4.6 函数的应用（二） 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.6 函数的应用（二）　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 把六类函数当工具箱，按实际问题的变化方式取用 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 认识一次函数、二次函数、指数型、对数型、幂函数型、分段函数六类常见模型，能说出各自刻画的变化方式； ② 掌握建模四步：审题、建模、求模、还原，会写出解析式并注明定义域； ③ 会用已知模型定参数、求特定值，会画散点图挑选模型并拟合； ④ 会在分段函数模型下分段求最值，并检验结果是否符合实际意义。 重点 建模四步；指数型、对数型、分段函数三类模型在实际问题中的应用。 难点 从文字叙述中理出变量关系并选定模型；分段函数在定义域的实际限制下求最值。 二、情境引入：三个真实问题，三种不同的工具 先看三个身边的问题。 第一个：手机电量 100%，每小时掉 8%，x 小时后还剩多少？答案是 ，每小时固定少 8%，用一次函数就够。 第二个：一条消息先传给 3 个人，这 3 个人每人再传给 3 个人，如此下去，传了 x 轮后有多少人收到？答案是 ，每传一轮就乘 3，用指数函数。 第三个：声音的强度翻 10 倍，人耳听起来的等级只加 10 分贝。强度翻得再多，等级也只加一点点——这种「涨得越来越慢」的规律，要用对数函数。 三个问题都是「求一个量随另一个量变化」，但变化方式完全不同：一个均匀增减，一个成倍猛涨，一个越涨越缓。上一节比的是「谁快谁慢」，这一节反过来做——给定一个实际问题，先看它的变化方式，再从函数里挑一个合适的模型，定出参数，算出答案。 三、常见的函数模型 把初中学过的和本章新学的函数整理成六类模型，它们各自刻画一种变化方式： 函数模型 解析式 变化方式 典型情境 一次函数模型 均匀增减，图象是直线 按件计费、匀速行驶 二次函数模型 有增有减，存在最值 定价利润、围地面积 指数型模型 y=b·+c 成倍变化，越往后越陡 复利、增长率、细胞分裂 对数型模型 y=m·+n 增长越来越缓 分贝、地震震级、感觉量 幂函数型模型 y=a·+b 随幂指数的取值而变 面积体积、管道流量 分段函数模型 分区间给不同式子 规则随区间改变 出租车计价、阶梯水价 表中 、、、、、 都是常数，且二次函数中 、指数型与对数型中 且 。指数型模型里的 叫底数，它和 1 的大小关系决定函数是越来越大还是越来越小。 四、建立函数模型的基本过程 用函数解决实际问题，走的是固定的四步。 图 1　建立函数模型的基本过程 第一步 审题。把题目读两遍，找出哪些量在变、哪些量不变，理清它们之间是加减、乘除还是成倍的关系，心里先有个模型的样子。 第二步 建模。设好自变量与函数，把文字翻成符号，写出解析式——这一步必须同时写清定义域，因为年数、件数、人数都受实际意义限制。 第三步 求模。解方程、解不等式，或者用函数的单调性、二次函数的顶点求最值。求最值之前要先看顶点是否落在定义域内。 第四步 还原。把算出来的数放回实际情境里：换成题目要求的单位，检查是否符合常识，最后用一句完整的话回答问题。 三条铁律： ① 解析式后面一定要跟定义域，不写定义域的答案不完整； ② 算完必须回头检验，比如人数不能是小数、时间不能是负数； ③ 答案要带单位，题目问「多少万元」就不要只写一个数字。 五、应用已知模型：分贝与声音强度 有些问题已经把模型给出来了，只是式子里带着未知的常数，要先用题目给的两组数据把它定下来。分贝就是典型。 声音的等级用分贝（dB）表示，0 dB 是人刚好能听到的最弱声音。设强度为 的声音对应的等级为 dB，科学家发现它们满足 ， 其中 是最弱声音的强度， 是待定常数。已知正常说话约 60 dB，嘈杂马路约 90 dB，而 90 dB 的声音强度正好是 60 dB 的 1000 倍。 把两组数据同时代入，让两式相减，未知的 就消掉了： ， 而 ，所以 ，即 。于是 。 现在可以回答：喷气式飞机起飞时约 150 dB，它的强度是正常说话的多少倍？ 由 =150 得 =15，即 ；同样可求正常说话的强度满足 。两式相除得 也就是十亿倍。这就是为什么飞机起飞时必须捂住耳朵。 图 4　声音强度与等级的分贝刻度 从图上能直接读出一句话：等级每加 10，强度就乘 10；等级加 30，强度就乘 1000。这正是对数模型的样子——自变量成倍地涨，函数值才均匀地加。 六、成倍增长与逐步衰减 指数型模型有两个方向，取决于底数比 1 大还是比 1 小。设原来的量为 ，每年变化的比率为 （），三种常见写法如下表： 情形 解析式 底数 变化方向 每年增长 y=N 比 1 大 越来越大，越往后越陡 每年减少 y=N 比 1 小 越来越小，越来越慢地趋于 0 每 T 年减半 y=N× 等于 0.5 越来越小，每 T 年恰好减一半 举个例子：200 万立方米的木材，年递增 5%，x 年后就是 万立方米；一台 50 万元的设备每年折旧 12%， 年后就值 万元。同一个式子的形状，底数一个比 1 大、一个比 1 小，方向正好相反。 图 3　成倍增长与逐步衰减的对照 看图 3 要抓住三点：底数比 1 大，曲线越来越陡，函数值会成倍地翻；底数在 0 与 1 之间，曲线越来越平，无限接近 0 但不会等于 0；底数离 1 越远，变化得越快。左边那条虚线和红线起点相同，一个每年固定加 10，一个每年乘 1.05，几十年后差距就拉得很大。 七、拟合模型：先画散点图，再定模型 更多时候题目不给模型，只给一张数据表。这时要先看形状再定模型，一共五步：画散点图 → 看形状 → 选模型 → 取点定参数 → 回代检验。 某经营者试销 A、B 两种商品六个月，逐月的投资额和纯利润如下表。他准备下个月投 12 万元，想知道怎么分配才最合算。 投资额（万元） 1 2 3 4 5 6 A 种纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40 B 种纯利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51 画图之前，先在心里过一遍这两列数。A 种从 0.65 一路升到 2.00，又降回 1.40，先升后降，像一条开口向下的抛物线；B 种从 0.25 稳步升到 1.51，每多投 1 万元大约多赚 0.25 万元，像一条直线。形状先定下来，模型就定下来了。 这个判断很关键。一看是直线，就选一次函数，两个点就能定下参数；一看有最高点，就选二次函数，把顶点和另一个点代进去；点排成越来越陡的曲线，考虑指数型；越来越平缓，考虑对数型。形状判错了，后面算得再准也白费。 拿点也有讲究：优先取顶点、起点、与网格线交得最正的点，这些位置的读数误差最小。本例 A 种取 作顶点、 作所过点；B 种取 与 两点，都属于这一类。 图 2　A、B 两种商品的散点图与拟合模型 先看 A 种。六个点先升后降，在第 4 个月达到最高，形状是一条开口向下的抛物线，所以选二次函数模型。把最高点取作顶点 ，设 ，再代入一个点 ： ，解得 ，所以 。 再看 B 种。六个点几乎排成一条直线，选一次函数模型。取 与 两点代入 ，解得 、，所以 。 要注意：拟合不要求曲线穿过每一个点，只要它能反映数据的大致走势，个别点的偏差是正常的。图 2 中 A 种的第 2、5、6 个点就都稍稍偏离曲线。 八、分段函数模型 有些问题的收费规则在不同区间里不一样，这时不能用一条式子包打天下，必须分段写。出租车计价就是最常见的例子：起步价 8 元，含 3 千米；超过 3 千米的部分，每千米加收 2 元。 设行驶 千米应付 元，则 当 时，； 当 时，。 再比如阶梯水价：每月用水不超过 10 吨，每吨 3 元；超过 10 吨的部分，每吨 5 元。设用水 吨，水费 元，则 当 时，； 当 时，。 写分段函数有四个要点：① 先找出规则改变的分界点；② 每段单独写解析式，把该段的定义域写在旁边；③ 各段定义域首尾相接，既不重复也不遗漏；④ 求最值时先分段求，再把各段的结果放在一起比较大小。 九、典型例题 例 1　对数型：地震能量相差多少倍 地震释放的能量 （单位：焦耳）与里氏震级 满足 。一次 8.0 级地震释放的能量，约是一次 7.5 级地震的多少倍？ 解：分别代入两个震级。 ，。 两式相减： ， 所以 。 答：8.0 级地震释放的能量约是 7.5 级的 5.6 倍。震级只差 0.5，能量却差出好几倍——这正是对数模型「数值小变化、实际大变化」的特点。 例 2　指数型：设备折旧到多少 一台设备原值 50 万元，每年按 12% 折旧。（1）写出 年后设备价值 （万元）与 的关系式；（2）大约几年后价值低于 20 万元？ 解：（1）每年剩下原来的 ，所以 ， 取正整数。 （2）由 得 。两边取常用对数，注意 ，不等号要变向： 。 所以取 。验证： 万元，还高于 20 万元； 万元，已经低于 20 万元。 答：第 8 年后价值低于 20 万元。这里容易错的一步是取对数后不等号的方向——底数小于 1，对数也是负的，除过去必须变号。 例 3　二次型：12 万元怎么分 接第七节的 A、B 两种商品。设下月投给 A 种 万元，则投给 B 种 万元，总利润 （万元）： ， 即 ，。这是开口向下的二次函数，顶点横坐标为 ， 落在定义域内，所以最大值在顶点处取得： 。 答：下月把 12 万元中的 3.2 万元投给 A 种、8.8 万元投给 B 种，可获得最大利润约 4.1 万元。 例 4　分段型：租金定多少最赚钱 某车行出租自行车，每辆日租金 元（ 取整数）。当 时每天能租出 50 辆；当 时，每超过 1 元就少租出 3 辆。每日管理费用 115 元，设日净收入为 元。（1）写出 与 的关系式；（2）租金定为多少元时，日净收入最多？ 解：（1）当 时， ，由 得 ，故 。 当 时，能租出的辆数为 ，所以 ， 由 得 ，解得 ，故 。 （2）当 时， 随 增大而增大，所以 时 。 当 时， 的顶点横坐标为 ， 取整数，比较 与 ： 时 ； 时 。 因为 ，所以租金定为 11 元时日净收入最多，为 270 元。 两个坎：分段时把「收入大于管理费」写进定义域；顶点 不是整数，要比较相邻的两个整数。 图 5　按数据形状挑选函数模型 十、易错警示与改错提醒 易错点 错在哪里 正确做法 解析式后不写定义域 只写一个式子，不说自变量取什么值，年数、件数都成了小数 定义域受实际限制，须注明 增长与减少用错底数 每年增长 12%，把底数写成 0.88；每年减少 12%，又把底数写成 1.12 增长用 1+p，减少用 1−p 二次最值不管区间 顶点不在定义域内，仍照抄顶点函数值 先算顶点横坐标，看不看落在定义域内 分段端点重复漏空 两段都写「小于等于 3」，或者 3 到 4 之间没人管 各段首尾相接，不重不漏 还原时单位没换 题目问「多少万元」，答案却写成 3000 答案带单位，核对常识 改错要改到点上：① 式子写完，先问一句「自变量能取哪些值」；② 增长用加法算底数，减少用减法算底数，别把两个弄反；③ 求最值前先看顶点在不在区间里；④ 分段函数把每段的定义域写全，最后检查首尾是否接上；⑤ 答案最后一行必须是带单位的完整句子。 十一、巩固练习 1. 某商品每件 20 元，买 件的总价为 ，买 15 件需＿＿＿＿元。 2. 函数 的最大值是＿＿＿＿。 3. 1 个细胞每小时分裂成 2 个，5 小时后共有＿＿＿＿个。 4. 1000 元存入银行，年利率 2%，按复利计算，3 年后本息共＿＿＿＿元（精确到分）。 5. 地震能量与震级满足 ，当 时 =＿＿＿＿。 6. 出租车起步价 8 元（含 3 千米），超过 3 千米的部分每千米 2 元。行驶 10 千米应付＿＿＿＿元。 7. 上题中若只行驶 2.5 千米，应付＿＿＿＿元。 8. 某量每年增长 8%，3 年后是原来的＿＿＿＿倍（保留两位小数）。 9. 某药物每 2 小时在体内减半，初始 64 毫克，6 小时后剩＿＿＿＿毫克。 10. 周长 20 米的矩形，面积最大为＿＿＿＿平方米。 11. 已知四个点 、、、，最合适的函数模型是（　　） 　　A. 一次函数模型　B. 二次函数模型　C. 指数型模型　D. 对数型模型 12. 声音强度是听阈的 倍时，声音等级为＿＿＿＿ dB。 13. 比较大小：＿＿＿＿（填「>」「<」或「=」）。 14. 某商品购买 件时，当 付款 元；当 时付款 元。买 15 件需＿＿＿＿元。 15. 某公司利润 （万元）与广告费 （万元）满足 ，最大利润是＿＿＿＿万元。 十二、参考答案 1. 300。。 2. 9。， 时取到 9。 3. 32。。 4. 约 1061.21。。 5. 13.8。。 6. 22。。 7. 8。，只收起步价。 8. 1.26。。 9. 8。6 小时正好 3 个半衰期，每次剩一半即除以 2，。 10. 25。设一边为 ，则 ， 时最大，。 11. C。四个点分别是 、、、，自变量每加 1 函数值就乘 2，符合指数型模型。 12. 80。。 13. >。。 14. 275。。 15. 20。， 时取到 20。 十三、方法归纳 步骤 具体做法 ① 看变化方式 直线选一次，抛物线选二次，越来越陡选指数，越缓选对数 ② 写解析式 设定自变量与函数，把文字翻成符号，同时写清定义域（整数、正数、范围） ③ 定参数 用题目给的数据代入，解方程或方程组求出常数；数据成表时先画散点图，再取有代表性的点 ④ 求结果 解方程、解不等式；用顶点、单调性求最值 ⑤ 还原检验 换回题目要求的单位，检查是否符合实际，用完整句子作答 十四、本节三句话 ① 六类模型各管一种变化方式：直线、抛物线、成倍、趋缓，各有对应模型。 ② 建模四步是审题、建模、求模、还原；解析式后面一定要跟定义域，算完一定要回头检验。 ③ 分段函数分段求，最值要拿各段的结果比一比；顶点不在定义域内时，最值落在端点。 十五、本节边界 本节只讨论已选好模型的情形：怎样比较候选模型、衡量拟合好坏，需另用工具，本节不作要求。 实际数据带波动，模型只给大致规律，不是精确预言。 学科网（北京）股份有限公司 $