30.3正多边形与圆（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.3 正多边形与圆 第1课时 正多边形与圆概念与计算 学 习 目 标 1 2 3 理解正多边形的概念，了解圆内接正多边形和圆外切正多边形的概念，掌握正多边形的两个本质特征。 理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等有关概念，掌握正多边形的内角、外角、中心角的计算公式，能进行正多边形的有关计算. 经历从圆的等分弧构造正多边形的过程，培养学生的几何直观和逻辑推理能力. 旧知复习 回顾 我们学过三角形有外接圆和内切圆。什么是三角形的外接圆？什么是三角形的内切圆？ （1）三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆； （2）三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆. 新知引入 探究 多边形是否也有外接圆和内切圆呢？对于一般的多边形，不一定有圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切。下面我们来看看生活中常见的多边形. 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形. 以上这些多边形有什么特点？ 本节课我们就来研究正多边形与圆的关系. 探究1：正多边形与圆的关系 新知探究 探究 如何利用圆来构造正多边形？ 分析：只要把一个圆分成相等的一些弧； 以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正多边形的外接圆. 图（1） 图（2） 例如：图(1)中的多边形是 的内接正九边形 图(2)中的多边形是 的外切正六边形. 探究1：正多边形与圆的关系 新知探究 探究 下面我们以正五边形为例，进行证明. 如图,把 分成相等的 5 段弧，依次连接各 分点得到五边形 ABCDE. 同理 又 五边形 的顶点都在 上， 五边形 是 的内接正五边形 是正五边形 的外接圆． 探究1：正多边形与圆的关系 新知探究 概念归纳 圆外切正多边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆。 正多边形的两个条件——各边相等、各角相等，缺一不可。 如菱形的各边相等，但各角不一定相等； 矩形的各角相等，但各边不一定相等，所以它们都不一定是正多边形； ①定义法：证明该多边形各角都相等，各边都相等； 证明一个多边形是正多边形的常用方法 方法总结 探究1：正多边形与圆的关系 新知探究 ②等分圆周法：证明该多边形的外接圆的圆周被多边形的顶点等分。 新知巩固 正多边形与圆的关系 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）各边相等的多边形是正多边形； （2）各角相等的多边形是正多边形； （3）各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。 【分析】依据正多边形的定义，判定正多边形需要同时满足各边相等和各角相等两个条件，缺一不可. 解：（1）错误，如菱形各边相等但角不一定相等； （2）错误，如矩形各角相等但边不一定相等； （3）正确，理由：正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，满足定义. 探究 正多边形有关的概念有哪些呢？ 探究2：正多边形的有关概念 新知探究 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心； 外接圆的半径叫作正多边形的半径； 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角； 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距. 探究2：正多边形的有关概念 新知探究 正边形的中心角：； 正边形的一个内角：； 正边形的一个外角：； 重要关系：正多边形的中心角与外角相等，都等于 探究 正多边形有关的角度如何计算呢？ 正边形是轴对称图形，有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心； 探究2：正多边形的有关概念 新知探究 正多边形的对称性 方法总结 当为偶数时，正边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心； 正边形是旋转对称图形，最小旋转角为. 【分析】直接套用正n边形中心角、内角、外角公式，代入边数n求值或反向求解边数. 新知巩固 圆的有关角度的计算 （1）正六边形的中心角是____°；（2）正八边形的一个内角是____°； （3）正五边形的一个外角是____°；（4）正____边形的中心角等于60°. 填空： （1）正六边形，中心角 （2）正八边形， 一个内角 （3）正五边形，一个外角 ，解得 正多边形与圆的相关计算 【分析】利用切线长定理设未知数，再根据底边BC的长度列一元一次方程求解线段长. 例题精讲 延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖塔，其塔基的形状是半径为 的正八边形．求塔基的面积（结果保留小数点后一位）． 解：如图 ，连接 ，，作 ，垂足为 ． 八边形 是半径为 的正八边形， ，． 又 为直角三角形， ． ． 三角形内切圆的应用 例题精讲 在 中，由勾股定理，得 ． 因此，塔基的面积 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．. 巩固训练1 正多边形角度计算 科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（　　） A. B. C. D. 解：∵点O为正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 巩固训练1 正多边形角度计算 变式题 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为___________. 解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 巩固训练2 已知正多边形的中心角求边数 【分析】当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形. 若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：设正多边形中心为 相邻顶点、，（外接圆半径） （边长），且 是等边三角形 ， 正多边形的边数 故选：C． 巩固训练2 已知正多边形的中心角求边数 变式题 如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 解：如图：连接， 点为正多边形的中心，， ， ， 这个正多边形的边数为，即选项B符合题意。 巩固训练3 已知半径，求正多边形边长、边心距 【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角. 在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 解：这个正六边形的中心角为， 如图，过圆心作于点， ， 是等边三角形， ， ， 即这个正六边形的边心距为 巩固训练3 已知半径，求正多边形边长、边心距 变式题 如图，点 为正六边形 的中心，连接 ．若正六边形的边长为 ，则点 到 的距离 的长为多少？ 解：如图所示，连接 ，，， 点 为正六边形 的中心， ，，， 是等边三角形，， ， ， ， 点 到 的距离 的长为 ， 巩固训练3 已知半径，求正多边形边长、边心距 变式题 巩固训练4 已知半径，求正多边形边长、边心距 【分析】正六边形的中心角等于360°除以边数，边心距是从正多边形的中心到边的距离，可利用三角函数求出，面积可通过将正六边形分割成六个全等的正三角形来计算即可. 半径为的正六边形，中心角_________，边心距_________，面积_________． 解：如图， 正六边形的边数，根据正多边形中心角，得； 正六边形半径 由于正六边形的边心距等于半径乘以 即； 巩固训练4 已知半径，求正多边形边长、边心距 将正六边形分割成六个全等的正三角形 每个正三角形的底边长等于正六边形的边长为 高为边心距 所以一个正三角形的面积为 所以正六边形的面积． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 25 感谢聆听! 26 $