 【分析】由条件可求得a＝﹣2，b＝1，再代入求解即可． 【详解】解：ax+b＞0， 得ax＞﹣b， ∵不等式ax+b＞0的解集为， ∴a＜0， ∴x， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴bx＜a的解集为：x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解答的关键是对解一元一次不等式的方法的掌握． 【变式10-2】关于x的不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为，则关于x的不等式（3b﹣5a）x＜17a+b的解集为　 　； 【答案】x＜﹣5． 【分析】先根据不等式（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0的解集为x求出a和b的关系，即b的取值情况，再代入不等式（3b﹣5a）x＜17a+b可得出解集． 【详解】解：（2a﹣b）x+（﹣a﹣5b）＞0，（2a﹣b）x＞a+5b， ∵不等式的解集为x， ∴可得2a﹣b＜0，， ∴可求得a＝2b，b＜0， 不等式（3b﹣5a）x＜17a+b可化为：﹣7bx＜35b， 解得x＜﹣5． 故填x＜﹣5． 【点睛】本题考查不等式的解集，此题出的比较新颖，有一定难度，求出a和b的关系是解决本题的关键． 【题型十一】由实际问题列不等式 【例11】某次知识竞赛共有25道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分，小亮得分要超过70分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了x道题，根据题意列式得（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元一次不等式，根据题中的数量关系列出不等式是解题的关键． 设小亮答对x道题，则答错或不答道题．根据得分规则，总得分等于答对得分减去答错扣分，需超过70分建立不等式即可解答． 【详解】解：设小亮答对了x道题，根据题意，得 ． 故选：A． 【变式11-1】第十四届冬运会期间，某商店购进了一批服装，每件进价为200元，并以每件300元的价格出售，冬运会结束后，商店准备将这批服装降价处理，打折出售，使得每件衣服的利润率不低于，根据题意可列出来的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据打折出售，得出折后的售价为，再结合利润率的公式，进行列式，即可作答． 【详解】解：依题意，打折出售，得出折后的售价为 ∵每件进价为200元，且每件衣服的利润率不低于， ∴， 故选：B． 【变式11-2】 对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开，问导火索的长度至少要多少？设导火索的长度为，则列出的不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列一元一次不等式． 由题意可知人应离导火索才安全，根据导火索的燃烧时间不小于人离开的时间列不等式即可． 【详解】解：∵对山体进行爆破时人应离爆破点以外（包括180米）才安全，设导火索的长度为， ∴人应离导火索才安全， ∵导火索燃烧的速度是，点燃导火索后人马上以的速度离开， ∴， 故选：B． 【变式11-3】 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售．春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 【分析】利用利润率，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【题型十二】一元一次不等式的实际应用 【例12】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润不低于160元，则至多可打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，计算折扣时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润不低于160，列不等式求解．设可打x折，根据售价标价折扣和利润售价进价列出不等式求解即可． 【详解】解：设可打x折，则有， 解得：， 即至多可打8折． 故选：C． 【变式12-1】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 【变式12-2】辽阳广佑寺的门票每张元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该寺除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法．年票分为A、B、C三种：A年票每张元，持票进入不用再买门票；B类每张元，持票进入寺内需要再买门票，每张2元，C类年票每张元，持票进入寺内时，购买每张3元的门票． (1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用元花在该寺的门票上，试通过计算，找出可使进入该寺的次数最多的购票方式． (2)求一年中进入该寺至少多少时，购买A类年票才比较合算． 【答案】(1)用元花在该寺门票上，买C类票次数最多次 (2)一年中进入该寺至少次时，购买A类比较合算 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）对三类票，分别计算，再作出判断； （2）设一年中进入该寺次，对B、C两类，分别列不等式求解，再与A类比较即可得结论． 【详解】（1）解：①直接买票：（张）； ②A年票每张元，， ∴A类不够买. ③B类可以买（张）； ④C类可以买，即可买张， 综上所述，用元花在该寺门票上，买C类票次数最多次； （2）解：设一年中进入该寺次， A类票：A年票每张元， B类票：， 解得：， C类票：， 所以， 直接买票：, 解得, 所以一年中进入该寺至少31次时，购买A类比较合算 【变式1-3】某中学组织七年级全体师生开展红色教育活动，活动需要租车，某旅游公司有A，B两种客车可供租用．若租用2辆A型客车和3辆B型客车共需租金6000元；若租用1辆A型客车和2辆B型客车共需租金3500元． (1)求每辆A型，B型客车的租金各是多少元？ (2)该学校根据实际情况，计划租用A型，B型两种客车共7辆，在保证总租金不超过9000元的前提下，求A型车最多能租用多少辆？ 【答案】(1)每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元． (2)A型客车最多能租用4辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，通过审题从题目中找到合适的数量关系是解题关键． （1）通过两种不同的租车组合方式列方程组求解即可． （2）设租用m辆A型客车，则租用辆B型客车，再根据租金的不等关系列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型客车的租金是x元，每辆B型客车的租金是y元． 根据题意可列方程组， 解得， 答：每辆A型客车的租金是元，每辆B型客车的租金是元． （2）设租用m辆A型客车，则租用辆B型客车， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为4， 答：A型客车最多能租用4辆． 【题型十三】一元一次不等式组的识别 【例13】下列各式不是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的定义，准确判断是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义：由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，判断即可得到结果． 【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意； B、，是一元一次不等式组，故不符合题意； C、，是一元一次不等式组，故不符合题意； D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意； 故选：D． 【变式13-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式13-2】下列不等式中，是一元一次不等式组的有（    ） ① ② ③ ④ ⑤ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】此题考查一元一次不等式组的定义，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组，属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成. 【详解】解：③，④，⑤，是一元一次不等式组； ①，②，不是一元一次不等式组； 故选C. 【题型十四】求一元一次不等式组的解集 【例14】在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，先分别解出每个不等式的解集，得出不等式组的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵不等式组， ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为， 则在数轴上表示不等式组的解集是． 故选：B 【变式14-1】解不等式组，在如图所示的数轴上表示该不等式组的解集，并写出该不等式组所有整数解的和． 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如下图所示． 所以这个不等式组的解集是 ，该不等式组所有整数解的和是 ． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查不等式的基本性质、在数轴上表示不等式解集的方法以及求不等式组解集和整数解的方法．先求得各个不等式的解集，再将两个不等式的解集准确表示在数轴上，确定两个不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集，然后求得整数解的和即可． 【详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①②的解集在数轴上表示出来，如下图所示． 所以这个不等式组的解集是， 该不等式组所有整数解的和是． 【变式14-2】解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的求解，掌握一元一次的求解是解题的关键． 分别求一元一次不等式，再取解集即可． 【详解】由， ，解得； ， ，解得； 所以不等式组的解集为． 【变式14-3】解不等式组：，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的求解，解题的关键是熟悉一元一次不等式组的求解方法． 首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集是， 在数轴上表示解集如下： ． 【题型十五】求一元一次不等式组的特殊解 【例15】不等式组的最大整数解是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其最大整数解． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 则不等式组的最大整数解为3， 故选：B． 【变式15-1】不等式组的所有整数解的和为（    ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而确定不等式组的整数解，再把整数解相加，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的整数解为， ∴原不等式组的所有整数解的和为， 故选：A． 【变式15-2】解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为，，，，． 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的正整数解，分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集，再确定整数解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：解不等式， 移项得， 解得； 解不等式， 移项得，即， 两边同时除以， 得， ∴不等式组的解集为， ∴整数解为，，，，． 【变式1-3】求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解． 【答案】，不等式组的整数解是，数轴见解析． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解等知识点，先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组的整数解是． 【题型十六】列不等式组解决实际问题 【例16】哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式16-1】某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有 　名女生． 【答案】30． 【分析】设有x间宿舍，由题意得，，进行计算即可得，结合实际问题可得x＝5，进行计算即可得女生人数． 【详解】解：设有x间宿舍， 由题意得，， 解不等式①，得x＜6， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵x为整数， ∴x＝5， 则女生人数为：5×5+5＝30（名）， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意列出一元一次不等式组并正确计算． 【变式16-2】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元． (1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？ 【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元 (2)1390元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键. （1）设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，根据“该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70个”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润，则购进甲羽毛球越多，利润越大，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元． （2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒， 依题意得：， 解得：． ∵， ∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润 ∴购进甲羽毛球越多，利润越大， ∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）. 【变式16-3】校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【题型一】根据一元一次不等式的定义求参数的值 【例1】已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 【变式1-1】若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 【变式1-2】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式1-3】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得． 故答案为：1． 【题型二】不等式与绝对值的综合应用 【例2】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞1，可化为x，试化简|1﹣a|﹣|a﹣2|，正确的结果是（　　） A．﹣2a﹣1 B．﹣1 C．﹣2a+3 D．1 【答案】B． 【分析】由不等式的基本性质3可得a﹣1＜0，即a＜1，再利用绝对值的性质化简可得． 【详解】解：∵（a﹣1）x＞1可化为x， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1， 则原式＝1﹣a﹣（2﹣a） ＝1﹣a﹣2+a ＝﹣1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【变式2-1】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． (1)的解集为______； (2)解不等式； (3)解不等式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，不等式组的解集，加减消元法解二元一次方程组等知识．理解题意是解题的关键． （1）根据题意求解集即可； （2）根据题意解不等式即可； （3）根据题意解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意知，的解集为， 故答案为：； （2）解：由题意得不等式可化为， 解得； （3）解：不等式可化为或， 解得或． 【变式2-2】先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 【变式2-3】小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出时的值，并在数轴上表示为点，，如图所示．观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于2；点与点之间的点表示的数的绝对值小于2；点右边的点表示的数的绝对值大于2，因此，小明得出结论：不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)填空：的解集是_____； (2)求绝对值不等式的解集； (3)已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解含绝对值的不等式，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出时的x的值，再仿照题意可得答案； （2）当时，则或，分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于；数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3；数2右边的数与的差的绝对值大于3，据此可得答案； （3）把方程组中的两个方程相加可得，则，同（2）分析可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴根据题意可得的解集是或； （2）解：当时，则或， 解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为或； （3）解：， ∴方程组中的两个方程相加可得， ∵， ∴， 当时，则或，解得或， ， 分界点把数轴分为三部分： 数左边的数与数的差的绝对值大于； 数和数之间的数与数的差的绝对值小于等于3； 数2右边的数与的差的绝对值大于3， ∴的解集为． 【题型三】一元一次不等式与方程（组）的综合应用 【例3】若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解二次一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先通过加减消元法求出的表达式，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】根据方程组， 由得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式3-1】若方程组的解满足不等式：，求的最小整数值． 【答案】的最小整数值是 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．解方程组得出、，代入不等式，解之即可得出答案． 【详解】解：整理得， 解得， ， ， 解得， 的最小整数解为． 【变式3-2】已知关于x，y的方程组的解中，x为非负数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）当a取哪些整数时，不等式（a﹣1）x＜2a﹣2的解集为x＞2？ 【分析】（1）求出二元一次方程组的解，根据x、y为非负数，求出a的取值范围即可； （2）根据不等式的解集及不等式的性质可得a﹣1＜0，得到a＜1，再结合（1）得到a的取值范围，根据a的取值范围即可得到a的整数解． 【详解】解：（1）解方程组得， ∵x为非负数， ∴a+2≥0， 解得a≥﹣2， ∵y为负数， ∴a﹣5＜0， 解得a＜5， ∴a的取值范围为﹣2≤a＜5； （2）解：∵不等式（a﹣1）x＜2a﹣2的解集为x＞2， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， 由（1）知，﹣2≤a＜5， ∴﹣2≤a＜1， ∴a可取的整数为﹣2，﹣1，0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，不等式的整数解，正确求出二元一次方程组的解及掌握不等式的性质是解题的关键． 【变式3-3】已知关于x、y的二元一次方程组． （1）当k＝1时，解这个方程组； （2）若3x＞2y，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2）k． 【分析】（1）写出k＝1时的方程组，然后将第二个方程乘以2，再利用加减消元法求解即可； （2）两个方程相加表示出S，再求解即可． 【详解】解：（1）k＝1时，方程组为， ②×2得，2x+6y＝10③， ③﹣①得，11y＝11， 解得y＝1， 将y＝1代入②得，x+3＝5， 解得x＝2， 所以，方程组的解是； （2）， ①+②得，3x﹣2y＝7k﹣3， ∵3x﹣2y＞0， ∴7k﹣3＞0， ∴k的取值范围是k． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 【题型四】由一元一次不等式的整数解求参数 【例4】若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式正整数解的知识，首先解不等式得到解集范围，再根据正整数解的情况确定参数a的上下限，即可获得答案． 【详解】解：解不等式，得， ∵该不等式的正整数解为1、2、3， ∴． 故选：D． 【变式4-1】关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式的解集情况求参数，在数轴上表示不等式的解集，根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 【变式4-3】已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 【题型五】由一元一次不等式组的整数解求参数 【例5】若关于的不等式组仅有2个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据题意即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组仅有2个整数解， ∴， 故选：B． 【变式5-1】关于x的不等式组恰有三个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，即可求出实数a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由于不等式组有三个整数解，则整数解一定是8，9，10． 根据题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式5-2】已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组的所有整数解的和为， ∴整数解为， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式5-3】若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，解题关键是正确求出不等式组的解集． 先由方程组得，根据方程组有解得出，再解不等式组得出，根据不等式组有且只有3个整数解得出，从而确定m的取值范围，继而得出答案． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且整数解为， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值为，，， 它们的和为， 故选：B． 【题型一】根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 【例1】已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　） A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3 【答案】B 【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a的范围． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∵不等式组无解， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【变式1-1】若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集求得a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为关于x的不等式组的解集是， 所以，即， 故选：D． 【变式1-2】已知不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可． 【详解】解：若不等式组有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足， 当时，解集为，存在解； 当时，和无公共部分，无解； 因此，的取值范围是， 故选：A． 【变式1-3】关于的不等式组的解集为，则，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则． 首先分别解两个不等式，得到关于a和b的方程，再联立求解方程组，最后验证解是否符合条件． 【详解】解：解不等式组：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由题意，解集为， 因此：， 第一个方程整理得：（方程1） 第二个方程整理得：（方程2） 联立方程1和方程2： 解得：，， 故选：C． 【题型二】 整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 【例2】已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求解二元一次方程组中参数的取值范围，求不等式组的解集，通过观察，两式相减可得关于的等式，然后由，列出不等式组，然后解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得：， 故选：． 【变式2-1】已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围． (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，则最小的整数解是4，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 因为该方程的解满足， 所以， 解得． （2）解：解不等式， 得，则最小的整数解是4． 把代入，得， 解得． 【变式2-2】已知关于字母的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】，，，． 【分析】先求得m表示和，再代入不等式组中解不等式组，求出整数解即可． 本题考查了解方程组，解不等式组，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解： 得， 得 代入不等式组得， 解得， ∴满足条件的整数m为，，，． 【变式2-3】已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         【题型三】一元一次不等式组与新定义问题 【例3】对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 【变式3-1】定义一种新运算“※”：当时，※；当时，※．例如：3※，※． (1)计算：※； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键． （1）根据公式计算可得； （2）结合公式对的大小关系进行分类讨论求解之可得． 【详解】（1）解：※， 故答案为：； （2）解：根据新运算的定义，对的大小进行讨论， 当，即， 根据定义：※，原等式成立； 当，即， 根据定义：※， 整理得：， 解得：，该解满足， 故：或． 【变式3-2】 对定义一种新运算T，规定：（其中均为非零常数），已知， (1)求的值； (2)若关于的不等式组 恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，能求出a、b的值是解此题的关键． （1）已知两对值代入T中计算求出a与b的值， （2）根据题中新定义化简已知不等式，解的不等式组，根据恰好有3个整数解，得出，解不等式组即可求出p的范围即可． 【详解】（1）解： ，， 由定义得：， 解得：解得：， 答：，． （2）解：由（1）知 ， 可化为， 解①得：，解②得， ∴不等式组解为：， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组得整数解为：，0，1． ∴， ∴． 【变式3-3】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】 (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______________．（填序号）． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，解各方程求得对应的解，然后根据定义进行判断即可； （2）解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分，然后求得其整数解，将其代入中解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ①， 解得：， ∵，故①不符合题意； ②， 解得：， ∵，故②不符合题意； ③， 解得：， ∵，故③符合题意； 综上所述，不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2） 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴原不等式组的解集为， ∴其整数解为， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是， ∴， 解得：， ∴常数的值为． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，正确理解关联方程的定义是解题的关键 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $