专题01 分式24大题型72题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题01 分式（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分、通分 题型6 分式的四则运算 题型7 分式化简求值（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型10 分式方程的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（重点） 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（重点） 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型14 最简分式 题型15 分式的四则混合运算综合（重点） 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母 题型17 分式化简求值综合（重点） 题型18 分式的最值问题（难点） 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（难点） 题型20 分式方程的增根与无解问题（重点） 题型21 分式方程的实际应用综合 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（难点） 题型23 分式方程的含参问题（难点） 题型24 分式的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的判断（共3小题） 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式需要满足“分子分母是整式且分母含有字母”是解题关键． 根据分式的定义，依次判断代数式是否符合条件． 【详解】解：选项A分母为2025，不含字母， 选项B分母为2，不含字母， 选项C分母为，含有字母， 选项D是整式，不是分式， 故选项C是分式． 故选：C． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫作分式，进行判断即可． 【详解】解：在代数式中，其中分式有，共4个； 故选D． 3．（20-21八年级上·北京海淀·期中）下列各式：，，，其中分式有_______个． 【答案】3 【分析】本题考查的是分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：、、的分母中含有字母，属于分式．共有3个分式． 故答案为：3． 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 【易错】分式有意义只需分母≠0，无意义为分母 = 0。不要看分子；多个因式分母要全部不等于 0；求取值范围容易漏写，解方程时分母等于 0 的解忘记排除。 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·北京·期中）当______时，分式有意义；当______时，分式无意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 6．（24-25七年级下·北京·期中）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 题型3 分式的求值（共3小题） 【易错】代入求值前，先保证分式有意义，分母不能为 0。直接代入不检验，负数代入不加括号；负数乘方符号出错；根式代入时分母有理化遗漏，计算符号失误。 7．（2026·北京顺义·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的求值，由比例关系设参数k，将x、y、z用k表示，代入分式化简即可. 【详解】解：设，则，，， 代入分式： 分子：， 分母：， ∴； 故选：B 9．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键． （1）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案； （2）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 【易错】分子分母同乘除同一个不为 0的整式。容易漏 “不为 0”；只乘分子或只乘分母；加减运算误用性质；符号变换时，只改一处符号，忽略分式整体符号规则。 10．（25-26八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，逐项判断变形是否正确． 【详解】A: （分子从变为，分母从变为，未同时乘以或除以相同整式）． 变形不一定正确． B:（分子分母同乘，且）． 变形一定正确． C: （除非）． 变形不一定正确． D: （分子分母同乘得，，除非）． 变形不一定正确． 故选B． 11．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若成立，则的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质计算后即可判断． 【详解】解：∵ ，都扩大10倍后，新分式的分子为，分母为， ∴ 新分式为， ∴ 分式的值不改变． 题型5 约分、通分（共3小题） 【易错】约分先因式分解，只能约因式，不能约单独项；通分找最简公分母。常直接约多项式里面单项；符号处理出错；漏看互为相反数因式，最简公分母找不全。 13．（25-26八年级上·北京昌平·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，关键是找出公因式然后运用分式的基本性质进行化简． 根据分式的基本性质约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，进行约分即可． 【详解】解：； 故选B． 15．（25-26八年级上·北京·期中）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 题型6 分式的四则运算（共3小题） 【易错】乘除先因式分解再约分，加减先通分。加减时漏给分子加括号；运算顺序搞错，先算加减再算乘除；符号容易出错，结果没有化为最简分式。 16．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17．（25-26八年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式，掌握分式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键．先对分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分后再计算同分母分式的减法即可． 【详解】解：原式 ． 18．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算分式乘法，接着通分并化简即可得到答案． 【详解】解： ． 题型7 分式化简求值（共3小题） 【易错】化简和代入两步分开，先化简后代入；代入值必须保证原式分母不为 0。直接代入原式计算；所选数值让分母等于 0；括号去掉时符号出错，结果不化简。 19．（2026九年级·北京·专题练习）如果，求代数式的值． 【答案】2 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 20．（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 21．（25-26九年级下·北京大兴·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【分析】先化简原分式，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型8 解分式方程（共3小题） 【易错】去分母时，常数项也要乘最简公分母；必须检验。漏乘不含分母的项；忘记验根，增根当成解；移项变号出错；整式方程求解错误，漏掉检验步骤。 22．（26-27八年级上·北京通州·期中）解分式方程： 【答案】 【分析】利用因式分解先整理分式，再去分母，去括号，合并同类项，系数化为一运算即可． 【详解】解： 去分母可得： 检验：把代入可得：， ∴是原方程的解． 23．（25-26七年级下·北京·期中）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得， 经检验，是原分式方程的解． 24．（2026九年级下·北京·专题练习）解方程：． 【答案】无解 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是增根，不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 题型9 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 【易错】先解整式方程，再结合解的限制条件。容易忽略分母不为 0；只看整式方程解，不排除增根；列式不等关系写错，取值范围考虑不全面，漏限制条件。 25．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围即可． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴，解得：， 又∵，即， ∴，解得：． ∴且． 26．（25-26八年级上·北京海淀·期中）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解法、分式方程的增根以及解的非负性条件．去分母，将分式方程化为整式方程是解题关键． 先将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，再根据解为非负数以及分式有意义的条件即可得． 【详解】解：方程两边同乘（）， 得，解得， ∵方程的解是非负数， ∴，即； 又∵分母，即， ∴，即， ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 27．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 题型10 分式方程的实际应用（共3小题） 【易错】找准等量关系，设未知数，单位统一；解完双重检验：方程检验 + 实际意义检验。等量关系列反；忘记检验；解出负数、不符合题意的值不舍去。 28．（25-26八年级上·北京·期末）京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 【答案】该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时 【分析】设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时，根据题意列方程求解即可． 本题考查分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为x小时．则怀柔南站至承德南站运营时长为2x小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长为小时． 29．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 【答案】(1)35天 (2)210000元 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设该项工程的规定时间是天，根据“甲的工作量乙的工作量”列出分式方程，解方程即可； （2）求出甲、乙队合作完成所需的天数，再根据施工费用施工时间每天施工的费用列式计算即可． 【详解】（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用（元， 答：该工程施工总费用是210000元． 30．（26-27八年级上·北京通州·期中）某航模小组对、两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵元； ②用元购买型无人机模型的数量与用元购买型无人机模型的数量相同． 求型和型无人机模型的单价各是多少元？ 【答案】型无人机模型的单价为元，型无人机模型的单价为元． 【分析】以、两种型号无人机购买数量相同为等量关系，设未知数列分式方程求解． 【详解】解：设型无人机模型的单价为元，则型无人机模型的单价为元． 由题意得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意．． 答：型无人机模型的单价为元，型无人机模型的单价为元． 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入优先，不单独求未知数；注意隐含分母不为 0 条件。强行单独求解未知数；变形时等式两边随意乘含字母式子；符号处理失误，忽略取值限制。 31．（25-26八年级上·北京·期中）已知x、y、z满足．试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题关键．先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 32．（24-25九年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 33．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（共3小题） 【易错】分离常数，把分式拆成整式 + 真分式；只看分子是分母约数。漏掉正负因数；求出整数后不检验分母不为 0；容易多解漏解，忘记排除使分母为 0 的解。 34．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 36．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数（共3小题） 【易错】分子分母同乘公倍数，每一项都要乘。只乘第一项，其余项漏乘；系数有负号时符号处理错误；小数、分数系数混用，乘完不化简，忽略最简要求。 37．（23-24八年级下·北京·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 38．（25-26八年级上·北京·期中）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25八年级下·四川达州·期中）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变，可得答案．分式的分子分母都乘以12是解题关键． 【详解】解：分式的分子与分母都乘以12，得， 故答案为：． 题型14 最简分式（共3小题） 【易错】分子分母没有公因式（多项式要先因式分解）。只看表面，不分解多项式；误把相同字母单项当成唯一判断标准；因式互为相反数时，不能正确识别可约分部分。 40．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 41．（26-27八年级上·北京·期中）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 42．（专题01分式（易错必刷91题21种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版））下列分式中最简分式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简分式， 解题的关键是掌握：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．据此解答即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意； C．∵是最简分式，故此选项符合题意； D．∵， ∴不是最简分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型15 分式的四则混合运算综合（共3小题） 【易错】遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，括号优先。去括号符号出错；过早约分；加减不通分直接合并；最终结果没有化成最简分式或整式。 43．（26-27八年级上·北京通州·期中）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 【答案】解：选择甲同学，解答过程如下：（选择一名同学的做法即可） 原式 ． 选择乙同学，解答过程如下： 原式 ． 【分析】选择甲同学，解答过程为：先计算括号内的减法，再计算乘法即可；选择乙同学，解答过程为：先运用乘法分配律计算，再计算减法即可． 【详解】略． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的变形与运算，需熟练掌握分式的拆分技巧，即对分子进行凑配或因式分解等方法，同时还考查了分式的加减运算，由这一条件列方程对正整数解的分析是解决本题的关键． （1）将中的分子化为；将的分子化为使用平方差公式即可求解； （2）将中的分子化为，再使用平方差公式即可求解； （3）先将转化为，将转化为，再结合，令，，分析出a，b为正整数，分类讨论即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：∵， ， 因为， 所以， 即， 令，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M、N均为正数，x、y均为正整数， ∴a，b为正整数， ∴或或， 当时，，此时，， 当时，，此时，（舍）， 当时，，此时，（舍）， ∴综上，， ∴，， 经检验，符合题意， ∴，． 45．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 【答案】(1)① (2)否；错用去括号法则 (3) 原式 ； ， 原式． 原式的值为 【分析】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误； （2）去括号时，出现错误； （3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出x的值，将x，y的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可． 【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，丹丹同学第①步先算的减法， ∴从第①步开始出现错误； 故答案为：①； （2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，丹丹同学括号里的第二项没有变号，出现错误， ∴从①到②不正确，错用去括号法则； 故答案为：否，错用去括号法则； （3）略 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母（共3小题） 【易错】左右通分后，对应项系数相等，恒等式对所有使分母有意义的 x 成立。随便代一个值就下定论；多项式展开出错；遗漏限制条件，系数对比出现计算错误。 46．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 47．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 48．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）已知，其中，，，为常数，则______． 【答案】6 【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：，且， 当时，① 当时，②   当时，③ ∵, 即 ∴④ 联立解之得 、、， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题． 题型17 分式化简求值综合（共3小题） 【易错】化简要完整，括号优先，求值前筛选可取的 x，避开分母为 0。自选数值时踩坑，选增根；整体代换不会变形；去括号符号出错，计算粗心导致结果错误。 49．（2026·北京房山·二模）已知，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后式子中相关部分的值，最后代入求值． 【详解】解： ， ． 原式． 50．（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，由，可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 51．（2026·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ∴原式． 题型18 分式的最值问题（共3小题） 【易错】常用分离常数法，结合变量取值范围分析。忽略分母不能为 0；直接套用函数结论，不考虑自变量限制；求最值忽略分式正负，漏掉端点检验。 52．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 53．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 54．（26-27八年级上·广西桂林·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） (2)当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ (3)将分式化成带分式. 【答案】(1)假分式 (2)当时，分式有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，进一步即可得到答案； （3）把原式化为，进一步变形即可得到答案． 【详解】（1）解：分子、分母的次数相等，则是假分式； （2）解： ∵， ∴当时，的最大值为， ∴当时，分式有最大值，最大值是； （3）解： ． 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（共3小题） 【易错】化为整式方程，区分 “解为正数 / 负数”，同时排除增根。只看整式方程解的正负，忘记分母≠0；不等号方向搞错；参数范围容易多写或少写边界。 55．（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，先解分式方程，得到，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可． 【详解】解： 去分母，得：， 化简：， 解得 ∵解为非负数， ∴，即，解得 ∵ 分母， ∴，即，解得 ∴且； 故选A． 56．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 57．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 题型20 分式方程的增根与无解问题（共3小题） 【易错】增根是去分母后整式方程的根，且让原分母为 0；无解包含两种：有增根、整式方程本身无解。混淆增根和无解；漏掉整式方程无解情况，分类讨论不全。 58．（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查解分式方程，熟知方程无解的情况通常发生在解出的根使分母为零（即增根）时． 先化简方程，利用分母关系，求解关于的表达式，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴ ， 两边乘以（），得， 解得：， ∴ ， 当时，分母为零，原方程无解， 令，则， 解得：． 故当 时，方程无解． 故选：B． 59．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，解题关键是理解增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． （1）将代入分式方程计算即可； （2）当时，分式方程有增根，且增根为，将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出m值即可． 【详解】（1）解：将代入分式方程， 可得 ， 解得； （2）解：当时，分式方程有增根，且增根为， 去分母得， 将代入整式方程得， 即， 所以当时，此方程会产生增根． 60．（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为3或9 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的值. （1）将分式方程转化为整式方程，把代入，求解即可； （2）将分式方程转化为整式方程，求出最简公分母为0时的x的值，代入，求解即可； （3）将分式方程转化为整式方程，在（2）的基础上，计算，求解即可 【详解】（1）解：把代入原方程得： 解得： ∴a的值是18 （2）方程两边同乘得： 解得： ∵原分式方程有增根 ∴ 解得：或 ∴或(舍去) 即： ∴a的值是3． （3）由(2)知： 当时原方程无解，则或(舍去) 即： 当时原方程无解，则 ∴综上所述，当a的值为3或9时，原分式方程无解． 题型21 分式方程的实际应用综合（共3小题） 【易错】审题分清速度、工作效率等数量关系，检验方程解与现实合理性。等量关系颠倒；单位不统一；只检验方程，忽略实际场景，不符合题意的解不舍去。 61．（25-26八年级上·北京顺义·期末）为促进绿色消费，国家实施了家电以旧换新政策．政策中明确个人消费者购买符合规定的电冰箱、洗衣机、电视机、空调等类家电产品可享受补贴． 某地区补贴标准如下： 购买二级能效产品，补贴产品销售原价的； 购买一级能效产品，补贴产品销售原价的； 另外，根据情况还可享受旧机回收款抵扣消费． 例如：某款一级能效空调一台销售原价为元，按销售原价的补贴元．另外，旧机回收款抵扣元，则个人实际消费元． 小明家购买了不同品牌的，两款一级能效空调．已知款比款空调每台的销售原价高元，两款空调每台享受补贴后均参加旧机回收款抵扣消费，款空调每台抵扣元，款空调每台抵扣元，购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元．求，两款空调的销售原价． 【答案】 款空调的销售原价元，款空调的销售原价元 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立相应等量关系是解题的关键，分式方程注意检验．设款空调的销售原价为元，则款空调的销售原价为元，根据“购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元”列方程求解即可． 【详解】解：设款空调的销售原价为元，则款空调的销售原价为元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：款空调的销售原价元，款空调的销售原价元． 62．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)解：施工费用不够，需要追加万元，理由如下： 设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）略 63．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 【答案】（1）慢车的速度为（2）当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用： （1）设慢车的速度的速度为，根据快车的速度是慢车速度的1.2倍，慢车先行，出发后，快车前行，两车同时到达游览区，列出方程进行求解即可； （2）根据两种方案分别列出代数式，进行求解判断即可． 【详解】解：（1）设慢车的速度的速度为，由题意，得： ， 解：， 经检验是原方程的解，且符合题意； 答：慢车的速度为； （2）按照方案一付费：元； 按照方案二付费：； 当，即：时，两种付费方式费用相同； 当，即：时，按照方案二付费更优惠； 当，即：时，按照方案一付费更优惠； 答：当时，按照方案一付费；当时，两种付费方案费用相同；当时，按照方案二付费． 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（共3小题） 64．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 65．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①和谐分式；②； (2)或或； (3) 【分析】（1）将进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对进行化简即可； （2）设，仿照题意计算得出，，从而可得，再结合分式的值为整数，得出为整数，且，，令，则，从而可得为整数，解得或或，分情况计算即可得出结果； （3）求出，，从而可得，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①，其中为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义，故分式是和谐分式； ②； （2）解：设， ∵， ∴，， 解得，， ∴， ∵分式的值为整数， ∴为整数，且，， 令，则， ∴为整数， 解得或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，满足条件的整数的值为或或； （3）解：， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ． 66．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 题型23 分式方程的含参问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·河北衡水·期中）已知关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．25 B．28 C．30 D．33 【答案】B 【详解】解：解分式方程， 去分母得， 解得， ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 即且， 解不等式组， 由得， 由得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上，且， 满足条件的整数为3，4，6，7，8，和为． 68．（21-22八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 【答案】，， 【分析】根据新定义运算，列出不等式组，求出的取值，根据分式方程解的情况求得的值即可． 【详解】解：整数m满足，且， ， 解得：， ，，，，，，，共个值， 分式方程， 整理得：， 当时，， 当时，方程无唯一确定的解，不符合题意，舍去， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且， ，，． 69．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【详解】（1）解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． 该方程的增根为， 把代入，得， 解得． （2）解： 原方程有增根， ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得， 的值为或． （3）解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 题型24 分式方程的含参问题（共3小题） 70．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 71．（25-26八年级下·重庆万州·期中）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 72．（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 【答案】(1)不是的“友好分式”，计算如下： ， ∵， ∴C不是D的“友好分式”． (2)，所有符合条件的的值之和为 【分析】（1）根据“友好分式”的定义计算，化简后判断结果是否等于2即可判断； （2）根据定义列等式求出E，化简P后结合分式有意义的条件，根据x和P均为整数找出符合条件的x值，再计算其和即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵P是Q的“友好分式”， ∴， ∴， ∴，化简得：， ∴， ∵有意义， ∴， ∵是整数， ∴的值为、， ∴或2或或3， ∵， ∴或2或3， ∴所有符合条件的的值之和为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分、通分 题型6 分式的四则运算 题型7 分式化简求值（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型10 分式方程的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（重点） 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（重点） 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型14 最简分式 题型15 分式的四则混合运算综合（重点） 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母 题型17 分式化简求值综合（重点） 题型18 分式的最值问题（难点） 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（难点） 题型20 分式方程的增根与无解问题（重点） 题型21 分式方程的实际应用综合 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（难点） 题型23 分式方程的含参问题（难点） 题型24 分式的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的判断（共3小题） 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列代数式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京延庆·期中）在代数式中，其中分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（20-21八年级上·北京海淀·期中）下列各式：，，，其中分式有_______个． 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 【易错】分式有意义只需分母≠0，无意义为分母 = 0。不要看分子；多个因式分母要全部不等于 0；求取值范围容易漏写，解方程时分母等于 0 的解忘记排除。 4．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）当______时，分式没有意义． 5．（25-26八年级上·北京·期中）当______时，分式有意义；当______时，分式无意义． 6．（24-25七年级下·北京·期中）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 题型3 分式的求值（共3小题） 【易错】代入求值前，先保证分式有意义，分母不能为 0。直接代入不检验，负数代入不加括号；负数乘方符号出错；根式代入时分母有理化遗漏，计算符号失误。 7．（2026·北京顺义·二模）已知，求代数式的值． 8．（24-25八年级下·山东淄博·期末）若，则的值是（ ） A．1 B．5 C．4 D．3 9．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 【易错】分子分母同乘除同一个不为 0的整式。容易漏 “不为 0”；只乘分子或只乘分母；加减运算误用性质；符号变换时，只改一处符号，忽略分式整体符号规则。 10．（25-26八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·山西朔州·期中）若成立，则的取值范围是______________． 12．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 题型5 约分、通分（共3小题） 【易错】约分先因式分解，只能约因式，不能约单独项；通分找最简公分母。常直接约多项式里面单项；符号处理出错；漏看互为相反数因式，最简公分母找不全。 13．（25-26八年级上·北京昌平·期末）约分：__________． 14．（25-26八年级上·北京延庆·期中）计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 15．（25-26八年级上·北京·期中）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型6 分式的四则运算（共3小题） 【易错】乘除先因式分解再约分，加减先通分。加减时漏给分子加括号；运算顺序搞错，先算加减再算乘除；符号容易出错，结果没有化为最简分式。 16．（25-26八年级上·北京·期末）计算：． 17．（25-26八年级上·北京顺义·期末）计算：． 18．（24-25八年级上·北京·期末）计算：． 题型7 分式化简求值（共3小题） 【易错】化简和代入两步分开，先化简后代入；代入值必须保证原式分母不为 0。直接代入原式计算；所选数值让分母等于 0；括号去掉时符号出错，结果不化简。 19．（2026九年级·北京·专题练习）如果，求代数式的值． 20．（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26九年级下·北京大兴·期中）先化简，再求值：，其中． 题型8 解分式方程（共3小题） 【易错】去分母时，常数项也要乘最简公分母；必须检验。漏乘不含分母的项；忘记验根，增根当成解；移项变号出错；整式方程求解错误，漏掉检验步骤。 22．（26-27八年级上·北京通州·期中）解分式方程： 23．（25-26七年级下·北京·期中）解方程：． 24．（2026九年级下·北京·专题练习）解方程：． 题型9 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 【易错】先解整式方程，再结合解的限制条件。容易忽略分母不为 0；只看整式方程解，不排除增根；列式不等关系写错，取值范围考虑不全面，漏限制条件。 25．（25-26八年级上·北京顺义·期中）若关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围． 26．（25-26八年级上·北京海淀·期中）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________． 27．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 题型10 分式方程的实际应用（共3小题） 【易错】找准等量关系，设未知数，单位统一；解完双重检验：方程检验 + 实际意义检验。等量关系列反；忘记检验；解出负数、不符合题意的值不舍去。 28．（25-26八年级上·北京·期末）京哈高铁2025年7月1日起按时速350公里高标准运行．但在实际运营中时速受一些因素影响会在不同路段有所调整．某次列车怀柔南站至承德南站运营时长是朝阳站至怀柔南站运营时长的2倍．已知怀柔南站至承德南站运营里程约为，朝阳站至怀柔南站运营里程约为，若该次列车怀柔南站至承德南站的平均速度比朝阳站至怀柔南站的平均速度快，求该次列车朝阳站至怀柔南站运营时长． 29．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）为了落实“惠民工程”，某街道办事处计划对某小区的居民自来水管道进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为5500元，乙队每天的施工费用为4500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 30．（26-27八年级上·北京通州·期中）某航模小组对、两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵元； ②用元购买型无人机模型的数量与用元购买型无人机模型的数量相同． 求型和型无人机模型的单价各是多少元？ 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入优先，不单独求未知数；注意隐含分母不为 0 条件。强行单独求解未知数；变形时等式两边随意乘含字母式子；符号处理失误，忽略取值限制。 31．（25-26八年级上·北京·期中）已知x、y、z满足．试求的值． 32．（24-25九年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 33．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（共3小题） 【易错】分离常数，把分式拆成整式 + 真分式；只看分子是分母约数。漏掉正负因数；求出整数后不检验分母不为 0；容易多解漏解，忘记排除使分母为 0 的解。 34．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 36．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数（共3小题） 【易错】分子分母同乘公倍数，每一项都要乘。只乘第一项，其余项漏乘；系数有负号时符号处理错误；小数、分数系数混用，乘完不化简，忽略最简要求。 37．（23-24八年级下·北京·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 38．（25-26八年级上·北京·期中）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 39．（24-25八年级下·四川达州·期中）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数且最简，结果为________． 题型14 最简分式（共3小题） 【易错】分子分母没有公因式（多项式要先因式分解）。只看表面，不分解多项式；误把相同字母单项当成唯一判断标准；因式互为相反数时，不能正确识别可约分部分。 40．（25-26八年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 41．（26-27八年级上·北京·期中）分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（专题01分式（易错必刷91题21种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版））下列分式中最简分式是（ ） A． B． C． D． 题型15 分式的四则混合运算综合（共3小题） 【易错】遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，括号优先。去括号符号出错；过早约分；加减不通分直接合并；最终结果没有化成最简分式或整式。 43．（26-27八年级上·北京通州·期中）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 44．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）一般情况下，一个分式通过适当的变形，我们可以把它化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②； ③ (1)仿照上述方法，试将分式，化为一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)仿照上述方法，把化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (3)已知x、y均为正整数，，，且M、N均为正数．若，请求出x、y的值． 45．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）王老师在黑板上写了一道题目，计算：．丹丹同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让丹丹同学回去认真检查．请你仔细阅读丹丹同学的计算过程，帮助丹丹同学改正错误． 解： ① ② ③ ④ (1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？ ；（用序号表示） (2)从①到②是否正确？ ；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ； (3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当，时的值． 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母（共3小题） 【易错】左右通分后，对应项系数相等，恒等式对所有使分母有意义的 x 成立。随便代一个值就下定论；多项式展开出错；遗漏限制条件，系数对比出现计算错误。 46．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）已知，其中、为常数，求的值． 47．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）若，则________． 48．（22-23七年级上·湖南长沙·期中）已知，其中，，，为常数，则______． 题型17 分式化简求值综合（共3小题） 【易错】化简要完整，括号优先，求值前筛选可取的 x，避开分母为 0。自选数值时踩坑，选增根；整体代换不会变形；去括号符号出错，计算粗心导致结果错误。 49．（2026·北京房山·二模）已知，且，求代数式的值． 50．（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 51．（2026·北京·一模）已知，求代数式的值． 题型18 分式的最值问题（共3小题） 【易错】常用分离常数法，结合变量取值范围分析。忽略分母不能为 0；直接套用函数结论，不考虑自变量限制；求最值忽略分式正负，漏掉端点检验。 52．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 53．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 54．（26-27八年级上·广西桂林·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是__________；（填“真分式”或“假分式”） (2)当为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ (3)将分式化成带分式. 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（共3小题） 【易错】化为整式方程，区分 “解为正数 / 负数”，同时排除增根。只看整式方程解的正负，忘记分母≠0；不等号方向搞错；参数范围容易多写或少写边界。 55．（2020·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 56．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 57．（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 题型20 分式方程的增根与无解问题（共3小题） 【易错】增根是去分母后整式方程的根，且让原分母为 0；无解包含两种：有增根、整式方程本身无解。混淆增根和无解；漏掉整式方程无解情况，分类讨论不全。 58．（24-25八年级下·河北保定·期末）如果关于的方程无解，则的值为（   ） A．2 B． C． D．7 59．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 60．（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的解是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值； (3)若分式方程无解，求a的值． 题型21 分式方程的实际应用综合（共3小题） 【易错】审题分清速度、工作效率等数量关系，检验方程解与现实合理性。等量关系颠倒；单位不统一；只检验方程，忽略实际场景，不符合题意的解不舍去。 61．（25-26八年级上·北京顺义·期末）为促进绿色消费，国家实施了家电以旧换新政策．政策中明确个人消费者购买符合规定的电冰箱、洗衣机、电视机、空调等类家电产品可享受补贴． 某地区补贴标准如下： 购买二级能效产品，补贴产品销售原价的； 购买一级能效产品，补贴产品销售原价的； 另外，根据情况还可享受旧机回收款抵扣消费． 例如：某款一级能效空调一台销售原价为元，按销售原价的补贴元．另外，旧机回收款抵扣元，则个人实际消费元． 小明家购买了不同品牌的，两款一级能效空调．已知款比款空调每台的销售原价高元，两款空调每台享受补贴后均参加旧机回收款抵扣消费，款空调每台抵扣元，款空调每台抵扣元，购买相同台数的，两款空调，最终分别实际消费元和元．求，两款空调的销售原价． 62．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 63．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）（1）某校八年级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前行，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度； （2）该游览区推出了优惠大酬宾活动，有以下两种优惠方案： 优惠 方案一 可购买100元代金券，每张85元，每次消费时最多可使用2张，未满100元的部分不得使用代金券．例如：某人消费130元，按照该方案使用代金券后，实际消费元． 说明：1．进入游览区领取号码牌，消费时刷号码牌，出游览区送还号码牌，并结算付费； 2．代金券可以用于支付游览区中购物、美食、玩乐等所有项目． 优惠 方案二 消费不满200元不优惠，满200元打九折，不得同时使用代金券． 若某位同学在优惠前的消费总金额为元，请说明该同学选择哪种方案更划算？ 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（共3小题） 64．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 65．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 66．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 题型23 分式方程的含参问题（共3小题） 67．（26-27八年级上·河北衡水·期中）已知关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．25 B．28 C．30 D．33 68．（21-22八年级下·四川·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：，例如：，若整数m满足，且，同时使得关于x的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的m的值分别为____． 69．（25-26八年级下·江苏南京·期中）已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 题型24 分式方程的含参问题（共3小题） 70．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 71．（25-26八年级下·重庆万州·期中）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 72．（25-26八年级下·江西吉安·期末）我们定义：如果两个分式与的差等于2，则称是的“友好分式”．例如分式，，因为，所以是的“友好分式”． (1)已知分式，，请通过计算判断是否为的“友好分式”； (2)已知分式，，且是的“友好分式”，若当为整数时，分式的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $