4.6 函数的应用（二）&4.7 数学建模活动：生长规律的描述-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 4.6 函数的应用 （二） & 4.7 数学建模活动： 生长规律的描述 学 习 目 标 1. 掌握指数函数、 对数函数、 幂函数三 种函数模型， 能恰当地应用函数模型解决实 际问题 . 2. 会利用问题中的数据及其蕴含的关系 选择合适的数学模型 . 3. 经历数学模型的形成过程， 体验如何 从数学的角度来观察和分析现实世界中的一 些问题 . 4. 会提出并利用数学语言描述、 分析、 解决相关问题 . 要 点 精 析 要点 1 指数函数模型 指数函数模型通常指由指数函数图象进 行伸缩平移变换得到的函数 . 思考 随着自变量的增大， 函数值有 怎样的变化趋势， 才能利用指数型函数表 达函数模型呢？ 例 1 某工厂生产一种溶液， 按市场要 求杂质含量不得超过 0.1% ， 而这种溶液最 初的杂质含量为 2% ， 现进行过滤， 已知每 过滤一次杂质含量减少 1 3 ， 则使产品达到市 场要求的最少过滤次数为 （参考数据： lg2≈ 0.301 ， lg3≈0.477 ） （ ） A． 10 B． 9 C． 8 D． 7 分析 先借助指数函数模型列出不等 式， 再根据指数、 对数的关系解不等式 . 解析： 设经过 n 次过滤， 产品达到市场 要求， 则 2 100 × 2 3 3 # n ≤ 1 1 000 ， 即 2 3 3 & n ≤ 1 20 ， 由 nlg 2 3 ≤－lg20 ， 即 n （ lg2－lg3 ） ≤－ （ 1＋lg2 ）， 得 n≥ 1+lg2 lg3-lg2 ≈7.4 ， 故选 C. 变式训练 1 2018 年 5 月至 2019 年春， 在阿拉伯半 岛和伊朗西南部， 沙漠蝗虫迅速繁衍， 呈指 数增长， 引发了蝗灾， 到 2020 年春季蝗灾 已波及印度和巴基斯坦 . 假设蝗虫的日增长 率为 5% ， 最初有 N 0 只， 则经过 （ ） 天 能达到最初的 1 600 倍 （参考数据： ln1.05≈ 0.048 8 ， ln1.5≈0.405 5 ， ln1 600≈7.377 8 ， ln16 000≈9.680 3 ） . A． 152 B． 150 C． 197 D． 199 要点 2 对数函数模型 对数函数模型通常指由对数函数图象进 行伸缩平移变换得到的函数 . 思考 随着自变量的增大， 函数值有 怎样的变化趋势， 才能利用对数型函数表 达函数模型呢？ 例 2 据统计， 每年到鄱阳湖国家湿地 公园越冬的白鹤数量 y （只） 与时间 x （年） 近似满足关系 y＝alog 3 （ x＋2 ）， 观测发现 2015 29 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 年冬 （作为第 1 年） 有越冬白鹤 3 000 只， 估计到 2021 年冬有越冬白鹤 （ ） A． 4 000 只 B． 5 000 只 C． 6 000 只 D． 7 000 只 分析 此题符合对数函数模型， 根据 对数函数模型进行解答 . 解析： 当 x＝1 时， y＝alog 3 3＝a＝3 000 ， ∴y＝ 3 000log 3 （ x＋2 ） ． 当 x＝7 时， y＝3 000log 3 9＝6 000 ， 即 2021 年冬有越冬白鹤 6 000 只 ． 故选 C. 变式训练 2 中国的 5G 技术领先世界， 5G 技术的 数学原理之一便是著名的香农公式 ： C= Wlog 2 1+ S N ! " . 在受噪声干扰的信道中， 最大 信息传递速度 C 取决于信道带宽 W ， 信道 内信号的平均功率 S ， 信道内部的高斯噪声 功率 N 的大小， 其中 S N 称为信噪比 . 当信噪 比较大时， 公式中真数中的 1 可以忽略不 计 . 按照香农公式， 若不改变带宽 W ， 而将 信噪比 S N 从 1 000 提升到 8 000 ， 则 C 大约 增加了 （参考数据： lg2≈0.301 ） （ ） A． 10% B． 20% C． 30% D． 50% 要点 3 幂函数模型 幂函数模型通常指由幂函数图象进行伸 缩、 平移变换得到的函数 . 例 3 一个模具厂一年中 12 月的产量 是 1 月产量的 m 倍， 那么该模具厂这一年中 产量的月平均增长率是 （ ） A. m 11 B． m 12 C． m 12 姨 －1 D． m 11 姨 －1 分析 此题符合幂函数模型， 根据幂 函数模型进行解答 . 解析： 设每月的平均增长率为 x ， １ 月 产量为 a ， 则 a （ 1＋x ） 11 ＝ma ， ∴1＋x＝ m 11 姨 ， 即 x＝ m 11 姨 －1. 故选 D. 变式训练 3 某农药厂今年生产农药 8 000 t ， 计划 5 年后产量提高到 14 000 t ， 求平均每年的增 长率 （参考数据： lg1.75≈0.243 0 ， lg1.118≈ 0.048 6 ） . 要点 4 数学建模 建立数学模型的步骤： （ 1 ） 发现问题、 提出问题 . （ 2 ） 分析问题、 建立模型 . （ 3 ） 确定参数、 计算求解 . （ 4 ） 验证结果、 改进模型 . 例 4 某公司制订了一个激励销售人员 的奖励方案： 当销售利润不超过 10 万元时， 按销售利润的 16% 进行奖励； 当销售利润超 过 10 万元时， 若超出 A 万元， 则超出部分 按 2log 5 （ A+1 ） 进行奖励 ． 记奖金为 y （单位： 万元）， 销售利润为 x （单位： 万元） . （ 1 ） 写出该公司激励销售人员的奖励方 案的函数模型 . （ 2 ） 如果业务员老张获得 5.6 万元的奖 金， 那么他的销售利润是多少万元？ 30 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 分析 根据题意确定函数模型， 然后 进行相应的解答 . 解： （ 1 ） 由题意得 y= 0.16x ， 0<x≤10 ， 1.6+2log 5 （ x-9 ）， x>10 " . （ 2 ） 由 x∈ （ 0 ， 10 ］， 0.16x≤1.6 ， 而 y＝ 5.6 ， ∴x＞10． 因此 1.6+2log 5 （ x-9 ） ＝5.6 ， 解得 x＝34 （万元） ． ∴ 老张的销售利润是 34 万元 ． 数 学 文 化 数学建模是在 20 世纪 60 和 70 年代进 入一些西方国家大学的， 我国的几所大学也 在 80 年代初将数学建模引入课堂 . 经过 30 多年的发展， 现在绝大多数本科院校和许多 专科学校都开设了各种形式的数学建模课程 和讲座， 为培养学生利用数学方法分析、 解 决实际问题的能力开辟了一条有效的途径 . 大学生数学建模竞赛最早是 1985 年在美国 出现的， 1989 年在几位从事数学建模教育 的教师的组织和推动下， 我国几所大学的学 生开始参加美国的竞赛， 而且积极性越来越 高， 近几年参赛校数、 队数占到相当大的比 例 . 可以说数学建模竞赛是在美国诞生， 在 中国开花、 结果的 . 例 1 2021 年 5 月， “共和国勋章” 获 得者、 “杂交水稻之父” 袁隆平先生辞世， 他的功绩将永远被人们铭记 . 在他和几代科 学家的共同努力下， 中国用全世界 7% 的耕 地， 养活了全世界 22% 的人口 ． 目前， 我国 年人均粮食占有量已经稳定在 470 kg 以上， 远高于国际公认的 400 kg 粮食安全线 ． 某校 数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水 稻的推广， 没有合理的人口、 土地政策， 仅 以新中国成立时的自然条件为前提， 我国年 人均粮食占有量会如何变化？ 根据英国经济 学家马尔萨斯 《人口论》 的观点 “人口呈几 何级数增长， 而生活资料呈直线型增长”， 该小组同学做了以下研究 ． 根据马尔萨斯的 理论， 自然状态下人口增长模型为 y=y 0 e rt ① （其中 t 表示经过的时间， y 0 表示 t=0 时的人 口数， r 表示人口的年平均增长率， y 表示 t 年后的人口数， 单位： 万人） ． 根据国家统 计局网站的数据， 我国 1950 年末、 1959 年 末的人口总数分别为 55 196 万和 67 207 万 ． 该小组同学根据这两个数据， 以 1950 年末 的数据作为 t=0 时的人口数， 求得 ① 式人口 增长模型 ． 经检验， 1950 — 1959 年的实际人 口数与此模型基本吻合， 如图 4-6-1． （ 1 ） 若你是该小组成员， 请求出 ① 式的 人口增长模型， 并以该模型计算从 1950 年 末开始， 大约多少年后我国人口会达到 13 亿 （年数取不小于 t 的最小整数）？ （ 2 ） 根据马尔萨斯的理论， 该小组同学 把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型 模型， 通过查阅我国 1950 年末至 1959 年末 粮食产量， 得到粮食增长模型近似为 y=600t+ 13 600 （其中 t 表示经过的时间， y 表示第 t 图 4-6-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 70 000 65 000 60 000 55 000 50 000 t y O 31 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 年的粮食年产量 ， 单位 ： 万吨 ） ． f （ t ） = 600t+13 600 y 0 e rt （ t∈N ） 表示从 1950 年末开始 第 t 年的年人均粮食占有量， 单位： 吨 / 人 ． ① 求满足 f （ k ） f （ k-1 ） <1 的正整数 k 的最 小值； ② 按此模型， 我国年人均粮食占有量能 达到 400 kg 吗？ 试说明理由 ． 参考数据： ln67 207-ln55 196≈9×0.021 88 ， ln130 000-ln55 196≈39.15×0.021 88 ， e 0.021 88 ≈ 1.022 ， 55 196×1.022 23 ≈91 050． 解： （ 1 ） 由题意可得 y 0 =55 196 ， 则 67 207=55 196e 9r ， ln67 207=ln （ 55 196e 9r ） =ln55 196+9r ， ∴9r=ln67 207-ln55 196≈9×0.021 88 ， ∴r=0.021 88 ， ∴y=55 196e 0.021 88t ≈55 196×1.022 t . 当 y=130 000 时， 55 196e 0.021 88t =130 000 ， ∴ln （ 55 196e 0.021 88t ） =ln130 000 ， 0.021 88t=ln130 000-ln55 196≈39.15× 0.021 88 ， ∴t≈39.15 ， ∴ 大约 40 年后我国人口会 达到 13 亿 . （ 2 ） ① 由 f （ k ） f （ k-1 ） <1 ， 得 f （ k ） <f （ k-1 ）， ∴ 600k+13 600 y 0 e rk < 600 （ k-1 ） +13 600 y 0 e r （ k-1 ） ， 化简得 600k+13 600< （ 600k+13 000 ） e r ， 由 （ 1 ） 知 r=0.021 88 ， ∴600k+13 600< （ 600k+13 000 ） ×1.022 ， 解得 13.2k>314 ， k>23.8. ∵k 为正整数， ∴ 正整数 k 的最小值为 24. ② 由 ① 知， 当 k>23.8 时， f （ k ） <f （ k-1 ）， ∴ 当 k=23 时， f （ k ）最大， f （ 23 ） = 600×23+13 600 y 0 e 23r = 600×23+13 600 55 196×1.022 23 = 27 400 91 050 ≈0.301 ， 即 0.301×1 000=301<400 ， ∴ 按此模型， 我国年人均粮食占有量不 能达到 400 kg. 例 2 设 a=log 5 2 ， b=log 8 3 ， c= 1 2 ， 则 a ， b ， c 的大小关系为 . 分析 c 为分数， 形式简洁， 可以将其 转化为同底对数， 分别与 a ， b 进行比较， 即建立对数函数模型， 也可以作商比较 . 解： 方法一： c= 1 2 与 a=log 5 2 比较， 可 考虑 f （ x ） =log 5 x 函数， c= 1 2 = 1 2 log 5 5=log 5 5 姨 >log 5 2=a ； c= 1 2 与 b=log 8 3 比较， 可考虑 f （ x ） =log 8 x 函数， c= 1 2 = 1 2 log 8 8=log 8 8 姨 <log 8 9 姨 =log 8 3=b ； 综上， b>c>a. 方法二： a c =2log 5 2=log 5 4<1 ， ∴c>a ； b c = 2log 8 3=log 8 9>1 ， ∴b>c. 综上， b>c>a. 32 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 着 1+ 1 a 的减小而减小， ∴ Δf Δx 随着 a 的增大而减小， ∴③ 错误， ④ 正确 . 4.6 函数的应用 （二） & 4.7 数学建模活动： 生长规律的描述 学习手册 变式训练 1 A 【解析】 依题意可知， 经过 x 天沙漠蝗虫的数量 为 N 0 （ 1+5% ） x （ x∈N * ）， 由 N 0 （ 1+5% ） x =1 600N 0 ， 得 1.05 x =1 600 ， 两边取自然对数得 xln1.05=ln1 600 ， 得 x= ln1 600 ln1.05 ≈ 7.377 8 0.048 8 ≈151.18 ， ∴ 经过 152 天能达到最初的 1 600 倍 . 故选 A. 变式训练 2 C 【解析】 当 S N =1 000 时， C 1 =Wlog 2 1 000 ， 当 S N =8 000 时， C 2 =Wlog 2 8 000 ， ∴ C 2 C 1 = Wlog 2 8 000 Wlog 2 1 000 = lg8 000 lg1 000 = 3+3lg2 3 ≈1.3 ， ∴ 约增 加了 30%. 故选 C. 变式训练 3 解 ： 设平均每年的增长率为 x ， 则 由 题 意 ， 得 8 000 （ 1+x ） 5 =14 000 ， 即（ 1+x ） 5 = 14 8 =1.75 ， 两边同取常用 对数 ， 得 5lg （ 1+x ） =lg1.75 ， ∴lg （ 1+x ） = 1 5 lg1.75≈ 1 5 × 0.243 0≈0.048 6 ， ∴1+x≈1.118 ， 即 x≈0.118=11.8%. 随堂练习 1. B 【解析】 将 1 000 元钱按复利计算 ， 则存满 5 年后的本息和为 1 000×1.017 5 5 =1 091 ， 故可以获得利息 1 091-1 000=91 （元） . 故选 B. 2. B 【解析】 由题意知 2019 年为 y=800 （ 1+x% ）（ x> 0 ） ， 2020 年为 y=800 （ 1 +x% ） 2 （ x>0 ） ， 2021 年 为 y= 800 （ 1+x% ） 3 （ x>0 ） . 故选 B. 3. D 【解析 】 设山区第一年绿色植被的面积为 a ， 则 y=f （ x ） = a× （ 1+10.4% ） x a = （ 1+10.4% ） x ， 易知其定义域为 ［ 0 ， +∞ ）， 值域为 ［ 1 ， +∞ ）， 且随 x 的增大， y 增长的 速度越来越快 ． 故选 D． 4. D 【解析】 由题目信息可得， 初期增长迅速， 后 来增长越来越慢， 故可用对数型函数模型来反映 y 与 x 的关系 . 故选 D. 5. 解： （ 1 ） 根据表中的数据描点画出图象， 观察 这个图象， 发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线， 因 此， 可以判断它不能用函数 y=ax+b 来近似反映 . 根据这 些点的走向趋势， 我们可以考虑用函数 y=a · b x 来近似拟合 . 选择表中两点 ， 如点 （ 70 ， 7.90 ）， （ 170 ， 58.05 ） 的坐标代入 y=a · b x ， 可得 a≈2 ， b≈1.02. ∴ 该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可 以选为 y=2×1.02 x . （ 2 ） 将 x=175 代入 y=2×1.02 x ， 得 y=2×1.02 175 ， 计算得 y≈63.98. 由于 78 63.98 ≈1.22>1.2 ， ∴ 这个男生体重偏胖 . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由题意分析， 符合对数型函数的特点 . 故选 D. 2. A 【解析】 由题意把 N＝90 代入 t＝-144lg 1- N 100 0 $ 中， 得 t＝-144lg 1- 90 100 0 & ＝-144lg 10 100 ＝144. 故选 A. 3. D 【解析 】 经过 1 年， y＝a （ 1＋5% ）， 经过 2 年， y＝a （ 1＋5% ） 2 ， …， 经过 x 年， y＝a （ 1＋5% ） x . 故选 D. 4. BD 【解析】 由于函数的图象经过点 2 ， 4 9 0 & ， 故 函数的关系式为 y＝ 2 3 0 & t . 当 t＝3 时， y＝ 2 3 0 & 3 ＝ 8 27 ， 故 A 错误； 当 t＝4 时， y＝ 16 81 < 1 5 ， 故 B 正确； 当 t＝1 时， y＝ 2 3 ， 减少 1 3 ， 当 t＝2 时， y＝ 4 9 ， 减少 2 9 ， 故每月减少 的有害物质质量不相等， 故 C 错误； 分别令 y＝ 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ， 解得 t 1 ＝log 2 3 1 2 ， t 2 ＝log 2 3 1 4 ， t 3 ＝log 2 3 1 8 ， ∴t 1 ＋t 2 ＝t 3 ， 故 D 正确 . 故选 BD. 5. AB 【解析 】 ∵ 花鲢鱼的游速 v 与 log 2 x 100 （ x ≥100 ） 成正比， ∴ 设 v＝klog 2 x 100 . 又 ∵ 当 x＝200 时， v＝ x y O 70 60 50 40 30 20 10 60 80 100 120 140 160 180 第 5 题答图 48 参 考 答 案 1 2 ， ∴ 1 2 ＝k · log 2 200 100 ， 解得 k＝ 1 2 ， ∴v＝ 1 2 log 2 x 100 （ x≥ 100 ）， 故 A 正确； 当花鲢鱼静止时， 即 v＝0 ， 得 1 2 log 2 x 100 ＝0 ， 解得 x＝100 ， 故 B 正确； 当花鲢鱼的耗氧量为 400 单位时， 即 x＝400 ， 得 v＝ 1 2 log 2 400 100 ＝ 1 2 log 2 4＝1 m/s ， 故 C 错误； 设花鲢鱼开始的游速为 v 0 ， 耗氧量的单位数为 x 0 ， 则后来的速度为 v 1 ， 设提速后的耗氧量的单位数为 x 1 ， ∵v 1 ＝v 0 ＋1＝ 1 2 log 2 x 0 100 ＋1＝ 1 2 log 2 x 0 100 + " # 2 ＝ 1 2 log 2 4x 0 100 ， 又 ∵v 1 ＝ 1 2 log 2 x 1 100 ， 即 1 2 log 2 4x 0 100 ＝ 1 2 log 2 x 1 100 ， ∴x 1 ＝4x 0 ， 即耗氧量的单位数是原来的 4 倍， 故 D 错误 . 故选 AB. 6. ② 【解析 】 由题中表格数据画出函数的大致图 象， 可知这些数据满足的规律近似于指数函数 . 故答案 是 ②. 7. 2 400 【解析】 12 年后的价格可降为 8 100× 1- 1 3 " $ 3 = 2 400 （元） . 8. 2021 【解析 】 设该行业生产的包装垃圾为 y 万 吨， n 表示从 2015 年开始增加的年份的数量， 由题意可得 y＝400× （ 1＋50% ） n ＝400× 3 2 2 $ n ， 当 y>4 000 时， 有 3 2 " $ n >10 ， 两边取对数可得 n （ lg3-lg2 ） >1 ， ∴n （ 0.477 1-0.301 0 ） >1 ， 解得 n>5.7. ∵n∈N * ， ∴n=6 ， ∴ 从 2021 年开始， 该行业产生的包装垃圾将超过 4 000 万吨 . 9. 解： 由条件知， T 0 =89 ， T 琢 =25 ， t=20. 代入 T-T 琢 = （ T 0 -T 琢 ）· 1 2 2 $ t h ， 得 T-25= （ 89-25 ） × 1 2 2 $ 20 10 ， 解得 T=41 ℃ ； 如果要降温到 35 ℃ ， 则 35-25= （ 89-25 ） × 1 2 2 $ t 10 . 解得 t≈26.8. 答： 此时咖啡的温度为 41 ℃ ， 要降温到 35 ℃ ， 共 需要约 26.8 min. 10. 解： （ 1 ） 依题意知 y＝log a x 在 x∈ ［ 8 ， 64 ］ 上为增 函数， 由题意得 log a 8＝3 ， log a 64＝6 6 ， ∴a＝2 ， ∴y＝ 0 ， 0≤x<8 ， log 2 x ， 8≤x≤64 ， 1 10 x ， x>64 4 , , , , , + , , , , , - . （ 2 ） 易知 x≥8. 当 8≤x≤64 时 ， 要 使 y∈ ［ 4 ， 10 ］ ， 则 4≤log 2 x ≤10 ， ∴16≤x≤1 024 ， ∴16≤x≤64. 当 x>64 时， 要使 y∈ ［ 4 ， 10 ］， 则 1 10 x∈ ［ 4 ， 10 ］， 即 40≤x≤100 ， ∴64<x≤100. 综上， 当年销售额 x 在［ 16 ， 100 ］ （万元） 内时， 奖 金 y∈ ［ 4 ， 10 ］ （万元） . 提升练习 11. C 【解析 】 由题意知 ， lg （ 100X 0 ） =10lg （ 1+p ） + lgX 0 ， 即 2+lgX 0 =10lg （ 1+p ） +lgX 0 ， ∴1+p=10 0.2 ≈1.585 ， 解 得 p≈0.585. 故选 C. 12. C 【解析】 设石片第 n 次 “打水漂” 时的速率为 v n ， 则 v n ＝100×0.90 n－1 . 由 100×0.90 n－1 <60 ， 得 0.90 n－1 <0.6 ， 则（ n－1 ） ln0.90<ln0.6 ， 即 n－1> ln0.6 ln0.9 ≈ -0.511 -0.105 ≈4.87 ， 则 n>5.87 ， 故至少需 要 “打水漂” 的次数为 6. 故选 C. 13. BC 【解析】 温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后 平， 即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量 Δt ， 则 y 相应的 增量 Δy 越来越小， 而 5 min 后 y 关于 t 的图象是直线， 即温度匀速增加， 则 B ， C 正确 . 故选 BC. * 14. 解： 若以 y=a · e kx 为模拟函数， 当 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ） 代入函数关系式， 得 a · e 10k =4 ， a · e 40k =18 6 ， 解得 k≈0.050 136 ， a≈2.422 8 6 ， ∴y=2.422 8e 0.050 136x ， 以此函数关系式计算车速为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 220.8 m ， 364.5 m ， 与实际 数据相比， 误差较大 ． 若以 y=ax n 为模拟函数， 将 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ） 代 入函数关系式 ， 得 a · 10 n =4 ， a · 40 n =18 6 ， 解得 n≈1.085 ， a≈0.328 9 6 ， ∴y= 0.328 9x 1.085 ， 以 此 函 数 关 系 式 计 算 车 速 为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 43.39 m ， 48.65 m ， 与实际 情况误差也较大 ． 若以 y=ax 2 +bx+c 为模拟函数， 将 （ 10 ， 4 ）， （ 40 ， 18 ）， （ 60 ， 34 ） 代入函数关系式， 得 a · 10 2 +b · 10+c=4 ， a · 40 2 +b · 40+c=18 ， a · 60 2 +b · 60+c=34 4 , , , + , , , , - ， 解得 a= 1 150 ， b= 2 15 ， c=2 4 , , , , , , + , , , , , , - ， ∴y= 1 150 x 2 + 2 15 x+2 ， 以此函数关系式计算车速 为 90 km/h ， 100 km/h 时， 停车距离分别为 68 m ， 82 m ， 与前两个函数相比， 此函数更符合实际情况 ． 当 x=120 时， y=114 ， 即当车速为 120 km/h 时， 刹车 距离为 114 m． 49