4.2.2 对数运算法则知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.2.2 对数运算法则　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第四章 从指数运算律到对数运算律：积、商、幂的对数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经历三条运算性质（积、商、幂的对数）的推导过程，理解其来源，并能在正用、逆用两个方向上熟练运用； ② 掌握对数运算性质的适用范围（M>0、N>0、a>0 且 a≠1），避免越范围使用； ③ 理解并掌握换底公式及其常用形式，能借助常用对数或自然对数计算任意底数的对数值； ④ 掌握换底公式的两条推论，会进行对数式的互化与化简求值。 重点 三条运算性质（积、商、幂的对数）；换底公式；性质的正用与逆用。 难点 运算性质的推导（把指数运算律「翻译」成对数语言）；逆用性质合并对数式；换底公式的推导与实际应用。 二、情境引入：从「单个对数值」到「对数运算」 在 4.2.1 中，我们学会了求单个对数值（如 、），也用对数表示了指数方程的解。但如果遇到对数式之间的运算，例如： （1）已知 与 ，能否直接求出 ？ （2）已知 与 ，能否直接求出 ？ 更一般地，若已知 、，能否直接求出 、、？ 这相当于把第 4.1 节的指数运算律（=、、=）「翻译」成对数的语言。 悬问回顾：4.2.1 中，B 地景区「游客人次翻番」的悬问 x= 目前只能用函数单调性夹逼估计出 6<x<7。怎样求出更精确的值？这同样需要一种新的对数运算工具——换底公式。 三、三条运算性质的推导 设 ，（a>0 且 a≠1，M>0，N>0）。由指数式与对数式的互化，得 ，。 （1）积的对数 ，两边取以 a 为底的对数，得 ，即 （2）商的对数 ，所以 ，即 （3）幂的对数 ，所以 ，即 图 1　三条运算性质的推导 推导关键：先由 化出 ，把对数运算转化为指数运算；再用指数运算律，最后「翻译」回对数式。三步是统一的。这里用到的 与 正是指数式与对数式互化的「对数恒等式」。 四、三条运算性质对照、适用范围与推广 把三条性质并列对照如下： 名称 公式 文字表述 积的对数 真数的积 → 对数的和 商的对数 真数的商 → 对数的差 幂的对数 真数的幂 → 对数的倍（n∈R） 图 2　三条运算性质对照与适用范围 适用范围：M>0，N>0，a>0 且 a≠1，n∈R。负数和 0 没有对数，真数必须为正，所以三条性质只对正数成立。 性质的推广 ① 多个正因数：例如 ；一般地，若干个正因数乘积的对数，等于各因数对数的和。 ② 根式与分数指数：（n∈R，n≠0）。幂的运算性质可推广到任意实数指数。 练一练：把下列对数式展开。① ；② （提示：27=）。 答案：① =2+3=5；② =−1·3=−3。 五、换底公式 三条性质只能处理「同底」的对数。若底数不同（如 与 ），该如何运算？下面推导一个把对数「换底」的工具。 设 （a>0，a≠1，N>0），则 。两边取以 c 为底的对数（c>0，c≠1），得 由对数性质，，解得 。于是得到 图 3　换底公式的推导 换底公式：（a>0、a≠1；c>0、c≠1；N>0）。 常用形式：——把任意底数的对数化为常用对数或自然对数，便可用计算工具求值。 记号 lg 表示以 10 为底的常用对数，ln 表示以 e 为底的自然对数；它们都是换底公式取 c=10 或 c=e 时的特殊形式。 试一试：用换底公式把 写成以 10 为底的对数。 答案：。 六、换底公式的推论 由换底公式可以得到两个常用结论： 推论一：（a、b 均>0 且≠1），即 与 互为倒数。 推论二：（a、b>0 且≠1；m、n≠0）。 推论二的推导：用自然对数换底，。 图 4　换底公式的推论与求值应用 应用举例（结合图 4）：计算 。 七、典型例题 类型一：正用三条性质求值（例 1） 例 1　计算 。 解：。 练一练：求 、。 答案：；。 类型二：逆用性质合并对数式（例 2） 例 2　化简：（1）；（2）。 解：（1）；（2）。 逆用口诀：对数的和 → 真数的积；对数的差 → 真数的商；倍数 → 真数的幂。注意 等于 ，切勿误写成真数相减的形式。 类型三：换底公式求值（例 3） 例 3　（1）已知 ，，用 a、b 表示 ； （2）计算 。 解：（1） （2）由图 4 可知，原式 = 。 类型四：换底公式的实际应用（例 4） 例 4　某种放射性物质每秒剩余 98%（即质量按剩余比例 0.98 衰减），求质量减半所需的时间。 解：设 t 秒后质量减半，则 ，所以 ≈≈34.3（秒）。 建模思路：先用指数模型表示衰减（剩余比例 0.98 的 t 次幂），再用对数（换底公式）把「未知数在指数位置」的方程解出来。这正是 4.2.1「用对数表示指数方程的解」的实际应用。 八、回扣情境：用换底公式求 log_{1.11}2 回到 4.2.1 的悬问。由换底公式， 其中 =≈0.0453。这个结果与 4.2.1 用单调性夹逼得到的 完全吻合——换底公式把「记号」变成了「可计算的值」。 答：大约经过 6.64 年，B 地景区的游客人次是 2001 年的 2 倍。若问「翻三倍」（即达到 3 倍），同理 ，与 4.2.1 估计的 10<x<11 一致。 练一练（回扣巩固）：用换底公式与推论计算下列两式。 ① ；　② 。 答案：① ；② （连乘「换底相消」，即 ）。 图 5　回扣 4.2.1 悬问：用换底公式求 log_{1.11}2 九、易错警示与常见结论 易错点 典型错误 正确认识 适用范围 对一切实数 M、N 成立 必须 M>0、N>0；负数和 0 没有对数 商与差混淆 应是真数的商，不是真数相减 系数与指数 ；n 是对数的系数（倍数），不是作用在真数上的指数 换底分母 ；分母应为 （底数 a 作真数） 不可约分 两边同底的对数不能约掉，换底后互不相干 推论顺序 ；底数应互易 十、巩固练习 题号 题目 1 求 。 2 求 。 3 求 。 4 化简 。 5 化简 。 6 把 写成一个对数。 7 用换底公式求 。 8 用换底公式求 。 9 已知 lg2=a，lg3=b，用 a、b 表示 。 10 计算 。 11 求 。 12 求 。 13 用换底公式求 的近似值（已知 lg2≈0.3010，lg1.11≈0.0453）。 14 某放射性物质每秒剩余 0.98，求质量减半所需时间（参考例 4）。 15 判断下列说法是否正确，并说明理由： ① 若 M、N>0，则 （此处意为 M+N）； ② 十一、参考答案 1. 。 2. 。 3. 。 4. 。 5. 。 6. 。 7. 。 8. 。 9. 。 10. 。 11. 由推论一，。 12. ，；乘积 。 13. 。 14. 由例 4，（秒）。 15. ① 错误，应为 （真数之积，不是真数之和）；② 错误，应为 （对数的差，不是对数之商）。 十二、方法归纳 任务 方法 要点 正用性质 把真数的积、商、幂拆成对数的和、差、倍 等，注意适用范围 逆用性质 把对数的和、差、倍合并成一个对数 和→积；差→商；倍→幂 换底求值 化为常用对数或自然对数，可用计算工具 推论化简 、 底数互易得 1；指数可提出变系数 解指数方程 取对数（换底）把未知数从指数位置解出 先建指数模型，再取对数 十三、本节三句话 本节三句话：① 三条运算性质把指数运算律「翻译」成对数语言：、、（M、N>0，a>0 且 a≠1，n∈R）； ② 换底公式 ，把任意底数的对数化为常用对数或自然对数； ③ 推论 、 是化简求值的利器，指数方程取对数即可求解。 十四、本节边界 本节边界：本节在实数指数幂与对数概念的基础上，研究了对数的运算性质（积、商、幂的对数）与换底公式，并解决了「不同底数对数如何运算」「指数方程如何精确求解」两个问题。把对数看作函数来研究它的性质，是 4.2.3 的内容；幂的运算与根式等内容，在前面的章节已经学过。 学科网（北京）股份有限公司 $