精品解析：浙江余姚市第四中学2026-2027学年高二上学期第一次比学赶超学习竞赛高二数学试题卷A卷

余姚四中2026学年第一学期第一次比学赶帮超学习竞赛高二数学试题卷A卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出斜率，再结合倾斜角的范围得出倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 设倾斜角为，所以， 所以. 故选：C. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，因此共面，A不是； 对于B，，因此共面，B不是； 对于C，，因此共面，C不是； 对于D，假设共面，显然不共线， 则存在使得，即， 于是共面，与构成空间的一个基底矛盾，假设错误， 因此不共面，D正确. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分必要条件的判定，第一步正向判断充分性，第二步逆向判断必要性. 【详解】当时，直线：，直线：，斜率相等都为,所以两直线平行，即充分性成立；当直线：与直线：平行时，直线的斜率在时不存在，而此时直线的斜率存在，即不满足，由两直线平行斜率相等得或，所以不必要. 故选：A. 5. 已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出右焦点坐标及渐近线，再利用点到直线距离公式计算求解. 【详解】双曲线：的右焦点为， 渐近线为， 则点到直线的距离为． 点到直线的距离为． 所以到的两条渐近线的距离之和为. 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 7. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 8. 在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】空间中两点之间的距离，先求出两点的轨迹方程，转化为一个正方形上的点与圆上的点的距离问题进行求解. 【详解】设 由题意可得， ， 点的轨迹为， 平面，平面， 平面， 与相似， ， ， ， 整理得：点的轨迹方程为，，即， 在平面中作出的轨迹， 设点的轨迹与轴交于两个点分别为， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，与轴交于两个点分别为， 所以， 如图所示，结合图象可得：， ， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分． 9. 设方程则下列说法正确的是（ ） A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B选项，将的值代入方程即可判断；对于C，由椭圆方程特点可分析取值范围；对于D，由双曲线方程特点可分析取值范围. 【详解】选项A：当时，方程C化为，即，表示x轴，故A正确； 选项B：当时，方程C化为，表示以原点为圆心、半径为1的圆，故B正确； 选项C：当时，方程C化为， 当时，方程表示圆，并非椭圆，故C错误； 选项D：当时，、， 方程C化为，表示焦点在x轴上的双曲线； 当时，、， 方程C化为表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确. 故选：ABD 10. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，，，，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题以空间向量基本定理为核心，选择恰当的基底，将几何问题全部转化为向量的代数运算，数量积来计算定值，点到直线的距离公式，基本不等式求最值等. 【详解】 对于A选项，当点为棱的中点时， 故A选项错误. 对于B选项，当时， ， ， 四点共面,故B选项正确. 对于C选项，当时， 因为三棱柱棱长为1，， 所以上式故C选项正确. 对于D选项，当时， 在上的投影长度为 点P到的距离， ，， 当且仅当时，等号成立，有最大值， 当有最大值时，有最小值， 的面积 所以面积的最小值为故D选项错误. 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的斜率为 B. 若为等边三角形，则 C. 若，则直线的倾斜角为 D. 若的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求得p值，设直线l方程并与抛物线联立，由韦达定理得表达式，根据焦半径求出A点坐标，代入斜率公式判断A；根据条件求直线l的斜率，进而求出的值，由弦长公式，即可判断B；由与韦达定理联立求出的值，即可判断C；根据面积公式，求出的值，再求出和结合韦达定理，计算即可判断D. 【详解】依题意，抛物线的准线方程为，解得， 则抛物线C的方程为，， 设直线l的方程为， 联立，得， 则， 选项A：由抛物线定义，得， 代入抛物线方程得，即， 又，所以的斜率，故A正确； 选项B：若为等边三角形，则直线l的倾斜角为，斜率为， 即，解得， 所以，故B正确； 选项C：直线l的方程为，令，得， 则， 因， 由，得， 整理得，由，得， 又，所以，解得， 则直线的斜率，故C错误； 选项D：若的面积， 又，解得， 又，所以， 同理， 则 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 13. 若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线方程可知直线恒过点，要使直线与椭圆恒有公共点，需在椭圆上或椭圆内，注意椭圆的参数范围，进而求得的范围． 【详解】直线恒过点， 由直线与椭圆恒有公共点， 所以在椭圆上或椭圆内， 又椭圆且． 故实数的取值范围是． 14. 曲线围成的图形的面积是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可. 【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆， ∴， 故围成的图形的面积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）当直线的倾斜角时，求的取值范围； （2）若的边上的高所在直线的方程为，求的边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由倾斜角求斜率范围，再由两点式有，即可求参数范围； （2）由在上求得，求出的中点，应用两点式求直线的方程. 【小问1详解】 ∵， ∴， 由，得， 即的取值范围是. 【小问2详解】 ∵在边上的高线上， ∴，可得，故， ∴线段的中点为， ∴的边上的中线所在直线为，化一般式为． 16. 已知圆和圆，动圆P与圆外切，同时与圆相内切． （1）求动圆圆心P的轨迹方程； （2）过点作直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且线段MN的中点到y轴的距离为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）由动圆P与圆外切，与圆的外切，可得，，，故有，利用椭圆定义，可求动圆圆心的轨迹方程． （2）设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合条件列出等式，求得答案. 【小问1详解】 设点坐标为，动圆半径为． 可知，，， 因为动圆与圆外切，与圆的内切， 所以，，, 故有, 由椭圆定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆， 则 ， 故椭圆方程为：； 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，直线方程为 ， 此时段MN的中点到y轴的距离为2，不符合题意， 故直线l的斜率一定存在， 设 ， 联立 ，可得 ， 则 ， 由题意可得，解得 ，满足 ， 故直线l的方程为 即 或。 17. 如图，在三棱柱中，平面， 分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题设易证，，两两垂直，构建以为原点，为x、y、z轴正方向空间坐标系，根据已知确定点坐标，进而求直线方向向量与平面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求直线与平面所成角的正弦值； （2）应用等体积法，由求到平面的距离. 【详解】（1）由平面，则在三棱柱中平面， 由面，故，，又， ∴，，两两垂直，故可构建以为原点，为x、y、z轴正方向空间坐标系， ∴，则，，， 若是面的一个法向量，则，令，有， ∴，故直线与平面所成角的正弦值为. （2）由，由（1）易知：，到面的距离为， 若到平面的距离为，又，，则， ∴，可得. ∴点到平面的距离为. 18. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3， 即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． 【小问2详解】 点，设． 此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． 【小问3详解】 设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，. 由题意：． 又，所以． 又因为，， 代入化简得：． 即． 又，故． 即，解得：． 19. 如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面上的射影为点． （1）若四边形是矩形，求； （2）若，． ①若，求直线与平面所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，求（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的判定、性质推理证明点在的中垂线上即可. （2）①以的中点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值和线面角的正弦值，进而求出线面角的最大值；②由①确定点的轨迹，进而求出离心率的表达式. 【小问1详解】 在三棱柱中，取中点，中点，连接， 由四边形为矩形，得，且， 由，，得，则，且， 而，且平面，则平面，又平面， 因此平面平面，由，得点平面， 点在平面上的射影落在直线上，所以. 【小问2详解】 取的中点，连接，由（1）知，作直线平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， ，由， 得，即， 设直线与平面所成角为，则， 设平面的法向量为，则，取，得， 平面的法向量为，由二面角的平面角为， 得，即， 当时，，整理得， 设与平面所成的角为，则 ，而， 因此，当且仅当时取等号，又在上单调递增， 则，所以直线与平面所成角的最大值为. ②由①得，整理得， 则的坐标满足：且， 方程在空间表示圆柱，而表示如图所示的平面， 两者的截面为椭圆，其短轴长为，而点的轨迹所在平面与圆柱底面的夹角为， 该椭圆长轴在圆柱底面上的投影为底面圆的一条直径，则该椭圆长轴长为， 所以离心率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚四中2026学年第一学期第一次比学赶帮超学习竞赛高二数学试题卷A卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“直线：与直线：平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是双曲线的右焦点，则到的两条渐近线的距离之和为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在空间直角坐标系中，点，，定义．如图，正方体的棱长为，，平面内两个动点，分别满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错误的得0分． 9. 设方程则下列说法正确的是（ ） A. 时，方程 C表示一条直线 B. 时，方程 C表示圆 C. 时，方程 C表示椭圆 D. 或时，方程C表示双曲线 10. 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当点为棱的中点时， B. 当时，，，，四点共面 C. 当时， D. 当时，面积的最小值为 11. 已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过的直线与交于A、B两点（在第一象限），与准线交于，过A、B分别向的准线作垂线，垂足分别为，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则的斜率为 B. 若为等边三角形，则 C. 若，则直线的倾斜角为 D. 若的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 13. 若直线与椭圆总有公共点，则实数的取值范围为________ 14. 曲线围成的图形的面积是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）当直线的倾斜角时，求的取值范围； （2）若的边上的高所在直线的方程为，求的边上的中线所在直线的方程． 16. 已知圆和圆，动圆P与圆外切，同时与圆相内切． （1）求动圆圆心P的轨迹方程； （2）过点作直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且线段MN的中点到y轴的距离为，求直线l的方程． 17. 如图，在三棱柱中，平面， 分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 18. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． （1）求抛物线E的标准方程； （2）若直线l过点T，求的面积； （3）若直线平分，求直线l的斜率． 19. 如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面上的射影为点． （1）若四边形是矩形，求； （2）若，． ①若，求直线与平面所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，求（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $