精品解析：江苏省南通中学2026-2027学年第一学期10月阶段考试高三数学试卷

江苏省南通中学2026—2027学年第一学期10月阶段考试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用复数的运算，得到，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点为，所以， 则，所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数，在内单调递增， 可知函数在内单调递增，可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式，余弦，指数，对数函数单调性并利用中间量可比较大小. 【详解】， ，， 从而，即. 5. 以下四个命题： ①函数最小值为； ②方程没有整数解； ③若，则； ④不等式的解集为. 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，直接求函数的解析式的范围即可判断，构造函数，根据函数单调性即可判断③，构造函数，利用函数单调性和特殊值，即可判断②④. 【详解】对于①，函数中， 由得，所以，①错； 对于②，由得， 设，因为和是增函数， 所以为递增函数， 又时，， 时，， 所以的解，②正确； 对于③， ， 设，则是增函数， 则，所以，③正确； 对于④，由得， 又时，，时，， 所以时，，④错. 故选：B 6. 已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件得出函数的对称性与单调性，再利用函数性质化简不等式求解. 【详解】由题意可得：，， 则关于对称，， 所以在上单调递增，等价于， 所以，即，所以． 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 在同一坐标系中作出和的图像： 令，由相邻交点的性质可得， 解得, 分别令，得到相邻三个交点的坐标， ，， 此时等边底边，高为， 又正三角形中，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人 C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分 【答案】ABD 【解析】 【详解】，，A对． ，即内的有15人，B对． 平均分，C错． ，这100名学生成绩的第60百分位数为80分，D对． 10. 正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（ ） A. 时， B. 时，为等差数列 C. 时，为常数列 D. 时， 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A：当时，且，所以，故A正确； 对于选项B：当时，则，，可得， 可得为定值，所以数列为等差数列，故B正确； 对于选项C：当时，则， 可得，所以数列为常数列，故C正确； 对于选项D：当时，则， 所以，当且仅当时，等号成立，故D错误. 11. 已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） A. 农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B. 月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C. 月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D. 农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【答案】CD 【解析】 【分析】结合椭圆的基本性质与三角函数的单调性、对称性，逐一分析各选项的正确性即可得答案. 【详解】选项A：农历第天对应，椭圆项分母为； 第天对应，项分母为， 二者不相等，椭圆形状不同，A错误. 选项B：椭圆长半轴，短半轴，半焦距， 椭圆上点到焦点距离最大值为， 由于为整数，，故最大值小于，B错误. 选项C：离心率， 当（对应第8天）时，最接近，此时取最大值， 即第8天离心率取最大值，C正确. 选项D：农历初六至初八对应，此时， 满足，正弦函数在上单调递增， 故，即离心率在区间内，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，将“直线恒不是曲线切线”转化为曲线导函数值恒不等于直线斜率，通过对应方程无实根求解参数范围. 【详解】函数的定义域为，对其求导得： ， 直线的斜率为，若该直线是曲线的切线，则存在实数，使得曲线在处的切线斜率等于， 即： 整理得； 题目要求对任意实数，直线都不是曲线的切线，即上述关于的方程无实根， 由于对任意实数，均有，故，因此要使方程无实根，需满足： 解得， 即实数的取值范围为. 13. 设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为______________，此时双曲线的渐近线的方程是__________________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到，，利用余弦定理得到，再根据基本不等式求最值；取最值时，再利用求解渐近线方程即可. 【详解】设椭圆与双曲线的交点位于第一象限（），椭圆和双曲线的离心率分别为和， 椭圆焦距为，长轴为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 由椭圆和双曲线定义可知，解得，， 因为，所以在中由余弦定理可得， 即，解得， 则，所以，整理得，即， 当且仅当，即时等号成立，故两条曲线的离心率之积最小为； 由，得，解得，即， 所以渐近线方程为. 故答案为：；. 14. 已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，结合几何关系判断出的最小值的位置，根据点到平面的距离公式及截面圆的几何特征求解即可. 【详解】以为圆心，以所在直线为轴，以所在平面为平面建立空间直角坐标系. 则，，，. 设点，则. ，，， ，，， 因为， 所以， 整理得，即点的轨迹为平面截球所得到的圆的圆周上. 又，，所以点在这个平面上. 所以的最小值即为与它在截面圆上投影的夹角，也即与截面圆过点直径的夹角. 设的最小值为. 球心到平面的距离， 截面圆半径为， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数、的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数可得，进而计算可求得，再结合求得； （2）由指数函数的性质可得在上单调递增，可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，解得，所以， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，即 因为，所以，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可得， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以， 因为对任意的，不等式恒成立，所以. 所以实数的取值范围． 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）求证：； （2）若，求的面积. 【答案】（1）在中，由余弦定理， ，所以. 又，由勾股定理的逆定理得. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由(1)知，，所以. 又， 所以. 由得. 设的面积为. 一方面； 另一方面. 由两式相等得，即. 又由余弦定理，. 所以，整理得，解得. 所以. 17. 已知正方体的棱长为，与相交于点，为四边形内一动点（包含边界）. （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值的最大值； （3）若到平面的距离为，到平面的距离为，满足，且的轨迹交平面于、两点，求的长. 【答案】（1）证明如下： 以为原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系 则、、、、、、， 因为为中点，所以， 所以，，， 所以 ，，所以，， 又因为，，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）设，则，且，，利用空间向量法可求得与平面所成角的正弦值的最大值； （3）解法一：证明出平面平面，平面平面，可知为点到直线的距离，为点到直线的距离，求出直线、的距离，利用点到直线的距离公式结合可求出点的轨迹方程，令，求出的值，即可求出的长； 解法二：设，，，利用空间向量中点到平面的距离公式结合可得出关于、的等式，令，解出的值，即可求出的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，为四边形内一动点， 设，则，且，，所以， 又因为，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，即时，等号成立， 所以当为时，与平面所成角的正弦值的最大值为. 【小问3详解】 法一：因为，，，、平面， 所以平面， 又平面，平面，所以平面平面，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以为点到直线的距离，为点到直线的距离， 在平面内，以为原点，直线所在直线为轴建立如下图所示平面直角坐标系， 设，因为，，则， 同理可知点，则直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以点的轨迹为焦点在轴或者轴的双曲线， 由题意可知，点为焦点在轴的双曲线交于、两点， 所以，令，所以，所以； 法二：由（2）设，，， 由（1）知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，，， 所以，取，可得， 因为，所以，， 所以，所以， 由题意令，，解得或（舍）， 所以. 18. 已知圆过，，且经过，其中一点． （1）求圆的方程； （2）若是圆上一点，满足，求实数的取值范围； （3）过轴上任意一点引圆的两条切线、，、为切点，是否存在异于的点，使得为定值？若存在，求出点；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：不存在异于点的点，理由如下： 任取轴上一点，过作圆的两条切线，切点记为， 用反证法：假设存在定点（），使得对于任意的实数，恒有其中为定值， 对于取定的，是确定的点对，仅仅交换这两个切点的记号，等式左边变为； 由于还是原来的点对，该值仍必须等于定值， 所以，，得到，即必有对任意成立， 所以，定点必须落在每一条切点弦的垂直平分线上 由切线的几何性质：圆心与圆外点的连线垂直平分切点弦，也就是的垂直平分线就是直线， 因此，点必须在每一条动直线上， 而当沿着轴运动时，直线是绕定点旋转的直线束， 这一直线束仅有的公共点就是，不存在异于的定点同时属于所有直线，产生矛盾. 所以不存在异于的点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）由题知三点共线，且圆心在上，故设，再结合求解即可； （2）将问题转化为圆与圆有公共点，进而结合圆的位置关系求解即可； （3）设轴上任意一点为，假设存在定点（），使得对于任意的实数，恒有其中为定值，进而根据切点地位对称性得，进一步得定点必须落在每一条动直线上，当沿着轴运动时，直线是绕定点旋转的直线束，这一直线束仅有的公共点就是，不存在异于的定点同时属于所有直线，产生矛盾，即可判断. 【小问1详解】 解：由，知，中点坐标为， 所以，线段的垂直平分线为，且三点共线 所以，圆过，，三点，且圆心在上， 设，于是，即 化简得，解得 所以圆心，半径， 所以，圆的方程为 【小问2详解】 解：因为， 所以，整理得：，即， 所以，由题意得：圆上存在点在圆内部或圆上， 所以，两圆的位置关系为相交或相切， 因为，圆心距 所以，两圆有公共点，需满足，即， 所以，，解得或， 所以，实数的取值范围为 【小问3详解】 略 19. 设定义域为的函数，对于，定义. （1）若，求； （2）若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 【答案】（1） （2） 存在，. （3） 对任意，，其中、均是上的恒正函数. 必要性： 因为对任意成立，所以， 即与成对出现在集合中，故. 当时，，从而， 所以且. 充分性： 不妨设，取满足（*）， 则， 而，，所以， 则，即，与（*）矛盾. 同理可证时也矛盾. 所以对任意，都有，得证. 【解析】 【分析】（1）根据题得到不等式，化简并解一元二次不等式求得； （2）根据新定义构造函数，利用导数研究不同情况下的单调性，结合图象，利用数形结合思想研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）利用对称性，结合新定义的意义，证明必要性；利用反证法，构造适当推出矛盾，证得充分性. 【小问1详解】 由题设，将化简得， 解得，故. 【小问2详解】 因为，代入定义得：， 构造函数， 求导得. 当即时，存在，， 所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，时，， 故当且仅当时，是一段闭区间，因此， 特别地，当时，，故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，. 同理，是函数的极小值点，且取得最小值，同样时，， 所以当且仅当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的a，且. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：小问（3）关键点： 首要的要分清条件和结论，明确必要性和充分性指的是从谁推谁； 其次，在必要性的证明中利用对称性得到与成对出现在集合中，得出，进而进行证明是关键； 最后，在证明充分性的过程中使用反证法，并构造合适的推出矛盾是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通中学2026—2027学年第一学期10月阶段考试 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 以下四个命题： ①函数最小值为； ②方程没有整数解； ③若，则； ④不等式的解集为. 其中真命题的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校100名学生参加唱歌比赛，成绩均在内，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.035 B. 成绩在区间内的有15人 C. 这100名学生成绩的平均数小于70分 D. 这100名学生成绩的第60百分位数为80分 10. 正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（ ） A. 时， B. 时，为等差数列 C. 时，为常数列 D. 时， 11. 已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（ ） A. 农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B. 月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C. 月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D. 农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知存在实数，满足对任意实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是________． 13. 设是椭圆与双曲线的公共焦点，为它们的一个公共点，且，则这两条曲线的离心率之积最小为______________，此时双曲线的渐近线的方程是__________________. 14. 已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数、的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16. 如图，在平面四边形中，，，. （1）求证：； （2）若，求的面积. 17. 已知正方体的棱长为，与相交于点，为四边形内一动点（包含边界）. （1）若是的中点，证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值的最大值； （3）若到平面的距离为，到平面的距离为，满足，且的轨迹交平面于、两点，求的长. 18. 已知圆过，，且经过，其中一点． （1）求圆的方程； （2）若是圆上一点，满足，求实数的取值范围； （3）过轴上任意一点引圆的两条切线、，、为切点，是否存在异于的点，使得为定值？若存在，求出点；若不存在，请说明理由． 19. 设定义域为的函数，对于，定义. （1）若，求； （2）若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $