专题01三角形（一）（知识&考点&公式&15高频&4易错&2重难&5模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题01三角形（一） 目录 识记类 思维导图 知识清单(2类) 考点清单(4类) 公式清单(5类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01认识三角形 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做 。表示：△ABC，顶点A、B、C;边AB、BC、AC；内角∠A，∠B，∠C。 2.三角形分类 1)按内角大小分类 ① 三角形：三个内角都是锐角 ② 三角形：有一个内角是直角(记作Rt△)，两个锐角互余 ③ 三角形：有一个内角是钝角 一个三角形最多1个直角/1个钝角，最少2个锐角 2)按边的长短分类 ① 三角形：三边长度都不相等 ② 三角形：至少两边相等；相等两边叫腰，第三边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角 等边三角形是特殊的等腰三角形，三边全部相等。 3.三角形三边关系 ①三角形任意两边之和 第三边；②三角形任意两边之差 第三边 快速判断：较短两条线段之和>最长线段，就能构成三角形。 4.三角形内角与外角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 。 ②三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的 。 ③外角性质：三角形的一个外角等于与它不 的两个内角之和；外角 任意一个不相邻的内角 5.三角形三条重要线段 1)中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边 的线段，叫三角形的 。 性质：三角形的一条中线把三角形分成面积 的两个小三角形；三条中线交于一点( )。 2)角平分线 定义：三角形一个内角的 与对边相交，顶点与交点之间的线段。 注意：三角形角平分线是 ；角的平分线是 。 3)高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 位置： ①锐角三角形：三条高都在三角形 ； ②直角三角形：两条高就是两条 ，第三条高在 ； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形 。 6.三角形的稳定性 三角形三边长度确定，形状大小固定不变，这个性质叫三角形 ；四边形 有稳定性。 知识点02定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语意义的句子。 2.命题：判断一件事情的句子，叫做 。 命题一定是陈述句；疑问句、祈使句不是命题。 3.命题结构：由条件和结论两部分组成，一般写成“ ”形式；如果后面是条件，那么后面是结论。 4.命题分类 真命题： 的命题，条件成立，结论一定成立。 假命题： 的命题；举反例即可证明命题是假命题。 5.基本事实(公理)：长期实践公认正确，不需要证明的真命题，可以作为推理依据。 6.定理：用推理方法证明为正确的真命题，可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点03证明 1.证明：从命题的条件出发，依据定义、基本事实、定理，一步步推导出结论成立的推理过程。 2.证明的规范格式：已知、求证、证明。 3.证明的每一步推理，都必须写依据：定义、基本事实、定理、等式性质、不等式性质。 4.几何证明思路： 综合法：从已知条件出发，推导结论(由因导果) 分析法：从结论倒推，寻找需要的条件(执果索因) 考点01三角形的有关概念与三边关系 考点内容：三角形定义、顶点/边/内角概念；三角形分类；三角形三边关系定理。 常见考法： ①识别三角形，数图形中三角形个数； ②判断三条线段能否组成三角形； ③已知两边长，求第三边取值范围； ④利用三边关系求三角形周长(含分类讨论)。 考点02三角形内角和与外角性质 考点内容：三角形内角和定理；三角形外角定义、外角性质；三角形按角分类。 常见考法： ①利用内角和求三角形内角度数； ②利用外角性质求角度； ③结合角平分线、高线，求角度； ④利用内角和、外角性质进行角度证明。 考点03三角形的重要线段(角平分线、中线、高线) 考点内容：三角形角平分线、中线、高线定义；三条线段的性质；三角形面积。 常见考法： ①画出三角形的角平分线、中线、高线； ②利用中线求线段长度、面积等分； ③利用高线求三角形面积； ④结合角平分线进行角度计算。 考点04命题与证明 考点内容：命题、真命题、假命题；原命题、逆命题；证明的格式与步骤。 常见考法： ①区分命题的条件与结论； ②判断命题真假，举反例证明假命题； ③写出一个命题的逆命题； ④规范书写几何证明过程。 一、三角形边角相关 1.三角形内角和定理： 2.三角形外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和：∠外=∠A+∠B 推论：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。 3.三角形三边关系 设三角形三边长为a,b,c 变形：两边之差<第三边<两边之和 | 二、三角形面积公式 若为底，为边上的高 推论：三角形中线把三角形分成面积相等的两部分。 辨析01三角形三边关系理解误区 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 判断三边能否构成三角形，只需验证较短两条线段之和>最长线段即可； 易错表述认为只要两边之和大于第三边就一定成立，忽略“任意二字”;常见错误：3,6,2,误以为3+6>2就可以构成三角形。 辨析02三角形的高线、中线、角平分线概念混淆 中线：连接顶点与对边中点；角平分线：平分内角；高线：顶点向对边作垂线，是垂线段； 易错点：①钝角三角形有两条高在三角形外部，误以为高都在内部；②把高线当成直线，三条线段不要写成直线。 辨析03三角形外角概念辨析 三角形外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；外角等于不相邻两个内角之和； 易错表述：外角等于两个内角之和，漏掉“不相邻”;错误认为外角一定大于三角形所有内角。 辨析04命题的条件与结论，区分真假命题 命题：可以判断正确或错误的句子，由条件和结论两部分组成；正确为真命题，错误为假命题，假命题只需举反例；易错点：问句、祈使句不是命题；逆命题不一定和原命题同真同假。 辨析05三角形内角和的常见错误 三角形内角和180°,只适用于平面内三角形； 易错点：做题时直接默认图形是三角形，忽略题中是否存在多个图形、漏看外角。 【题型一】三角形的个数问题 【例1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，图中以为高的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型二】三角形内角和定理的应用 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件，，则_______． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）冰裂纹是一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，则______度． 【题型三】判断能否构成三角形 【例3】（26-27八年级上·新疆·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 【变式3-1】（26-27八年级上·湖北·期中）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【变式3-2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【变式3-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型四】确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·河北张家口·期中）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）嘉嘉有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的第三边长为（　　） A． B． C． D． 【题型五】三角形三条重要线段概念辨析 【例5】（25-26七年级下·重庆·期中）下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 【变式5-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）下列结论正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C．同位角相等 D．三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 【题型六】根据三角形的中线求长度 【例6】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，为的中线，于点E，的周长比的周长少2．若，的面积为20，求的长． 【变式6-3】（25-26八年级上·全国·期中）已知是的中线，长为，比的周长多，长为，求的长和的周长． 【题型七】正确作出三角形的高 【例7】（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（26-27八年级上·青海·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【题型八】判断是否为命题 【例8】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语言叙述是命题的是（    ） A．画一条端点为的射线 B．你喜欢秦安吗？ C．赶紧写作业！ D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【变式8-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【变式8-2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【变式8-3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【题型九】写出命题的题设和结论 【例9】（25-26七年级下·云南红河·期中）“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川广安·期中）对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【题型十】与三角形的高有关的计算 【例10】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【变式10-2】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【变式10-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，平分，，，， (1)求的度数． (2)设，，求（用，表示） 【变式10-4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【题型十一】举例说明真假命题 【例1】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 【变式11-1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D．如果两个角的和是，那么这两个角互为补角 【变式11-2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式11-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，假命题有（    ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【题型十二】已知证明过程填写理论依据 【例12】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【变式12-1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 【变式12-2】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式12-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 【题型十三】三角形内角和的证明 【例13】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【变式13-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式13-2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 【题型十四】三角形的外角性质与三角板综合 【例14】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26七年级下·湖北黄石·期中）在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有（    ）个 ①；②若，则；③若，则；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-2】（2026·福建南平·二模）将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（    ）． A． B． C． D． 【题型十五】三角形外角性质的实际应用 【例15】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______． 【变式15-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 【变式15-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为___________． 【变式15-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）消防云梯其示意图如图所示，其由救援台，延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台，车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂与支撑臂所在直线互相平行，且，，则这时_______°．    【题型十六】举例说明命题的真假 【例16】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”，是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26七年级下·河北唐山·期中）对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式16-2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式16-3】（25-26七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【题型十七】举反例 【例17】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 【变式17-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：___ 【变式17-2】（25-26七年级下·北京·期中）对于a的取值，能说明命题“若，则”为假命题的a的值可以是________（写出一个即可）． 【变式17-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是_____．（写出一组即可） 【题型一】三角形折叠中的角度问题，折叠前后相等角识别不清、角度代换符号出错而致错 【例1】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______度． 易错警示 折叠本质是全等，折叠重合的角一定相等；标注角时不要混用∠符号，计算角度代换时，先在图上标记等角，再列式，不要凭主观猜测角相等。 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在上的点处，点落在点处．若，则______．    【题型二】判断是什么三角形，只看单一内角忽略三角形分类标准而致错 【例2】（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 易错警示 三角形按角分类看最大内角：最大角是钝角→钝角三角形；最大角直角→直角三角形；三个都是锐角→锐角三角形，不能只看某一个锐角直接判定。 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是_______． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）在中，，，则这个三角形是_________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【题型三】三角形的三边关系在最值上的应用，等号成立条件判断错误而致错 【例3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 易错警示 三角形三边关系：两边之和＞第三边，不能取等号；当取等号时三点共线，无法构成三角形，求边长取值范围时，边界值要排除。 【变式3-1】（25-26七年级下·福建三明·期中）郑老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是2， 依据上述方法，解决下列问题 (1)当_________时，有最小值是__________； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是的三边长（三边不相等），，且c是中最长边的长，则c的取值范围为____________． 【题型四】利用三角形的三边关系进行证明，不等号方向变换出错而致错 【例4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，是内的一点，试说明：． 易错警示 不等式移项时，不等号方向**只在乘除负数改变**；单纯做加减变形，不等号方向不变；书写证明时，每一步不等关系要对应三边定理，不要颠倒方向。 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是．    【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是斜边上的高线． (1)　　．（填或） (2)　　．（填或） (3)若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或） 【题型一】三角形外角性质的综合应用 【例1】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，则______，______． (2)求证：． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，为的角平分线，点、、分别在的边、、上，连接、，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【变式1-4】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【题型二】三角形外角性质解答题压轴 【例2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 【变式2-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，直线与直线，直线分别交于点E，F，已知， (1)若，的平分线交于点P，则的度数为______； (2)如图2，点N，M分别是，的平分线上的点，连接，求的度数； (3)如图3，作直线直线，交直线于点K，点P是直线上异于点K的点，点Q是射线上一点，连接，．若，请用含的代数式表示与的度数之间所有可能存在的数量关系______． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，分别在射线上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点，求证与之间的数量关系； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的边，请直接写出所有满足条件的的值． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，G，H分别是直线、上两点，点P是直线、外一点，连结交于点E（点G在点E左侧），． (1)求证：； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 【题型一】与平行线有关的三角形内角和问题 核心思路：利用平行线性质(同位角、内错角相等，同旁内角互补)+三角形内角和=180°,进行角度转化。通用解题步骤(固定流程) 1.标角：在图上标记已知角度，设未知角为x。 2.找平行线：找出平行线，写出平行线带来的等角/互补角(内错角、同位角、同旁内角),完成角的等量代换。 3.定位三角形：确定目标三角形，列出三角形内角和等式：三个内角相加=180°。 4.列方程：把代换后的角度代入方程。 5.计算求解，写出答案。 6.检验：看角度是否符合平行线、三角形角度逻辑。 【例1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【题型二】与角平分线有关的三角形内角和问题 核心思路：角平分线等分角+三角形内角和180°,进行角度代换，常结合整体代换，不用单独求每个角。通用固定解题步骤 1.标角：标记已知角度，角平分线分出的两个角相等，设小角为x。 2写角平分线结论根据角平分线，写出等分关系(如BD平分∠ABC则ABD=∠CBD=ABC). 3.三角形内角和列式：在目标三角形中，内角和为180°。 4.整体代换：把两角之和看成整体，简化计算(高频考点)。 5.计算求解，写出答案。 6.检验：角度大于0°,三角形内角总和为180°。 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，，则的度数是______． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和，，则的度数为______． 【题型三】已知周长求第三边的值 核心思路：周长定义+三角形三边关系(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边),求出边长后必须检验能否构成三角形。通用固定解题步骤 1.梳理条件：写出周长、已知两条边长度，设第三边为x。 2.利用周长列式：周长=三边之和，列出方程求出x的初步值。 3.用三角形三边关系检验：任意两边之和>第三边；任意两边之差<第三边。 4.取舍：舍去不满足三边关系的解。 5. 写出最终答案。 6.复核：三边相加核对周长，再次验证三边关系。 【例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【题型四】三角形的三边关系在绝对值上的应用 核心思路：绝对值≥0,两个绝对值相加=0,则每个绝对值都为0;再利用三角形三边关系判断式子正负，去掉绝对值符号化简。通用固定解题步骤 1.利用绝对值非负性：若，则求出边长。 2.回忆三角形三边关系：两边之和>第三边；两边之差<第三边。 3.判断绝对值内部代数式正负 ，正数去绝对值不变号； ，负数去绝对值，整体变相反数。 4.去掉绝对值符号，化简式子。 5.(拓展)多个绝对值相加为0,得到边长相等，判断三角形形状。 6.复核：检查去绝对值符号时符号是否出错。 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【变式4-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【变式4-4】（25-26八年级上·四川南充·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状． (2)化简：； 【题型五】根据三角形的中线求面积 核心思路：等底等高的两个三角形面积相等，延长一倍代表线段长度相等，找共用高，拆分图形，分别计算外围三角形面积，最后求和。 通用固定解题步骤 1.标记条件：读题，标出延长一倍得到的相等线段，明确已知小三角形面积。 2.连接辅助线：连接原图顶点与外端点，拆分出多个小三角形。 3.用等底等高判定面积相等：底相等、高相同，面积就相等。 4.分别算出外围每个大三角形面积。 5.总面积=中间原三角形面积+外围3个三角形面积。 6.复核：核对每个三角形的底、高关系，检查面积倍数。 【例5】（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【变式5-3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 技巧 一句话要点 数三角形个数——有序枚举法 固定一条边或者固定顶点，从小到大依次计数；按顺序数，不重复、不遗漏。 三角形内角计算——标记代换法 在图中标注已知角度，利用内角和180°，结合平行线、角平分线进行等量代换求值。 三边能否构成三角形——短边求和法 找出三条边中较短两条线段，两短边之和＞最长边，则可以构成三角形。 求第三边取值范围——差值和值法 两边之差＜第三边＜两边之和；注意题目是否限制边长为整数。 三角形重要线段——定义识别法 中线：顶点连对边中点；角平分线：平分内角；高：顶点向对边作垂线，钝角三角形高可在外部。 中线求面积——等面积分割法 三角形中线把原三角形分成面积相等两部分；多次分割可传递面积等量关系。 三角形高相关计算——面积等积法 同一个三角形，面积不变；底高，一组底和高可求另一组未知量。 命题辨析——拆题设结论法 命题拆成“如果（题设），那么（结论）”；满足题设但不满足结论的例子即为反例。 外角角度计算——外角性质法 三角形外角等于与它不相邻两个内角之和；外角大于任意一个不相邻的内角。 折叠角度问题——全等等角法 折叠前后重合角相等，标记等角，结合内角和、平角建立方程求解。 三角板综合角度——固定角标记法 牢记三角板固定角度30°、60°、90°、45°，结合外角、平角推导未知角。 几何证明填空——定理匹配法 观察推理步骤，匹配定义、公理、定理，规范填写几何理论依据。 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形（一） 目录 识记类 思维导图 知识清单(2类) 考点清单(4类) 公式清单(5类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(5类) 答题技巧清单 知识点01认识三角形 1.三角形定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。表示：△ABC，顶点A、B、C;边AB、BC、AC；内角∠A，∠B，∠C。 2.三角形分类 1)按内角大小分类 ①锐角三角形：三个内角都是锐角 ②直角三角形：有一个内角是直角(记作Rt△)，两个锐角互余 ③钝角三角形：有一个内角是钝角 一个三角形最多1个直角/1个钝角，最少2个锐角 2)按边的长短分类 ①不等边三角形：三边长度都不相等 ②等腰三角形：至少两边相等；相等两边叫腰，第三边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角 等边三角形是特殊的等腰三角形，三边全部相等。 3.三角形三边关系 ①三角形任意两边之和大于第三边；②三角形任意两边之差小于第三边 快速判断：较短两条线段之和>最长线段，就能构成三角形。 4.三角形内角与外角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ②三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 ③外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个不相邻的内角 5.三角形三条重要线段 1)中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段，叫三角形的中线。 性质：三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形；三条中线交于一点(重心)。 2)角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 注意：三角形角平分线是线段；角的平分线是射线。 3)高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。 位置： ①锐角三角形：三条高都在三角形内部； ②直角三角形：两条高就是两条直角边，第三条高在内部； ③钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部。 6.三角形的稳定性 三角形三边长度确定，形状大小固定不变，这个性质叫三角形稳定性；四边形不具有稳定性。 知识点02定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语意义的句子。 2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题。 命题一定是陈述句；疑问句、祈使句不是命题。 3.命题结构：由条件和结论两部分组成，一般写成“如果……,那么……”形式；如果后面是条件，那么后面是结论。 4.命题分类 真命题：正确的命题，条件成立，结论一定成立。 假命题：错误的命题；举反例即可证明命题是假命题。 5.基本事实(公理)：长期实践公认正确，不需要证明的真命题，可以作为推理依据。 6.定理：用推理方法证明为正确的真命题，可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点03证明 1.证明：从命题的条件出发，依据定义、基本事实、定理，一步步推导出结论成立的推理过程。 2.证明的规范格式：已知、求证、证明。 3.证明的每一步推理，都必须写依据：定义、基本事实、定理、等式性质、不等式性质。 4.几何证明思路： 综合法：从已知条件出发，推导结论(由因导果) 分析法：从结论倒推，寻找需要的条件(执果索因) 考点01三角形的有关概念与三边关系 考点内容：三角形定义、顶点/边/内角概念；三角形分类；三角形三边关系定理。 常见考法： ①识别三角形，数图形中三角形个数； ②判断三条线段能否组成三角形； ③已知两边长，求第三边取值范围； ④利用三边关系求三角形周长(含分类讨论)。 考点02三角形内角和与外角性质 考点内容：三角形内角和定理；三角形外角定义、外角性质；三角形按角分类。 常见考法： ①利用内角和求三角形内角度数； ②利用外角性质求角度； ③结合角平分线、高线，求角度； ④利用内角和、外角性质进行角度证明。 考点03三角形的重要线段(角平分线、中线、高线) 考点内容：三角形角平分线、中线、高线定义；三条线段的性质；三角形面积。 常见考法： ①画出三角形的角平分线、中线、高线； ②利用中线求线段长度、面积等分； ③利用高线求三角形面积； ④结合角平分线进行角度计算。 考点04命题与证明 考点内容：命题、真命题、假命题；原命题、逆命题；证明的格式与步骤。 常见考法： ①区分命题的条件与结论； ②判断命题真假，举反例证明假命题； ③写出一个命题的逆命题； ④规范书写几何证明过程。 一、三角形边角相关 1.三角形内角和定理： 2.三角形外角定理 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和：∠外=∠A+∠B 推论：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。 3.三角形三边关系 设三角形三边长为a,b,c 变形：两边之差<第三边<两边之和 | 二、三角形面积公式 若为底，为边上的高 推论：三角形中线把三角形分成面积相等的两部分。 辨析01三角形三边关系理解误区 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 判断三边能否构成三角形，只需验证较短两条线段之和>最长线段即可； 易错表述认为只要两边之和大于第三边就一定成立，忽略“任意二字”;常见错误：3,6,2,误以为3+6>2就可以构成三角形。 辨析02三角形的高线、中线、角平分线概念混淆 中线：连接顶点与对边中点；角平分线：平分内角；高线：顶点向对边作垂线，是垂线段； 易错点：①钝角三角形有两条高在三角形外部，误以为高都在内部；②把高线当成直线，三条线段不要写成直线。 辨析03三角形外角概念辨析 三角形外角：三角形一边与另一边延长线组成的角；外角等于不相邻两个内角之和； 易错表述：外角等于两个内角之和，漏掉“不相邻”;错误认为外角一定大于三角形所有内角。 辨析04命题的条件与结论，区分真假命题 命题：可以判断正确或错误的句子，由条件和结论两部分组成；正确为真命题，错误为假命题，假命题只需举反例；易错点：问句、祈使句不是命题；逆命题不一定和原命题同真同假。 辨析05三角形内角和的常见错误 三角形内角和180°,只适用于平面内三角形； 易错点：做题时直接默认图形是三角形，忽略题中是否存在多个图形、漏看外角。 【题型一】三角形的个数问题 【例1】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式1-1】（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，点在的边的延长线上，连接．图中三角形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义即可得解． 【详解】解：由题意可知，三角形分别有，，，共3个． 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，图中以为高的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高，理解三角形的高定义是解题的关键． 由于于D，找出所有一边在直线上且以A为顶点的三角形即可解答． 【详解】解：∵于D， ∴图中有一边在直线上，且以A为顶点的三角形有，共6个， ∴以为高的三角形有6个． 故选：D． 【题型二】三角形内角和定理的应用 【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，妍妍在走廊上看到一个“安全出口”标志，她从中抽象出这样一个数学图形，其中，，若，，，则的度数为_________． 【答案】/80度 【分析】由得，再由三角形内角和为可得，由，得，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，某工人加工一个机器零件，，则_______． 【答案】50 【分析】连接，利用三角形内角和定理得出，接着求得，再在中利用三角形内角和定理求出的度数，根据对顶角相等得到的度数，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·浙江·期中）仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，即可得到，再利用三角形的内角和运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·上海闵行·期中）冰裂纹是一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着冰消雪融，春回大地．图①是拙政园宜两亭中的冰裂纹梅花窗，图②是该花窗中的部分图案．已知，，则______度． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，由平行线的性质得即可． 【详解】解：如图所示， ， ， ， ． 【题型三】判断能否构成三角形 【例3】（26-27八年级上·新疆·期中）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（） A．5，5，5 B．4，5，6 C．3，6，9 D．3，5，7 【答案】C 【详解】解：A选项、，能组成三角形； B选项、，能组成三角形； C选项、，不能组成三角形； D选项、，能组成三角形． 【变式3-1】（26-27八年级上·湖北·期中）用如下长度的三根木棒首尾相连，可以组成三角形的是（） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行解答即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故不能构成三角形； D、，故能构成三角形． 【变式3-2】（25-26八年级下·安徽亳州·期中）下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（     ） A．1，1，1，3 B．2，2，2，3 C．1，3，2，6 D．2，2，2，7 【答案】B 【分析】根据构成四边形的条件“最长线段的长度小于另外三条线段的长度和”，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．最长边为，，故不能构成四边形，不符合题意； B．最长边为，，故能构成四边形，符合题意； C．最长边为，，故不能构成四边形，不符合题意； D．最长边为，，故不能构成四边形，不符合题意． 【变式3-3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 【详解】解：∵，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 【题型四】确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·河北张家口·期中）两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， ∵两根木棒的长度分别为，， ∴，即 ∴第三根木棒的长度可以是． 【变式4-1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得：，即， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 【变式4-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）嘉嘉有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可； 【详解】解：设第三根木棒长度为， ∵已知三角形的两边长分别为和， ∴根据三角形三边关系可得， 化简得， 对比选项，只有C选项的在该取值范围内，符合要求． 【变式4-3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）一个三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，则该三角形的第三边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，关键是找到第三边的取值范围；根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，并结合第三边为偶数的条件求解. 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴有， ∴， 又∵为偶数， ∴， 故选：B． 【题型五】三角形三条重要线段概念辨析 【例5】（25-26七年级下·重庆·期中）下列叙述正确的个数为（　　）． ①三角形的中线、角平分线都是射线； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形； ③三角形的三条高交于一点； ④三角形的三条角平分线交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由三角形的面积、角平分线、中线和高分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，故①不正确； ②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，故②正确； ③三角形的三条高是线段，不一定交于一点，故③不正确； ④三角形的三条角平分线交于一点，故④正确． 【变式5-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 【答案】A 【详解】解：A．三角形的角平分线是三角形一个角的顶点和它对边交点之间的线段，说法正确，本选项符合题意； B．应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法缺少条件，错误，故本选项不符合题意； C．锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，原说法错误，故本选项不符合题意； D．三角形的中线一定在三角形内部，但三角形的高不一定在三角形内部，例如钝角三角形的两条高在三角形外部，原说法错误，故本选项不符合题意． 【变式5-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）下列结论正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C．同位角相等 D．三角形的三条角平分线交于三角形外部一点 【答案】B 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如两个不同位置的直角相等但不是对顶角，∴A错误； B、根据两点间距离的定义，两点之间的线段的长度就是这两点间的距离，∴B正确； C、∵只有两直线平行时，同位角才相等，未给出前提条件时同位角相等的结论不成立，∴C错误； D、∵三角形的三条角平分线一定交于三角形内部一点，∴D错误． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短 B．过直线l外一点P作于点Q，则点P到直线l的距离是线段 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．三角形的角平分线是线段 【答案】D 【分析】根据垂线段性质，点到直线距离的定义，三角形高线交点的位置，三角形角平分线的定义，逐个判断选项即可得出正确结论. 【详解】解：A.垂线段最短的性质是：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，本选项未说明是直线外一点，故原说法错误，不符合题意； B.点到直线的距离是垂线段的长度，是数量，不是线段本身，故原说法错误，不符合题意； C.直角三角形三条高所在直线交于直角顶点，交点在三角形的边上，既不在三角形内也不在三角形外，故原说法错误，不符合题意； D.三角形的角平分线定义是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，则三角形的角平分线是线段，故原说法正确，符合题意. 【题型六】根据三角形的中线求长度 【例6】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，边上的中线把的周长分成80和60两部分，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，解二元一次方程组等知识点，正确理解三角形三边关系是解题的关键．分两种情况讨论，列方程组求解，根据三角形三边关系判断即可求解． 【详解】解：是边上的中线， ， 设,则， 存在两种情况： ①， 则， 解得， 即， 则 此时符合三角形三边关系 ② 则 解得 即 则，与已知矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，为的中线，于点E，的周长比的周长少2．若，的面积为20，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了三角形的中线．根据三角形中线的定义得出，再根据“的周长比的周长少2”，推出，据此即可求解． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的周长比的周长少2， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为20， ∴，即， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·全国·期中）已知是的中线，长为，比的周长多，长为，求的长和的周长． 【答案】的长为，的周长为 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握三角形中线的意义． 先根据三角形中线的意义求得，再根据比的周长多，求得，然后求出的周长． 【详解】解：如图所示： ∵是的中线，长为， ∴， ∵比的周长多， ∴比多， ∵长为， ∴， ∴的周长为：． 答：BC的长为，△ABC的周长为：． 【题型七】正确作出三角形的高 【例7】（26-27八年级上·黑龙江·期中）下列图形中，作的边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作的边上的高，需由点A向边上作垂线，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，需由点A向边上作垂线，故A错误； B选项，是点A向边上作垂线，故B正确； C选项，是的边上的高，故C错误； D选项，是的边上的高，故D错误． 【变式7-1】（26-27八年级上·青海·期中）下列四个图形中，线段是的高的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：选项A的图形中，线段是的高，符合高的定义； 选项B的图形中，不符合高的定义； 选项C的图形中，不符合高的定义； 选项D的图形中，线段是的高，而线段不是的高． 【变式7-2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 【变式7-3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 【题型八】判断是否为命题 【例8】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语言叙述是命题的是（    ） A．画一条端点为的射线 B．你喜欢秦安吗？ C．赶紧写作业！ D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出明确判断的语句，只有对事件作出肯定或否定判断的语句才是命题，疑问句，祈使句，指令性语句都不属于命题. 【详解】解：∵选项A是作图指令，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项B是疑问句，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事件作出判断，∴不是命题； ∵选项D对《飞驰人生3》的票房情况作出了明确判断，是完整的判断语句，∴是命题. 【变式8-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 【变式8-2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 【变式8-3】（25-26七年级下·山东烟台·期中）下列说法错误的是（   ） A．命题不一定是定理，但定理一定是命题 B．定理不可能是假命题 C．真命题是定理 D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是基本事实 【答案】C 【分析】根据命题、定理的定义、基本事实的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．命题包含真命题和假命题，因此命题不一定是定理，定理是经过证明的真命题，因此定理一定是命题，故A选项说法正确； B．定理是被证明为正确的命题，即定理不可能是假命题，故B选项说法正确； C．只有经过推理证明、可作为推理依据的真命题才是定理，并不是所有真命题都是定理，故C选项说法错误； D．“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是初中几何公认的基本事实，故D选项说法正确． 【题型九】写出命题的题设和结论 【例9】（25-26七年级下·云南红河·期中）“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】两个角是同一个角的余角这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】两个角是邻补角这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·期中）把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川广安·期中）对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【答案】两个角是同一个角的余角这两个角相等 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， “如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论， ∴题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 【题型十】与三角形的高有关的计算 【例10】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，的边上的高为，中线为，边上的高为，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积可求出的面积，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：的边上的高为，，， ．     （2）解：是的中线， ，     的边上的高为， ， ∵， ． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为，求的长； (2)当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式求出底边长度，结合中线定义得到为的一半算出线段长即可； （2）利用三角形内角和为，角平分线定义，直角三角形两锐角互余结合等量关系求解即可． 【详解】（1）解：为边上的高，，的面积为， ， ， 为边上的中线， 点为的中点， ； （2）解：，，为边上的高， ，， 为的角平分线， ， ． 【变式10-2】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． (1)若是的角平分线，，，分别求和的度数． (2)若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)相等，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再由三角形内角和定理求解； （2）根据三角形的中线等分面积即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高 ∴ ∵ ∴, ∵，是的角平分线 ∴ ∴； （2）解：和的面积相等，理由如下： ∵是的中线， ∴ ∵是的高 ∴， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，平分，，，， (1)求的度数． (2)设，，求（用，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，，， ∴，， ∴， ∴. 【变式10-4】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． (1)求∠COD的度数； (2)若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 【题型十一】举例说明真假命题 【例1】（25-26七年级下·湖南湘西·期中）下列命题中，是真命题的是（     ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．算术平方根等于它本身的数是0和1 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的性质与判定，算术平方根的定义，绝对值的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项命题未限定点在已知直线外，是假命题； B．算术平方根等于本身的数是和，是真命题； C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，本选项命题未说明两条被截直线平行，是假命题； D．取，，满足，但，本选项命题是假命题． 【变式11-1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．同旁内角互补 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 D．如果两个角的和是，那么这两个角互为补角 【答案】B 【分析】结合平行线的性质、余角补角的定义逐一判断选项． 【详解】A、只有两条平行线被第三条直线所截得到的同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故A是假命题； B、根据平行线的基本性质，同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故B是真命题； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，故C是假命题； D、两个角的和是时，这两个角互为余角，和为才互为补角，故D是假命题． 【变式11-2】（25-26七年级下·四川泸州·期中）下列命题中真命题的个数是（     ） ①同位角相等； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】只需逐一核对每个命题，判断真假后统计真命题个数即可，解题时需注意命题成立的前提条件． 【详解】解：①只有当两条被截直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，故①是假命题； ②根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故②是真命题； ③原命题缺少“在同一平面内”的前提，空间中过一点有无数条直线与已知直线垂直，故③是假命题； ④原命题缺少“在同一平面内”的前提，不在同一平面内时两条直线不一定平行，故④是假命题； ⑤原命题缺少“直线外”的前提，若点在已知直线上，无法过该点作出已知直线的平行线，故⑤是假命题； 综上，真命题共1个． 【变式11-3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）下列命题中，假命题有（    ） ①同位角相等；②一个角的邻补角一定不小于这个角；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题要求判断各命题真假，找出假命题的组合，根据平面几何的基本概念和定理逐一判断即可． 【详解】解：①只有两直线平行时，同位角才相等，该命题未说明两直线平行，∴①是假命题； ②举例，若一个角为，它的邻补角为，，∴“邻补角一定不小于这个角”不成立，②是假命题； ③根据同一平面内直线的位置关系判定，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，∴③是真命题； ④根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴④是真命题， 假命题为①②，因此选A符合题意． 【题型十二】已知证明过程填写理论依据 【例12】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，平分交的延长线于点，且，求证：．请你在横线上补充其推理过程或理由． 证明：∵平分（已知）， ∴______①____（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（___②_______）， ∴_____③_____（等量代换）， ∵（已知）， ∴_____④_____（同旁内角互补，两直线平行）， ∴_______⑤________（_______⑥_________）， ∴（______⑦_______）． 【答案】①， ②两直线平行，同位角相等， ③， ④， ⑤， ⑥两直线平行，内错角相等， ⑦等量代换． 【分析】先结合角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用平行线的判定和性质证明，最后等量代换得到答案． 【详解】略． 【变式12-1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知：如图，于D，于F，交于G，交延长线于E，． 求证：平分． 证明：，（已知） （_______） （_______） _______（两直线平行，内错角相等） （_______） （已知） （_______） 即平分（_______） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义． 【分析】根据，并结合垂直的定义和平行线的判定即可填写前两个空格；接下来根据平行线的性质可得同位角和内错角相等，然后根据已知的等角可得两个角相等的关系，进而利用角平分线的定义得出结论． 【详解】略 【变式12-2】（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式12-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想解决问题．利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 【详解】解：在边BC上任取一点E，作交于点D，作交于点， ，， ，， ，两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相等， （等量代换）， ，平角的定义， ． 【题型十三】三角形内角和的证明 【例13】（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，， (1)________；________；________； (2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？ 【答案】(1)；；； (2)理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数； （2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线， （已知）， ，（两直线平行，内错角相等）， （平角定义）， （等量代换）， ∴三角形内角和等于． 【变式13-1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式13-2】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）小学阶段，我们可以通过“折叠”“剪拼”等方法，观察得到三角形内角和为，本学期利用平行线性质，就可以证明此猜想正确． (1)如图1，过的顶点作．（请将证明过程补充完整） 证明：， ，（_______） （_______） ____（等量代换） 即三角形的内角和为． (2)【学以致用】如图2是超市购物车及其侧面示意图，已知，，测量得知，，则_______． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角的定义；； (2) 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理的证明，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）作，，由平行线的性质可得，，相加即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；； （2）解：如图，作，则， ∵， ∴， 作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型十四】三角形的外角性质与三角板综合 【例14】（25-26七年级下·吉林长春·期中）为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点、、、在同一条直线上，，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出，由三角板的性质得出，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：这是一副三角板， ， ， ， 点、、、在同一条直线上， ， 是的外角， ， ． 【变式14-1】（25-26七年级下·湖北黄石·期中）在数学活动课上，老师让同学们以“两块直角三角板（一块含角，一块含角）的摆放”为背景开展数学探究活动．某同学将两块三角板按如图所示放置，则下列结论正确的有（    ）个 ①；②若，则；③若，则；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等式的性质可判断①正确；证明可判断②正确；证明与不平行可判断③错误；证明可判断④正确． 【详解】解：①， ， 即，故①正确； ②， ． ， ， ，故②正确； ③，， ， ． ， ， 与不平行， ∴，故③错误； ④，， ． ， ． ， ， ，故④正确； 综上，正确的结论有①②④，共3个． 【变式14-2】（2026·福建南平·二模）将一把直尺按如图所示叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点，并与交于点，直尺的另一边分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质，得的度数，由，利用三角形外角的性质，即可计算出的度数． 【详解】由题可得， ， ， ， ． 【变式14-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）一副三角板按如图所示的位置摆放，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质可得即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴． 【题型十五】三角形外角性质的实际应用 【例15】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______． 【答案】/度 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式15-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，我校建筑多为东西方向“坐北朝南”，初中部和初中食堂在一条直线上，幼儿园与小学部在一条直线上，高中部在初中食堂的南偏东，，，则为________． 【答案】 【分析】延长交于点，由题意可知，根据两直线平行，同位角相等，可知，根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 由题意可知， ， ， ， 且是的外角， ， ， ． 【变式15-2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）为增强学生身体素质，感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再根据三角形外角的定义即可求解． 【详解】解：延长，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式15-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）消防云梯其示意图如图所示，其由救援台，延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台，车身及地面三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图，使得延展臂与支撑臂所在直线互相平行，且，，则这时_______°．    【答案】 【分析】先求出，再利用平行的性质得到，然后根据即可求解． 【详解】解：延长交于， ，，， ，， ， ， ． 【题型十六】举例说明命题的真假 【例16】（25-26七年级下·福建龙岩·期中）下列选项中，能够说明“若是有理数，则”，是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到满足题设“”，但不满足结论“”的反例，结合绝对值的性质判断各选项即可. 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴，满足题设，不满足结论，能说明原命题是假命题； 对于B选项，当时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，当时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“”，不能作为反例说明原命题为假命题 【变式16-1】（25-26七年级下·河北唐山·期中）对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 【变式16-2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例说明命题的真假；根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断． 反例需满足命题条件但不满足结论，即但，据此求解即可． 【详解】解：∵原命题的条件为，结论为， ∴反例需满足条件，且不满足结论， 即反例需满足且， 可得符合要求； 选项B符合要求； A选项中的不满足原命题条件； C选项中的且，满足原命题结论，不是反例； D选项中的，不满足原命题条件； 【变式16-3】（25-26七年级下·上海虹口·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 【题型十七】举反例 【例17】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知命题：“对于任何实数，”是假命题，请举一个反例，的值可以是_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据绝对值的性质，取一个负数，验证即可，例如取，此时，可证明命题为假． 【详解】解：根据绝对值的性质，当时，， 取（答案不唯一，任意负数均可）， 此时，而，与矛盾． 【变式17-1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：___ 【答案】（答案不唯一） 【分析】举出满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，由可得或，因此只需选取的任意一个数即可． 【详解】解：当时，， 但，不满足，符合反例要求． 【变式17-2】（25-26七年级下·北京·期中）对于a的取值，能说明命题“若，则”为假命题的a的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】 （答案不唯一，合理即可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足但不满足的a的值即可． 【详解】解：取， ∵，满足， 而，不满足， ∴可以说明命题“若，则”是假命题． 【变式17-3】（25-26八年级下·河南周口·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是_____．（写出一组即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的例子即可，本题只需找到满足，但不大于的一组，的值即可． 【详解】解：命题的条件为，结论为． 取，， 此时满足， 但，， 可得，不满足， 因此，可作为该命题的反例． 【题型一】三角形折叠中的角度问题，折叠前后相等角识别不清、角度代换符号出错而致错 【例1】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______度． 【答案】50 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，再由求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， 由翻折而成， ，． ， 度， ． 易错警示 折叠本质是全等，折叠重合的角一定相等；标注角时不要混用∠符号，计算角度代换时，先在图上标记等角，再列式，不要凭主观猜测角相等。 【变式1-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【答案】85 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 【变式1-3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在上的点处，点落在点处．若，则______．    【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，，由折叠的性质可得，，利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴． 【题型二】判断是什么三角形，只看单一内角忽略三角形分类标准而致错 【例2】（25-26七年级下·广东河源·期中）在中，，则该三角形的形状是_________三角形． 【答案】钝角 【分析】根据三角形内角和定理求出最大内角的度数，再根据三角形按角分类的规则判断三角形的形状． 【详解】解：设，，， 根据三角形内角和定理，得， 解得， 因此最大角， 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形是钝角三角形． 易错警示 三角形按角分类看最大内角：最大角是钝角→钝角三角形；最大角直角→直角三角形；三个都是锐角→锐角三角形，不能只看某一个锐角直接判定。 【变式2-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式2-2】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是_______． 【答案】 等腰三角形 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差，而小于两边之和． 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案，最后等腰三角形的定义判断三角形的形状． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∵x为奇数， ∴， ∴三角形的三边长为，，，即这个三角形的形状是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南商丘·期中）在中，，，则这个三角形是_________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和定理，利用已知条件求出和的度数，通过角度大小判断三角形的形状． 【详解】∵，， ∴，即， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴是钝角三角形． 故答案是：钝角． 【题型三】三角形的三边关系在最值上的应用，等号成立条件判断错误而致错 【例3】（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质以及三边构成三角形的判定，掌握通过配方将代数式转化为非负数的和，利用非负数的性质求解未知数是解题的关键． （1）将代数式拆分为两个完全平方项的和，利用非负数的性质求出与的值，再计算； （2）对含，的代数式进行配方，结合非负数的性质和三角形三边关系求出周长的最大值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，    ∵的三边长，，都是正整数， ∴， ∴的最大值为9， 则周长的最大值为； 易错警示 三角形三边关系：两边之和＞第三边，不能取等号；当取等号时三点共线，无法构成三角形，求边长取值范围时，边界值要排除。 【变式3-1】（25-26七年级下·福建三明·期中）郑老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是2， 依据上述方法，解决下列问题 (1)当_________时，有最小值是__________； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； （2）证明：， ， ， 不论取什么数，多项式的值总是正数； （3）解：， ， ， ，， ，， ，， 边长为，，的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期中）若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是的三边长（三边不相等），，且c是中最长边的长，则c的取值范围为____________． 【答案】(1)（1） (2) 证明： ， ，， 原式， 即原式为“和美多项式” 最小值为6； (3) 【分析】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，三角形的三边关系，理解“和美多项式”，能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键． （1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解； （2）将多项式化为，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解； （3）将原式化为，求得，，再三角形三边的关系，即可求解； 【详解】（1）解：， ， （1）是和美多项式； ， ， （2）不是和美多项式； ， （3）不是和美多项式； 故答案为：（1）； （2）解：当，时有最小值为6； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵c是中最长边的长， ∴，即． 故答案为：． 【题型四】利用三角形的三边关系进行证明，不等号方向变换出错而致错 【例4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，是内的一点，试说明：． 【答案】 证明：在中，， 同理可得：，， ， ． 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在、、中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得． 【详解】略 易错警示 不等式移项时，不等号方向**只在乘除负数改变**；单纯做加减变形，不等号方向不变；书写证明时，每一步不等关系要对应三边定理，不要颠倒方向。 【变式4-1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是．    【答案】直接应用： 由三角形三边关系得， ， ∴， 即； 深化应用：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； 拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：略 [深化应用]：略 [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______． 将不等式左边、右边分别相加，得______，即______． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，，； （2），理由如下： 如图，由三角形三边关系定理得到：，，， ， ． 【分析】由三角形两边的和大于第三边得到，，将不等式左边、右边分别相加，得到； 由三角形三边关系定理得到，，，将不等式左边、右边分别相加，得到． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，． 将不等式左边、右边分别相加，得，即， 故答案为：，，，； 略 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是斜边上的高线． (1)　　．（填或） (2)　　．（填或） (3)若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和垂线段最短．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （1）利用垂线段最短进行分析作答； （2）利用三角形的三边关系进行分析作答； （3）利用垂线段最短进行分析作答． 【详解】（1）解：是斜边上的高线， ， ． 故答案为：； （2）解：由三角形的三边关系得：． 故答案为：； （3）解：由（1）知，， 点是线段上的一个动点， ． 故答案为：． 【题型一】三角形外角性质的综合应用 【例1】（26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，则______，______． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分， ∴． ， ． ， ， ． 【分析】（1）结合已知条件，根据三角形外角的定义和性质分别计算和； （2）由平分得到，再利用三角形外角的定义和性质表示出和，通过角度的等量代换即可证明． 【详解】（1）解：，， . 是的平分线， ， ． （2）略 【变式1-1】（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，为的角平分线，点、、分别在的边、、上，连接、，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由得，结合，得，证； （2）先根据三角形外角性质，求出，再根据，得，接着根据角平分线的定义，得，最后根据得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴, ∴； （2）∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 【变式1-3】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据三角形外角的性质计算即可； （2）设，则，根据三角形外角的性质得到，，可知，根据得到，计算的和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【变式1-4】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，． (1)如图1，平分，平分，求的度数． (2)如图2，平分，平分外角，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再结合三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，再由三角形外角的性质可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分外角， ∴，． ∵，， ∴． 【题型二】三角形外角性质解答题压轴 【例2】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，，，，则______； (2)如图2，，点P在的上方、点E、点F分别在，上，连接，，试探究、、之间的数量关系是______． (3)如图3，在（2）的条件下，已知：，的角平分线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，则，结合题意可得，求出，即可得出结果； （2）过点作，则，结合题意可得，从而得出，再结合，即可得出结果； （3）记与相交于点，，求出，记与相交于点，则，，由角平分线的定义可得，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，记与相交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 记与相交于点，则， ∵， ∴， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ． 【变式2-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图1，直线与直线，直线分别交于点E，F，已知， (1)若，的平分线交于点P，则的度数为______； (2)如图2，点N，M分别是，的平分线上的点，连接，求的度数； (3)如图3，作直线直线，交直线于点K，点P是直线上异于点K的点，点Q是射线上一点，连接，．若，请用含的代数式表示与的度数之间所有可能存在的数量关系______． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义计算即可； （2）延长交于点，结合三角形的外角的性质解题即可； （3）分类讨论当点在点左侧和右侧时的情况，结合平行线的性质和三角形的外角的性质解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）知， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； 设， 若，则， 如图，当点在点左侧，且在的下方时， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在点的左侧，且在的上方时， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在点右侧，设， 同理可得，， ∵，， ∴ ， ∴； 综上所述，或或． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，分别在射线上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点，求证与之间的数量关系； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的边，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， (2) 解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图1，G，H分别是直线、上两点，点P是直线、外一点，连结交于点E（点G在点E左侧），． (1)求证：； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，点Q在直线，之间，平分，平分，点F，G，Q在同一直线上，且，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）证明，根据“同位角相等，两直线平行”可得； （2）根据三角形外角的性质和平行线的性质可得； （3）过Q点作，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，，结合平行线的性质和三角形外角的性质可得，解得． 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形外角的性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过Q点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， 解得． 【题型一】与平行线有关的三角形内角和问题 核心思路：利用平行线性质(同位角、内错角相等，同旁内角互补)+三角形内角和=180°,进行角度转化。通用解题步骤(固定流程) 1.标角：在图上标记已知角度，设未知角为x。 2.找平行线：找出平行线，写出平行线带来的等角/互补角(内错角、同位角、同旁内角),完成角的等量代换。 3.定位三角形：确定目标三角形，列出三角形内角和等式：三个内角相加=180°。 4.列方程：把代换后的角度代入方程。 5.计算求解，写出答案。 6.检验：看角度是否符合平行线、三角形角度逻辑。 【例1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【变式1-2】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 【变式1-3】（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知如图，，，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了与平行线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形内角和定理和平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【题型二】与角平分线有关的三角形内角和问题 核心思路：角平分线等分角+三角形内角和180°,进行角度代换，常结合整体代换，不用单独求每个角。通用固定解题步骤 1.标角：标记已知角度，角平分线分出的两个角相等，设小角为x。 2写角平分线结论根据角平分线，写出等分关系(如BD平分∠ABC则ABD=∠CBD=ABC). 3.三角形内角和列式：在目标三角形中，内角和为180°。 4.整体代换：把两角之和看成整体，简化计算(高频考点)。 5.计算求解，写出答案。 6.检验：角度大于0°,三角形内角总和为180°。 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，，则的度数是______． 【答案】/30度 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义分别求、即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义得，再根据三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， 又，且， ∴． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和，，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴ 【题型三】已知周长求第三边的值 核心思路：周长定义+三角形三边关系(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边),求出边长后必须检验能否构成三角形。通用固定解题步骤 1.梳理条件：写出周长、已知两条边长度，设第三边为x。 2.利用周长列式：周长=三边之和，列出方程求出x的初步值。 3.用三角形三边关系检验：任意两边之和>第三边；任意两边之差<第三边。 4.取舍：舍去不满足三边关系的解。 5. 写出最终答案。 6.复核：三边相加核对周长，再次验证三边关系。 【例3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为______． 【答案】3或5或7 【分析】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．可知第三边的取值范围是大于2而小于8，再结合三角形周长是奇数可知第三边是奇数即可求解． 【详解】解：设第三边长为x， 根据三角形三边关系可知：， 即， 则x可以是3，4，5，6，7， ∵三角形周长是奇数，另外两边之和为8， ∴x为奇数， 故x可取3或5或7． 【变式3-1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵周长为偶数，7为奇数， ∴x为奇数， ， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2)13或14或15． 【分析】（1）根据非负数的性质得出，整理得，进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为正数得出c的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，． ． ． ． 是等边三角形； （2）解：，，， ， 为整数， 可以取5，6，7． 当时，的周长为； 当时，的周长为； 当时，的周长为； 的周长为13或14或15． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知，c是的三边长． (1)已知，求c的取值范围； (2)若，且的周长不超过，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式的求解，解题的关键是根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列不等式（组）． （1）根据三边关系，列求解； （2）先根据三边关系列不等式组确定的初步范围，再结合周长不超过24的条件，进一步确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， 由三角形三边关系得：，即， 答：的取值范围是． （2）解：由三角形三边关系：， 化简得，解得． 又∵周长，即， ， ，解得， 综上，， 答：的取值范围是． 【题型四】三角形的三边关系在绝对值上的应用 核心思路：绝对值≥0,两个绝对值相加=0,则每个绝对值都为0;再利用三角形三边关系判断式子正负，去掉绝对值符号化简。通用固定解题步骤 1.利用绝对值非负性：若，则求出边长。 2.回忆三角形三边关系：两边之和>第三边；两边之差<第三边。 3.判断绝对值内部代数式正负 ，正数去绝对值不变号； ，负数去绝对值，整体变相反数。 4.去掉绝对值符号，化简式子。 5.(拓展)多个绝对值相加为0,得到边长相等，判断三角形形状。 6.复核：检查去绝对值符号时符号是否出错。 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】(1) 等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 【变式4-1】（25-26八年级上·江西宜春·期中）已知，，是的三边长． (1)若，则___________，化简：___________．___________． (2)若，，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)5，，． (2)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查非负数的性质，三角形三边关系和等边三角形的判定，结合“三角形三边关系”，判断绝对值内表达式的正负是解题关键． （1）根据非负数的性质和三角形三边关系去绝对值后计算即可； （2）根据非负数的性质可判断出，进而确定的形状． 【详解】（1）解：， ，， 则； 根据三角形三边关系，，， 则； 且， ， ． 答：5，，． （2）解：，且，， 可得， 解得， ，为等边三角形． 答：为等边三角形． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西赣州·期中）已知，，是的三边， (1)比较大小：_______0，_______0，_______0．（填入“、或”号） (2)化简． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握绝对值的化简方法是解决本题的关键． （1）由三角形的三边关系即可求解； （2）根据（1）进行化简即可． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系得，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）已知的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c为偶数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)的周长为9 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减混合运算，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边是解题的关键． （1）先根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为偶数即可得出的值，进而可得出答案； （2）根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：，， ，即． 又为偶数， ． ． （2），， ，． ． 【变式4-4】（25-26八年级上·四川南充·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，满足，试判断的形状． (2)化简：； 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，三角形三边关系，等边三角形定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据绝对值和平方的非负性得到，进而推出，即可判断的形状； （2）根据三角形三边关系得到，再结合绝对值性质进行化简，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 整理得， ， 即为等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）解：的三边长分别为a，b，c， ， 则 ． 【题型五】根据三角形的中线求面积 核心思路：等底等高的两个三角形面积相等，延长一倍代表线段长度相等，找共用高，拆分图形，分别计算外围三角形面积，最后求和。 通用固定解题步骤 1.标记条件：读题，标出延长一倍得到的相等线段，明确已知小三角形面积。 2.连接辅助线：连接原图顶点与外端点，拆分出多个小三角形。 3.用等底等高判定面积相等：底相等、高相同，面积就相等。 4.分别算出外围每个大三角形面积。 5.总面积=中间原三角形面积+外围3个三角形面积。 6.复核：核对每个三角形的底、高关系，检查面积倍数。 【例5】（26-27八年级上·广东·期中）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点、、顺次连接成，若的面积是，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴． 【变式5-1】（26-27八年级上·青海·期中）如图，在中，、分别是、中点，连接、，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据三角形的中线求面积，根据、分别是、中点，得，，进而可得答案． 【详解】解：在中，、分别是、中点， ，， ． 故选：C． 【变式5-2】（26-27八年级上·天津红桥·开学考试）如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（     ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【变式5-4】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 技巧 一句话要点 数三角形个数——有序枚举法 固定一条边或者固定顶点，从小到大依次计数；按顺序数，不重复、不遗漏。 三角形内角计算——标记代换法 在图中标注已知角度，利用内角和180°，结合平行线、角平分线进行等量代换求值。 三边能否构成三角形——短边求和法 找出三条边中较短两条线段，两短边之和＞最长边，则可以构成三角形。 求第三边取值范围——差值和值法 两边之差＜第三边＜两边之和；注意题目是否限制边长为整数。 三角形重要线段——定义识别法 中线：顶点连对边中点；角平分线：平分内角；高：顶点向对边作垂线，钝角三角形高可在外部。 中线求面积——等面积分割法 三角形中线把原三角形分成面积相等两部分；多次分割可传递面积等量关系。 三角形高相关计算——面积等积法 同一个三角形，面积不变；底高，一组底和高可求另一组未知量。 命题辨析——拆题设结论法 命题拆成“如果（题设），那么（结论）”；满足题设但不满足结论的例子即为反例。 外角角度计算——外角性质法 三角形外角等于与它不相邻两个内角之和；外角大于任意一个不相邻的内角。 折叠角度问题——全等等角法 折叠前后重合角相等，标记等角，结合内角和、平角建立方程求解。 三角板综合角度——固定角标记法 牢记三角板固定角度30°、60°、90°、45°，结合外角、平角推导未知角。 几何证明填空——定理匹配法 观察推理步骤，匹配定义、公理、定理，规范填写几何理论依据。 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $