浙江省余姚中学2026-2027学年高二上学期10月质量检测数学试题

余姚中学2026学年第一学期10月质量检测高二数学试卷 说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分． 考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是 A． B． C． D． 2．若向量，，不共面，则下列选项中的三个向量不共面的是 A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知在平面内，，是两个定点，是一个动点，则“为定值”是“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 5．已知点关于直线对称的点在圆：外，则实数的取值范围是 A． B． C． D．或 6．已知点满足，，则的最小值为 A． B． C． D． 7．设双曲线（，）的左右焦点为，，过的直线与双曲线右支交于，两点，设中点为，若，且，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，，，则 A． B．与同向的单位向量是 C．是平面的一个法向量 D．在上的投影向量的模为 10．如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则 A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 11．已知曲线：，则 A．曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B．曲线恰有八条对称轴 C．过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D．曲线所围成的封闭图形的面积满足 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在空间直角坐标系中，经过点且方向向量为（）的直线方程为，已知空间中一条直线方程为，则点到直线的距离为__________． 13．若圆与圆（）的公共弦长为，则__________． 14．过抛物线：的焦点作直线交抛物线于、两点，以、两点为切点作抛物线的切线，两条切线交于点．当时，直线的方程为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知向量，，是空间中不共面的三个向量，，，（，）． （1）若（），求，的值； （2）若，，，四点共面，求的值． 16．（本题满分15分） 已知中，，，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值． 17．（本题满分15分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． （1）求的周长； （2）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标； （3）设点与点关于原点对称，点在椭圆上运动，若直线的斜率，求直线的斜率的取值范围． 18．（本题满分17分） 如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分17分） 已知双曲线的中心为坐标原点，左、右顶点分别为，，虚轴长为6． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与的右支交于，两点，若直线与交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上；（ⅱ）若直线与交于点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2026学年第一学期10月质量检测 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D C C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．1 14．（答案或均给5分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） （1）由题可得， ， 2分 因为，所以， 4分 所以解得所以，的值分别为2，． 6分 （2）因为，，，四点共面，所以存在，，使得， 8分 即， 故 10分 所以，即的值为． 13分 16．（本题满分15分） （1）设，由，得， 2分 整理得到， 5分 又点不能在轴上，所以点的轨迹的方程为． 6分 （2）由题意可得，当到轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时， 8分 所以，所在直线方程为，即， 10分 又圆心到直线的距离， 12分 半径，可得． 15分 17．（本题满分15分） （1）由已知：的周长为． 3分 （2）因为点在椭圆上且在第一象限内，，则，，． 所以直线：． 4分 设，因为，所以点到直线的距离等于点到直线距离的3倍． 由此得， 则或． 6分 由得，此方程无解； 8分 由得，解得或． 代入直线方程，对应分别得或． 因此点的坐标为或． 10分 （3）设，，则且 因为 13分 又， 所以，即直线的斜率的取值范围为． 15分 18．（本题满分17分） （1）由题意知，，，， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系． 2分 则，，，，， 所以，，得，所以． 4分 （2），，，，，，， 得，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，故平面的法向量为， 6分 故，即与平面所成角的正弦值为． 9分 （3）设， 10分 由（1）（2）知，，所以， 得，解得，即，所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，，故平面的一个法向量为， 12分 又平面的一个法向量为， 故， 14分 整理得，由，得， 即当点为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为， 16分 此时，即． 17分 19．（本题满分17分） （1）设双曲线的标准方程为（，），依题意有：，， 2分 ，所以双曲线的方程为：． 4分 （2）（ⅰ）证明：设直线方程为：，设， 联立方程，消去得， ，，，① 6分 直线：，直线：， 7分 联立方程得， 由①，得 10分 解得，故点在定直线上． 11分 （ⅱ）由双曲线对称性可知，点也在直线上，设，， 点在直线上，所以， 点在直线上，所以， 13分 所以 15分 ， 所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 余姚中学2026学年第一学期10月 质量检测高二数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 [o] [o] [o] [0] [o] [0] [o] [0] [o] [o] [o] [o] 缺考标记 [] [1] [1] 「17 「11 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [ [3] [3] [31 [3] [31 [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] 4 [4] 「41 [4] [4] [4] [4] [5 [5] [5] [5] [5] I5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] 6] [6] [6 [6] L6] [6] [6] [6] [6] [6] [71 [7] [7] [71 [7 7 [7] 「71 [7 [7] [7] [7] [8] [8] [8] R 8] 8] 8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] (97 [9] [9] [9] [9] 9] [9] [9] [9] 9] 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚： 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选 错的得0分： 9[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 18.(17分) A M D B -=- 囚■囚 ▣ 19.(17分)