30.3 正多边形与圆（第1课时）课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

第30章　直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆（第1课时） 正多边形与圆的计算 数学新教材人教版　九年级上册 情境引入 示例 螺帽横截面、停止标志可分别近似看成什么正多边形？ 答：正六边形、正八边形。 检查边等长且角相等。 情境引入 示例 矩形一定是正多边形吗？正方形呢？ 答：矩形不一定；正方形是。 正多边形需要等边、等角同时成立。 新知探究 正多边形：观察与推理 研究问题 只有各边相等的多边形一定是正多边形吗？ 观察与依据 不一定。非正方形的菱形就是反例。 O A B C D E F 新知讲授 正多边形 结论 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 条件与用法 等边与等角两项条件必须同时成立，菱形不一定等角，矩形不一定等边。 O A B C D E F 新知探究 等分圆与正多边形：观察与推理 研究问题 为什么等分圆周再顺次连接能得到正多边形？ 观察与依据 等弧给出等边，圆周角定理给出等角，两项同时成立。 新知讲授 等分圆与正多边形 结论 把圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形是这个圆的内接正多边形。 条件与用法 等弧得等弦，再由各角所对弧相等得到各角相等。 新知探究 正多边形的圆：观察与推理 研究问题 正多边形各边到外接圆圆心的距离是否相等？ 观察与依据 等弦到圆心距离相等，因此可以作同心内切圆。 新知讲授 正多边形的圆 结论 正多边形有外接圆和内切圆，它们的圆心重合。 条件与用法 圆心重合不表示两圆半径相等，内切圆半径是边心距。 新知探究 中心、半径、中心角、边心距：观察与推理 研究问题 连接中心到相邻顶点，再作到边的垂线，得到什么三角形？ 观察与依据 一个等腰三角形被分成两个全等直角三角形。 O A B C D E F 新知讲授 中心、半径、中心角、边心距 结论 我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 条件与用法 中心角边数；边心距垂直边，与半边和半径构成直角三角形。 O A B C D E F 新知探究 正多边形面积：观察与推理 研究问题 为何边心距与周长可以直接求面积？ 观察与依据 每个中心三角形的高都是边心距，底边之和为周长。 新知讲授 正多边形面积 结论 正边形边长、边心距，周长，面积。 条件与用法 连接中心到所有顶点，分成n个等底等高的三角形。 例题讲解 示例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为的正八边形。求宝塔地基的面积（结果保留小数点后一位）。 O A B C D E F G H 答：先建立解题所需的关系。 每个中心角，分成个以相邻两半径为边的三角形。 每个中心角，分成个以相邻两半径为边的三角形。 例题讲解 示例 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其地基的形状是半径为的正八边形。求宝塔地基的面积（结果保留小数点后一位）。 O A B C D E F G H 答：约。 每个中心角，分成个以相邻两半径为边的三角形。 每个面积为，总面积。 每个面积为，总面积。 例题讲解 示例 正六边形的中心角与内角分别是多少？ O A B C D E F 答：、。 中心角与外角相等，内角为减外角。 变式训练 变式 正十二边形中心角和内角各是多少？ 答：。 中心角，内角与外角互补。 例题讲解 示例 正五边形中心角、外角、内角各是多少？ O A B C D E 答：。 除边数得中心角和外角。 变式训练 变式 正方形外接圆半径，求边长与面积。 答：，。 对角线为，边长为。 例题讲解 示例 正方形边长，求外接圆半径和边心距。 答：、。 对角线为，边心距为半边长。 变式训练 变式 正三角形外接半径，求边长、边心距与面积。 答：、、。 外接半径为高的。 例题讲解 示例 等边三角形边长，求外接半径和边心距。 答：、。 外接半径为高的，边心距为高的。 变式训练 变式 正六边形半径，求边长、边心距、面积。 答：、、。 分成个边长的等边三角形。 例题讲解 示例 正六边形半径，求边长和面积。 答：边长，面积。 分成个边长的等边三角形。 变式训练 变式 正方形周长、边心距，求面积。 答：。 。 例题讲解 示例 正方形周长、边心距，求面积。 答：。 。 变式训练 变式 正多边形中心角，求边数。 答：。 。 课堂练习 练习 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明理由；如果不是，举出反例。 答：各边相等的圆内接多边形是正多边形；各角相等的不一定。 等弦对应等劣弧，圆周角也相等；非正方形矩形为第二问反例。 课堂练习 练习 分别求半径为的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积。 （1） 正三角形 （2） 正方形 （1） 答：边长，边心距，面积。 作中心到一边的垂线，分成––直角三角形。 （2） 答：边长，边心距，面积。 正方形对角线为圆的直径。 方法归纳 本阶段的解题方法 抓住中心三角形 ① 连中心与相邻顶点，作边心距得到半边。 ② 用、、或勾股定理联系半径、半边、边心距。 角与面积分开求 ① 中心角和外角为，内角为减外角。 ② 面积可分成n个中心三角形，也可用。 课堂总结 正多边形与圆的计算 正多边形 等边且等角。 圆 外接圆与内切圆同心。 要素 中心、半径、中心角、边心距。 计算 中心三角形求长度，面积为周长乘边心距的一半。 针对训练 训练 以下一定是正多边形的是：A.菱形；B.矩形；C.各边各角都相等的多边形；D.各边相等的四边形。 答：选C。 等边与等角缺一不可。 等边与等角缺一不可。 针对训练 训练 正九边形的中心角为________。 答：。 。 。 针对训练 训练 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 正多边形都有外接圆 对 所有顶点到中心等距，可作外接圆。 （2） 都有内切圆 对 所有边到中心等距，可作内切圆。 （3） 两圆圆心重合 对 两圆的圆心都是正多边形的中心。 （4） 两圆半径相等 错 内切半径是边心距，小于外接半径。 外接半径与边心距不同。 针对训练 训练 正多边形一个内角为，求边数。 答：。 外角，。 外角，。 针对训练 训练 正六边形边长，求半径与边心距。 答：半径，边心距。 中心三角形是等边三角形。 中心三角形是等边三角形。 针对训练 训练 正方形外接圆半径，求边长与面积。 答：边长，面积。 对角线为。 对角线为。 针对训练 训练 正方形周长、面积，求边心距。 答：。 边长为，边心距。 边长为，边心距。 针对训练 训练 正六边形外接半径，求面积。 答：。 个边长的等边三角形。 个边长的等边三角形。 针对训练 训练 亭子地基为半径的正六边形，求地基周长与面积。 答：周长，面积。 正六边形边长等于半径。 正六边形边长等于半径。 针对训练 训练 要从圆形铁片裁出边长的正方形，圆片半径至少多少？ 答：。 最小圆应为正方形外接圆，直径等于对角线。 最小圆应为正方形外接圆，直径等于对角线。 方法归纳 本课方法总结 抓住中心三角形 ① 连中心与相邻顶点，作边心距得到半边。 ② 用、、或勾股定理联系半径、半边、边心距。 角与面积分开求 ① 中心角和外角为，内角为减外角。 ② 面积可分成n个中心三角形，也可用。 $