专题03 二次函数30大题型90题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题03 二次函数（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的性质 题型5 待定系数法求二次函数解析式 题型6 二次函数的平移问题 题型7 根据二次函数的性质求参数 题型8 利用二次函数的对称性比较大小 题型9 二次函数与方程问题 题型10 二次函数与不等式问题 题型11 二次函数的实际问题 题型12 二次函数的简单几何应用 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系 题型14 二次函数的图象与性质综合（重点） 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（重点） 题型16 二次函数的平移综合（重点） 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题 题型18 二次函数与方程综合（重点） 题型19 二次函数与不等式综合（重点） 题型20 销售问题（重点） 题型21 图形问题 题型22 拱桥、投球、喷水问题（重点） 拔高·压轴破难 题型23 二次函数的图象与性质综合（难点） 题型24 二次函数的平移压轴（难点） 题型25 二次函数的面积压轴（难点） 题型26 二次函数的角度压轴（难点） 题型27 二次函数的存在性问题（难点） 题型28 二次函数与相似综合（难点） 题型29 二次函数的最值问题（难点） 题型30 二次函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题（共3小题） 【易错】勿忘二次项系数≠0；容易忽略参数取值，直接令次数等于 2 1．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 2．（25-26九年级上·北京·期中）函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 3．（24-25八年级下·北京海淀·期中）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为______． 题型2 二次函数的图象判断（共3小题） 【易错】开口由二次项系数决定；区分一次、二次图像，不要混淆对称轴 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型3 画二次函数的图象（共3小题） 【易错】图像是抛物线，不能画折线；注意左右对称选取自变量 7．（25-26九年级上·北京通州·期中）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 8．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 9．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 题型4 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性以对称轴分界；开口方向不同，增减变化方向相反 10．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 11．（2026·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 12．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，求m的取值范围． 题型5 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 【易错】选合适解析式简化计算；计算方程组时符号容易出错 13．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 14．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与y轴交于点 (1)求a的值； (2)将该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，请你写出新函数的解析式． 题型6 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】左加右减只针对 x；不要直接对整个式子加减，极易搞错 16．（26-27九年级上·北京海淀·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（    ） A． B．2026 C．2026 D．2029 18．（25-26九年级上·广西崇左·期中）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 题型7 根据二次函数的性质求参数（共3小题） 【易错】注意二次项系数正负；自变量有范围时，最值不一定在顶点 19．（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 20．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 21．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 题型8 利用二次函数的对称性比较大小（共3小题） 【易错】比较前先转化点；距离对称轴远近，不能直接判断函数值 22．（25-26九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由． 23．（25-26九年级上·北京·期中）抛物线（）经过点，点，，在该抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，比较，，的大小，并说明理由． 24．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 题型9 二次函数与方程问题（共3小题） 【易错】判别式 Δ 决定交点个数；方程的根是抛物线与 x 轴交点横坐标 25．（26-27九年级上·全国·期中）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 26．（25-26九年级上·广西百色·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 题型10 二次函数与不等式问题（共3小题） 【易错】看清不等号；区间端点是否可取，要看是否包含交点 28．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． (1)计算：__________，__________； (2)根据图象，当时，y的取值范围是__________； (3)当时，x的取值范围是__________． 29．（26-27九年级上·北京·期中）已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； (2)表格中空白处的值_____，_____； (3)在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (4)当时，，则的取值范围为_____． 30．（26-27九年级上·北京·期中）设二次函数． (1)先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … (2)点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． (3)当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 题型11 二次函数的实际问题（共3小题） 【易错】实际问题自变量有限制；最值不一定在顶点，要看取值区间 31．（2025九年级上·北京·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式． (2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 32．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    33．（25-26九年级上·广东东莞·期中）某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 题型12 二次函数的简单几何应用（共3小题） 【易错】坐标转长度勿忘绝对值；几何边长必须大于 0 34．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 35．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，的值． (2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 36．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系（共3小题） 【易错】对称轴公式记准；判断 a+b+c 等值，代入 x=1 看函数值 37．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 38．（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 39．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是______（写序号）． 题型14 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】多个结论逐个验证；不要凭图像直观猜想，需要代数推导 40．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 41．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 42．（2026九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； (2)若该二次函数的图象经过点，求b的值； (3)当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（共3小题） 【易错】临界端点能否取到要单独判断；容易漏掉参数限制条件 43．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，都有，求的取值范围． 44．（25-26九年级上·河南焦作·期中）定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． (1)若7是这个函数的“幸运数”，求的值． (2)若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 45．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过． (1)用含的式子表示． (2)已知和是抛物线上的两点． ①若，当时，求的最大值； ②若对任意，，都有，求的取值范围． 题型16 二次函数的平移综合（共3小题） 【易错】平移只改变顶点位置，开口大小不变；区分图像平移与点平移 46．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． (1)求的值； (2)将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 47．（24-25九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 48．（2026·北京房山·二模）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求a和n的值； (2)若抛物线上存在两点和，． ①判断抛物线的开口方向，并说明理由； ②若，求a的取值范围 ． 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 【易错】与 y 轴交点只有一个；Δ＜0 时，抛物线和 x 轴无交点 49．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式；写出与坐标轴交点：__________________； (2)并在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 50．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)该二次函数化为顶点式为________； (2)该二次函数图象与轴的交点坐标为________，与轴的交点坐标为________； (3)在所给平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； (4)结合函数图象，直接写出： 当时，的取值范围为________； 当时，的取值范围为________． 51．（25-26九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 题型18 二次函数与方程综合（共3小题） 【易错】韦达定理使用前提 Δ≥0；根要满足题目自变量范围 52．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 53．（25-26九年级上·江西新余·期末）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于的一元二次方程的两个根； (2)写出关于的不等式的解集； 54．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 题型19 二次函数与不等式综合（共3小题） 【易错】多个函数比较时看清谁在上；解集不要漏掉或多写区间 55．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … (2)结合图象指出，当时，的取值范围________； (3)当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； (4)求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 56．（25-26九年级上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数的图象与x轴交点； (3)当时，求x的取值范围； (4)当时，求y的取值范围． 57．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 题型20 销售问题（共3小题） 【易错】销量随价格变化；自变量有现实上限，顶点不一定可取 58．（26-27九年级上·北京西城·期中）某超市销售一种电子计算器，成本为每个40元，计划每个售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量（个）与每个售价（元）满足如下关系：（）．设这种电子计算器每天的销售总利润为（元）． (1)求与之间的函数表达式； (2)当售价为多少元时获得利润最大，最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元，该超市销售这种电子计算器每天计划获得600元的利润，销售单价应定为多少元？ 59．（26-27九年级上·北京·期中）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 60．（25-26八年级下·福建福州·期末）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 题型21 图形问题（共3小题） 【易错】边长大于 0；图形存在隐含约束，不可直接套用顶点最值 61．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 62．（25-26九年级上·北京大兴·期中）在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． (1)若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式 ，并写出x的取值范围 ； ②图2中矩形面积 （用含x的式子表示）； ③当 时，矩形的面积最大． (2)若，（），则矩形的最大面积可表示为 （用含a，b的式子表示）． 63．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 题型22 拱桥、投球、喷水问题（共3小题） 【易错】合理建系简化计算；注意坐标正负，单位统一 64．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 65．（26-27九年级上·北京昌平·期中）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 66．（26-27九年级上·北京西城·期中）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式； (2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 题型23 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 67．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 68．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与抛物线交于点M，与直线交于点N（特殊地，当点M，N重合时，线段的长为0）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数m（），对于每一个确定的m的值，记时线段长度的最大值为t：点，，若存在，使得当时，都有成立，求的最小值． 69．（2026·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 题型24 二次函数的平移压轴（共3小题） 70．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 71．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 72．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 题型25 二次函数的面积压轴（共3小题） 73．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 74．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 75．（2026·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 题型26 二次函数的角度压轴（共3小题） 76．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 77．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 78．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 题型27 二次函数的存在性问题（共3小题） 79．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 80．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 81．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 题型28 二次函数与相似综合（共3小题） 82．（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 83．（2026·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 84．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 题型29 二次函数的最值问题（共3小题） 85．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 86．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 87．（25-26九年级下·甘肃金昌·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 题型30 二次函数的新定义问题（共3小题） 88．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 89．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 90．（25-26九年级上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． (1)①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； (2)若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． (3)将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（30大题型90题） 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题 题型2 二次函数的图象判断 题型3 画二次函数的图象 题型4 二次函数的性质 题型5 待定系数法求二次函数解析式 题型6 二次函数的平移问题 题型7 根据二次函数的性质求参数 题型8 利用二次函数的对称性比较大小 题型9 二次函数与方程问题 题型10 二次函数与不等式问题 题型11 二次函数的实际问题 题型12 二次函数的简单几何应用 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系 题型14 二次函数的图象与性质综合（重点） 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（重点） 题型16 二次函数的平移综合（重点） 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题 题型18 二次函数与方程综合（重点） 题型19 二次函数与不等式综合（重点） 题型20 销售问题（重点） 题型21 图形问题 题型22 拱桥、投球、喷水问题（重点） 拔高·压轴破难 题型23 二次函数的图象与性质综合（难点） 题型24 二次函数的平移压轴（难点） 题型25 二次函数的面积压轴（难点） 题型26 二次函数的角度压轴（难点） 题型27 二次函数的存在性问题（难点） 题型28 二次函数与相似综合（难点） 题型29 二次函数的最值问题（难点） 题型30 二次函数的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的定义及其求参问题（共3小题） 【易错】勿忘二次项系数≠0；容易忽略参数取值，直接令次数等于 2 1．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）已知函数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值． (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)m的值为 (2)m的值为1 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴当时，则， 解得， ∴ ，不是一次函数， 当时，则， ∴ ， 综上所述，m的值为； （2）解：∵是二次函数， ∴ ， 当时， ，是一次函数，不符合题意， ∴当时， ， 综上所述，m的值为1． 2．（25-26九年级上·北京·期中）函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期中）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， ， 解得：， m的取值范围为． 故答案为：． 题型2 二次函数的图象判断（共3小题） 【易错】开口由二次项系数决定；区分一次、二次图像，不要混淆对称轴 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 5．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线与轴交点可知，，且抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由直线经过一、二、四象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； D．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项符合题意；． 故选：D． 6．（2025·北京·一模）二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 题型3 画二次函数的图象（共3小题） 【易错】图像是抛物线，不能画折线；注意左右对称选取自变量 7．（25-26九年级上·北京通州·期中）已知二次函数 (1)写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向； (2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线，开口向上 (2) 解：， 列表如下： 0 2 4 6 0      0 图象如下： 【分析】本题考查二次函数的图象性质，画二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）结合的图象性质进行作答即可； （2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。 【详解】（1）解：∵，且 ∴二次函数的开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （2）略 8．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【答案】(1) (2) 填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： (3)； 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）用配方法将二次函数解析式化为顶点式即可； （2）将x对应的值代入函数解析式求出y的值，然后描点，画出函数图象即可； （3）根据函数的增减性，得出答案即可． 【详解】（1）解：； （2）略 （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 9．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出这个二次函数的图象； (2)结合图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) 描点、连线、画函数图象如图： (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质与图象，根据点的坐标画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）计算出根据表格数据，描点连线绘制的数图象即可； （2）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：列表： 0 1 0 0 （2）当时，的取值范围当． 题型4 二次函数的性质（共3小题） 【易错】增减性以对称轴分界；开口方向不同，增减变化方向相反 10．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 11．（2026·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 12．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质： （1）根据二次函数的对称性进行求解即可； （2）法一：利用二次函数的增减性求解即可；法二：分别表示出，再根据建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：法一：对称轴为直线 ∵， ∴开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大 当时，关于的对称点为 关于的对称点为 综上； 法二：代数方法：列关于m的不等式组，求解集 解得：． 题型5 待定系数法求二次函数解析式（共3小题） 【易错】选合适解析式简化计算；计算方程组时符号容易出错 13．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（2026·河南周口·一模）已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点，则该二次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】利用待定系数法将，，代入求解即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得 ∴该二次函数的解析式为． 15．（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）抛物线与y轴交于点 (1)求a的值； (2)将该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，请你写出新函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式求解即可； （2）根据二次函数的平移规律求解即可 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为， 该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线， 则新函数的解析式为． 题型6 二次函数的平移问题（共3小题） 【易错】左加右减只针对 x；不要直接对整个式子加减，极易搞错 16．（26-27九年级上·北京海淀·期中）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加下减的平移法则，解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得，即； 再向下平移3个单位长度，得，即． 17．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点，则a的值是（    ） A． B．2026 C．2026 D．2029 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的平移规律，熟练掌握抛物线的平移规律是关键．利用“左加右减，上加下减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将已知点代入求解a的值即可． 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得． 故选：D． 18．（25-26九年级上·广西崇左·期中）把二次函数的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图像． (1)试确定、、的值； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)，， (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的图像性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像的顶点坐标为， 把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）二次函数，即的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型7 根据二次函数的性质求参数（共3小题） 【易错】注意二次项系数正负；自变量有范围时，最值不一定在顶点 19．（26-27九年级上·北京·开学考试）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 20．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 21．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 题型8 利用二次函数的对称性比较大小（共3小题） 【易错】比较前先转化点；距离对称轴远近，不能直接判断函数值 22．（25-26九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2) 根据题意得， ， ， ， ， 点，在抛物线上， ，， ， ， ， ． ． 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）根据点在抛物线上和求得，再根据抛物线的对称轴为可得答案； （2）根据点在抛物线上，结合，可得，把点，的坐标代入，利用差值法即可得到答案． 【详解】（1）根据题意得， 又， ， ， ； （2）略 23．（25-26九年级上·北京·期中）抛物线（）经过点，点，，在该抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)对称轴为 (2)，理由： ∵，开口向下，且对称轴为：， ∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大， ∵， ∴，，， ∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远， ∴． 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线函数关系式为：， 抛物线的对称轴为直线； （2）略 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． 24．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）略 题型9 二次函数与方程问题（共3小题） 【易错】判别式 Δ 决定交点个数；方程的根是抛物线与 x 轴交点横坐标 25．（26-27九年级上·全国·期中）若抛物线的顶点在第一象限，则方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题需要结合抛物线的图像与性质和一元二次方程根的判别式来分析，由题意得出抛物线顶点与轴的位置关系，即可判断方程根的情况． 【详解】解：抛物线开口向上，顶点为其最低点． 顶点在第一象限， 顶点的纵坐标大于，即抛物线的最低点在轴上方． 抛物线与轴无交点． 方程无实数根． 故选：C． 26．（25-26九年级上·广西百色·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 题型10 二次函数与不等式问题（共3小题） 【易错】看清不等号；区间端点是否可取，要看是否包含交点 28．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，已知二次函数（h，k为常数）的图象经过点，． (1)计算：__________，__________； (2)根据图象，当时，y的取值范围是__________； (3)当时，x的取值范围是__________． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）先根据二次函数性质得到对称轴，然后再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数性质求解即可； （3）分别求出当时和当时的取值，然后根据函数性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得； （2）解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是； （3）解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． 29．（26-27九年级上·北京·期中）已知：二次函数，与的一些对应值如表： … 0 1 2 4 … … 3 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数的解析式为_____； (2)表格中空白处的值_____，_____； (3)在给定的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (4)当时，，则的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)8，0 (3)如图， (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式； （2）把，分别代入求解； （3）用五点作图法作图即可； （4）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：由表格得，二次函数经过点，，， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：将代入得，， 将代入得，； （3）解：∵ 当时， 解得或 ∴二次函数和x轴的交点坐标为，， ∴列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … 作图略； （4）解：∵当时，， ∴由图象得，． 30．（26-27九年级上·北京·期中）设二次函数． (1)先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … (2)点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． (3)当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 【答案】(1)当时，； 列表得： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … 描点、连线得到二次函数的图象如下： (2)①；② (3) 【详解】（1）略 （2）解：①根据函数图象可得抛物线对称轴为直线， 若，则点与关于直线对称， ∴， 解得； ②若，则， 由函数图象可得：当时，；当时，， ∵，点，都在二次函数图象上， ∴，， ∴； （3）解：当时，解得， 根据函数图象发现，当时，二次函数有最大值；当时，， ∴当时，函数值的取值范围是，得到． 题型11 二次函数的实际问题（共3小题） 【易错】实际问题自变量有限制；最值不一定在顶点，要看取值区间 31．（2025九年级上·北京·专题练习）某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式． (2)求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题考查二次函数的实际应用（利润模型），涉及二次函数的解析式推导和最值求解（顶点式、公式法），运用建模思想将利润问题转化为二次函数问题．解题关键是正确推导利润函数，熟练掌握二次函数最值的求解方法；易错点是配方时符号处理错误，或忽略销售量为正的实际意义验证． （1）根据“利润 = （售价 - 进价）× 销售量”，代入进价40元、售价x元、销售量，推导得利润函数． （2）通过顶点式配方或公式法求二次函数的最大值： 顶点式：将配方为，由，得当时，w最大为1800元． 公式法：利用顶点横坐标公式，代入利润函数得最大利润1800元，再验证销售量，确认结果合理． 【详解】（1）由题意得，单件进价40元，单件售价元，销售量． ∴． 展开得：． ∴ 函数关系式为：． （2）方法一（顶点式）： ． ∵ ，∴有最大值． 当 时，（元）． 方法二（公式法）： ． ． 将 代入：（元）． 售价元，代入销售量，合理． 答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 32．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·广东东莞·期中）某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 题型12 二次函数的简单几何应用（共3小题） 【易错】坐标转长度勿忘绝对值；几何边长必须大于 0 34．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，试确定m的值，使得的面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式，可得点，，从而得到，再由结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把点、、代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 把、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是抛物线上的动点， ∴点，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积最大． 35．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，的值． (2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）由（1）知，二次函数的解析式为，设点的坐标为，结合几何图形的面积得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得； （2）由（1）知，二次函数的解析式为， 设点的坐标为． 的面积为，， ， ， 即或， 解得或， 或． 36．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 提升·进阶突破 题型13 二次函数的图象与系数的关系（共3小题） 【易错】对称轴公式记准；判断 a+b+c 等值，代入 x=1 看函数值 37．（24-25九年级上·北京海淀·期中）抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有_____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 38．（2025·四川内江·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：；；③当时，；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向确定,根据抛物线的对称轴位置确定，与y轴的交点确定，根据对称轴方程推出，由图象可知，当时，，从而确定，当时，，即，以此确定本题答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在y轴的右侧， ， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，，故②正确； 抛物线的开口向下,对称轴为直线， 当时的函数值是最大值， ， ，故③正确； 由题图可知 时，， ，故④错误． 故选：C． 39．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有两个根，，则．正确的结论是______（写序号）． 【答案】③④⑤ 【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵图形与x轴有两个交点， ∴， ∴， 故②错误； ③由函数图象可得，当时，，故③正确； ④当时，y最大，且， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵设方程的两根为， 则，故⑤正确， 故答案为：③④⑤． 题型14 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 【易错】多个结论逐个验证；不要凭图像直观猜想，需要代数推导 40．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 41．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知抛物线上两点M，N的横坐标分别为，，过点M作y轴的垂线，过点N作x轴的垂线，两条垂线交于点P． ①若，，求的长； ②当取，时，的长分别为，，若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①6；②或． 【分析】（1）根据抛物线的对称轴的公式计算即可； （2）①再分别求出M，N，P的坐标，以及的表达式，再将，代入求解即可；②分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为； （2）解：①当时，，则，过作轴的垂线，方程为 ； 当时， ，则，过作轴的垂线，方程为 ； ∴两垂线交点，， ∵， ∴ ∵，， ∴ ； ②∵，，， ∴， ∴， 情况1：​， 整理得： ， ∵ ， ∴， 要存在 满足 ，即，解得； 情况2： ， 令，解得或1， 则当时，；当时，； 又∵， ∴， ∴ 解得， 综上，a的取值范围为或． 42．（2026九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； (2)若该二次函数的图象经过点，求b的值； (3)当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）化成顶点式即可； （2）代入点的坐标计算即可； （3）用b表示函数的最大值和最小值，再求范围． 【详解】（1）解：， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：将代入二次函数得：， ∴； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线，， 当，即时， ∴当时，函数有最小值， ∴， 若，即时，当时，函数有最大值， ， 此时，符合题意； 当，即时，当时，函数有最大值， 此时， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴符合题意； 当，即时， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时函数有最大值， ∴，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， 综上：． 题型15 利用二次函数的图象与性质求参数（共3小题） 【易错】临界端点能否取到要单独判断；容易漏掉参数限制条件 43．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数图象上点的坐标特征、不等式的解法以及区间的包含关系，熟练掌握二次函数的性质、不等式的转化方法以及区间包含关系的条件是解题的关键． （1）直接运用二次函数的对称轴公式，代入抛物线表达式中的系数即可求出对称轴． （2）先将点代入抛物线解析式，结合化简不等式，得到关于的取值范围；再根据题意，将区间包含关系转化为不等式组，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线为， ， 对称轴， （2）解：点在抛物线上， ∴， ， ∴ ∴ ， ， ， ， ∵对于，都有， ∴， 由得， 由得， ． 44．（25-26九年级上·河南焦作·期中）定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． (1)若7是这个函数的“幸运数”，求的值． (2)若此函数有两个相异的“幸运数”、，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义得到抛物线经过点，将点代入求解即可； （2）由题意得抛物线经过点，并在直线上，令，根据求得，而，则当时，，即可求解． 【详解】（1）解：若7是这个函数的“幸运数”，则抛物线经过点， ∴将点代入，得， 解得：． （2）解：点、在直线上，设， 整理得， ∵函数有两个相异的“幸运数”、， ， 解得， 设， ，， 图象开口向上， 时，， 解得， 综上，的取值范围是． 45．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线经过． (1)用含的式子表示． (2)已知和是抛物线上的两点． ①若，当时，求的最大值； ②若对任意，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）把代入二次函数解析式整理即可求解； （）①当时，，得到抛物线解析式为， 根据二次函数的性质分别求出的最大值和的最小值，再相减即可求解；②分和两种情况，根据二次函数的性质分别求出的最小值和的最大值，再根据列出不等式解答即可求解； 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时， ∴的最大值为； ②∵， ∴， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，抛物线开口向上， 若，即时，的最小值为，随的增大而增大， ∴当时，的值最大，的最大值， ∵， ∴， 解得，不合题意； 若，即，此种情况不合题意； 当时，抛物线开口向下，对称轴为， 若，即时，的最小值为，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，的最大值， ∵， ∴， 解得； 若，即时，的最小值为，的最大值， ∵， ∴， 此时的最大值大于，不满足； 综上，的取值范围为． 题型16 二次函数的平移综合（共3小题） 【易错】平移只改变顶点位置，开口大小不变；区分图像平移与点平移 46．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． (1)求的值； (2)将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法求二次函数的解析式，理解题意并准确计算、分类讨论是正确解答此题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）分两种情况：①当时，根据在对称轴右侧随的增大而减小，，列不等式组；②当时，根据在对称轴左侧随的增大而增大，，列不等式组；分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中， 得：， 解得：； （2）解：将点向左平移2个单位长度即在抛物线上，记为， 对称轴：， 点关于对称轴的对称点为， 点关于对称轴的对称点为， ①当时，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， 解得：； ②当时，在对称轴左侧随的增大而增大， ， ， 解得：； 综上所述，或． 47．（24-25九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为 【分析】本题考查二次函数一般式化为顶点式及二次函数图象的平移，掌握配方法的方法是解答的关键． （1）利用配方法将二次函数一般式化为顶点式即可； （2）根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定如何平移后经过原点，进而可得另一个交点坐标． 【详解】（1）解：由得； （2）解：当时，由解得，， 则抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴将抛物线向右平移3个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为． 48．（2026·北京房山·二模）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)若抛物线经过点，求a和n的值； (2)若抛物线上存在两点和，． ①判断抛物线的开口方向，并说明理由； ②若，求a的取值范围 ． 【答案】(1)， (2) ①开口向上． ∵当，又对称轴为， ∴是抛物线的顶点， ∵，且， ∴点B在顶点A的上方， ∴抛物线开口向上， ② 【分析】（1）把代入，求得，从而得抛物线解析式为，再根据抛物线的对称轴为直线，即可求得． （2）①根据当，又对称轴为，得是抛物线的顶点，再根据，且，所以点B在顶点A的上方，即可得出抛物线开口向上； ②设，根据所以或，将抛物线平移，使其顶点落在坐标原点，根据平移a的值不变，平移后抛物线表达式为，此时，则或，将或代入得，即可得出． 【详解】（1）解：把代入得 ， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． （2）解：① 略 ②设， ∵ ∴或， 将抛物线平移，使其顶点落在坐标原点， 平移a的值不变，平移后抛物线表达式为， 此时， ∴或， 将或代入得， ∵，结合图象， ∴a的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，抛物线的平移．熟练掌握抛物线的图象性质是银题的关键． 题型17 二次函数与坐标轴的交点问题（共3小题） 【易错】与 y 轴交点只有一个；Δ＜0 时，抛物线和 x 轴无交点 49．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式；写出与坐标轴交点：__________________； (2)并在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；，，； (2)函数图象如图所示： (3)． 【分析】（1）用配方法进行变形即可，分别令，求与坐标轴的交点； （2）根据画函数图象的步骤依次列表，描点，连线； （3）观察图象，在直线和直线之间，确定函数的最大及最小值即可． 【详解】（1）解：， 当时，； 与轴交点为； 当时，， 解得，， 与轴交点为，； （2）列表： 描点：，，，， 作图略； （3）解：观察图象，在直线和直线之间， 函数最大值为，最小值为， 当时，的取值范围为． 50．（26-27九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)该二次函数化为顶点式为________； (2)该二次函数图象与轴的交点坐标为________，与轴的交点坐标为________； (3)在所给平面直角坐标系中，画出该二次函数的图象； (4)结合函数图象，直接写出： 当时，的取值范围为________； 当时，的取值范围为________． 【答案】(1) (2)，； (3)二次函数的图象如图所示； (4)或； 【分析】（1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答； （2）分别令，，即可求出函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）根据函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标，结合图象上其他点的坐标即可画出相应的函数图象； （4）根据函数图象即可确定对应的取值范围． 【详解】（1）解：； （2）解：对于二次函数， 令，得，解得或， ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为，； 令，得， ∴该二次函数图象与轴的交点坐标为； （3）解：对于二次函数，其顶点坐标为， 画出该二次函数的图象略； （4）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围为或； 当时，的取值范围为． 51．（25-26九年级下·福建福州·期中）已知二次函数（为常数，）． (1)若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点； (2)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程的判别式判断根的个数，先计算判别式，再结合条件，判断，从而证明方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个公共点； （2）先将抛物线解析式化为顶点式，得到抛物线的对称轴和顶点，当时，令顶点在轴下方，且区间端点、处的函数值均大于，列不等式组求解；当时，令顶点在轴上方，且区间端点、处的函数值均小于 ，列不等式组求解，最后合并两种情况，得到最终结果． 【详解】（1）证明：根据题意可知，， ， ，， ， 故该函数的图象与轴有两个公共点． （2）解：，可知该抛物线的顶点坐标为，对称轴为， 当，抛物线开口向上，若，则抛物线的顶点在轴下方，当和时，， ， 解得； 当，抛物线开口向下，若，则抛物线的顶点在轴上方，当和时，， ， 解得， 综上，的取值范围是或． 题型18 二次函数与方程综合（共3小题） 【易错】韦达定理使用前提 Δ≥0；根要满足题目自变量范围 52．（25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． 53．（25-26九年级上·江西新余·期末）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于的一元二次方程的两个根； (2)写出关于的不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点和对称性，利用函数图象解不等式等知识，数形结合是关键． （1）根据对称性求出抛物线与轴的另一交点，据此即可得到答案； （2）根据开口方向和与轴交点的横坐标进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为，对称轴为直线， 设另一交点为， 则，解得， 所以方程的两个根为 （2）由图抛物线开口向下，与轴交于和， 所以当或时，， 即不等式的解集为或 54．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数与不等式的关系，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标，令，求出对应的的值，即可得抛物线与轴的交点坐标； （2）根据当时，即二次函数图象在轴上方的部分，即可写出的取值范围； （3）将，联立，根据一元二次方程有两个不相等的实数根时即可求解． 【详解】（1）解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． （3）解：由得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 题型19 二次函数与不等式综合（共3小题） 【易错】多个函数比较时看清谁在上；解集不要漏掉或多写区间 55．（26-27九年级上·北京西城·期中）已知二次函数． (1)补全表格，用五点法画出这个二次函数的图象： … … … … (2)结合图象指出，当时，的取值范围________； (3)当时，结合图象直接写出函数的取值范围________； (4)求函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)填表如下： …… 0 1 2 3 …… …… 0 3 4 3 0 …… 二次函数图象，如图所示： (2)或 (3) (4)6 【分析】（1）完成表格，用描点法画出函数图象即可； （2）结合函数图象，即可获得答案； （3）根据函数图象，结合二次函数性质，即可得出答案； （4）根据函数图象先得出函数图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 填表略，画图略 （2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是或． （3）解：根据函数图象可知：当时，y取最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，函数的取值范围为； （4）解：根据函数图象可得：抛物线与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∴函数图象与两坐标轴的交点所围成的三角形的面积为： ． 56．（25-26九年级上·北京顺义·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (2)求该二次函数的图象与x轴交点； (3)当时，求x的取值范围； (4)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)， (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）该二次函数的图象的对称轴为直线，将代入，得，可得顶点坐标为． （2）令，求出的值，即可得该二次函数的图象与轴交点． （3）画出二次函数的图象，结合图象可得答案． （4）结合图象可得答案． 【详解】（1）解：该二次函数的图象的对称轴为直线． 将代入，得， 顶点坐标为． （2）解：令， 解得，， 该二次函数的图象与轴交点为，． （3）解：画出二次函数的图象如图所示， 由图象可知，当时，的取值范围为或． （4）解：将代入，得， 当时，的取值范围为． 57．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)将原抛物线向上平移个单位长度，当平移后的抛物线与轴有且只有一个交点时，求的值； (3)点，在原抛物线上，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移性质求解即可； （3）点，在原抛物线上，可得，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）， 平移后抛物线与轴有且只有一个交点， ； （3）点，在原抛物线上， ，， ， ， ，即， 当，时， 解得：， 当，时，无解， 综上的取值范围是． 题型20 销售问题（共3小题） 【易错】销量随价格变化；自变量有现实上限，顶点不一定可取 58．（26-27九年级上·北京西城·期中）某超市销售一种电子计算器，成本为每个40元，计划每个售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量（个）与每个售价（元）满足如下关系：（）．设这种电子计算器每天的销售总利润为（元）． (1)求与之间的函数表达式； (2)当售价为多少元时获得利润最大，最大利润是多少？ (3)如果物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元，该超市销售这种电子计算器每天计划获得600元的利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)（）． (2)当售价为60元时获得利润最大，最大利润是800元． (3)销售单价应定为50元． 【分析】（1）根据利润等于总收入减去总成本求解即可． （2）将一般式化成顶点式，根据二次函数的图象和性质结合x的取值范围即可得出答案． （3）根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最大值800． （3）解：根据题意可得出， 整理得：， 解得或， ∵物价部门规定这种电子计算器的销售单价不高于60元， ∴． 答：销售单价应定为50元． 59．（26-27九年级上·北京·期中）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 60．（25-26八年级下·福建福州·期末）清明节是我国的传统节日．这天人们都会以扫墓献花等方式来缅怀逝者．八年级小宇同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着清明假期赚点零花钱，他以8元束的价格从爸爸那里购入一批菊花，准备在清明节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种菊花日销售量y（束）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价元 16 18 20 22 日销售量束 24 20 16 12 小宇马上判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮助小宇完成下列问题： (1)y与x之间的函数关系式是：________． (2)当销售单价为多少元时，日销售利润为182元？ (3)当销售单价为多少元时，小宇获得的日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售单价为15元或21元 (3)当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元 【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据单束花的利润与销售量的乘积等于利润列一元二次方程求解即可； （3）设日销售利润为W元，列二次函数解析式，并根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意列方程：， 解得，， 答：当销售单价为15元或21元时，日销售利润为182元． （3）解：设日销售利润为W元， 则由题意知 ， ， 抛物线开口向下 当时，W有最大值200， 答：当销售单价为18元时，日销售利润最大，最大利润为200元． 题型21 图形问题（共3小题） 【易错】边长大于 0；图形存在隐含约束，不可直接套用顶点最值 61．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 62．（25-26九年级上·北京大兴·期中）在综合与实践活动中，某校数学兴趣小组研究了一个问题： 在一块直角三角形材料上按如图1方式剪出一个矩形，如何剪使这个矩形面积最大． 为了研究这个问题，建立如图2所示平面直角坐标系，点为线段上一动点（不与A，B重合），过点C向x轴，y轴作垂线，垂足分别为D，E，得到矩形，其面积记为S． (1)若，， ①根据图2中所给出的信息，写出C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式 ，并写出x的取值范围 ； ②图2中矩形面积 （用含x的式子表示）； ③当 时，矩形的面积最大． (2)若，（），则矩形的最大面积可表示为 （用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)①；；②；③2 (2) 【分析】本题考查了一次函数关系式的求解，二次函数解析式的求解，二次函数的实际应用，解决本题的关键是在于根据图形的性质建立函数关系式，并利用二次函数的性质求最值． （1）①根据，，可得点A与点B的坐标，由此可求解直线的函数关系式，由此可得； ②根据点C的坐标，可得与，再根据矩形面积公式代入求解即可； ③将矩形面积S的表达式整理为顶点式，由此可求解． （2）根据，（），可表示直线的函数关系式，再根据面积表达式求解最大面积即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得， 解得， ∴直线的函数关系式为， ∵点为线段上一动点， ∴C点的纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式， 且x的取值范围为， 故答案为：；； ②由①知，点， ∴，， ∴矩形面积； 故答案为：； ③， ∴当时，矩形的面积最大． 故答案为：2． （2）解：∵，（）， ∴点，点， 设直线的函数关系式为， 将点A与点B代入可得， 解得， ∴直线的函数关系式为， ∴点， ∴，， ∴矩形面积， 将该表达式转化为顶点式， 即， ∴当时，面积最大为． 故答案为：． 63．（24-25九年级上·北京顺义·期中）如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 题型22 拱桥、投球、喷水问题（共3小题） 【易错】合理建系简化计算；注意坐标正负，单位统一 64．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 65．（26-27九年级上·北京昌平·期中）“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． 如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． (1)以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式： (2)花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可把，代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，； 当时，； ∴的取值范围为． 66．（26-27九年级上·北京西城·期中）2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … (1)求与的函数表达式； (2)已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)①不能，理由： ，， ， 当时，， 守门员的最大防守高度为，， 若守门员选择原地接球，不能防守成功． ② 【分析】（1）根据表格设二次函数顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出时对应的高度，即可得解；②先求出当时对应的水平距离，进而求出守门员最少后退距离和所用时间，即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知，当和时，的值相同， 对称轴为直线， 顶点为， 设与的函数表达式为， 将，代入得，， 解得：， 与的函数表达式为； （2）解：①略 ②由题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 当时，， 解得：或， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，则舍去， 此时，即足球的飞行距离为，守门员最少后退， 足球飞行的水平速度为， 足球飞行的时间为， 守门员后退时间为 守门员成功防守的最小后退速度为． 题型23 二次函数的图象与性质综合（共3小题） 67．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线，得到关于的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 68．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与抛物线交于点M，与直线交于点N（特殊地，当点M，N重合时，线段的长为0）． (1)若，求线段的长； (2)已知实数m（），对于每一个确定的m的值，记时线段长度的最大值为t：点，，若存在，使得当时，都有成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出时点M和点N的坐标，再计算纵坐标差的绝对值即可得到线段的长度； （2）先写出长度关于p的表达式，分情况讨论的最大值变化规律，再根据t随m增大而增大的条件，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：当时，点， 将代入抛物线，得，即点， 将代入直线，得，即点， ∴线段的长为； （2）解：设，， 则，， ∴，其中， 令，得抛物线与直线交点的横坐标为和. 当时，，如图， ∴， 可表示为关于p的抛物线，图象开口向下，且对称轴， 即当时，线段有最大值，最大值为4； 当时，，如图， ∴，对称轴， ∴时，的长度随p的增大而增大， 令，解得或（舍）， ∴可知当时，的最大值为，随m的增大而增大， ∴满足条件的的最小值为． 69．（2026·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)求抛物线的对称轴； (2)点是抛物线上一点，且， ①直接写出的取值范围； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，记线段长度为．当取，时，的长分别为，，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】（1）根据抛物线的对称性计算即可得出结果； （2）①由抛物线的解析式可得抛物线开口向上，由抛物线的性质并结合题意得出，计算即可得出结果；②求出，，则，画出大致的函数图象，根据函数图象并结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：①∵抛物线， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线经过点，，，且， ∴， 解得； ②在中，当时，，即， 在中，当时，，即， ∴， 画出大致函数图象如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵当取，时，的长分别为，，若对于，都有， ∴由图象可得：，， 解得． 题型24 二次函数的平移压轴（共3小题） 70．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内（不包含边界）只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整点的定义并结合封闭图形区域逐一判断即可． 【详解】解：选项A，如图1，满足条件的整点个数为1个，故选项A不符合题意； 选项B，如图2，满足条件的整点个数为3个，故选项B不符合题意； 选项C，如图3，满足条件的整点个数为2个，故选项C符合题意； 选项D，如图4，满足条件的整点个数为4个，故选项D不符合题意． 71．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知抛物线经过点，将抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（），再次经过点A． (1)若时，求m的值． (2)求m与k的关系式． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求k的取值范围． 【答案】(1)0或3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论的数学思想的运用是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）求得平移后的函数解析式，根据题意得到，消去a即可求得； （3）根据对称轴直线，分对称轴在区间左侧、右侧、区间内三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得或， 故m的值为0或3． （2）解：抛物线向左平移k个单位长度，再向下平移k个单位长度（）后得到抛物线的解析式为， ∵平移后的图象也经过点， ∴， 消去a，得； （3）解：对称轴为直线． ①当时， 当时，y取最大值， 当时，代入得y取最小值， 所以， 解得（舍去）． ②当时， ．当时， 当 时，代入得y取到最大值， 当时，代入得y取到最小值， 所以，符合题意． ．当时， 当时，y取到最大值， 当时，y取到最小值 所以 解得（均舍去）． 综上所述，． 由，得． 72．（24-25九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数． (1)当时， ①这个二次函数的顶点坐标为 ； ②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围； (2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值． 【答案】(1)①；② (2)的值为或 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质以及平移，熟记二次函数的增减性是解本题的关键； （1）①把 代入即可求得解析式，把解析式化成顶点式，求得顶点坐标即可； ②根据二次函数的增减性得出 ，结合，求出m的取值范围解题即可； （2）求得抛物线的解析式，进而求得平移后的函数解析式，根据题意分情况得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ， ， ∴顶点坐标为：； ②∵二次函数的对称轴为直线， ∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ． （2）解：， ∴抛物线的顶点为 ， ①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ， ∴对称轴为直线，而， ∴当时，此时， ∵， ∴当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 当时，此时， 此时当时函数取得最大值， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ②若 ， ∵对称轴为直线，而，， ∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 题型25 二次函数的面积压轴（共3小题） 73．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 74．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，已知，是该抛物线上任意两点． (1)当时， ①求抛物线的对称轴； ②若，且，直接写出和的大小关系； (2)记的面积为，若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①抛物线的对称轴为直线；② (2)或． 【分析】（1）①将代入解析式后，直接用对称轴公式或配方法即可求解对称轴．②因为抛物线关于对称轴对称，所以如果两点横坐标之和确定，可计算两点到对称轴的距离，再结合抛物线开口方向，对称性和增减性就能比较两点纵坐标的大小． （2）先计算的长度，再根据三角形面积公式得到与的关系，因为，所以先求出该区间内的最大值，结合的条件，即可建立关于的不等式求解． 【详解】（1）解：① 当时，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线． ② 由，可得， 即连接两点的线段的中点横坐标为2.5，在对称轴的右侧． ∵，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且， ∴， 设点的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：令， 因式分解得， ∵， ∴解得， ∴． ∴三角形面积， ∵对任意都有， 即当时，抛物线上所有点M的纵坐标满足． ∵抛物线的对称轴同样为直线， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，S有最大值， 若，， 解得， 结合，得； 若，， 得， 解得， 结合， 得． 综上，或． 75．（2026·四川自贡·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 题型26 二次函数的角度压轴（共3小题） 76．（2026·四川雅安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 77．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（b，c为常数）与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)若P是该抛物线的对称轴上一点． ①当点P在第一象限，且是等腰三角形时，求点P的坐标； ②当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或或；②或 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、二次函数的图象和性质等知识，数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①分三种情况分别进行解答即可；②画出图形利用数形结合进行解答即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）①∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为，， ， ， ， 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则， 解得，或（不合题意，舍去）； 当时，， 则，解得， 综上可知，点P的坐标为或或； ②如图，以为邻边作正方形，分别以点为圆心，以的长为半径画圆分别交直线于点、，连接，根据圆周角定理可知，得到，即为所求的角， 如图，连接 由题意可知，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 综上可知，点P的坐标为或 78．（2025·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为 (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M是第四象限内抛物线上的一点，过点M作x轴的垂线，交直线于点N，求线段长度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； (2) (3)或 【分析】由抛物线，分别令，，则可确定抛物线与坐标轴的交点坐标，根据顶点坐标可确定点D的坐标； 设轴于点E，设，确定直线的解析式为，得到，继而得到，根据二次函数的最值可得结论； 确定直线的解析式为，然后分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为；理由如下： 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C， 当时，得， 解得：或， 当时，得， ，，， 抛物线， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为； （2）解：设轴于点E，设，如图1， 设直线的解析式为，将点B，点C的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 过点M作x轴的垂线，交直线于点N， ， ， ， 当时，线段的长度取得最大值，此时最大值为； （3）解：设直线的解析式为，将点B，点D的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ①如图2， ， ∴， 设直线的解析式为，将点C的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； ②如图3，设交于点G，作射线交于点F， ， ， ，， ， 垂直平分， 点F是的中点， 点F的坐标是，即， 设直线的解析式为，过点， ， ， 直线的解析式为， 直线：与直线：交于点G， 联立， 解得：， ， 设直线的解析式为，将点C，点G的坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的最值，待定系数法确定函数解析式，平行线的判定，二次函数与一次函数的交点，等角对等边，中点坐标，垂直平分线的判定和性质等知识点．掌握二次函数的性质、确定二次函数与一次函数交点坐标的方法是解题的关键． 题型27 二次函数的存在性问题（共3小题） 79．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，抛物线经过A、B两点，其中点A、C的坐标分别为，，抛物线的顶点为点D． (1)求点D的坐标； (2)点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当面积为15时，求点F的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得，然后将，的坐标代入抛物线的解析式求解即可； （2）先求得直线的解析式为，设，则， 根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，，根据是以为直角边的直角三角形，轴，即可得到分别过，作轴的平行线交点即为点，即分别令时，求抛物线交点横坐标． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点A、C的坐标分别为，， ∴， ∴， 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为点． （2）解：如图1所示： 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：． 所以直线的解析式为． ∵点E是直角三角形斜边上（除与抛物线对称轴交点外）的一个动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F， ∴设，则，且， ∴， ∴， 当面积为15时，， ∴， ∴， 解得， ∵且， ∴，此时， ∴； （3）解：在（2）的条件下，，， ∵是以为直角边的直角三角形，轴， ∴分别过，作轴的平行线交点即为点， 当时，， 解得（与重合舍去）， 此时； 当时，， 解得， 此时或； 综上，存在，点P的坐标为或或． 80．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 81．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为________；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为________． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 题型28 二次函数与相似综合（共3小题） 82．（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 83．（2026·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 84．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； （3）解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 题型29 二次函数的最值问题（共3小题） 85．（2026·山东济南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是轴上的两点，是函数图像上一动点，连接，．则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点P的坐标为，利用两点间距离公式可得，再代入中整理成顶点式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，是轴上的两点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为36，即选项B符合题意． 86．（2026·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为4 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，垂足为E，利用表示出四边形的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）直接利用对称点的性质得出M点位置，进而得出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点A，B， 则 ， 解得：； 故答案为：2；3； （2）令，则有，即有； ∵，，， ∴，，即，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由点P、Q的运动可知：，， 结合，可得：， 即：， 过点P作轴，垂足为H，如图， ∴，即， ∴ ， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，且， ∴即，， ∴当时，四边形的面积最小，最小值为4； （3）由（2）可知，当时，可得点P的坐标为（2，1）， 根据抛物线的对称性可知，点A，B关于对称轴：对称， 连接，与抛物线对称轴交于点M，点M即为所求， ∵，， ∴利用待定系数法可得直线的解析式为：， 当时，． 即点M的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最值问题，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 87．（25-26九年级下·甘肃金昌·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上是否存在点D，使的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)若点P是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线下方，当点移动到什么位置时能使的面积最大？求出此时点坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出抛物线的对称轴为直线，结合二次函数的性质可得点、关于对称轴对称，故对称轴上任意点满足，的周长，由为定值，只需要最小即可，由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点，求出直线的解析式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得直线的解析式为，作轴，交于点，连接、，设，则，，根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴， ∵， ∴点、关于对称轴对称， 故对称轴上任意点满足， ∴的周长， ∵为定值， ∴只需要最小即可， 由两点之间，线段最短可得，当点在直线上时，最小，即点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：由（2）可得直线的解析式为， 如图，作轴，交于点，连接、， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的面积最大，此时，即． 题型30 二次函数的新定义问题（共3小题） 88．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 89．（2026·江西赣州·一模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，如点为二倍点． 【定义理解】 (1)下列函数图像上存在二倍点的有__________．（填序号） ①；②；③ 【定义应用】 (2)已知二次函数 ①求该函数图像上的二倍点； ②直接写出不等式的解集； 【问题解决】 (3)无人机在各行各业都有广泛应用．某地利用无人机投放救灾物资，无人机投放物资包裹的竖直高度（米）与离投放点的水平距离（米）的关系为，当无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米，试判断该抛物线上是否存在二倍点，若存在，请联系以上情境说明该二倍点表达的实际意义． 【拓展提升】 (4)若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 (3)该抛物线上存在二倍点，为，其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米 (4) 【分析】（1）由题可知二倍点在直线上，再逐个判断与是否有交点即可； （2）①根据题意与联立求解即可判断； ②根据①中的二倍点直接写出解集即可； （3）先利用待定系数法求出，再与联立求解即可判断； （4）方法一：抛物线与联立，再两次运用二次方程根的判别式求解；方法二：同方法一，根据根的判定式得到，再参变分离求的范围． 【详解】（1）解：由题可知二倍点在直线上， ①把代入，得，无解， ∴直线上不存在二倍点； ②把代入，得， 整理，得， 当时，时，， ∴双曲线上存在二倍点； ③把代入， 得整理得， 解得时，， ∴抛物线上存在二倍点； （2）①解：由得， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， ∴该函数的二倍点为； ②或； （3）该抛物线上存在二倍点， ∵无人机在距地面20米的空中投放物资包裹时，包裹落地点距投放点的水平距离为5米， ∴抛物线过点， 将代入，得， ， ， 令， 解得或（舍去）， 此时， ∴该抛物线上存在二倍点，为， 其实际意义为无人机在距地面50米处投放物资包裹时，物资包裹落地点距投放点的水平距离为25米． （4）方法一：由题可知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得． ∵抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， ∵对于任意的常数b恒有两个二倍点， ∴可设关于的方程无解， 解得，即a的取值范围为， 方法二：易知二倍点在直线上， 将代入， 得， 整理，得， ∵抛物线对于任意的常数b恒有两个二倍点， ，对任意的常数恒成立， 即．对任意的常数恒成立， 即，对任意的常数恒成立， ， 令，知是关于的二次函数， 且开口向上，知当时，w有最小值且， ， ． 90．（25-26九年级上·北京通州·期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． (1)①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； (2)若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． (3)将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 【答案】(1)①，②，． (2)且 (3)或． 【分析】（1）①根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；②根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． 【详解】（1）解：①如图， ∴线段罩域的一个特征点． ②如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． （2）解：设点为的罩域特征点．依题意得：， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． （3）解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $