八年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材北京版）

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 6 8 C B A D A B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分12分) 9.x>1 10.x=-1 √3ab 11.b 12. 45°145度 13.8 14.6 15,v2dm 1-vV2 16.5 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题 每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 【答案】a)35 222 (3)9 【详解】【小题1】 25-V20+V45 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =25-2√5+3V5 =3w5 ;…1分 【小题2】× -0+5 3 V12x -√10÷5 2 =√18-√2 =3√2-2 =22 ;…3分 【小题3)(23+23---2 =(252-P-2 =12-1-2 =9.…5分 18.(5分) 【答案】x=0 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案 【详解】解：x- 5+3-)= -2-x 方程两边同时乘以-2）得5+3(x-2)=-(1-)】 去括号得5+3x-6=-1+x, 移项，合并同类项得2x=0, 系数化为1得x=0,3分 检验，当x=0时，x-2≠0， x=0是原方程的解.……5分 19.(6分) 【答案】2 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则. 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后利用整体的思想代入求值即可. r-2 【详解】解： x-1 3x2-3 x2-2x+1-1.x-2 x-13x2-3 =x2-2x.3(x+10(x-) x-1 x-2 x(x-2）3(x+1)(x-1) x-1 x-2 =3x(x+1) =3x2+3x .…4分 3x2+3x-2=0, 3x2+3x=2, 即原式=2.…6分 20.(6分) 【答案】(1：∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠AFE+∠AFD=180°， ∴.∠AFE=∠A+∠ADF, ,∠A+∠E=∠AFE, .∠E=∠ADF, DE∥BC, ∴.∠ADF=∠B, ∴∠B=∠E: (2)50° 【分析】(1)由三角形内角和及互补关系得∠AFE=∠A+∠ADF,结合已知得∠E=∠ADF,再由平行线 的性质即可得证： 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由(1)知∠E=∠ADF,则得∠A=∠EGF,由∠CGE=2∠A,可求得∠A的度数，由三角形内角和 求得∠ACD的度数，由角平分线的条件得∠BCD的度数，再由三角形内角和求得∠B的度数，最后由(1) 的结论即可求解。 【详解】(1)证明：：∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠AFE+∠AFD=180°， ∴.∠AFE=∠A+∠ADF, ,∠A+∠E=∠AFE, .∠E=∠ADF, :DE∥BC, ∴.∠ADF=∠B, .∠B=∠E:…3分 (2)解：由(1)知∠E=∠ADF, :·∠AFD=∠EFG,∠A+∠ADF+∠AFD=18O°=∠E+∠EFG+∠EGF, ∴.∠A=∠EGF, .∠CGE=2∠A,∠CGE+∠EGF=180°， .2∠A+∠A=180°， .∠A=60° ∠ADC=180°-∠BDC=85°， ∴∠ACD=180°-∠ADC-∠A=35°， ,CD平分∠ACB .∠BCD=∠ACD=35° ∴.∠B=180°-∠BCD-∠BDC=50°， 由(1)得∠E=∠B=50°.…6分 B 21. (6分) 【答案】 解：能满足订单要求，理由如下： 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2) 设A型无人机平均每小时喷洒x公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒 公顷农田， 40=50 xx+2' 40(x+2)=50 交叉相乘得： ,即40x+80=50x 解得x=8, 即A型无人机平均每小时喷洒8公顷农田，B型无人机平均每小时喷洒10公顷农田， 公司使用A,B两种型号的无人植保机各10台， 则每小时可喷洒10×8+10×10=180公顷农田， .180>175 答：能满足订单需求。 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键， x+2) 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒 公顷农田，进而得到 4050 xx+2,解得x=8?再计算各10台无人机每小时喷洒量，作出判断即可. 【详解】解：能满足订单要求，理由如下： x+2) 设A型无人机平均每小时喷洒无公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒 公顷农田， 40=50 xx+2: 交叉相乘得： 40(x+2)=50x,即40x+80=50x. 解得X=8,…4分 即A型无人机平均每小时喷洒8公顷农田，B型无人机平均每小时喷洒10公顷农田， 公司使用A,B两种型号的无人植保机各10台， 则每小时可喷洒10×8+10×10=180公顷农田， .…180>175 答：能满足订单需求。…6分 22.(8分) 5/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】a5,5 (2)不能. 理由：由题意可设长方形的长为2y,宽为y,则有：2yy=4, 解得：少V2 (负根舍去)， :2y=2v2 1.4<2<15 :2.8<22<3 2.2<5<2.3 2W2>V5 .这样的长方形不存在 【分析】(1)正方形的面积等于5个小正方形的面积： (2)设长方形的长为2y,宽为y,构建方程求解判断即可. 【详解】(1)解：由题意得：x2=5, (负根已经舍去)：…2分 (2)不能.…3分 理由：由题意可设长方形的长为2y,宽为y,则有：2yy=4, 解得： y=v2 (负根舍去)， :2=22 1.4<2<15 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :2.8<22<3 2.2<5<23 :225 .这样的长方形不存在.……8分 23.(8分) 【答案】(1)40 (2) ①AE⊥BD, .∠AED=90°， ∴.∠ACB=∠ADB=90°-∠EAD .AB=AC. ∴.∠ACB=∠ABC=90°-∠EAD ∴.∠BAC=180°-(90°-∠EAD)-(90°-∠EAD)=2∠EAD 即∠BAD=∠BAC, 2 ②DB=2DE+DC,证明如下： 如图，在DB上取点F,使得EF=DE,连接AF, B D :AE⊥BD .∴∠AED=∠AEF=90°， 又：AE=AE, :∴AAED≌△AEF(SAS) 7/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=AF,∠EAD=∠EAF, .∠EAD= 由O0可知，∠EAD=)∠BAC .∠DAF=∠BAC, ∴.∠DAF+∠CAF=∠BAC+∠CAF,即∠CAD=∠BAF, 又AC=AB, ∴.△ACD≌△ABF(SAS) .CD=BF ∴.BD=BF+DF=CD+2DE, 即DB=2DE+DC」 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅 助线构造全等三角形是解题关键 (1)根据垂直可得∠4CB=∠ADB=70°，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可： (2)①根据垂直可得∠ACB=∠ADB=90°-∠EAD,再利用等边对等角和三角形内角和定理，可得 ∠BAC=2∠EAD,即可证明结论： ②在DB上取点F,使得F=DE,连接4C,先证明△MBD2MF(SAS),从面得出AD=AC】 ∠DAF=∠BAC,再证明 ACD≌AABF(SAS ,得到CD=BF,即可得出结论. 【详解】(1)解：AE⊥BD, .∠AED=90°， ∠EAD=20°， ∠ADB=70°， ∠ADB=∠ACB, .∠ACB=70°， AB=AC. .∠ACB=∠ABC=70°， .∠BAC=40° 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：40：…2分 (2)解：①：AE⊥BD, ∴.∠AED=90°， ∴.∠ACB=∠ADB=90°-∠EAD, .AB=AC. ∴.∠ACB=∠ABC=90°-∠EAD, ∴.∠BAC=-180°-(90°-∠EAD)-(90°-∠EAD)=2∠EAD 即∠EAD=)∠BAC. …4分 ②DB=2DE+DC,证明如下： 如图，在DB上取点F,使得EF=DE,连接AF, :AE⊥BD ∴.AED=∠AEF=90°， 又：AE=AE, ∴△AED≌△AEF(SAS) ∴AD=AF,∠EAD=∠EAF. ∠EAD)DF ∠BAC 由①可知，∠BMD=2 ∴∠DAF=∠BAC, ∴.∠DAF+∠CAF=∠BAC+∠CAF,即∠CAD=∠BAF, 又：AC=AB, 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ACD≌AABF(SAS) ..CD=BF ..BD=BF+DF =CD+2DE 即DB=2DE+DC.8分 24.(8分) 【答案】)N7-6.n+1-n (2) 3)9 【分析】(1)根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解： (2)根据(1)的方法进行计算即可求解： (3)根据(1)的方法进而计算，然后合并即可求解. √万-6 【筛】解7+6(：6-石7-6 1 1 √n+i-√n =vn+l-√n n+1+n(n+1+nn+1-n) :…2分 1 2V3-a =23-a (2)解：：23+a(23+aj23-a :(2w5+a2s-a=1 即12-a2=1, ..a=t 生…4分 1 1 1 1 (3)解：2+1+5+5+4+5++100+v99 =(V2-l+(V3-v2)+(4-5)++(W100-99) 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-1+2-√2+V3-5+√4-.-V99+V100 =V100-1 =98分 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解 题的关键， 25.(10分) 【答案】 (1)：③ (2):S=18x2-x-42 (3):k=6 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键. (1)根据“差整分式”逐个计算即可解答： (2)根据M为N的“差整分式”，“差整值”k=4,列出等式求出整式S; (3)根据题意N-M=k,解方程组等式两边，比较系数即可解答。 【详解】解：(1)B-A=-4+2-6 x-1x-1x-1:结果含分母，不是整数，故①错误： C-A=1-4x_x+2=-5x-1 x-1x-=x-1,结果含分母，不是整数，故②错误 C-B=1-4xx-4 x-1 -5,结果为整数且非0：故③正确： x-1- 故答案为：③；…2分 (2)解：，M为N的“差整分式”，“差整值”k=4, S x-2 =4 ∴N-M=4,即4x2-92x-3=4,， 方程两边同时乘以2x+32x-3》得：S-(-22x+3)=42x+32x-3), 展开得：S-2x2+x+6=16x2-36, 移项得：S=16x2-36+2x2-x-6=18x2-x-42」 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故整式S=18x2-x-42,…6分 (3)解：根据题意N-M=k, 4x+b_@x-2=k 即(x-1)2 x-1 通分合并分子得： 4x+b-(a-2)(x-1）=k(x-1)2 -a2+(a+6)x+(b-2) 展开左边： 展开右边：a2-2+k 比较系数得方程组：-a=k,a+6=-2k 解得：k=6. 答：k=-6.…10分 26.(10分) 【答案】(1)①B:②2<AD<8 (2) ①证明：如图2，延长AE到点F,使得AE=EF,连接DF. D EF 是 边上的中线， B 图2 .AE BD .DE=EB, 在△ABE和△FDE中， 「AE=EF ∠AEB=∠DEF DE=EB ∴.△ABE≌aFDE(SAS) 12/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAE=∠F,DF=AB, .DF∥AB, .∠ADF+∠BAD=180° CD=AB,DF=AB, ∴CD=DF, ·∠ADC+∠ADB=18O°∠BDA=∠BAD :∠CDA=∠ADF, 在△ADC和△ADF中， AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DE ∴.△ADC≌△ADF(SAS) :.AC=AF, .AF=2AE, ..AC=2AE: ②EF=2AD且EF⊥AD (3) ①证明：作EH⊥AG交GA的延长线于H,如图， E A 四边形 是正方形， C 图4 ABDE ∴.AB=AE∠BAE=90° ~四边形ACFG是正方形， ∴.AC=AG∠CAG=90 13/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAH=90° ∴.∠BAC=∠EAH=90°-∠BAH 在△ABC和△AEH中， '∠ACB=∠H ∠CAB=∠HAE AB=AE ∴.△ABC2△AEH(AAS) .:.HE=BC, “Sm号4CaC.8m号H4G, .SABC=SAGE :△ABC与△AEG为偏等积三角形： ②6 (4)42000 【分析】(1)①延长AD到点E,使DE=AD,根据SAS定理证明△ADC≌aEDB,可得结论： ②由全等三角形的性质可得BE=AC,结合三角形的三边关系即可求出AD的取值范围： (2)①延长AE到点F,使得AE=EF,连接DF,由第(1)问方法可证明 △ABE≌AFDE(SAS) ,得出 ∠BAE=∠F，,DF=AB,结合同角的补角相等可证 MDC≌aMDF(SAS),得出AC=AF,，即可证明结论， ②延长D1交EP于点A,延长AD使4D=DG,连接BG,证明△MDC≌GDB(SAS),得出BG=AC, ∠CAD=∠G,证明 ABG≌△EAF(SAS) ,得出BF=4C,∠BMG=∠E,进而推导出EF=2AD:由 ∠BAG+∠EAP=90° ∠APE=90° 推导出 EF⊥AD 进而得到 (3)①作EH1AG,交GA的延长线于H,先证 △ABC≌AAEH(AAS) 得到HE=BC,即可得到 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S,MBC= 4C,BC=Sa=EH.4G,即。4BC与AMEG为偏等积三角形： 2 ②延长M到点五，使得=MN,连接EH,则5，=Sm,再证明△MEH21BC(SAS ,得到 SBm=SC,即可得到 m-5m=,月建时得5-及=S应-Sm,莉技扬候等积三角 形的定义求解即可： (4)由3)同理得5m=Sa,过点A作M/CD,交CG的延长线于M,首先根据平行和中点证明 △4GM≌DGC,得AM=CD,再证明△M1C≌AECB(SAS),得∠ACM=∠CBF,从而证明CF⊥BE 即可解决问题。 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是 解题的关键。 【详解】(1)解：①如图1，延长AD到点E,使DE=AD, D 是 的中点， E 图1 .D BC ∴.BD=CD, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) 故答案为：B;…1分 ②，△ADC≌△EDB, ∴.BE=AC=10 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABE中，10-6<AE<10+6, .4<2AD<16, 2<AD<8, 故答案为：2<AD<8;…2分 (2)①证明：如图2，延长AE到点F,使得AE=EF,连接DF. D ------ E 是 边上的中线， B 图2 ·AEBD :DE=EB, 在△ABE和△FDE中， AE=EF ∠AEB=∠DEF DE=EB ∴△ABE≌AFDE(SAS) .∠BAE=∠F,DF=AB. .DF∥AB, .∠ADF+∠BAD=180° CD=AB,DF=AB, ∴CD=DF, ∠ADC+∠ADB=180°∠BDA=∠BAD .∠CDA=∠ADF, 在△ADC和△ADF中， AD=AD ∠ADC=∠ADF DC=DF 16/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ADC2AADF(SAS) :AC=AF, .AF =2AE, .AC=2AE:…4分 ②EF=2AD;EF⊥AD:理由如下： 如图3，延长DA交EF于点P,延长AD使AD=DG,连接BG, D A 为 边上的中线， B D G 图3 .AD BC :.BD=DC, 在△ADC和△GDB中， DC=DB ∠ADC=∠GDB AD=DG ∴△ADC≌AGDB(SAS) ∴BG=AC,∠CAD=∠G, ∴.AC∥BG, .∠ABG+∠BAC=180°， AE⊥AB,AF⊥AC, ∴.∠BAE=∠CAF=90°」 ∴.∠EAF+∠BAC=360°-90°-90°=180° ∴.∠ABG=∠EAF, AF=AC.BG=AC, :BG=AF 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABG和△EAF中， 「AB=EA ∠ABG=∠EAF BG=AF .△ABG≌aEAF(SAS) ∴EF=AG,∠BAG=∠E, .AG=2AD. :.EF =2AD: .·∠BAE=90° ∴.∠BAG+∠EAP=90 ∴.∠E+∠EAP=90° ∴.∠APE=90°， ∴EF⊥AD: 综上所述，EF=2AD且EF⊥AD;6分 (3)①证明：作EH⊥AG交GA的延长线于H,如图， E G 四边形 是正方形， C 图4 ABDE .AB=AE∠BAE=90 ~四边形ACFG是正方形， ∴.AC=AG∠CAG=90 .∠CAH=90° 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC=∠EAH=90°-∠BAH 在△ABC和△AEH中， ∠ACB=∠H ∠CAB=∠HAE AB=AE ∴△ABC≌△AEH(AAS) :HE=BC, Sm4CBc,及aH4G。 .SABC=S.AGE :∴△ABC与△AEG为偏等积三角形： ②延长NA到点H,使得AH=AN,连接EH，如图5， G 图5 SAEN =S.AEH :四边形ABDE,四边形ACMN是正方形， ∴.AB=AEAN=AC∠BAE=∠CAN=90° ∴.AN=AC=AH∠CAH=90° :∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90° ∴∠EAH=∠BAC, 在△AEH和△ABC中， 19/22 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (AE=AB ∠EAH=∠BAC AH=AC ∴.△AEH≌AABC(SAS) ∴.SABH=SABC SEN =SAEH SABC ∴△AEN与△ABC是偏等积三角形； S.CMF=S.AEM=S.ANC=S.WDG 同理可得 ∴偏等积三角形有△ABC与△CMF,△AEN与△ABC,△BDG与△ABC,△AEN与△CMF,△BDG与 ACMF△BDG,△AEN 与 6组： 故答案为：6：…8分 (4)如图6，过点A作AM∥CD,交CG的延长线于M, G EF B 图6 ∴.∠M=∠DCG :点G为AD的中点， ..DG=AG. 在△AGM和△DGC中， ∠M=∠DCG ∠AGM=∠DGC AG=DG 20/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AGM2aDGC(AAS) ..S.CM =S.ACD=2100,AM CD .AM∥CD ∴.∠MAC+∠DCA=180° .∠ACD+∠BCE=180° ∴.∠MAC=∠BCE, MA=CD=CE,AC=BC, 在△MAC和△ECB中， 「AM=EC ∠MAC=∠ECB AC=CB ∴.AMAC≌AECB(SAS) ∴.SMCw=S.CBE=2100,∠ACM=∠CBF ∠ACB=90° ∴.∠ACM+∠BCF=90° ∴.∠BCF+∠CBE=90° .CF⊥BE, ..BE =60m, BE-CF=2100 SABCE= 2 :CF=2x2100=70(m. 60 .70×600=42000(元)， 答：修建小路的总造价为42000元. 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：42000.…10分 22/22 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学上册第10~11章+三角形及其性质、全等三角形。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（    ） A． B． C． D． 3．（3分）计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 4．（3分）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（3分）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10．（3分）方程的解为________． 11．（3分）若，把化简成最简二次根式为______． 12．（3分）“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 13．（3分）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 14．（3分）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 15．（3分）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 16．（3分）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为_______________． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（5分）解分式方程：． 19．（6分）已知，求代数式的值． 20．（6分）如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求的度数． 21．（6分）无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱．某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由． 22．（8分）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 23．（8分）在中，，P为边上一点（不与端点重合），连接，在线段的延长线上取一点D，使，过A点作，垂足为E，连接． (1)如图，当点E与点P重合时，若，则 ． (2)如图，当点E与点P不重合时． ①求证：； ②用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 24．（8分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由 ，可得与互为倒数，即 或 ，类似地， ，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若 ，则 (3)求的值． 25．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 26．（10分）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】验证较短两条线段的和是否大于最长线段，即可快速判断能否构成三角形． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 2．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 由题意易知带第③块去最省事是因为第③块碎片包含了这个三角形的两个角及一条边，所以最容易还原原三角形，进而问题可求解． 【详解】解：只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法； 故选：B． 3．（3分）计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘法运算，以及积的乘方运算，先计算平方部分，再与分式相乘，约分后即可得到结果． 【详解】解：， 故选：A． 4．（3分）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据二次根式的加、减、乘、除运算法则判断即可． 【详解】解：A．，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； B．，不是同类二次根式，不能合并，故错误，不符合题意； C．，故错误，不符合题意； D．，正确，符合题意． 5．（3分）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答，判断即可． 【详解】解：对于①：∵， ∴； 对于②：∵是的外角， ∴； 故选：A． 6．（3分）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，连接，由题意可知，即为等边三角形，所以，推出，根据全等三角形的对应边相等知，则，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（3分）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 8．（3分）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数以及分式的分母不为0，确定的取值范围，解不等式即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ． 10．（3分）方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 11．（3分）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 12．（3分）“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和． 根据平行线的性质得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．（3分）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 14．（3分）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作于F，过D作于G，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式可得， 从而可得，求得，最后利用三角形的中线性质可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， 的面积是18， ， ∵是边上的中线， ， 故答案为：． 15．（3分）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 16．（3分）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为_______________． 【答案】5 【分析】过点C作，交的延长线于点F，则的最小值为．延长两线交于点G，证明，，根据全等三角形的性质，得到． 【详解】过点C作，交的延长线于点F，延长两线交于点G，    ∵平分， ∴，当时，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定性质，角平分线的性质，垂线段最短原理，熟练掌握三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】【小题1】      ；····················1分 【小题2】 ；···················3分 【小题3】 ．···················5分 18．（5分）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，···················3分 检验，当时，， ∴是原方程的解．···················5分 19．（6分）已知，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后利用整体的思想代入求值即可． 【详解】解： ，···················4分 ∵， ∴， 即原式．···················6分 20．（6分）如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由三角形内角和及互补关系得，结合已知得，再由平行线的性质即可得证； （2）由（1）知，则得，由，可求得的度数，由三角形内角和求得的度数，由角平分线的条件得的度数，再由三角形内角和求得的度数，最后由（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；···················3分 （2）解：由（1）知， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）得．···················6分 21．（6分）无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱．某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由． 【答案】 解：能满足订单要求，理由如下： 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， ， 交叉相乘得：，即， 解得， 即A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， 公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台， 则每小时可喷洒公顷农田， ， 答：能满足订单需求． 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒公顷农田，进而得到，解得，再计算各10台无人机每小时喷洒量，作出判断即可． 【详解】解：能满足订单要求，理由如下： 设A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，则B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， ， 交叉相乘得：，即， 解得，···················4分 即A型无人机平均每小时喷洒公顷农田，B型无人机平均每小时喷洒公顷农田， 公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台， 则每小时可喷洒公顷农田， ， 答：能满足订单需求．···················6分 22．（8分）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 【答案】(1)5， (2)不能． 理由：由题意可设长方形的长为，宽为，则有：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这样的长方形不存在． 【分析】（1）正方形的面积等于5个小正方形的面积； （2）设长方形的长为，宽为，构建方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴（负根已经舍去）；···················2分 （2）不能．···················3分 理由：由题意可设长方形的长为，宽为，则有：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这样的长方形不存在．···················8分 23．（8分）在中，，P为边上一点（不与端点重合），连接，在线段的延长线上取一点D，使，过A点作，垂足为E，连接． (1)如图，当点E与点P重合时，若，则 ． (2)如图，当点E与点P不重合时． ①求证：； ②用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ①， ， ， ， ， ， 即； ②，证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， ， ， 又， ， ，， ， 由①可知，， ， ，即， 又， ， ， ， 即． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据垂直可得，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）①根据垂直可得，再利用等边对等角和三角形内角和定理，可得，即可证明结论； ②在上取点，使得，连接，先证明，从而得出，，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；···················2分 （2）解：①， ， ， ， ， ， 即；···················4分 ②，证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， ， ， 又， ， ，， ， 由①可知，， ， ，即， 又， ， ， ， 即．···················8分 24．（8分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由 ，可得与互为倒数，即 或 ，类似地， ，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若 ，则 (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据（1）的方法进而计算，然后合并即可求解． 【详解】（1）解：， ；···················2分 （2）解：∵， ∴， 即， ∴；···················4分 （3）解： ···················8分 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 25．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 【答案】 （）：③ （）： （）： 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （）根据为的“差整分式”，“差整值”，列出等式求出整式； （）根据题意，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【详解】解：（），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非，故③正确； 故答案为：③；···················2分 （）解：∵为的“差整分式”，“差整值”， ∴，即， 方程两边同时乘以得：， 展开得：， 移项得：， 故整式，···················6分 （）解：根据题意， 即 通分合并分子得： 展开左边： 展开右边： 比较系数得方程组： 解得： ． 答：．···················10分 26．（10分）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；② (2) ①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②且 (3) ①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②6 (4)42000 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B；···················1分 ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：；···················2分 （2）①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ；···················4分 ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且；···················6分 （3）①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6；···················8分 （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：．···················10分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八年级数学上册第10~11章+三角形及其性质、全等三角形。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（3分）以下列各组线段为边能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（3分）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他发现只带第③块去最省事，这是利用了全等三角形的判定方法（    ） A． B． C． D． 3．（3分）计算的结果是（   ） A．a B． C． D． 4．（3分）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，在中，点D，E分别在边，上，点F，G都在边上，且，．若，，探究，，之间的数量关系．两位同学有两种不同的思路，图示如下： 则图中的①与②分别表示（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（3分）如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，连接，如果，那么的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（3分）如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 10．（3分）方程的解为________． 11．（3分）若，把化简成最简二次根式为______． 12．（3分）“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接．若，则的度数为_______． 13．（3分）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 14．（3分）如图，是的角平分线，是边上的中线，若的面积是18．，则的面积是_____． 15．（3分）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 16．（3分）如下图，在等腰中，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为_______________． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（5分）解分式方程：． 19．（6分）已知，求代数式的值． 20．（6分）如图，中，D是边上一点，点E在三角形外，交于点F，点G在上，满足． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求的度数． 21．（6分）无人植保机通过导航系统实现厘米级定位，确保喷洒的农药均匀覆盖作物，因其施药精准，高效作业，深受当代农民的喜爱．某农业公司现有A，B两种型号的无人植保机，根据资料显示，一台A型机比一台B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，一台A型机喷洒40公顷农田所用时间与一台B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．公司现接到一个订单，要求无人植保机每小时至少喷洒175公顷农田，若公司使用A，B两种型号的无人植保机各10台，能否满足订单需求，并说明理由． 22．（8分）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 23．（8分）在中，，P为边上一点（不与端点重合），连接，在线段的延长线上取一点D，使，过A点作，垂足为E，连接． (1)如图，当点E与点P重合时，若，则 ． (2)如图，当点E与点P不重合时． ①求证：； ②用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 24．（8分）我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数．在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系．例如：由 ，可得与互为倒数，即 或 ，类似地， ，可得或 根据小明发现的规律，解决下列问题： (1) ， 为正整数） (2)若 ，则 (3)求的值． 25．（10分）综合与实践 问题背景：若两个分式与，满足，为整数且，则称为的“差整分式”，称为“差整值”．例如：分式，，，则为的“差整分式”，“差整值”． 探究：（）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是_____（填序号）． ①是的“差整分式”；②是的“差整分式”；③是的“差整分式”． 探究：（）已知分式，（是关于的整式），若为的“差整分式”，且“差整值”，求整式． 探究：（）已知分式，（为整数），若为的“差整分式”，请直接写出“差整值”的值． 26．（10分）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $